頻數曲線の變換について
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(2) 頻 数 曲 線 の変. 換 に つ い で. 小 河 原. 正. 巳(中. 央氣象壷調査課). (昭 和十 六年 九 月廿 五 日受 理). L緒. 論.或 は,種. る 量Xを. 観 測 測 定 した 値 κの 度 数,又 はXに. 々の 曲線 を當 嵌 め た り或 はCharlierの. 關聯 した 他 の 性 質Yの. 測 定 値 ンに. 級 数 な どで 近 似 して 偶 然 の 誤 差 を除 去 し,所 対して. 謂統計 的 な 法則 を解 析 的 に ツ=珂 ∫)な る 形 で表 現 す る こ とが 普 通 に 行 は れ る.こ の うち頻 度 分 布 と して 最 も基 本 的 で 又理 論的 に取 扱 易 い もの はGaussの Gaussの. 分 布 で はxは(一. 正 規 分 布 で あ ら う.. 。。,計 。。)の範 團 で 起 り得 るの で あ るが,實. 際に は測 定 値xの範囲. は制. 限 され て ゐ るの が 普 通 で あ る.例 へ ば 身 長 ・ 年齢・ 温度 ・ 質 量 な ど,大 抵の 場 合 に は ∫の範囲 は 左 に 有 界 な区 間(a,。 。)であ る.叉 曇 量 は(0,10)の. 間 で 測 定 し試 験 成績 の 許點 の区 間 は(O,100)な. が 普 通 で あ つ て,之 等 は 有 界 な区 間の 例 で あ る・ 從Pて 麺 例 はGaussの. ど. 分 布 は あ くま で 近 似 的 な. 意 味 を失 は ない. しか し一 般 に 観 測測 定の 結 果が 正 規 分 布 に な ら な い場 合 に もXを 縮 すれ ば,即. 測 る 物 指の 各部 分 を 適 當 に 伸. ち任 意の区 間(α,b)の変 数 ∫に 或 る 位 相 的変 換. を 施 す こ とに よつ て,ξ が(一 。。,。 。)に 於 て 近 似的 に正 規 分 布 に 從 ふ 様 に す る こ とが で きる と考へ られ る.逆 に 言 へ ぼ,正 規 曲 線'. .に(1ユ)な. る 饗 換 を した. を 實 験 公 式 と す る 方 法 も考 へ られ る.㍉ 頻 数 曲 線 の変換 從 ふ と き,こ. の 一 例 と して対数変換. れ を(0,。 。)に 於 け るx=eEの. す るCharlier級. ・‑e{1・9(・+r)‑1・9(・. .(一 。。,。 。)のzに 様 な 場 合 に も2ゐ. あ る.こ. 頻 数 函 数 に変換. 数 が人口 統 計 のGraduationな. 又R.A.Fisher{z'は1J・ して. ξ=logxが. れ はlogxそ. の もの が 正 規 分 布 に. す る もの で あ つ て,そ. ど に 用 ひ ら れ て ゐ る.̀1). 標 本 の 場 合 の 相 關 係 数 プの 有 義 性 を 判 定 す る た め に,所 一一r)}な変換ｗｐ. 位 相 的 に変 換 され て,標. れ を母函数 と. 用 ひ た.購. 謂Fisherのzと. こ れ に よ れ ば,EF・S(一. 一1,・)のrは. 本 の 数 が 少 い 場 合 に も叉 原 集 團 の 相 關 係 数 が ±1に. 頻 数 分 布 は 近 似 的 に 正 規 型 に な る こ と に 因 つ て,rの. 誤 差 をzの. 近い. 誤 差 と して 判 定. す る こ と が で き る. こ ゝで はFisherの変換. を 一 般 の 場 合 に拡 張 して,有. 限 な 区 間 に 於 け る 任 意 の 頻 数 分 布 をGauss. の 正 規 分 布 か ら 導 く こ と に 就 い、て 考 て へ 見 よ う. 2,変 換 式 の 一 般 形.区. 間(‑1,1)を(一. 。 。,。 。)に 位 相 的 に 移 す変 換 式 ∫①. は 一 般 に(‑1,1)に.
(3) 於 け る狭 義 の単 調増 加 函 数 で (2.1)f(‑1+0)==.一. 。・ ・f(1‑O)=ナ. で あ れ ば よ い.こ. れ に ∫(x)の 開 区 間 ←‑1,1)に. ・。. 於 け る 微 分 可 能 性 を 附 加 す れ ば(2.1)の. 他 に. (2.2)ノ7(x)≧0 な ら ば よ い こ と に な る.こ. ゝに 等 號 は 有 限 個 の 鐵 だ け で 許 さ れ る もの で あ る.從. つ て ∫'① は 次 の. 形 で これ を 表 は す こ と が で き る ・. こ ゝに. 何 と な れ ば(2.1),(2.2)か. 故 に(1‑x)ザ. ==(昌. 宅. ノ(x)=￠1(x)と お く と きql(1‑0)>0な. 蹴 とお け̀撫(跨. 存 在 す る.然. る 如 き 〃n≧0が. 鍔。 一 歩rd‑・+・)〉. る にq(x)=(1+x);'9・t(x)で. で 有 界 從 つ て 積 分 可 能 で あ る が,(2・1)が. >0,λ. 定 に よ れ ば,∫'(x)は(一. の 條 件 はx=1の. る λが 存 在 す る こ と で あ り,又x=‑1の. (2.51,(2.6)を満足. あ つ て,こ. の9"(x)が. 一 ・r†ε,1‑一ε)(但 し ε>0). 域 立 つ た め に は ノ,(x)の積 分 が(‑1,xD,(Xl,1)(但. 援 散 す る こ と が 必 要 十 分 で あ る.そ ≧1な. に(1+x)ザ'(x). ・,從 つ て ￠← 奔+・)〉・ な る 如 き ・ ・ ≧ ・が. あ る か ら9'(1‑0)=2"qi(1‑0)>0で. (2・5).を満 足 す る こ と は 明 か で あ る ・ さて 吾 々Q假. <x1<1)で. 存 在 す る.次. す る 頓 メ》 と(2.4)な. し 一1. 附 近 で は ∫'(X)>A(1‑‑x)‑x,A. 附 近 で も 同 じ こ と が 言 は れ る か ら,結. る ㎝,π に よ つ て ∫・(x)は(2.3)な. 局. る形 で 表 は され るの で b曹'. あ る.. 故に 吾 々の変 換 式 の 一 撃 形 は(2・2)を 積 分 す る こ とにｙと つ て 得 られ るの で あ る が ・ この 式 で9(x) は 有限個の點を 除 い て は 正 で(鋤. を満 足 す る もρ で あれば、全 く任意 の一価函数 で よい. ψω が. 零 とな る點 で は変換 され た 頻 数 曲線(1.3)tS零 とな り,こ の點 で 曲 線 が 分 睡 され る. t 吾 タは(2.3)に 於 け る 最 も簡単 な 次 の 様 な 場 合 を採 つ て 見 よ う.即 ち. とお け ば. とな り,之 に よつ て(12)か. ら 饗 換 され た 頻 教 曲線 は. 事. と な る ・ こ の変換 つ て(‑o◎,oo)の點. は(‑1,1)の點. を 射 影 的 に(0,。o)の點. に 移 す もの で あ つ て,所. 常数の決定 ・(2・8)1・. 於 て1・9・. 一勢. に 移 し,更 に(0,。 。)の點 を対数変. 謂FisherのZ変換 一 一1・9稽. 誓. 換 に よ. に 外 な ら な い. 一4と. お け ば,(2・8)1ま(1・2)1こ. 於 てm.
(4) =O,σ=1と. した. もの に 縫 換. を 施 し た も の と な り',(2・8)は. と な る.叉(1.2)に. 於 てmL‑logκ,σ=qと. に ょつ て(1.2)か. ら(3.2)が. こ とに よつ て 定 ま ろ.尚. 得 られ る.何. ⑨. さ て こ の κ(又 はP)とqの を 採 用 す ろ な ら ば,観. をMaximnmな. と'つ て お け ば. れ に して も変換. きれ た 頻 数 曲 線 は 常 数 κ とqを. に 於 て ・一ρ の と き ξ一・ とすれ ば ・一 毬. 決定す る. とな る ・. 値 を 與 へ ら れ た 観 測 値 か ら 定 め る た め に ・PaaximumLikelihood法. 測ffiXi(i=1,2,…,Ⅳ)に対して. こ のlo9κ. ら.しめ れ ば よい.. 及qの. 値 はx、 を(3.衿. で変換. した ξ、の 頻 数 分 布 をMaximumLikelihood法. で 近 似 した と き の11・1及 σ の 値 と 一 致 す る.即. ちMaximumLikelihoodは. で 〈1・2). この 饗 換 に よつ て 不 愛. で あ る こ と も分 る.・ 尚 實 用 的 に は次 の 様 な 方 法 も考 へ られ う.即 で あ る こ とか らPr.[x≦Pコ=Pr.[ξ A,Aをxiの. ≦0]=圭.故. 上 下 の 四 分 の 一 限 界 即 ちPr.[x≦. 夫 々 ξ=0.6745,ξ=‑0.6745に対応. これ 等 の 平 均 を以 てqと. ちx・=Pは. ξ=0に対応. にPをxtの. 中 央 値 に と る こ とが で き る ・ 次 に. 血],Pr・[x≦A]=曇. す る か ら(3.1>に. し ・ 又 吾 々の 癸 換 が 相 位 的. と す れ ば ・x=あ. よつ て. すれ ば. 観 測 値 に対応 す る ξ が 完 全 に 正 規 型 で あ る 場 合 に は,こ. ゝに 求 め たP,qは(3・3)・(3・4)か. め れ らる その値 と 一 致 する ・ こ の こ と は 先 づ ρ に つv・て は 明 か で あ る ・ 次 にqiこ (3.4)か ら 求 め ら れ る10gκ,qを 常 に(3.1')な. ・x=Pzは. る 關 係が あ るか ら. 夫 々m,σ. と す れ ぼ,Pr.[ξ. ≦ ξo]=Pr.[x≦Xiコ. ら求. つ い て も く3・3)・. な る'ξoと 絢 に は.
(5) 故 に こ の σ は(3.5)のqに さて変換. 等 しい、.. され た 頻数 曲 線(3.2)はP,aの. の 値 に対して. 第 一 圖 の様 に な る.こ. 二三. れ 等の 曲 線. の 何 れ に 於 て も1imy=1imy=0で. あ つ て,. 各 曲 線 は 互 ひ に 連続 的 に 他 に 移 り得 る もの で あ j5.例. へ ばP=O,4嵩2の. 如 き 曲 線 もx=±1. に 極 め て 近 い 所 で 極 大 に な る.之 は(32)か. 等の 極大極小. ら 直 ちに 分 る様 に,)rl,=1・&暑. な る 曲 線 と 砺=ゲ. 彗. 躍 な る 直 線 との 交點 に よつ. て 圖 計 算 で 求 め る こ とが で きる. '4 ・応用 例.昭 和16年3月 中央 氣象 台 附 島 氣 象 技 術 官 養 成 所 入 學 試 験 の 東 京 に 於 け る受 験 者114名 の 成 績 は次 の 表の 通 りであ つ た.各 課 目の 頻 数分 布 は 第 二 圖の 細 線 に 見 る 様 に,そ の 大體 の 趨 勢 は.
(6) 物 理 と 化 學 が 棚 以て ゐ る 外 夫 々 異 つ た 型 を 示 して ゐ る. 今 受 験者 の 眞 學 力 は 實 数 ξ を 以 て 測 定 し得 る もの で,受 験 者 の 集 團 及 試 験 課 目 に 從 つ て,原點 測 定 の単位. を 適 當 に と る な ら ば ・ ξの頻数. と 假 定 す る と,眞学. 力の 評価點. は,試. 換 した もの と 考 へ る こ とが で き よ う.斯様. 分 布 はGaussの. 正 規曲線. η一. ,. に從 ふ もの. 験 問 題 に よ つ て ξ を 或 る 有 限 な区 間(‑1,1)に な変 換 式 と して,上. と. 位 相 的に変. に 述べ た 最 も簡単 な 場 合 即 ち(3.1). を 採 用 し て 見 よ う. ・ 上 の 表 に 於 て點数 の 全区間(0. ,100)を(‑1,1)に. と り,中. 央 値 をPと. し,qを(35)で. 計 算 すれ. ば カ,σの 値 は 次 の 様 に な る.. こ れ に対応. す る 曲 線 が 第2圖. の 太 線 で あ る.こ. れ に対してPearsonのZ2験. 査 を 行へ ば. とな り,数 學 と作 文 は 梢 悪 い が 實 際 との 差 は 大 禮 に 於 て 小 標 本 に 因 る誤 差 の 影 響 と看倣 す こ とが で き よ う.. 尚 この 場 合 に 於い て 常 数P,qの の 片寄 りを 表は し,又qが. 演 ず る役 割は(3.2)か ら も明か な様 に,Pの. 大 小 は 曲 線の 右 左 へ. 大 きい 課 目で は満點 に 近 い 者 或 は 零點 に 近 い 者 が 可成 あ り得 るが,qの. 小 さい 課 口 で は 反対 こ両端 は 低 く 中程 に 山が で きる.從 つ て この 例の 如 き問題 に 於て は,ρ で受 験 苦 に蜀 す る 試 験 問 題 の 相対 的 な 難 易 を測 り,qの. 大 小 で 問 題 の 相対 的 常 識 性 と で も言 ふ べ き もの ゝ.
(7) 少い 多い を 測 る こ と が で き よ う. 5.補. 遺,吾. 々 は(2.3)に属. す る 最 も簡単 な 一 つ の変 換 式 に つ い て 述 べ たの で あ る が,前. の 例め. 如 き 問 題 で は 大 髄 之 で も 間 に 合 ふ 様 に 思 は れ る. 有 限 区 間 と い ふ點 を 固 執 してPearson型 あ る が,何. れ に して もPearsonの. のmomentま. の 曲 線 を 選 ぶ な ら ばTypeI,Ⅱ,ⅥII,rX,XII等. こ3}で. 曲 線 も凹 凸 の點 か ら 見 れ ば 矢 張 り単純 な もの で あ る か ら,pg次. で 考 慮 す る 割 合 に 適 合 度 が 著 し く よL・と は 考 へ ら れ ない. 例 へ ば 前 の 例 の 英 語 にPearson型 I曲 線 のJ字. 型 に属 す る.即. の 曲 線 を 當 嵌 め て 見 る な ら ば β,=O・76,・ β・=2.65と. な り,Type. ち そ の 頻数 曲 線 は. ノ. と な る.又. 之 をPoison℃harlier級. が 得 ら れ る.こ. 数 で 近 似 すれ ば. ゝに. で あ つ て,又d1ip〈t)はth(t)の. 二次の 階差即ち. で あ る. 今(32)に. よ るyと(5.1)に. よ るyi,及(5.2)に. よ るy。 と を 比 較 す れ ば. こMτ.v,,と の 比 較 に 於 て は 区 間 の 分 割 が変 つ た た めleyの 適 合 度 の検 査 の 結 果 は 稽 悪 くな つ た. こ の 一 例 で は 茜,は 一 番 悪 くな つ て ゐ るが,こ れ に よ つ て も適 合 度の點 では 何 れ も大 差 が な い様 に 思 はれ る.● 標 本 の 数 が 多 く,し か もその 頻 数分 布が単純 な 型 を 示 して ゐ な い 様 な もの に 劉 して は,そ れ に封 慮 す る 複 雑 な 曲 線 で 近 似 す る必 要 が 起 る ・ その 爲 めに は,変 換 式 を 更 に 常 数 の 多 い もの に とろ か, す る元 の 曲 線 を もつ と一 般的 な もの に とつ て お くか,或 は 叉,変 換 され た(3.2)の. 如 き 函 数変換 を.
(8) 母 函 数 と す るcharlier型 momentの. 級 数 等 で 近 似 す る とい 一1ふ様 な 方 法 も 考 へ られ ろ.但. し,最. 後の 方 法 で は. 計 算 が 複 雑 に な る か も 知 れ な い. 、. 今(2.3)を. 比 較 的簡単 な 函 数 に とつ て 得 られ る二 三 の変換 式 を 學 げれ ば. 要 す る に,同 種 の 観 測 か ら得 られ る頻 度 曲線 を,一 定 の基 本 曲 線 か ら饗 換 し,そ の 婆 換 式 の補 助 の値 で それ を特 徴 づ け,比 較 す る こ と もで き る様 に思 はれ る.又 逆 に,一 般 の曲 線 を正 規 曲線 変数 ic変換 して 論 ず れ ば,そ の解 訴 的 取 扱 ひ が 便 利 に な る,変換 式 〔3.1)の場合 に は(3.3),(3.4)を 補助 墾 数 とす る正 規分 布 を考 へ れ ば よい.. 最 後 に,こ の 小 論 を 草 す るに 當 り,北 川 博士 並 に堆 山 元 三郎 氏 に 多 大 の 御 教 示 を賜 つ た こ と を蝕 に記 して 謝 意 を表 した い.. 証 (1). A. Fisher. I. the. (3)成. :. R. A. Fisher. The :. theory. 實 清 樫:敷. mathematical. theory. Statistical. methods. of. samples,. small. of probabilities,. for research Annals. 理 統 計 學,岩 波 講 座,30頁. of. 参 照.. Vol. I, 1936 Chap.. workers, Math.. Vol.. 6th ed. 200W, 31.. No.. 4,. XVI 参 照.. P. R. Rider : A survey. 1930,. 589 頁.. of.
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Kyushu University Institutional Repository..
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Institute for Political Science, Kyushu University
