1 連立方程式

1 ^{連立方程式}

1.1 １次式の場合

演習問題1.1.1 次の連立方程式を満たす(x, y)を全て求めて下さい：





2x+ 2y−2 = 0 2x+ 4y−2 = 0

第１式から第２式を引けば明らかにy= 0である事が分かりますので、これを戻せば 2x−2 = 0すなわちx= 1が得られます。

以上により解は(1,0)のみである事が分かりました。

演習問題1.1.2 





2x+ 4y = 0 4x−16y= 0

第１式を両辺２倍してから第２式と辺々引けば直ちにy= 0が分かりますので、結局 xも0になってしまいます。つまり解は(0,0)のみである事が分かりました。

演習問題1.1.3 





x+y+ 3 = 0 x+ 2y+ 2 = 0

これは簡単に解けて(x, y) = (−4,1)です。

演習問題1.1.4 





2x−y−4 = 0 x−2y+ 1 = 0

これは簡単に解けて(x, y) = (3,2)です。

演習問題1.1.5 





2x+y−2 = 0 x+ 2y+ 2 = 0

これは簡単に解けて(x, y) = (2,−2)です。

演習問題1.1.6 





4x+y−2 = 0 x+ 2y+ 3 = 0

これは簡単に解けて(x, y) = (1,−2)です。

演習問題1.1.7 





x+y−1 = 0 x+ 2y−1 = 0

これは簡単に解けて(x, y) = (1,0)です。

演習問題1.1.8 





2x−y= 0

−x+ 2y= 0

解は(x, y) = (0,0)のみです。

演習問題1.1.9 





2x+ 2αy= 0 2αx+ 2y= 0

解はα²6= 1によれば(x, y) = (0,0)のみです。

1.2 １次式でないが割と簡単な場合

演習問題1.2.1 





3x²−10x+ 8 = 0 2y+ 2 = 0

第１式は(3x−4)(x−2) = 0ですから明らかにx= ⁴₃またはx= 2ですし、第２式 からは直ちにy =−1である事が分かりますので、解は２点(⁴₃,−1),(2,−1)である事 が分かりました。

演習問題1.2.2 





x²−y= 0 y²−x= 0

第１式からy=x²なのでこれを第２式に代入すれば 0 =x⁴−x=x(x³−1)

となり、x= 0,1が得られます（このときy= 0,1です）。従って解は(0,0),(1,1)の２ 点です。

演習問題1.2.3 





x²−2y= 0 y²−2x= 0

第１式からy= ¹₂x²なのでこれを第２式に代入すれば 0 = 1

4x⁴−2x= 1

4x(x³−8)

となり、x= 0,2が得られます（このときy= 0,2です）。従って解は(0,0),(2,2)の２ 点です。

演習問題1.2.4 





x²−3y= 0 y²−3x= 0

第１式からx⁴= 9y²なのでこれに第２式を代入すれば 0 =x⁴−9y²=x⁴−27x=x(x³−27)

となり、x= 0,3が得られます（このときy= 0,3です）。従って解は(0,0),(3,3)の２ 点です。

演習問題1.2.5 





x²+y= 0 y²+x= 0

第１式からy=−x²なのでこれを第２式に代入すれば 0 =x⁴+x=x(x³+ 1)

となり、x= 0,−1が得られます（このときy= 0,−1です）。従って解は(0,0),(−1,−1) の２点です。

演習問題1.2.6 





2x²−y= 0 y²−4x= 0

第１式からy= 2x²なのでこれを第２式に代入すれば 0 = 4x⁴−4x= 4x(x³−1)

となり、x= 0,1が得られます（このときy= 0,2です）。従って解は(0,0),(1,2)の２ 点です。

演習問題1.2.7 





x−y= 0 y²−x= 0

これは簡単に解けて(x, y) = (0,0),(1,1)です。

演習問題1.2.8 





3x²+ 3y²−3 = 0 6xy= 0

解は(0,±1),(±1,0)（複号同順でない）の４点です。

演習問題1.2.9 





3x²+ 3y²−6 = 0 6xy= 0

解は(0,±√ 2),(±√

2,0)（複号同順でない）の４点です。

演習問題1.2.10 





x²−4y= 0 x−y= 0

第２式からx=yですのでこれを第１式に代入すればx= 0,4が得られます。従って 解は２点(0,0),(4,4)です。

演習問題1.2.11 





x−y= 0 y²−x= 0

第１式からx=yですのでこれを第２式に代入すればx= 0,1が得られます。従って 解は２点(0,0),(1,1)です。

演習問題1.2.12 





x²−2x= 0 y= 0

これは簡単に解けて解は２点(0,0),(2,0)です。

演習問題1.2.13 





y−x²+ 2x−1 = 0 y+x−3 = 0

第２式からy= 3−xですからこれを第１式に代入すれば

0 = 3−x−x²+ 2x−1 =−x²+x+ 2 =−(x−2)(x+ 1)

が分かり、x= 2,−1です。このときy= 1,4ですから解は２点(2,1),(−1,4)です。

演習問題1.2.14 





3x²+y²= 1 xy= 0

第２式からx= 0またはy= 0である。

x= 0のときは第１式からy =±1となり、また、y = 0の時は同様に第１式から x=±^√1₃ となるので、結局この連立方程式の解は(x, y) = (±^√1₃,0),(0,±1)の４点で ある事が分かる。

演習問題1.2.15 





2x−4 = 0 4y³−16y= 0

解は(x, y) = (2,0),(2,±2)の３点です。

演習問題1.2.16 





2x³−y−x= 0 x−y= 0

第２式からx=yですのでこれを第１式に代入して 0 = 2x³−2x= 2x(x²−1) から(x, y) = (0,0),(±1,±1)の３点（複号同順）です。

演習問題1.2.17





4x³(x−2)²+ 2x⁴(x−2) = 2x³(x−2)(3x−4) = 0 2y= 0

解は(x, y) = (0,0),(2,0),°₄

3,0¢の３点です。

演習問題1.2.18 





x³−y= 0 y³−x= 0

対称性から考えてx=yであるかそうでないかで分類して考えます。

まずx=yの時は２式は同じ式x(x²−1) = 0であり、解はx=y= 0,±1です。

x6=yの時は辺々引いた式から

0 =x³−y³+x−y

= (x−y)(x²+xy+y²+ 1) 0 =x²+xy+y²+ 1

が得られますからここに第１式から得られるy=x³を代入すれば 0 =x²+x⁴+x⁶+ 1

となってこれを満たす実数xは存在しません。

以上から解は３点(0,0),(1,1),(−1,−1)です。

演習問題1.2.19 





1−2x²= 0 xy= 0

第１式からx=±^√1₂であり、従って第２式からy= 0となり、結局この連立方程式 の解は(x, y) = (±^√1₂,0)の２点である事が分かります。

演習問題1.2.20 





x²+ 2x+y²= 0 y= 0

これは簡単に解けて(x, y) = (0,0),(−2,0)の２点です。

1.3 ちょっと難しい場合

演習問題1.3.1 





x(2x+y) = 0 x²−y²+ 3 = 0

第１式からx= 0またはy=−2xであることがわかります。

x= 0の時は第２式からy=±√

3となり、またy=−2xの時は同様に第２式から x²−4x²+ 3 =0

x²=1 すなわち x=±1 となるので、結局この連立方程式の解は(x, y) = (0,±√

3),(±1,∓2)の４点です（複号 同順）。

演習問題1.3.2 





3x²+ 4xy−y²−4y= 0 2x²−2xy−4x= 0

第２式から2x(x−y−2) = 0となるのでx= 0またはx−y= 2です。

x= 0のときは第１式からy(y+ 4) = 0すなわちy= 0,−4となり、また、x−y= 2 の時は同様に第１式から

3x²+ 4x(x−2)−(x−2)²−4(x−2) =0 6x²−8x+ 4 =0 となりますが、この２次方程式の判別式は負：

64−4·6·4 =−32<0 なので実数解はない事が分かります。

従って、結局この連立方程式の解は(x, y) = (0,0),(0,−4)の２点である事が分かり ました。

演習問題1.3.3 





x²−2xy+y²−1 = 0 x²−2xy= 0

第２式の形からx= 0のときを考えれば第１式からy=±1が得られます。

またx 6= 0の場合は第２式からx = 2yですからこれを第１式に代入して同様に y=±1が得られます。

以上から解は(0,±1),(±2,±1)の４点です（それぞれの括弧内で複号同順）。

演習問題1.3.4 





2xy+ 2x−y= 0 x²−x+ 3y= 0

まず第２式から3y=x−x²ですから、これを第１式を３倍したものに代入すれば 0 = 2x(x−x²) + 6x−(x−x²)

=−2x³+ 3x²+ 5x 0 =x(2x²−3x−5)

=x(2x−5)(x+ 1)

となりますので、x= 0,⁵₂,−1が分かり、それぞれの場合にyは0,−⁵4,−²3となります。

以上から解は(0,0),°₅

2,−⁵₄¢ ,°

−1,−²₃¢

の３点です。

演習問題1.3.5 





x²+xy−y²−x= 0 x²−4xy+ 3y²= 0

第１式の３倍と第２式を辺々加えれば

0 = 3x²+ 3xy−3y²−3x+x²−4xy+ 3y²= 4x²−xy−3x=x(4x−y−3)

ですので、x= 0であるかどうかで場合分けしてみましょう。

x= 0の時は２式は共にy²= 0となりますからy= 0を得ます。

x6= 0の時はy= 4x−3ですから、これを第１式に代入すれば

0 =x²+x(4x−3)−(4x−3)²−x=−11x²+ 20x−9 =−(11x−9)(x−1) が得られ、x= ₁₁⁹,1である事が分かります。それぞれの場合yは ³

11,1です。以上から 解は３点(0,0),°₉

11,₁₁³¢

,(1,1)です。

演習問題1.3.6 





y(2x+y) = 0

x²+ 2xy+ 3y²−1 = 0

まず第１式の形からy= 0かどうかで場合分けします。

y= 0のときは第２式はx²−1 = 0ですからx=±1が分かります。

y6= 0のときは第１式からy=−2xですからこれを第２式に代入して 0 =x²−4x²+ 12x²−1 = 9x²−1

ですからx=±¹3 です。

以上から解は(±1,0),°

±¹₃,∓²₃¢

の４点です（複号同順）。

演習問題1.3.7 





(x+y)²−4y= 0 (x+y)²−4x= 0

２式から明らかにx=yですから、これを代入すると２式は同じ式0 = 4x²−4x= 4x(x−1)になり、解は２点(0,0),(1,1)であることが分かります。

演習問題1.3.8 





x(1−3y) = 0 x²−y²= 0

これは簡単に解けて解は(0,0),°

±¹3,¹₃¢の３点です。

演習問題1.3.9 





x−3 +y²= 0 y(x+ 1) = 0

y= 0の時には第１式からx= 3であり、y 6= 0の時には第２式からx=−1なので これを第１式に代入してy=±2が得られます。従って解は３点(3,0),(−1,±2)です。

演習問題1.3.10 





y(3−2x−y) = 0 x(3−x−2y) = 0

y= 0の時は第２式から

0 =x(3−x) = 0

となってx= 0,3であり、y 6= 0の時は第１式からy= 3−2xなのでこれを第２式に 代入して

x(3−x−6 + 4x) =x(−3 + 3x) = 3x(x−1) です。従ってx= 0,1でありそれぞれの場合にy= 3,1となります。

以上から解は４点(0,0),(3,0),(0,3),(1,1)です。

演習問題1.3.11 





y(2x+y−1) = 0 x(x+ 2y−1) = 0

y= 0の時は第２式から

0 =x(x−1) = 0

となってx= 0,1であり、y6= 0の時は第１式からy = 1−2xなのでこれを第２式に 代入して

x(x+ 2−4x−1) =x(1−3x)

です。従ってx= 0,¹₃でありそれぞれの場合にy= 1,¹₃となります。

以上から解は４点(0,0),(1,0),(0,1),°₁

3,¹₃¢です。

演習問題1.3.12 





2y(x+y−3) = 0 x(x+ 4y−6) = 0

第１式からy= 0またはy=−x+ 3です。

y= 0の時は第２式からx= 0,6となり、またy=−x+ 3の時は同様に第２式から x(−3x+ 6) =0

となるのでx= 0,2が分かり、結局この連立方程式の解は (x, y) = (0,0),(6,0), (0,3),(2,1) の４点である事が分かります。

演習問題1.3.13 





x³−2(x−y) = 0 y³+ 2(x−y) = 0

辺々足せばx³+y³= 0であり、x=−yが分かりますからこれを第１式に戻すと

0 =x³−4x=x(x²−4)

となってx= 0,±2が分かります。つまり解は(0,0),(2,−2),(−2,2)です。

演習問題1.3.14 





4x(x²+y²−1) = 0 4y(x²+y²+ 1) = 0

まず第２式からy = 0でありこれを第１式に代入するとx(x²−1) = 0すなわち x= 0,±1 となりますので、結局この連立方程式の解は(x, y) = (0,0),(±1,0)の３点 である事が分かります。

演習問題1.3.15 





y(3x²+y²−1) = 0 x(x²+ 3y²−1) = 0

まずx= 0の時は第２式は満たされていますので第１式を見るとy(y²−1) = 0です からy= 0,±1です。

また、x6= 0の時は第２式からx²= 1−3y²ですからこれを第１式に代入すれば

0 =y(3−9y²+y²−1) =y(2−8y²) = 2y(1−4y²)

が得られ、y= 0,±¹₂です。このときxはそれぞれx=±1,±¹₂です（複号同順でない）。

従って解は(0,0),(0,±1),(±1,0),°

±¹₂,±¹₂¢

の９点です。

演習問題1.3.16 





x(x²+ 3y²) = 0 y(3x²+y²−3) = 0

まず第１式からx= 0ですのでこれを第２式に代入して 0 =y(y²−3)

が得られますので解は(0,0),(0,±√

3)の３点です。

演習問題1.3.17 





2x(1−x²−2y²) = 0 2y(2−x²−2y²) = 0

第１式からx = 0またはx²+ 2y² = 1となるので、x = 0の時には第２式から y(1−y²) = 0すなわちy = 0,±1となる事が分かります。一方、x²+ 2y² = 1の時に も同様に第２式からy = 0が分かります（このときxは±1）。従って、結局この連立 方程式の解は(x, y) = (0,0),(0,±1),(±1,0)の５点です。

演習問題1.3.18 





2x(a−ax²−by²) = 0 2y(b−ax²−by²) = 0

第１式からx = 0またはax²+by² = aとなるので、x = 0の時には第２式から y(b−by²) = 0すなわちy = 0,±1となる事が分かります。一方、ax²+by²=aの時 にも同様に第２式からy= 0が分かります（このときxは±1）。従って、結局この連 立方程式の解は(x, y) = (0,0), (0,±1),(±1,0)の５点です。

演習問題1.3.19 





logy= 0 logx= 0

これは簡単に解けて(x, y) = (1,1)のみです。

演習問題1.3.20 





2x−siny= 0 cosy(2 siny−x) = 0

第２式から見て場合分けをして考えます。

y= ^π₂ +nπのとき、cosy= 0であり第２式は満たされますが、第１式から

x=1 2sin≥π

2 +nπ¥

=





1

2 nが偶数のとき

−¹2 nが奇数のとき が分かります。従ってまずこの場合の解として

(x, y) = µ1

2,π 2 + 2nπ

∂ ,

µ

−1 2,π

2 + (2n+ 1)π

∂

(n= 0,±1,±2, . . .) が得られます。

また、y6=^π₂ +nπのときは、第２式からx= 2 sinyですからこれを第１式に代入し てsiny= 0が得られます。このときx= 0でもあります。従ってこの場合の解として

(x, y) = (0, nπ) (n= 0,±1,±2, . . .) が得られます。

演習問題1.3.21 

















yz= 2wx zx= 4wy xy= 6wz

x²+ 2y²+ 3z²= 6

第１、２、３式を辺々掛ければ(xyz)²= 48w³xyzとなり、これはxyz(xyz−48w³) = 0 と因数分解されますから場合分けが生じます。

【x= 0の場合】この場合、第１式からyかzのいずれかも0ですが、第３式によれ ば(0,0,±√

2)、(0,±√

3,0)が解となります。

【x 6= 0の場合】もしも y = 0 であれば第２式からz = 0となり、第４式から (±√

6,0,0)が解です。また、y6= 0であれば第３式からw, z共に0ではあり得ず、先 に求めた式からxyz= 48w³が得られます。

すると第１式の両辺にxを掛ければ48w³ = 2wx²すなわち24w² =x²が得られま す。同様に第２、３式から12w²=y²,8w²=z²が得られ、これらを第４式に代入すれ ば24w²+ 24w²+ 24w²= 6すなわちw²= ₁₂¹ が分かります。

これを戻せばx²= 2, y²= 1, z²= ²₃ が分かります。従って≥

±√

2,±1,± q2

3

¥が得 られますが、これらは全て（適当なwの下で）連立方程式を満たしています。

以上から極値の候補点は (0,0,±√

2),(0,±√

3,0),(±√ 6,0,0),

√

±√

2,±1,± r2

3

!

です（複号同順でない）。

演習問題1.3.22 









2x+y= 2zx x= 2zy x²+y²= 4

第２式を第１式に代入すれば

4zy+y= 4z²y すなわち y(4z²−4z−1) = 0

ですが、y= 0のとき第２式からx= 0であり第３式と矛盾します。y6= 0のときは 0 = 4z²−4z−1 = (2z−1)²−2

からz= ^1±₂^√2が分かり、第２式からx= (1±√

2)yなのでこれを第３式に代入して (4±2√

2)y²= 4 すなわち y²= 2 2±√

2 = 2∓√ 2 よりy=±p

2∓√

2が得られます。従って４点の解が見つかりました（複号同順）： µ

±(1 +√ 2)

q 2−√

2,± q

2−√ 2

∂ ,

µ

±(1−√ 2)

q 2 +√

2,± q

2 +√ 2

∂ .

演習問題1.3.23 









1 =z(2x−4) 2 =z(4y−4)

x²−4x+ 2y²−4y+ 3 = 0

第１式からx−2 = _2z¹、第２式からy−1 = _2z¹ です。しかも第３式は (x−2)²+ 2(y−1)²−3 = 0

と変形されますから 1

4z² + 2 1

4z² −3 = 0

4z²= 1 すなわち z=±1 2 が分かります。従って２つの解(x, y) = (3,2),(1,0)が得られます。

演習問題1.3.24 









2v=p(2v+w) 2w=p(v+ 2w) v²+vw+w²= 1

第１、２式を辺々加えれば2(v+w) = 3p(v+w)となりますので、3p= 2であるか どうかで分類して考えます。

3p = 2の時は第１、２式共にv =wとなりますから、これを第３式に代入すれば v=w=±^√1₃が得られます。

3p 6= 2 の時はv +w = 0ですから、w = −vとしてこれを第３式に代入すれば v=±1, w=∓1が得られます（複号同順）。

以上から極値の候補点は４点≥

√1 3,√¹

3

¥,≥

−^√1₃,−^√1₃¥

,(1,−1),(−1,1) です。

演習問題1.3.25 









6x+ 2√

3y= 2zx 2√

3x+ 2y= 2zy x²+y²= 4