双子のパラドックスを解く鍵はガリレイ変換にあった: University of the Ryukyus Repository

Title

双子のパラドックスを解く鍵はガリレイ変換にあった

Author(s)

仲座, 栄三

Citation

琉球大学工学部紀要(75): 1-6

Issue Date

2014-10

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/30354

Rights

琉球大学工学都紀要第75号.2014年

双子のパラドックスを解く鍵はガリレイ変換にあった

仲 座 栄 三 事

A

Key

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Galu曲n甘 岨sfonnad叩

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solvetheτW恒ParadoxinE血stein'srelati吋ty

EizoNAKAZA

Abs

旬、IlCt According to Einstein's Special Theory of Relativity

，

“

for回 observerin a s同.ticsystem

，

血

e time inside a system moving with a const皿tspeed is slower th阻 血otin a static sys旬m."This int町P問tationh副 givenrise to various paradoxes including the Twin Paradox. H町e，白eTwin Para血xis resolved. The k町

t

o

the solution was to

∞

rrect our earlier interpretation ofthe Galilei Tr皿sformation.The wrong泊terpretationof也eGali1ei Transfonnation w田 broughtin白 血e Specia1

τ

'heory of Relativity by Einstein as such. Correcting our earlier interpretation of由e Ga1i1ei Trans加 mationis

∞

nnected to the correct interpretation of the relativity theory岨d由.t way the Twin Paradox h田 b国nsolved E町Wo吋s: GaIile田 佐 阻 曲

rm

副0，0Twin par，吋o，xspecial四lativity， 盟 国 同tn，四lativeveloci町

1

.

序論 アインシュタインの特暁相対性理論" ，によれば"

r

静 止系内の観測者に対して一定速度で運動している移動系 内の時聞は，静止系内の時間よりも遅れる」こうした解 釈が，双子のパラドックスをはじめとする様々なパラド ックスを派生させてきた ここに，双子のパラドックスカ靖斡是される 僻署長の鍵 は，ガリレイ変換に対する我々のこれまでの解釈を正す ことにあった ガロレイ変換に対する誤った解釈は，アインシュタイ ンによって特婚相対性理論へとそのまま持ち込まれた ガリレイ変換に対するこれまでの我々の解釈を正すこと が，相対性理論に対する正しい解釈九と繋がり，そのこ

k

で双子のパラドックスは餌訣されるとととなった. 2， i!Jt干のパラドッウス アンシュタイン，:1:， 1905年に発表した特努嗣削主輸 の中で，次のような冒の説明を与えている " ， 「一つの置線上に離れて静止している

2

人の観測者

A

及びBが，正確で同じ精度の時許をそれぞ'tI;j守っている 互いにそれらの時計の時刻を合わせた後に，観調陪Aが， その直線上を，静止している観担措

B

<1>位置まで一定の 受付 '"14年6月24日j 受理 '"'4年7月316 *工学割甥膨複鶴史工学科 ( D略即値箪

m

'

"

白V畳E略 - 事& M主砲抽.... F岡崎"'1>事国軍略面晴晴"'..両町四) 速度で移動して来た目このとき，観掴措

A

の時計f;j観測 者 B町時許よりも遅れている」 相対性原理に担胤ぽ，上回説明を逆にして，

r

観調府A カ司静止したままで，観視陪Bが観測者Aの元に移動して きた」と判断することも評される.この場合，観測者

A

の時計に対して観調陪 Bの時計の方が量動Lることになる このことは，先に述べた「観測者 Bの時計に対して，観 掴盾Aの時計が遅れる」とする主張に反する. 以上のように，時間に関する主張が相矛盾することは3 アインシュタインの特顎持日対性理論に関わる双子のパラ ドックスとして知られている アインシュタインの相対 世霊園駒市とよる時聞の遅れの実証として，物理学は数多く の実験データまでも示して来たそれにも拘わらず，こ の問題は未解決舟まま今固まで残されてきた 8， 4， 1> 双子のパラドックは，すでに解決された問題であると する考えもある 例えば，地球から打ち上げられたロケ ットに乗る者民地球に帰還するのに旅の途中で必ずロ ケットをUターンさせなければならず，そのようなイベ ント位地球主の観調情には存在しない.従って，

r

ロケッ ト内町観測者の方が移動していたのであって，ロケット 内の観掴賭の方が歳を取らない」とする考え方である. しかしながら，上述のUターンという操作に基づく考 え方は，逆にロケット内の観国盾官ミら見ると，ロケット 内で加速キ輔速の操作をするたび

:

l

:

:

:

，地球が決まって加 速ヰ椋速を行い，

U

ターンしたのであって，地章治宝ロケ ットに向かって帰還したのであると反論される.したが って，上述した「ロケットの方が移動していた」とする 説明出島ずしも正しくない

2

相対性理論に拘る専門書などには，ロケットが行きと

帰りで飛行軌道を乗り換えたのであるとする説明が与え

られている場合もある．しかしながら，それとて，地球

人こそが慣性軌道を乗り換えたのであるとする主張で反

駁されてしまう．

こうして，信じ難いことではあるが，特殊相対性理論

にまつわる双子のパラドックスは，その謎が未だ解けぬ

ままに残されていたと言える．

本論の主たる目的は，ガリレイ変換に対する従来の解

釈を正し，さらにアインシュタインの特殊相対性理論に

対する解釈を正すことで，双子のパラドックスの謎を解

くことにある．

３．ガリレイ変換の正しい解釈

いま，図-1 に示すように，観測者 A 及び B の座す慣性

系が，それぞれ存在すると仮定する．このとき，観測者

A は，観測者 B の座す系が，

x

軸と

X

軸を平行にした状

態で，一定の速度 v で遠ざかっているものと観測してい

る．

相対性原理によれば，観測者 B からは，逆に，観測者

Aの座す系が一定の速度

−v

で遠ざかっているものと観測

される．このようなとき，観測者 A 及び B に観測される

力学は，いずれも静止系から観測される力学と呼ぶこと

ができる．

観測者 A は，適切な座標変換の導入によって，観測者

B と併走する移動座標系を構築できる．観測者 A がその

移動座標系へ乗り移れば，観測者 B は静止して観測され

る．観測者 A が，その移動座標系を通じて観測する力学

現象を，相対論的力学と呼ぶ．

従来，観測者 A は，相対論的力学を論ずるとき，ガリ

レイ変換を導入してきた．ガリレイ変換は，一般に以下

のように与えられる．

vt x X= −

（１）

y Y=

（２）

z Z=

（３）

t T=

（４）

ここに，

(

x,y,z

)

及び

t

は観測者 A の空間座標及び時間

を表す．また，

(

X,Y,Z

)

及び

T

は観測者 B の空間座標及

び時間を表す．

式（１）～（４）に示すように，ここで導入されるガ

リレイ変換は，観測者 A が，変換によって，観測者 B の

系に乗り換えることを表す．すなわち，観測者 A の視点

は観測者 B の視点そのものに入れ替わっている．

その結果，ガリレイ変換を経た観測者 A は，そこに，

観測者 B が観測する力学と同じ静止論的力学を観測する

ことになる．また，ガリレイ変換を経た観測者 A に観測

される光の速さは，相対性原理によって，等方的で一定

値 C となって現れる．すなわち，観測者 A は，相対論的

力学をまったく観測していない．これが，ガリレオ変換

に対する我々の従来の解釈の誤りである．

本来，観測者 A の目的は，ガリレイ変換を通じて，相

対論的力学を観測することであった．ガリレイ変換は，

正しくは，次のように与えられなければならない．

vt x x′= −

（５）

y y′=

（６）

z z′=

（７）

t t′=

（８）

ここに，

(

x

′ ,

,

y

′

z

′

)

及び

t′

は，観測者 A が設定する移動

座標系の空間座標と時間である．これを図-2 に示すよう

に，観測者 A

′の系とする．

式（５）～（８）に示す変換を経て，観測位置を移動

図‐１ 従来のガリレイ変換

図‐２ 相対論的運動の観測のための正しい座標変

換（速度

v

は，観測者 B 及び

A′の観測者 A

に対する移動速度，C 及び

C′は各観測者に観

測される光の速さを表す．

）

琉球大学工学部紀要 2014 年

NAKAZA：A Key in the Galilean transformation to solve the Twin Paradox in Einstein's relativity

琉 球 大 学 工 学 部 紀 要 第75号.2014年 座標系に移した観視

i

者 A (すなわち，観担

g

者約には， 観測l者Bが静止して観測される.一方で，観.IJIU.者Aの系 ヰ脅翻l膚Bの慣性系で観測されている等方的で一定の速 さCで伝播する光の速度は，観測者A'には，方向によっ て異なって観測される 例えば

，

x'軸方向に伝播する光の速さは，観調者 A' には， C-vやC+vとなって観測される.また

，

y'軸方 向に伝播する光の速さは，C1rとなって観測される.こ こに，係数yは1I，[i二布である 6 式 (5) - (8) の変換を経て，観測者A'の立場とな った観調.'F昔Aに観測される光の速度は，等方的でなく， そして一定値Cでもない.観測者A'に観測される光の速 度に関するこのような議論を経て，“変換式として近似的 に式 (5) - (8) を用いる"とする論理の展開には， 相対論的力学という物理的意味が存在する これに対し，観視

l

者A'に種世則される光の速度の議論を 経ない，従来のガリレイ変換の導入は，観測者Bが認識 している静止系の力学を論じているに過ぎず，論理的展 開に物理的意味が存在しない 4 特殊相対性理論の正しい解釈 座標変換を経て，観測の立場を移動座標系に移した観 測者

A

(すなわち観測者A')に観測される光の速さが， 等方的で一定値Cとなっているような座標変換は存在し ないのか?この闘いに答えるのが，ローレンツ変換であ る.ローレンツ変換は，正しくは次式で与えられる. x'=r(x

ー

吋

)

(9) y'=y (10) z =z (11) ピ

=

r

(

t

-

苦

)

(12) 観測者Aが，式 (9)- (12)の変換を経て設定する 移動座標系を，以下，観測者

A

"

の系と呼ぶ. 一方，観担

g

者

B

の座標系から観.IJIr盾

A

"

の系へのローレ ンツ変換は，次のように与えられる. x'=rX (13) y'=Y (14) z'=z (15) 日 {[1

計

一

手

ト

16) 式 (9) - (12)に示すローレンツ変換によって，視 点を移動座標系へと移した観測者 A('すなわち観測者A'う に観測される光の速さは，等方的で一定値Cとなって観 測される.また，移動系に座す観測者A吻もは，観祖

u

昔， Bは静止して観測される 式 (9) - (16) に示す座標変換に対し，アインシュ タインは，次のような変換式を与えた"2 X=r(x-vt) (1η Y=y (18) z=z (19) T

斗苦)

(2ω これらの式の左辺に見るように，観測者Aによる変換 先の座標は観測者Bの系の座標として設定されている. ガリレイ変換に対する我々の従来の解釈の誤りは，こう してアインシュクインによって彼の相対性理論へとその まま持ち込まれたその結果，アインシュダインには， 次に示す時間の短縮定理が導かれた " 2 T=

仔

ω

この瞬間，双子のパラドックスが派生されることとなっ た. アインシュタインの変換式 (17) - (20)を正当化す る術は存在しないなぜなら，観測者 A~i噂翻盾 B の系 へと乗り換える変換は，従来の角献によるガリレイ変換 で十分であるからである.また，観測者Bの系ではもと もと光の速さは等効力で一定値Cと観測されているため， ローレンツ変換を必羽生としないからである. アインシュタインは，

r

泊恵度不変の房裡Iを相対性理 論構築の前提として導入した.しかし，観測者Aに対し ても，観視

l

者Bに対してもa観測される光の速さが等方 的で一定値となっていなければならないことは相対性原 理が要求することである その上で，ローレンツ変換を 必要とする理由は，空間座標の単純な平行移動を与える ガリレイ変換を経た観測者A'に非等方的に観測される光 の速さを，観測者Bと同様に，等方的で一定値Cとして 観測するためにあった 6 したがって，相対性理論を導 くにあたって，光速度不変の原理の導入を，なんら必要 としない 6 アインシュタインによって導かれた関係式 (21)は， 正しくは，式 (9) - (16) により，次のように与えら れなければならない. t'

=

仔=日

T ω ) 3

NAKAZA: A Key in the Galilean transform.ation to solve the Twin Paradox in回nstein's四lati'叫'y 4 存

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包

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笠 芋

I C. こ こ に ， 州 諸 揃 陪A'"こ観測される速度を表す したがって，観視

l

者

A

"

に観測される速度ずは，観温情

A

に対して，次のように観測される目 u = 4 Z L ( M ) 1+ vv_ C. ここに，速度Uは，移動座標系の観測者A 速度vザ，を，観

J

1

lU.者Aの速度に変換した値である アインシュタインの特殊相対性理論の中で，式包4) に対応する関係式が与えられている.しかしながら，ア インシュタインの場合，式包4)と具なり，次式を与え ている " 2 v+V U~ ーーでァ (25) 1+ V~ C. アインシュタインは，観視府

N'

の座す移動座標系をそ のまま観調

l

者Bの座す座標系と誤って認識しているので， 式(25)に至ってしまったのは当然といえる 物理学は，式包5)の存在と従来のニュートン力学に おける速度合成則との違いを説明するのに苦心を強いら れてきたことは否めない.しかしながら，式

ω)

及び 式 (24)によれば，観測者Bの空間や時間の尺度とは異 なる観.iJI~者 N'の空間と時間を以て測定した速度 v' と，そ うでない尺度で測られた速度vや

v

との合成を考えれば， ニュートン力学における速度合成則との違いは容易に説 明される 互いにまったく同じ空間及び時間の尺度を用いている 観測

l

者A及。浦湖者Bのそれぞれに観測されている速度 によれば，次なる関係が与えられ，ニュートン力学にお ける速度合成刷そのものとなっていることを確認できる. u~v+V (2惜) アインシュタインの後，ブランク (1906)7は，相対論 的漣動方程式を誘導している.この方程式もここに示す 移動座標系を用いて書き直す必要があるが，ここまでの 議論の後において，そのことは自明のことであるので割 愛する. ところで，式 (22)から得られる結論は，一見，時間 の遅れを支持する物理的観測結果とされるロッシ依田副 皿d凪且 1941)3の実験結果に反するように恩われる.し か し 式 (9)~ (12)に示す変換を経て，相対論的力 学を論ずる観測者Aからは，ロッシの与えたミューオン の寿命の延びは相対速度の存在による相対論的慣性質量 の増加(すなわち，相対論的エネルギーの増加)による 効果として説明される. 地上の観測者Aに観測されるミューオンの相対論的慣 性質量は，次のように与えられる

m=r

町

(

2

η

ここに.mは相対論的慣佐賀量， moは静止慣性質量を表 すすなわち，飛来するミューオンの相対論的慣性質量 を観揖する地上の観調者Aの主張は，次のようである. 「ミューオンの相対論的慣性質量m が静止慣性質量町 の 1/2に減じるまでに要した時間は，静止慣性質量町が 示す半減期のちょうどy倍であった」 5，物理学はこれまで何を実証してきたか? 式 。2)に示されるように，一つの慣性系(観視府A) から一定速度vで移動していると観測される慣性系内に 静置されている時計(観視情Bの時計)は，それを観測 している観測者Aの時計とまったく同じテンポで時を刻 むことが示された. しかしながら，物理学の世界においては，観測措Aに 対して一定速度で移動している観測者Bの時計が，アイ ンシュタインの相対性理論(式。1))から予測される量 だけ実際に遅れていると説明される 4，8， 9， 10 その結果，式包2)が導く結論は，物理学の教えに反 することになる.このことについて説明しなければなら ない 本論によれば，観調情A (例えば，地上の観湖盾)に 対して一定速度vで移動する飛行機やロケット内の観測 者Bを取り巻く時閣及び空間，そして力判明象を観測 するには，すべて式(9)~ (12)で示される関係を通じ て行われる. その際，地上の観測者Aの時計

ι

それに対して一定 速度vで移動していると観測されている飛行税枠ロケッ ト内の観調暗Bの時計とは，まったく同じ速さで時を刻 むことが，本論の相矧生理論構築の前提剣牛である この前提条件の下で，例えば，新繭内の観浪渚Bに よって 1(8)間隔で発せられる光のパルスが，地上の観測 者Aにいかように観測されるのかについて，以下に具体 的に説明しよう このとき，地上の観測者Aは，式 (9)~ (12)で示さ れる関係を以て構築される移動座標系内の観説者

A

"

を 通じて，新珊内の観測者Bの世界を互いに静止した状 態で泊り，まったく同じ物理法員JIに員

u

って観測できる 式 。2) に基づき，地上の観祖謄 Aの時聞と移動座標 系内の観測者

A"

の時間には，次なる関係が成立してい る. t'=

品 倒

琉 球 大 学 工 学 部 紀 要 第75号.2014年 したがって，観視盾Bの時計が示す単位時間と同じ単 位時聞を以て，観測情

A

:

'

が，観測者Bの発する 1(0)間 隔の光のノ勺レスを測定すると，観測者

A

:

'

には当然なが ら1(0)間隔の光のパルス市灘測される.その時，式

ω)

もしくは式(28)の関係から，観源措 Aには， IXγ(0) 間 隔の光のノ勺レスが観測されることになる.このような観 測事実が，時間延長と呼ばれる. また，観測者Bの目前に静止している 2点 健 度 vの 方向に平行に位置する2点)聞の距離を，観測者 B と同 己単位長さを以て，観測者

A

:

'

が測定し，長さ Iρ と観測 したとする このとき，式(9)に基づき，観視情Aには それが， LOIγ の長さとなって〔短縮して)，観測される. このことの正しさは，

r

ー官財目対住理論における日食にお ける太陽の周りの光の屈折ですでに実証されている」と いう判断も与えられる 本論が，宜しいものと主張する相対性理論は，ある観 測者に対して一定速度で移動する観調l情と光や電磁波な どで通信を行えば，これらの聞には必ず，式(9)~ (12) に基づき，両者聞に式(22)で示される時間の遅れが生 じることを主張している 従来の物理学が教えるように地上の観調者Aの時計 に対して一定速度で移動している新

T

機やロケット内の 観測者Bの時計が，式。1) に基づいて，実際に短縮し ているのであれば，以下のような判断が与えられる. 地上の観調者A に対して一局車度vで移動していると 観測される新

7

機やロケット内の観測者Bの時計は，観 視府A の時計が示す単位時間 1(0) の1/γ倍の単位時 間に短縮しているので，観測者Bが単位時間間隔で発す る光のパルスを，地上の観測者Aは，自らの時計の指し 示す時聞を基に，単位時間間隔で発する光として観測す る.したって，観担者A及び Bそれぞれが有する時計の 指し示す時刻は，両者まったく同じとなる. しかしながら，観.1IlU'者Aと観置帰Bの持つ時計とには， 式 。1)に基づく単位時間の相違があるため，観視j者 A は，観測直を式(21)に基づいて変換し，観測者Bの発 する光のパルス間隔が， (観測者Aの時間に換算すると) 先に測定された値の1/γ倍の時間間隔で発せられたもの であることを知る. このように，アインシュタインの費帝釈にしたがう従来 の物理学による説明では，観視j者A と観置情 Bとの聞に 時間の相違があることは，式。1)を通じてのみ知るこ とになる.したがって，直主量的な観測値のみからは，星 の光の時間延長も観測されないこ在になる 出品:10副

K

国自宅 (1972)は，

4

台のセシウム原子時計 を飛行機に実装し，地上に静置した時計との差を以て， 費桁機で一定時間移動してきた時計の方が理論的に予測 される時間晦れと同程度にす苛もていたことを示し，

r

時計 の遅れの問題が実証された」と論じた これに対し， Kelly (2閣泊)は，出島10andK国血Eの実 験は，

.

r

何ら時計の遅れの問題を実証していなし、J

r

デー タを都合よく解釈しているIとする旨の異論を与えてい る. 出品10皿d K園出gの後，さらに詳しい実験が， Al1ey (1勿 坊 や V品副 (1抑9) らによって，たてつづけに行 われ"

r

アインシュタインの言う時間の遅れが正しいこと を実証した」旨が報じられた 10， 11 出 池 田

d

K!閣時らの実験では，新子開始直前と新

T

後にそれぞれの時計が指し示す時刻の比較が行われた これに対l..-， Al1可やV出国tらの実験では，新

7

物体内の 時計と地上の時計との時刻の差が通信のやり取りで比較 されている. 本論によれば，ある観測点と，それに対して一定速度 で移動している観測点との聞で，光や電磁波等を用いて 遥信を行えば，両者聞に必ず式 (22) に示す時間差が現 れる.したがって，助副e皿dKea血畠らの後に行われた 詳細な実験の多くは，

r

時計の遅れの問題白を実証したの ではなく，むしろ本論の示す式 (22) の正しさを示すも のであった，と判断されるー 次に， HaI晶10血dK国血gらが，地上に静置しであった 時計と，一定時間飛行してきた時計との時刻の直接的比 較を行ったとする実験結果の信ぴょう性について検討し てみよう. 地上に静置してあった時計が，実験の前後で1(0)聞を 要するものであったと仮定する.この時，

H

成10血d k副 ngの実験結果によれば，

.

r

飛行後の時計は，式。1) から宇醐リされるように町(0)の紐晶時聞を指示していた」 と述べていることになる. しかし，その主張は，時間の遅れに関する矛盾を含ん でいる.なぜなら，飛行している時計が地上に静置して いる時計よりも遅れているのであれば，緒子している時 許の刻む単位時聞は1/γ(0)である.また，実際に要し た観測時間は tXI/γ(のである.これらの時聞は，いず れも観視措Aの時計の単位時間によって表されている. したがって，稲子した時計が指し示す時刻の数値は， tと なっていなければならないすなわち，地主に残された 時計も飛行してきた時計もまったく同じ時刻の数値tを 指し示していなければならない. この点は，

s

帥 (1971)12及 び 原 因 。 叫 )13の主 張「それぞれの時計の単位時間よれば，両時計の指し示 す時刻は，まったく同じ数値である」の正しいことが示 される.しかし，本論による相対性理論の構築は，彼ら が拠った従来の理論とは異なることに注意が必要である. ここに示される時刻に関l..-，凪帥皿dK副理は，

r

両 時計聞に時刻の差が表れていたJと述べているのである から，自己矛盾を示していることになる. 飛

f

苛幾やロケットなどを用いた実験によって，

r

時間の 遅れに係る問題」を議論するためには，江湖子の前後で 両者の時計の指し示す時刻がまったく同じとなっている こと，(g澗

T

中に指し示す時刻を光や電磁波などを用い て比較するとき，両者聞に式。2) で示す時刻の遅れが 感知されていること，などが明らかにされなければなら ない， 以上のことより，これまで物理学で行われてきた高精 度の実験は，本論が示す (9)~ (12)，そして式 (22) 5

NAKAZA: A Key in the Galilean transform.ati叩 tosolve the T叫nParadox in回nstein's relati吋ty の正しさを証明するものであったと解釈することは可能 であるが，アインシュダインの主張する時間の遅れや， それに付随する双子のパラドックスを角鞍するものでは なかったと結論される 6 結論 アインシュタインの相対位謹論から派生された双子の パラドックスが，ついに紐解かれた.この問題解決に幾 多もの割臨者が現れてははかなく消えていったその解 決の鍵は，これまでの挑戦者が想定したローレンツ変換 後に展開される論理にあったのではなく，その前身とし て我々が何の疑いもなくこれまでに導入してきたガリレ イ変換にあった. ガリレイ変換を用いて相対論的力学を議論しようとす る我々の理解はこれまで誤っていた.その誤りは，その ままアインシュタインによって彼の相対性理論へと持ち 込まれることとなったー ガリレイ変換に対する我々の従来の解釈が誤っている ことに気づくことは，まさに“コロンブスの卵"といえ よう ガリレイ変換の修在を経て，アインシュタインが 導入したローレンツ変換が修正された.この時点で，双 子のパラドックスは解決された. ここで導入された新しい相対性理論の概念に従えば， アインシュタインの与えた特殊相対性理論の解釈を，正 す必要がある.ここで述べたこ止は，アインシュタイン の特殊:相対性理論に関することであるが，一般想定性理 論に対しても同様なことが言える.それらを論じること は蛇足かもしれないが，別の機会に触れたい 参考文献

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pp.629-647(1979).

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[13]原田稔相対性理論の矛盾を解く， NHKB叫 S， 初4p.，(羽例).