3. 関数のグラフと近似　 3.1 グラフの概形（解答）

微分積分学１ No.8 2005. 6.15

3. 関数のグラフと近似  3.1 グラフの概形（解答）

問題 16 次の関数の第2次導関数を求めなさい.

(1) y=x⁵+x⁻² y⁰ = 5x⁴−2x⁻³, y⁰⁰ = 20x³+ 6x⁻⁴ (2) y=xlogx y⁰ = (x)⁰logx+x(logx)⁰ = logx+ 1, y⁰⁰= 1 x 問題 17 次の関数の増減を調べ,そのグラフの概形を描きなさい.

(1) y= 2x³+ 3x²−1

y⁰ = 6x²+ 6x= 6x(x+ 1). よって, y⁰ = 0となるのはx= 0,−1.

y⁰⁰= 12x+ 6. よって, y⁰ = 0となるのはx=−¹₂.

以上より,増減表は,

x · · · −1 · · · −¹₂ · · · 0 · · ·

y⁰ + 0 − − − 0 +

y⁰⁰ − − − 0 + + +

y ^- 極大

0 ^?

変曲点

−¹₂ ^-

極小

−1

6

グラフの概形は

O y

−1 x

(−¹₂,−¹₂) −1

(2) y=−x⁴+ 4x³

y⁰ =−4x³+ 12x² =−4x²(x−3). よって,y⁰ = 0となるのはx= 0,3.

y⁰⁰=−12x²+ 24x=−12x(x−2). よって, y⁰ = 0となるのはx= 0,2.

以上より,増減表は,

x · · · 0 · · · 2 · · · 3 · · ·

y⁰ + 0 + + + 0 −

y⁰⁰ − 0 + 0 − − −

y ^- 変曲点

0

6 変曲点 16

- 極大

27 ^?

グラフの概形は

O y

x 27

16

2 3

(3) y=x²e^−x

y⁰ = 2xe^−x−x²e^−x = (2x−x²)e^−x = x(2−x)

e^x . よって,y⁰ = 0となるのはx= 0,2.

y⁰⁰= 2−4x+x²

e^x . よって, y⁰⁰ = 0となるのはx= 2±√ 2.

以上より, 増減表は,

x · · · 0 · · · 2−√

2 · · · 2 · · · 2 +√

2 · · ·

y⁰ − 0 + + + 0 − − −

y⁰⁰ + + + 0 − − − 0 +

y - 極小

0

6 変曲点

(6−4√

2)e^−2+√2

- 極大

4e^{−2 ?}

変曲点 (6 + 4√

2)e^{−2−√2 -}

となり, グラフの概形は

O y

2−√ x

2 2 2 +√ 2