平成２０年度 大阪府立大学 1.

平成２０年度　大阪府立大学

1.

　

(1)

　

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

x + 1 x + 2 − 2 x + 3 3 x + 4 x − 4 x + 5

0 x + 1 0 5

0 − 4 0 x − 8

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

（第１列を第３列に加える）

=

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

x + 1 x + 2 x − 1 x + 3 3 x + 4 x − 1 x + 5

0 x + 1 0 5

0 − 4 0 x − 8

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

（第２行から第１行を引く）

=

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

x + 1 x + 2 x − 1 x + 3

− x + 2 2 0 2

0 x + 1 0 5

0 − 4 0 x − 8

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

= (x − 1)

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

− x + 2 2 2

0 x + 1 5

0 − 4 x − 8

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

= (x − 1)( − x + 2)

¯ ¯

¯ ¯

¯

x + 1 5

− 4 x − 8

¯ ¯

¯ ¯

¯ = (x − 1)( − x + 2) { (x + 1)(x − 8) + 20 }

= (x − 1)( − x + 2)(x

²

− 7x + 12) = (x − 1)( − x + 2)(x − 3)(x − 4)．

(x − 1)( − x + 2)(x − 3)(x − 4) = 0

とおくと，

x = 1, 2, 3, 4

．

(2)

　行列

| A | =

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

a 0 a 1 a 0 1 1 a

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

= a

³

+ a − a

²

= a(a

²

− a + 1)．

a

²

− a + 1 =

³ a − 1

2

´

2

+ 3

4 > 0

だから，

a 6 = 0

なら，

| A | 6 = 0

． よって，

a 6 = 0

なら逆行列が存在する．

A

⁻¹

= 1

| A |

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎝

¯ ¯

¯ ¯

¯ a 0 1 a

¯ ¯

¯ ¯

¯ −

¯ ¯

¯ ¯

¯ 0 a 1 a

¯ ¯

¯ ¯

¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ 0 a a 0

¯ ¯

¯ ¯

¯

−

¯ ¯

¯ ¯

¯ 1 0 1 a

¯ ¯

¯ ¯

¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ a a 1 a

¯ ¯

¯ ¯

¯ −

¯ ¯

¯ ¯

¯ a a 1 0

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯ 1 a 1 1

¯ ¯

¯ ¯

¯ −

¯ ¯

¯ ¯

¯ a 0 1 1

¯ ¯

¯ ¯

¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ a 0 1 a

¯ ¯

¯ ¯

¯

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎠

= 1

a(a

²

− a + 1)

⎛

⎜ ⎝

a

²

a − a

²

− a a

²

− a a 1 − a − a a

²

⎞

⎟ ⎠

．

2.

　

(1) y

x = u

とおくと，

y = xu, y

⁰

= u + xu

⁰． これらを与式に代入して，u

+ xu

⁰

= 1 + 3u.

1

xu

⁰

= 1 + 2u

　から，

Z du

1 + 2u = Z dx

x .

log(1 + 2u) = log x + C

より，

1 + 2u = Cx, 1 + 2y x = Cx

　∴　

x + 2y = Cx

²または

y = − x

2 + Cx

²．

(2)

　

d

²

y

dx

²

− 2 dy

dx + y = 1

2 x

²

+ x + e

^x

の特性方程式

t

²

− 2t + 1 = (t − 1)

²

= 0

より，

t = 1

（２重解）．

よって，与式の同次微分方程式の一般解

y

₁は

y

₁

= e

^x

(C

₁

x + C

₂

)．

　与式の特殊解を

η

とおいて，山辺の方法より，

1 D

²

− 2D + 1

³ 1 2 x

²

+x

´

= x

²

2 +3x+5

， また，演算子法より，

1

D

²

− 2D + 1 e

^x

= 1

(D − 1)

²

e

^x

= e

^x

1

D

²

1 = x

²

2 e

^x から，

η = x

²

2 + 3x + 5 + x

²

2 e

^x．

∴　与式の一般解

y

は，

y = y

₁

+η = e

^x

(C

₁

x+C

₂

) + 1

2 x

²

+ 3x+ 5 + x

²

2 e

^x

= e

^x

³ 1

2 x

²

+C

₁

x+C

₂

´ + x

²

2 + 3x+ 5．

(

別解：

η = ax

²

+ bx + c + dx

²

e

^xとおいて

a, b, c, d

を求めてもよい）

3.

　

(1)

　

z

³

= 8i

より，

z = r(cos θ + i sin θ)

とおくと，

z

³

= r

³

(cos 3θ + i sin 3θ) z

³

= 8i = 2

³

{ cos(

¹₂

+ 2k)π + i sin(

¹₂

+ 2k)π }

よって，

r = 2, θ = (

¹₂

+ 2k)π

3 (k = 0, 1, 2)

． したがって，

z = 2

³

cos (1 + 4k)π

6 + i sin (1 + 4k)π 6

´

に

k = 0, 1, 2

を代入して，

z = √

3 + i, − √

3 + i, − 2i

．

(2)

　

z = e

^iθ

(0 ≤ θ ≤ 2π)

で表される単位円を積分路

C

とするとき，

cos θ = e

^iθ

+ e

^−iθ

2 = 1

2

³ z + 1

z

´

，

dz = ie

^iθ

dθ = izdθ

であること用いて，

Z

2π 0

1

2 − cos θ dθ = Z

C

1 2 −

¹2

³

z +

¹_z

´ dz iz = − 2

i Z

C

1

z

²

− 4z + 1 dz = 2i Z

C

dz z

²

− 4z + 1

= 2i Z

C

1 (z − (2 − √

3))(z − (2 + √ 3)) dz.

z = 2 − √

3

は単位円の内部にある．コーシーの積分表示を用いて，

2i Z

C

1 (z − (2 − √

3))(z − (2 + √

3)) dz = 2πi(2i) 1 (2 − √

3) − (2 + √ 3)

= 2πi(2i) 1

− 2 √ 3 = 2π

√ 3

． 　∴　

Z

2π 0

1

2 − cos θ dθ = 2π

√ 3

．

2