数学補習プログラム（社会人院生向け）
トピック 6 ：多変数関数の 2 階偏微分・交差偏微分
北村友宏
∗ 2016
年3
月19
日1 多変数関数の 2 階偏微分・交差偏微分（参考書上巻 pp.409-411）
1.1 2
階偏微分•
多変数関数を2
度偏微分することを2
階偏微分といい，それによって求められた導関数を2
次偏導関 数という．ここでは2
変数関数（説明変数が2
つの関数）のケースで説明する．• 2
変数関数z = f (x
1, x
2)
のx
1に関する2
次偏導関数は∂
2z
∂ x
21 と書き，x
2に関する2
次偏導関数は∂
2z
∂ x
22 と書く．⋆ x
i に関する1
次偏導関数∂ z
∂ x
i をさらにx
i に関して微分することを，∂
∂ x
i( ∂ z
∂ x
i)
= ∂
2z ( ∂ x
i)
2と書くことができる．通常は上式の右辺の分母のカッコを外し，
∂
2z
∂ x
2i と表記する．⋆ ∂
2z
∂ x
2i 以外にも，次のような書き方がある．∂
2∂ x
2iz , ∂
2f (x
1, x
2)
∂ x
2i, ∂
2f
∂ x
2i(x
1, x
2) , ∂
2∂ x
2if (x
1, x
2) .
∗ z = f ( x
1, x
2)
の2
次偏導関数は，∂
2z
∂ x
21 をf
11, ∂
2z
∂ x
22 をf
22と書くこともある．∗ z = z(x
1, x
2)
の2
次偏導関数は，∂
2z
∂ x
21 をz
11, ∂
2z
∂ x
22 をz
22と書くこともある．∗ z = f ( x , y)
の2
次偏導関数は，∂
2z
∂ x
2 をf
x x, ∂
2z
∂ y
2 をf
y yと書くこともある．∗ z = z(x , y)
の2
次偏導関数は，∂
2z
∂ x
2 をz
x x, ∂
2z
∂ y
2 をz
y y と書くこともある．∗
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//tomkitamura.html.xdomain.jp
1
1.2
交差偏微分•
ある変数に関する1
次偏導関数を別の変数に関して偏微分することを交差偏微分といい，それによって 求められた導関数を交差偏導関数という．• 2
変数関数z = f (x
1, x
2)
のx
2に関する1
次偏導関数∂ z
∂ x
2 をさらにもう1
つの説明変数x
1に関して偏 微分すると，交差偏導関数は，∂
∂ x
1( ∂ z
∂ x
2)
= ∂
2z
∂ x
1∂ x
2= f
12.
同様に，x
1に関する1
次偏導関数∂ z
∂ x
1 をさらにもう1
つの説明変数x
2 に関して偏微分すると，交差 偏導関数は，∂
∂ x
2( ∂ z
∂ x
1)
= ∂
2z
∂ x
2∂ x
1= f
21.
• 2
変数関数z = f ( x , y)
の交差偏導関数は，∂
∂ x ( ∂ z
∂ y )
= ∂
2z
∂ x ∂ y = f
x y, ∂
∂ y ( ∂ z
∂ x )
= ∂
2z
∂ y ∂ x = f
y x.
ヤングの定理：z = f (x
1, x
2)
において，次の式が成り立つ．f
12= f
21,
すなわち∂
2z
∂ x
1∂ x
2= ∂
2z
∂ x
2∂ x
1.
⇒
どちらの説明変数での偏微分を先に行っても交差偏微分の結果は同じ．※この定理は，多変数関数の説明変数が
3
つ以上であっても同様に成り立つ．• ∂
∂ x
2( ∂ z
∂ x
1)
= f
12, ∂
∂ x
1( ∂ z
∂ x
2)
= f
21と定義する場合もあるが，ヤングの定理から，どちらで定義して も交差偏微分の結果は変わらない．1.3
偏導関数の導出. . . .
例題1.3.1 z = 2x
1 2
1
+ 3x
1x
2+ 4 x
1 2
2 の
2
次偏導関数と交差偏導関数を求めなさい．2
解法
•
まず，全ての変数（x
1とx
2）について1
次偏導関数を求める．•
「x
1に関する1
次偏導関数」をさらにx
1 に関して偏微分すると「x
1に関する2
次偏導関数」が，「
x
2に関する1
次偏導関数」をさらにx
2に関して偏微分すると「x
2に関する2
次偏導関数」が導 出できる．⇒ 2
次偏導関数は，∂
2z
∂ x
21, ∂
2z
∂ x
22 の2
つ．•
続いて，「x
2に関する1
次偏導関数」をさらにx
1に関して偏微分すると片方の交差偏導関数が導 出でき，ヤングの定理を適用するともう片方の交差偏導関数が導出できる．⇒
交差偏導関数は，∂
2z
∂ x
1∂ x
2, ∂
2z
∂ x
2∂ x
1 の2
つ．x
1とx
2に関する1
次偏導関数は，それぞれ，∂ z
∂ x
1= 2 · 1 2 x
1 2−1
1
+ 3x
2· 1 x
1−11+ 0 = x
−1 2
1
+ 3x
2x
01= x
−1 2 1
+ 3x
2,
∂ z
∂ x
2= 0 + 3x
1· 1x
1−12+ 4 · 1 2 x
1 2−1
2
= 3 x
1x
02+ 2x
−1 2
2
= 3x
1+ 2x
−1 2 2
.
である．よって，2
次偏導関数は，∂
2z
∂ x
21= ∂
∂ x
1( ∂ z
∂ x
1)
= ∂
∂ x
1[
x
−1 2 1
+ 3x
2] = − 1 2 x
−1 2−1
1
+ |{z} 0
定数の微分
= − 1 2 x
−3 2 1
,
∂
2z
∂ x
22= ∂
∂ x
2( ∂ z
∂ x
2)
= ∂
∂ x
2[
3 x
1+ 2 x
−1 2 2
] = |{z} 0
定数の微分+ |{z} 2
定数· (
− 1 2 )
x
−1 2−1
2
= − x
−3 2 2
,
となる．また，交差偏導関数は次のようになる．
∂
2z
∂ x
1∂ x
2= ∂
∂ x
1( ∂ z
∂ x
2)
= ∂
∂ x
1[
3x
1+ 2x
−1 2 2
] = 3 · 1 x
1−11+ |{z} 0
定数の微分= 3 x
01|{z}
=1= 3 .
ヤングの定理より，
∂
2z
∂ x
2∂ x
1= ∂
2z
∂ x
1∂ x
2| {z }
=3
= 3 .
である．
