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大日本図書版　算数 6 年

対称な図形

11

 

23

 

32

   

180，

あ （ い ）， い （ あ ）

11

本 

21

本 

32

本 

44

本

線対称な図形… い ， う 点対称な図形… あ ， え 線対称な形…Ａ，Ｈ，Ｔ 点対称な形…Ｈ，Ｎ，Ｚ

対

たい

称

しょう

の軸

^じく

は下の図のようになります。

1

    

2

     

3

      

4

 

対称の軸や対称の中心は，下の図のようになります。

あ は平行四辺形であることに注意しましょう。

あ      い       う       え  

Ｈは線対称な形でもあるし，点対称な形でもありま す。

1

本の直線で折れるから線対称，1 つの点を中心に回して重なるから点対称だよ。

2

ＡＦ 

3

Ｃ，93   

1

ＢＨ，2  

2

垂

^すい

直

^ちょく

垂直

1

2

頂

^ちょう

点

^てん

Ｈ 

3

辺ＡＩ 

4

角Ｇ

線対称な図形を，対称の軸で折ったとき，重なり合 う点，辺，角を，それぞれ対応する点，対応する辺，

対応する角といいます。

1

2 ^ページ

1 2

3 ^ページ

1

1

つの方向だけではなく，いろい ろな方向から対称の軸がないかを確認させてください。

2

3

1

2

3

4 ^ページ

1 2

3

ア

A B

C イ

5 ^ページ

1 A

B C D

E F

G H

Ⅰ

1

1

辺ＢＣ…3

cm 3

　直線ＣＥ…4.4

cm 260&

1 2

3

1 2

1

頂

^ちょう

点

^てん

Ｃと頂点Ｅは対応する点だから，直線ＣＥと 対

たい

称

しょう

の軸

^じく

とが交わる点からＣ，Ｅまでの長さは等 しくなっています。だから，2.2*2=4.4

3

点Ｈから，対称の軸に垂直な直線をひき，辺ＦＥ

と交わる点を求めます。

1

対称の軸までの方眼の数 が同じになるように，対応 する点をとります。

2

次の手順で図をかきます。

 

1

 

2

     

1

Ｅ　

2

ＦＧ　

3

Ｈ

1

Ｃ，Ｄ

2

対称の中心

ＢＯ（ＯＢ）

1

頂点Ｆ

2

辺ＤＥ

3

角Ａ

1 2

点対称な図形を，対称の中心のまわりに

180&

回 したとき，重なり合う点，辺，角を，それぞれ対応 する点，対応する辺，対応する角といいます。

対応する点を結ぶ直線を2 本ひいたとき，交わった 点が対称の中心です。また，点Ａと対称の中心を通 る直線をひいたとき，その直線と図形とが交わった 点が点Ａに対応する点です。

2 A

B

C D

E F

G

H 3cm

2.2cm

2.3cm 60°

3

_ア

イ

ア

イ

ア イ

4

ア

イ

ア

イ

線対称な図形をかいたら，対応 する点を結ぶ直線が対称の軸に垂直になることを確認しよう。

2

5 5

1 1

ア

イ

3

4

ア

イ

ア

イ アイに垂直な直線

をひきます。

長さが等しくなる ように点をとって つないでいきます。

6 ^ページ

1

2

_A

C E D

B

3

A

O

C B

点対称な図形は，形によって見分 けにくいものがあります。図形を紙に写し取って考えさせて ください。

7 ^ページ

1

2

A

A

1

2

3 4

1 2

3

1 2

3

1

対称の中心までの長さが同じ になるように，対応する点を とります。

2

次の手順で図をかきます。

 

1

 

2

    

線対称な図形と点対称な図形のちがいを理解しよう。

1

長方形，正方形，二等辺三角形，正三角形（順序がちがっても正解）

2

平行四辺形，ひし形，長方形（順序がちがっても正解）

13

，4 ，

5

，

6

　

2

偶

^ぐう

数

^すう

，正六角形

　

直角三角形

　　　

二等辺三角形

　 　　

正三角形

　　　　　　　

　　　　　　　

長方形の対角線は対称の軸にはなりません。注意し ましょう。

ひし形や正方形は，点対称でもあり，線対称でもあ る図形です。

二等辺三角形や正三角形は線対称な図形です。正三 角形には対称の軸が

3

本あります。

A

A

3

O O

O

4

O O

O

O

3

点対称な図形は，その性質を使っ てかかせてください。

4

O O

図形の点と対称の 中心を通る直線を ひきます。

対称の中心からの長さ が等しくなるように点 をとってつなぎます。

8 ^ページ

1

2

9 ^ページ

1

_{平行四辺形 ひし形 長方形 正方形}

（　） （○） （○） （○）

2

_{台形 平行四辺形 ひし形 正方形}

（　） （○） （○） （○）

3

（　） （○） （○）

1

2

3

1

正五角形，正六角形，正七角形，正八角形

2

正六角形，正八角形

1

正多角形はどれもみな線

^せん

対

^たい

称

^しょう

な図形です。対称の 軸

じく

の本数は，正五角形は

5

本，正六角形は

6

本，

…というように頂

^ちょう

点

^てん

の数と同じです。

2

頂点の数が偶

^ぐう

数

^すう

の正多角形が点対称な図形です。

多角形や正多角形は，線対称にも点対称にもなっている図形があることに注意しよう。

1

○　

2

△　

3

△　

4

○

1

直線ＡＥ（直線ＥＡ）

2

頂点Ｇ　

34cm　4130&

1

2

頂点Ｆ

3

辺ＧＨ

1 2

1 2

対称の軸や対称の中心は，下の図のようになります。

3

線対称な図形の性質から，ＤＫとＦＫの長さは等 しくなっています。だからＤＦの長さは，

2*2=4

（

cm

）

1

点対称な図形では，対応する点を結ぶ直線が対称 の中心を通ります。

23

点対称な図形で，対称の中心のまわりに

180&

回したときに重なり合う点と辺が，対応する点，

対応する辺です。

正多角形はどれも線対称な図形で，対称の軸の本数 がその図形の頂点の数と同じになります。正方形や 正六角形のような頂点の数が偶数の正多角形は，点 対称な図形でもあります。

1

対称の軸までの方眼の数が同じになるように，対 応する点をとります。

2

対称の中心までの長さが同じになるように，対応 する点をとります。

1

図形の点から直線アイに垂

^すい

直

^ちょく

な直線をひきます。

2

図形の点から点Ｏを通る直線をひきます。

1

い 　

2

う

¹

これは線対称な図形で，点対称ではないので， あ か い になります。

22

つの四角形ＡＢＣＤの一方がさかさになってい るから，点対称な図形をかいたと考えます。

4

正五角形 正六角形 正七角形 正八角形

4

10〜11 ^ページ

1

2

3 ^A

B C

D E

G F H

4

正三角形 正方形 正五角形 正六角形 線対称かどうか ○ ○ ○ ○ 対称の軸の本数（本）

3 4 5 6

点対称かどうか × ○ × ○

5 ア

イ

O

6 ア

イ A

B O

1

2

3

4

5

6

ア

イ A

B O

7

線対称や点対称な図形をさがす ときは，対称の軸や対称の中心がどこにあるかを考えよう。

7

A

A B

C D B C

（C） （B） D

（A）

（D） （D）

E

（A）

分数と整数のかけ算・わり算

112

　

24

　

38

　

48

9

　

212

　

2 6 13 111

　

23

　

3 2

3

　

213

　

22

　

3 27

2

(

^{13 1}₂

) 

³¹³



²¹



³¹⁵

1 3 4

　

2 4

5

　

3 6

7

　

4 35 8

(

^{4 3}₈

)

5 14

15

　

6 15

11

(

^{1 4}₁₁

)

1 10

3

(

^{3 1}₃

) 

^{2 9}₂

(

^{4 1}₂

) 

^{3 8}₃

(

^{2 2}₃

)

4 21

4

(

^{5 1}₄

) 

⁵⁷₅

(

^{1 2}₅

) 

^{6 45}₄

(

^{11 1}₄

)

710　86　927

式　

2

7 *5= 107

(

^{1 3}₇

) ^答え

¹⁰₇

(

^{1 3}₇

)

^dl

式　

9

8*12= 272

(

^{13 1}₂

) ^答え

²⁷₂

(

^{13 1}₂

)

^m#

22

5 *2= 2*25 = 45 6 3

11*5= 3*5 11 = 15

11

(

¹₁₁⁴

)

とちゅうで約分できるときは，約分してから計算し ます。

1 5

6 *4= 5*4 2 63

= 103

(

^{3 1}3

)

（

1dl

でぬれる面積 ）

*

（ ペンキの量 ） にあてはめて 考えます。

分数

*

整数の計算は，これまでのかけ算のようにもとにする数（分数）のいくつ分で考えるよ。

112

　

23

　

32

　

43

7

　

215

　

2 6 35 111

　

24

　

3 1

16

　

213

　

22

　

3 3

8

　

312

　

21

　

32 5

1 4

21

　

2 3

20

　

3 5

56

　

4 5

12

　

5 7 50 6 6

77

23

5 /4= 35*4 = 320 4 5

6 /2= 56*2= 512

1 1

6

　

2 1

14

　

3 1

24

　

4 3

20

　

5 5 26 6 1

6

　

7 3

16

　

8 3

10

　

9 3 13

式　

3

7 /8= 3

56

答え　

3

56

式　

3

5 /6= 1

10

答え　

1

10

㎏

とちゅうで約分できるときは，約分してから計算し ます。

（ プールに入る水の量 ）

/

（ 時間 ） にあてはめます。

2

12 ^ページ

1

2

13 ^ページ

1

2

3

4

1

2

4

14 ^ページ

1

2

15 ^ページ

1 1

2

3

4

2

3

約分は必ず計算の途中でしている

かを確認させてください。約分を忘れると，答えが約分でき

る分数になります。

㋓

1 6

7

　

2 8 9

　

3 3

2

(

^{1 1}₂

) 

^{4 20}₃

(

^{6 2}₃

)

5 28

3

(

^{9 1}₃

) 

^614　715

1 2

9

　

2 3

20

　

3 1

15

　

4 3 28 5 2

55

　

6 2

7

　

7 5 36

式　

7

9 /4= 7

36

答え　

7

36 L

式　

3

5 *10=6

答え　6 分

式　

7

9 /7=1

9

答え　

1

9 L

式　

15

8 *12= 45

2

　　 □

*5= 452

　　□

= 452 /5= 92

(

^{4 1}₂

)

答え　

9

2

(

^{4 1}₂

)

^m

分数と整数のかけ算は，整数を分子にかけます。

分数と整数のわり算は，整数を分母にかけます。

とちゅうで約分できるときは，約分してから計算し ます。

3 3

4 *2= 3*2 1 42

= 32

(

^{1 1}2

)

分数と整数のかけ算とまちがえないようにしましょ う。

4

等分するので，わり算です。

3

5 *10= 3*1 20 51

=6

1

週間は

7

日なので，7 でわります。

はじめに，長方形の面積を求めます。

　

¹⁵₈ *12=⁴⁵₂

^（

m#

） 縦

たて

□

m，横5m，面積 452 m#

の長方形だから，

長方形の面積

=

縦

*

横 の公式にあてはめて考え ます。

円の面積

11

半径　

2

半径　

33

　

428.26 212

　

26

　

36

　

4113.04 12

，6.28

214　2100　33.14　44

　

578.5 621.5

15cm　215.7cm

1

式　

7*7*3.14=153.86

答え　153.86

cm#

2

式　16/2=8

　　8*8*3.14=200.96

答え　200.96

cm#

1

円をどんどん細かくしていくと，図は縦の長さが 半径と同じ長方形に近づきます。

2

長方形の横の長さは，円周の半分だから，

10*3.14/2=15.7

（

cm

） 円の面積=半径*半径*円周率

16〜17 ^ページ

1

2

3

4

5

6

7

まちがえた問題をもう一度やっ てみよう。

1

2

3

4

5

6

7

3

18 ^ページ

1

2

19 ^ページ

1

2

1

2

円の直径と半径の関係を，もう一

度確認させて下さい。直径

/2=

半径　です。

1

式　10*10*3.14/2=157

答え　157

cm#

2

式　4*4*3.14/4=12.56

答え　12.56

cm#

3

式　

8*8*3.14=200.96

　　8/2=4 　　4*4*3.14=50.24 　　 200.96-50.24*2=100.48

答え　100.48

cm#

式　6*6=36

　6/2=3 　　

3*3*3.14/2*2=28.26

　36-28.26=7.74

答え　7.74

cm#

1

半径

10cm

の円の面積の半分です。

2

半径

4cm

の円の面積の

1

4

になります。

3

半径

8cm

の円の面積から，半径

4cm

の円

2

個 分の面積をひきます。

1

辺が

6cm

の正方形の面積から，半径

3cm

の半 円

2

個分の面積をひきます。

あ 円周　 い 長方形　 う 半径 え 直径　 お 半径

1

式　

5*5*3.14=78.5

答え　78.5

cm#

2

式　24/2=12 12*12*3.14=452.16 答え　452.16

cm#

3

式　18/2=9 　

9*9*3.14/2=127.17

答え　127.17

cm#

4

式　8*8*3.14/4=50.24

答え　50.24

cm#

直径*円周率/2=直径/2*円周率

公式にあてはめて計算します。

円の面積=半径*半径*円周率

3

半径9cm の円の面積の半分です。

4

半径

8cm

の円の面積の

1 4

です。

1

大きな半円

1

つと小さな半円

3

つを合わせた図形 です。

・大きな半円  半径…

8*3/2=12

（

cm

）  面積…12*12*3.14/2=226.08 （

cm#

）

・ 小さな半円  半径…

8/2=4

（

cm

） 面積…

4*4*3.14/2=25.12

（

cm#

）

・ 求める面積

226.08+25.12*3=301.44

（

cm#

）

2

大きな円から，小さな円を取りのぞいた図形です。

・ 大きな円の半径は

30 cm

だから面積は，

30*30*3.14=2826

（

cm#

）

・ 小さな円の半径は

10 cm

だから面積は，

10*10*3.14=314

（

cm#

）

・ 求める面積

2826-314=2512

（

cm#

）

3

正方形に対角線をひいて考えます。下の図で，色 のついた部分の面積は，半径

4cm

の円の

1

4

から，

底辺と高さが

4cm

の三角形をひいたものです。

求める面積は，この面積の

2

倍になります。

1

式　

8*3/2=12

　　　12*12*3.14/2=226.08 　　　8/2=4

　　　4*4*3.14/2=25.12 　　　226.08+25.12*3=301.44

答え　301.44

cm#

2

式　30*30*3.14-10*10*3.14 　　　=2512

答え　2512

cm#

3

式　

4*4*3.14/4-4*4/2=4.56

　　　 4.56*2=9.12

答え　9.12

cm#

4

式　

6*12=72

　　　 6*6*3.14/4*2=56.52 　　　 72-56.52=15.48

答え　15.48

cm#

3

4

3

4

円周の求め方（直径

*3.14）と，

円の面積の求め方（半径

*

半径

*3.14）をとりちがえないよ

うにしよう。

20〜21 ^ページ

1

2

1

半径

2

3

小さな半円

3

つ分

4cm 4cm

3

組み合わさった図形は，まず，ど

んな形に分けられるかを考えさせるとよいです。

式　314/3.14=100 　　100/2=50

　　50*50*3.14=7850

答え　約

7850m#

式　8*8*3.14/4=50.24

　　8-2=6 　　

6*6*3.14/4=28.26

　　6-4=2 　　

2*2*3.14/2=6.28

　　50.24+28.26+6.28=84.78

答え　84.78

m#

4

求める面積は，縦

^たて6cm，横12 cm

の長方形から，

半径

6cm

の円の

1

4

の

2

つ分をひいたものです。

まず，まわりの長さから直径を求めます。

直径を□

m

とすると，

□*3.14=314

□=314/3.14

□=100 （

m

） 半径は，100/2=50 （

m

）

だから面積は，50*50*3.14=7850 （

m#

） 牛が動けるところは，次の図のようになります。

牛が動けるところの面積は，次の

3

つの図形の面積 をたせば求められます。

・半径

8m

の円の

1 4

・半径

6m

の円の

1 4

・半径

2m

の円の

1 2

文字を使った式

1x

，45　

245，9 1x

，18　

24，72

1

（

x=）24　2

（

x=）32　3

（

x=）28 4

（

x=）318　5

（

x=）180

1x*9=216 x=216/9

=24 3x+75=103

x=103-75

=28

5x/6=30 x=30*6

=180 4

5

今までに学習したいろいろな図 形の面積を求める公式（長方形，正方形，三角形，平行四辺形，

ひし形，台形）を，もう一度確

^かく

認

^にん

しておこう。

4

5

8m 2m

2m

4m

6m

4

22 ^ページ

1 2

23 ^ページ

1

x

にあてはまる数を求めたら，も との式の

x

に求めた数をあてはめて確かめさせてください。

1 216*x=512

x=512/16

=32 4x-195=123

x=123+195

=318

1

式　

x*6=540

答え　90 （円）

2

式　

x-172=28

答え　200 （ページ）

3

式　

x/3=320

答え　960 （ml）

4

式　

x+60=210

答え　150 （ ℊ ）

5

式　

x*4=10

答え　2.5 （m）

1

（

1

本の値

^ね

段

^だん

）

*

（ 本数 ）

=

（ 代金 ）

2

（ 全体のページ数 ）

-

（ 読んだページ数 ）

=

（ 残りの ページ数 ）

3

（ 全体の量 ）

/

（ 人数 ）

=

（

1

人分の量 ）

4

（ 小麦粉の重さ ）

+

（ 皿の重さ ）

=

（ 全体の重さ ）

5

（ 赤のテープの長さ ）

*4

（ 倍 ）

=

（ 白のテープの長さ ） 文字

x

を使った式に表すときは，まず，言葉の式に表してから，文字を使おう。

1x

，

y

　

25，20，20　336，4，9 x

，

y

1

（

y=）10　2

（

y=）33　3

（

y=）95 4

（

y=）8

1

（

x=）3　2

（

x=）3

1180*x=y

　

2

（

y=）540

（g）

3

（

x=）6

（個）

1x*2=y

の

x

に

5

をあてはめて，

5*2=10

だ から，

y=10

1y

に

12

をあてはめると，

4*x=12 x=12/4

=3 1

（

1

個の重さ ）

180

↑

*

（ 個数 ）

↑

x

=

（ 全部の重さ ）

↑

y 21

の式の

x

に

3

をあてはめると，

180*3=540  y=540

31

の式の

y

に

1080

をあてはめると，

180*x=1080 x=1080/180

=6

1

い 　

2

え 文字を使った式で表すと，それぞれ次のようになり ます。

あ

x+20=y

  い

x*20=y

う

x/20=y

  え

x-20=y

1

（左から）

3

，

x

　

21m　32.4m 1x*6

　

2

（

y=）30

3

（

x=）14

21

の式の

x

に

2

をあてはめると，

3-2=1

（

m

）

11

辺の長さ

↑

x

*6=まわりの長さ

↑

y

21

の式の

x

に

5

をあてはめると，

5*6=30  y=30

31

の式の

y

に

84

をあてはめると，

x*6=84 x=84/6

=14

2 2

24 ^ページ

1 2

25 ^ページ

1

2

3

x

を使ったかけ算の式では，x に あてはまる数はわり算で求めることを確認させてください。

1

2

3

4

文字が

2

つになっても，文字が

1

つのときと同じように考えよう。

4

26〜27 ^ページ

1

2

1

2

1

（

x=）14　2

（

x=）15　3

（

x=）7 4

（

x=）24　5

（

x=）61　6

（

x=）1296

1x*6-15=57　 212

式　

x*18=432

答え　24

cm

式　

x*5+480=1230

答え　150 円

1

（例）　1 冊

^さつx

円のノートを

5

冊買うと，代金 は

y

円です。

2（例）　1

冊

x

円のノートを

2

冊と

100

円の 消しゴムを買うと，代金は

y

円です。

2x*6-15=57 x*6=57+15

x=(57+15)/6

=12

底辺 ↑

x

*高さ

↑

18

=平行四辺形の面積 432

↑

たし算とひき算，かけ算とわり算の関係をしっかりと理解しよう。

データの活用

Ａ …

14.7，Ｂ

…

15，Ｂ（のプランター）

17，16

1

班

^ぱん 1

班… （

7+3+4+6+9

）

/5=5.8

（ 冊 ）

2

班… （

3+8+4+10+3+5

）

/6

    =5.5 （ 冊 ）

1

2

一番大きい値

^あたい

…26 ㎏

　 一番小さい値…14 ㎏

3

平

^へい

均

^きん

値

^ち

…19 ㎏ 

　 最

^さい

頻

^ひん

値

^ち

…20 ㎏

　 中央値…18.5 ㎏

4

いえる

1

ドットプロットに表すと，データのちらばりの 様子がわかりやすくなります。

3

平均値…304/16=19 （

㎏

^）

 中央値…8 番目の値は

18，9

番目の値は

19

だ から， （

18+19

）

/2=18.5

（

㎏

^）

平均値，最頻値，中央値は，どれも代表値だよ。

3

4

5

6

7

3 17*x=98 x=98/7

=14

483-x=59 x=83-59

=24 5x-45=16

x=16+45

=61

6x/12=108 x=108*12

=1296 4

5

6 x*5 + =

りんご

5

個の代金

480

ぶどうの代金

1230

全部の代金

式の中の文字や数が何を表してい るのかを考えさせてください。それから問題場面をつくりま しょう。

5

28 ^ページ

1 2

29 ^ページ

1 1

2

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

あく力調べ

（kg）

2

いくつかの集団のデータを比べる

ときに，最頻値や中央値などの代表値を使うことがあります。

考えてみよう

16

年1 組…24.8 回　　

6

年2 組…24.6 回

6

年3 組…25.6 回

26

年1 組…33 回　　

6

年2 組…40 回

6

年3 組…37 回

36

年1 組…18 回　　

6

年2 組…

8

回

6

年3 組…

8

回

4

（解答例）

　

6

年

1

組　理由…10 回以下がないから。

　

6

年

2

組　理由… 学年で最高の

40

回をとん だから。

　

6

年

3

組　理由…平均が一番よいから。

1

国語…20 番目から

26

番目（のはんい）

　算数…5 番目から

10

番目（のはんい）

2

（解答例）

　国語　理由… クラスでもっとよい点の人が大勢 いるから。

　算数　理由… クラスのなかでよいほうの点数が とれた科目なので，もっとのばし たほうがよいから。

4

どのクラスを選んでもよいですが，理由をきちん と書くことが大切です。

2

どちらを選んでもよいですが，

1

の答えを考えて 理由を書くとよいでしょう。

12，1　210，15

15m

2125m

以上

30m

未満（の階級）

 ❸35m

以上

40m

未満（の階級）

3

階級ごとに区切って整理すると，データの特ちょう がわかりやすくなります。

3

数え落としのないように，数えるときに資料の 値を○で囲んだり，値にチェックを入れたりする とよいでしょう。

18時間以上9時間未満 210

人

320%

1

度数分布表より，最も度数が多い階級は

8

時間 以上

9

時間未満で，度数は

13

（ 人 ） 。

29

時間以上

10

時間未満と

10

時間以上

11

時間 未満の度数の和を求めます。

9+1=10

（ 人 ）

36/30=0.2

→

20%

どの選手を選べばいいかな　 30〜31 ^ページ

1

2

1

2

データを使用する目的によっ て，利用する代表値は変わってくるよ。

32 ^ページ

1

33 ^ページ

1

ソフトボール投げの記録 きょり（m） 人数（人）

15

以上～20 未満

1

20 　　～25 2

25 　　～30

正

5

30 　　～35

正

6

35 　　～40 4

40 　　～45 2

合　計

20

1

2

度数分布表に表すことで，デー タのいろいろな特ちょうが調べられるね。

2

14

　

28

，

9

　

33

，12

414

　

25

　

38

　

49

1

2150cm

以上

155cm

未満（の階級）

16

人

20.2km

以上

0.4km

未満（の階級）

30.6km

以上

0.8km

未満（の階級）

430

人　

530%

2160 cm

以上

165 cm

未満…

1

番目  155 cm 以上

160 cm

未満…

2

番目

 150 cm 以上

155 cm

未満…

3

番目〜

5

番目

42+4+2+9+6+5+2=30

（ 人 ）

50.6 km

以上

0.8 km

未満の人数は

9

人です。

9/30=0.3　→30%

柱状グラフは，データ全体の特ちょうが形でわかるよ。

1120　225　360　465 2

減って

11945

年　70 さい以上 　1975 年　70 さい以上

　2017 年　0 さい以上

10

さい未満

2

（例） 高れい者の人口の割

^わり

合

^あい

がどんどん増えてい る。

　（例） 子どもや若い人の人口の割合がどんどん 減っている。

　（例） 下のほうが広がっていたグラフの形が，下 のほうがせまいグラフの形になってきてい る。

1

約

3000人 2

約

2600人

3

（例）年々割合が大きくなっている。

日本の人口は，子どもの数が減る一方，年れいの高 い人の数が増えています。これを「少子高れい化」と いいます。

1

左の目

^め

盛

^も

りで棒

^ぼう

グラフを読み取ります。

  1985 年 は 約

7000

人，2015 年 は 約

4000

人です。

2

割合は，右の目盛りで折れ線グラフを読み取り ます。

  2015 年の

65

さい以上の農業人口は，約

4000

人の約

65%

だから，

  4000*0.65=2600 （ 人 ）

34 ^ページ

1

35 ^ページ

1

125 130 135 140 145 150 155 160 165 0

2 4 6 8

10

6年生男子の身長

（人）

（cm）

2

1

2

36 ^ページ

1

37 ^ページ

1

2

どんな資料を表したいかによっ て，使うグラフを選んでわかりやすく整理しよう。

1

2

1

2

平

^へい

均

^きん

値

^ち

…19 個 　 最

^さい

頻

^ひん

値

^ち

…22 個 　 中央値…20 個

1280cm

以上

300cm

未満　

225

人　

3320cm

以上

340cm

未満（の階級）

432%

5あ

， う

2

平均値…361/19=19 （ 個 ）

中央値…データの個数が

19

だから，10 番目の 値

あたい

である

20

個が中央値になります。

数え落としや二重に数えたりしないように，注意し ましょう。

21+2+5+7+6+3+1=25

（ 人 ）

3

グラフの右のほうから数えます。

 340cm 以上

360cm

未満…1 番目

 320cm 以上

340cm

未満…2 番目〜4 番目

4280cm

未満の人数は，1+2+5=8 （ 人 ）  8/25=0.32 →

32%

5

あ _{…340cm 以上}

_360cm

_未満に

₁

_{人いますが，}

その人の記録はわかりません。

  う _{…280cm 以上}

_300cm

_未満に

₇

_{人いますが，}

その人たちの記録はわかりません。

1

スウェーデン

2

エチオピア

1

グラフのはばが，上と下でせまくなっています。

2

グラフのはばが，上にいくほどせまく，細くなっ ています。

自分で調べたいことを決めて，必要な資料を集め，表やグラフに整理してみよう。

読み取る力をのばそう

1

　人数…20 人，割合…10％

2

　200 人

3

　Ａ…64 人　Ｂ…64 人

4

　下の図

① 棒グラフで人数を，円グラフで割合を読み取りま す。

②

20

÷

0.1

＝

200

（ 人 ）

③

40

さい以上

60

さい未満の人数の割合は全体の

32％，0

さい以上

20

さい未満の人数の割合は 全体の

16％です。

Ａ 32 ÷

16

＝

2

（ 倍 ）

0

さい以上

20

さい未満の人数は

32

人だから，

32

×

2

＝

64

（ 人 ）

Ｂ 200 ×

0.32

＝

64

（ 人 ）

38〜39 ^ページ

1

（個）

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

アルミかん調べ

2

1週間の家庭学習の時間 時間（時間） 人数（人）

2

以上～4 未満 正

5

4

～6 正

8

6

～8

4

8

～10

3

10

～12

1

合　計

21

3

1

2

3

4 4

グラフから読み取ろう 40〜41 ^ページ

1

100 80 60 40 20 0

あ年代別の人数

（さい）

80

50

0

（人）

1

1

　本の数…360 冊

^さつ

，割

^わり

合

^あい

…12％

2

　3000 冊

3

　本の数…600 冊　棒

^ぼう

グラフ…下の図

4

　本の数…720 冊　棒グラフ…下の図

正しくない

わけ…（例）縦

^たて

の軸が省かれているので，棒の長 さで比べることはできないから。

2360

÷

0.12

＝

3000

（ 冊 ）

3 歴史・地理の本の数の割合は全体の20％です。

3000

×

0.2

＝

600

（ 冊 ）

4 絵本の数の割合は全体の24％です。

 3000 ×

0.24

＝

720

（ 冊 ）

２年生は

620

冊，６年生は

410

冊で，約

1.5

倍 だから でもよいです。

角柱と円柱の体積

115

　

22

　

34

　

430　530 212

　

22

　

35

　

462.8　562.8 130　28　3240　4240

1

式　(2+7)*3/2*4=54 答え　54

cm$

2

式　

6*4/2*3=36

答え　36

cm$

3

式　10*8/2*6=240 答え　240

cm$

4

式　24*3=72 答え　72

cm$

1

式　10*10*3.14*5=1570

答え　1570

cm$

2

式　

1*1*3.14*7=21.98

答え　21.98

cm$

3

式　

6/2=3

　　　 3*3*3.14*8=226.08

答え　226.08

cm$

1

式　7*4/2+5*7=49 答え　49

cm#

2

式　49*3=147 答え　147cm$

角柱の体積=底面積*高さ

1

台形の面積= （ 上底+下底 ）

*高さ/2 2

ひし形の面積=対角線*対角線/2

3

三角柱を横にした図です。

円柱の体積=底面積*高さ

      円の面積=半径*半径*円周率

手前の三角形と長方形を組み合わせた面を底面とす る角柱とみます。

1

底 辺

7cm， 高 さ4cm

の 三 角 形 の 面 積 と， 縦

5cm，横7cm

の長方形の面積を合わせます。

2

高さは

3 cm

です。

2

種類別の本の数

800

0 500

（冊）

^さつ

文学 歴史 ・ 地理 科学 音楽 ・ 美術 絵本 そ の 他

3

2

3

6

42 ^ページ

1

2

43 ^ページ

1

2

3

角柱の体積を求めるときは，底 面の形を正しく判断することが大切だよ。

1

2

3

1

底面積*高さ

24*2/2=4　　4*3=12

 底面積…4cm#，体積…12 cm$

34*4*3.14=50.24

　50.24*5=251.2

 底面積…50.24 cm#，体積…251.2 cm$

1

式　

8*12/2*4=192

答え　192

cm$

2

式　（2+3）

*5/2*6=75

答え　75

cm$

3

式　

8*3*10=240

答え　240

cm$

4

式　

1*1*3.14*6=18.84

答え　18.84

cm$

式　432/12=36 答え　36

cm#

式　8*2/2+8*5/2+7*3/2=38.5 　　38.5*6=231 答え　231

cm$

式　3*3*2-1*1*3.14*2=11.72

答え　11.72

cm$

底面の面積が底面積です。体積の公式をしっかり理 解しておきましょう。

角柱，円柱の体積=底面積*高さ

1

ひし形の面積=対角線*対角線/2

2

台形の面積= （ 上底+下底 ）

*高さ/2

3

底面が平行四辺形，高さが

10 cm

の四角柱です。

4

底面の半径は

1cm

です。

底面積を

xcm#

とすると，

x*12=432

底面積は

3

つの三角形に分けて求めます。

四角柱の体積から，円柱の体積をひいて求めます。

四角柱の体積は，3*3*2=18 （

cm$

） 円柱の体積は，1*1*3.14*2=6.28 （

cm$

） だから，18-6.28=11.72 （

cm$

）

式　3*3*3.14*7=197.82

答え　197.82

cm$

入れた水の体積は，底面の半径が

3cm

で高さが

7cm

の円柱の体積と同じです。

分数のかけ算

3

，2

1

（上から）

3

，

5

，

9

20

　

2 1

12

　

31

，

6

7

　

4 1 42

1 4

45

　

2 25

42

　

3 32

15

(

^{2 2}₁₅

) 

⁴ ₁₄⁵

5 2 5

　

6 3

8

　

7 15

4

(

^{3 3}₄

) 

⁸⁸₃

(

^{2 2}₃

)

96　0 7

30

　

Q 13

54

　

W 25

12

(

^{2 1}₁₂

)

分母どうし，分子どうしをかけて計算します。また，

約分は計算のとちゅうでします。

4 3 7 * 5

6 = 3 1*5 7*62

= 514

5 8 15* 3

4 = 8 2*3¹ 155*4

1

= 25

75* 3

4 = 5*3 1*4 = 15

4

(

^{3 3}4

)

0 7

10* 59 * 35 = 7*5 1*3¹ 10*93*5

1

= 730

44〜45 ^ページ

1

2

3 4

5

1

2

3 4

5

6 6

まちがえた問題をもう一度やっ

てみよう。 まず，底面積が正しく求められて

いるかを確認してください。

7

46 ^ページ

1 2

47 ^ページ

1 1

式　

2 5 * 2

3 = 4

15

答え　

4

15 m$

式　

4

7 * 58 = 514

答え　

5 14

㎏

（

1

分間に入れる量 ）

*

（ 時間 （ 分 ））

=

（ 入る水の量 ）

（

1m

の重さ ）

*

（ 長さ （

m

））

=

（ 全体の重さ ）

約分できるときは，とちゅうで約分すると計算が簡

^かん

単

^たん

になるよ。

1 4

3

(

^{1 1}₃

) 

²⁷

^，

¹₇



³⁹

^，

¹⁰₉

(

^{1 1}₉

)

小さく， あ （ え ）， え （ あ ）

1 8

5

(

^{1 3}₅

) 

² ₁₁⁴



³⁶

4 1

9

　

5 10

7

(

^{1 3}₇

) 

^{6 10}₁₃

4

整数は分母が

1

の分数と考えます。

 9= 9

1

5

小数は分数になおしてから考えます。

 0.7= 7

10

1

あ ， え

2お

1，2，3，4

1

＜　

2

＞　

3

＜

1

かける数が

1

より小さいとき，積はかけられる 数より小さくなります。

2

かける数が

1

のとき，積はかけられる数と同じ になります。

かける数＜

1

になるようにします。分子が

5

以上 の仮分数だと，かける数が

1

以上になります。1 より大きい数をかけると，積はかけられる数より大 きくなります。また，１より小さい数をかけると，

積はかけられる数より小さくなります。

1 4

5

は

1

より小さいから，

3

8 * ⁴₅

＜

³₈

かける数が分数のときの積の大きさの関係は，小数をかけるときと同じだね。

1 2 3

　

2 4

5

　

3 8

15

　

4 8 15 1 1

3

　

2 1 3

　

3 1

3

　

4 1

27

　

5 1 27 1115　2 1

5

　

33

　

413　　25

，

7

，

6

　

式　

2 5 * 5

8 =1

4

答え　

1

4 m#

式　

3 3 9

答え　

9 m#

辺の長さが分数になっても，面積の公式が使えます。

長方形の面積=縦

^たて*横 です。

正方形の面積=1辺*1 辺 で求められます。

2

3

2

3

48 ^ページ

1

2

49 ^ページ

1 1

2

3

4

2

3

4

50 ^ページ

1

2

3

51 ^ページ

1

2

1

2

式　

2 3 * 7

8 *4 5 = 7

15

答え　

7

15 m$

1 7

10

　

211 3 3

4

　

4 4 39

直方体の体積=縦*横*高さ です。約分に注意し て計算しましょう。

1

(

10⁷ * ³₄

)

^{* 4}3 = ₁₀⁷ *

(

³4 * ⁴₃

)

= ₁₀⁷ *1= ₁₀⁷

2

(

⁵6 - 29

)

^{*18 = 5}6 *18- 29 *18

=15-4=11 35

8

と

3

8

が，たして

1

になることに着目します。

　

³4 * ⁵₈ + ³₄ * ³₈ = ³₄ *

(

⁵8 +³₈

)

= ³₄ *1= ³₄ 4 ¹²

13 * ⁸₉ - ¹²₁₃ * ⁷₉ = ¹²₁₃ *

(

⁸9 - ⁷₉

)

　

= ¹²₁₃ * ¹₉ = ¹

42*1 13*93

= ₃₉⁴

1 3 7 *5

8 = 3*5 7*8 = 15

56

24* 35 = 41 * 35 = 125

  (

^{2 2}₅

)

1 6

5

(

^{1 1}₅

) 

²⁸

3 1

6

　

4 10 29

い ， え

1 1 2

　

2 3

5

，

1 4 119　2 5

3

(

^{1 2}₃

)

1 4

21

　

2 5

12

　

3 2 9

　

4 7

4

(

^{1 3}₄

)

5 15

8

(

^{1 7}₈

) 

^{6 3}₂

(

^{1 1}₂

) 

⁷ ₂₁²



⁸⁶

1

分数に分数をかける計算では，分母どうし，分子 どうしをそれぞれかけます。

24

は

4

1

と考えます。

整数や小数の逆数は，分数になおして考えます。

積がかけられる数より小さくなるのは，かける数が

1

より小さい数のときです。

分数についても，計算のきまりが成り立ちます。

1

(

¹4 + ₁₀⁷

)

^{*20= 1}4 *20+ ₁₀⁷ *20

 

= ^1*2

50 41

+^7*2

20

110 =5+14=19

28* 59 -5* 59 =

（

8-5

）

* 59

=3* 5 9 = 3

1*5 1*93

= 53

(

^{1 2}3

)

25

9 * 34 = 5*3 1 93*4 = 512

43* 7 12= 3

1*7 1*142 = 7

4

(

^{1 3}₄

)

71 4 * 3

7 * 8

9 = 1*3 1*8² 4*7*9 = 2

21 3

4

くふうして計算すると，簡単に計 算できる場合があるという便利さを実感させてください。

整数や小数のかけ算のときに成 り立った計算のきまりは，分数のかけ算でも成り立つんだね。

3

4

52〜53 ^ページ

1

2

3

4

5

6

1

2 3

4 5

6

式　

4

3 * 35 = 45

答え　

4 5

㎏

式　

6

7 * 214 = 92

(

^{4 1}₂

) ^答え

⁹₂

(

^{4 1}₂

)

^dl

式　

5 6 * 1

2 *2 5 = 1

6

答え　

1

6 m$

43 * 3

5 = 4*3 1 31*5 = 4

5

67 * 214 = 6 3*2³1

71*4 2

= 92

(

^{4 1}2

)

5 6 * 1

2 * 2 5 = 5

1*1*2¹ 6*21*5 1

= 16

分数のわり算

3

，4

117

3

　

27

　

33

　

4 35

18

(

^{1 17}₁₈

) 

^2115　24



³⁴



^{4 35}₁₆

(

^{2 3}₁₆

)

1 9

40

　

2 21

20

(

^{1 1}₂₀

) 

³²⁵₃₆



4 36

35

(

^{1 1}₃₅

) 

^{5 35}₁₂

(

^{2 11}₁₂

) 

^{6 15}₅₆

7 15

14

(

^{1 1}₁₄

) 

⁸²₃



⁹⁴₃

(

^{1 1}₃

)

0 9

8

(

^{1 1}₈

) 

^{Q 3}₄



^{W 12}₅

(

^{2 2}₅

)

分数を分数でわる計算では，わられる数に，わる数 の逆数をかけます。

11

8 /⁵₉ =¹₈ * ⁹₅ = ₄₀⁹

式　

4

5 / 34 = 1615

(

^{1 1}₁₅

)

答え　

16

15

(

^{1 1}₁₅

)

^m$

式　

4

7 / 89 = 914

答え　

9 14

㎏

（ 入れた水の量 ）

/

（ かかった時間 ）

=

（

1

時間に入れた水の量 ）

分数

/

分数の計算では，わる数の逆数をかけるんだね。

（上から）

5，9， 4 21

11

　

21

　

37

　

42

　

5 21

2

(

^{10 1}₂

)

1 7 2

，

2

35

，

2

35

　

2 1 5

，

35

2

(

^{17 1}₂

) ^，

³⁵₂

(

^{17 1}₂

)

7

8

9

分数の計算では，途中の計算をき ちんと書くことが，ミスをなくすことにつながります。

まちがえた問題をもう一度やっ てみよう。

7

8

9

8

54 ^ページ

1 2

55 ^ページ

1 1

2

3

2

重さ

47

1

□

（m）

（kg）

0 0 長さ

89 8倍 9

8倍 9

3

56 ^ページ

1

2 3

1 10

3

(

^{3 1}₃

) 

²¹⁵₂₈



³ ₂₈³



4 3

8

　

5 7

15

　

6 5 28

13 4 * 5

9 / 1 8 = 3

1*5*8² 41*9

3*1 = 10 3

(

^{3 1}₃

)

32

7 / 53 * 58 = 2 1*3*5¹ 7*51*8 4

= 328

52

9 / 56 / 47 = 2 1*6²*7 93*5*4 2 1

1

= 715

1 40

3

(

^{13 1}₃

) 

^{2 33}₂

(

^{16 1}₂

) 

³²¹

4 15

2

(

^{7 1}₂

) 

^56　69₂

(

^{4 1}₂

)

1

式　

2

3 / 45 = 56

答え　

5 6

㎏

2

式　

4

5 / 23 = 65

(

^{1 1}₅

) ^答え

⁶₅

(

^{1 1}₅

)

^m

18/ 35 = 8*51*3 = 403

(

^{13 1}3

)

42/ 13 / 45 = 2 1*3*5 1*1*4 2

= 152

(

^{7 1}2

)

55* 37 / 514 = 5

1*3*1²4 1*71*5

1

=6

1

  （ 全体の重さ ）

/

（ 長さ （

m

））

=

（

1m

の重さ ） 計算のとちゅうの式は，ていねいに書くことを心がけよう。約分の小さい数字を見落とさな いようにしようね。

小さく， あ （ う ）， う （ あ ）

115　215　32

　

415　52

　

615 24，8

5

(

^{1 3}₅

)

う

1<　2>　3<

1 3 5

　

2 7

6

(

^{1 1}₆

) 

³ ₁₀⁷



^{4 2}₃

5 5

14

　

6 7 15

わる数が

1

より小さいものを選びます。

1

より大きい数でわると，商はわられる数より小さ くなり，

1

より小さい数でわると，商はわられる数 より大きくなります。

21.4* 5 6 = 14

10 * 5 6 = 1

74*5¹ 120*6 3

= 76

(

^{1 1}6

)

64.9/ 212 = 4910 / 212 = 4910 * 221

= 4 79*2¹ 150*2

31 = 715

57 ^ページ

1

約分を計算の途中でしているか，

確認してください。

1

2

3

2

3

重さ

2 3

1

□

（m）

（kg）

0 0 長さ

4 5

58 ^ページ

1 2 3

59 ^ページ

1 2

3

1 2

3

1 1 2

　

2 7

8

　

3 3 4 4 4

9

　

5 20

3

(

^{6 2}₃

) 　

6 28 5

(

^{5 3}₅

)

かけ算だけの式になおして計算します。

小数は，分数になおします。

13

4 * 25 /0.6= 34 * 25 / 610

= 3

1*2¹*1²0 42*5

1*6 2 1 1

= 12

62.8/0.6*1.2= 28 10 / 6

10 * 12 10

= 28*1 10*1²2 110*6

1*1 50

1

= 285

(

^{5 3}5

)

130　2 1 6

　

3 1

6

　

45

　

55 1 13

9

　

2 13

4

　

3 13

9

　

4 13 4

　

5 4

9

　

6 4 9 127

，108，108

式　48* 3

4 =36

答え　36 ㎏

^{48 * 3}₄ ^{= 36}

もとにする量

*何倍かを表す数=

何倍かに あたる大きさ 式　2500* 4

5 =2000

答え　2000 円

式　

7

6 / 23 = 74

(

^{1 3}₄

) ^答え

⁷₄

(

^{1 3}₄

) ^倍

式　

x= 256 / 23 = 254

(

^{6 1}₄

)

答え　

25

4

(

^{6 1}₄

)

^m

2500 * 4

5 = 2000

もとにする量

*何倍かを表す数=

何倍かに あたる大きさ

76 / 2

3 = 7

4

何倍かに あたる大きさ

/

もとにする量

=何倍かを表す数

赤いテープの長さを

xm

とすると，

x* ²₃ = ²⁵₆

x= ²⁵₆ / ²₃ = ²⁵₄

(

^{6 1}4

)

4

かけ算だけの式になおしたら，約 分も一度にします。そうすることで，間違いも少なくなります。

これまでに学習した整数や小数 のかけ算やわり算は，どれも分数のかけ算として計算するこ とができるね。

4

60 ^ページ

1

2

3

61 ^ページ

1 1

2

3

4

問題文を読むときに，何がもと にする量になるのかを考えよう。

2

3

4

1

（上から順に）

7

，

2

，

7 8 2

（上から順に）

10，10

7

，

40 63

う

1

分数を分数でわる計算は，わられる数にわる数の 逆数をかけます。

2

小数を，分母が

10

の分数と考えて計算します。

商が，わられる数

3

7

より大きくなるのは，わる数 が1 より小さいときです。

1 5

36

　

2 9

7

(

^{1 2}₇

) 

³ ₁₂⁵

4 1

14

　

5 3

14

　

6 36

7

(

^{5 1}₇

)

7 15

2

(

^{7 1}₂

) 

^{815　9 1}₈

1 5

16

　

2 1 4 35　4 5

3

(

^{1 2}₃

)

66 7 / 3

8 / 4 9 = 6

2*8²*9 7*31*4 1

= 367

(

^{5 1}7

)

9 3

10/6* 52 = 3 1*1*5¹ 120*6

2*2 = 18

小数は分数になおして計算します。また，かけ算と わり算の混じった計算は，かけ算だけの式になおし て計算します。

37

4 / 78 *2.5= 74 / 78 * 2510

= 7

1*8²*2⁵5 41*7

1*1 20 1

1

=5

46

7 /1.8/ 27 = 67 / 1810 / 27

= 6

1*1⁵0*7¹ 71*1

38*2 1

= 53

(

^{1 2}3

)

式　

27 5 / 3

5 =9

答え　9 本

式　750* 3

25 =90

答え　90 人

式　

51

14 / 177 = 32

(

^{1 1}₂

) ^答え

³₂

(

^{1 1}₂

) ^倍

式　

7

2 *

(

⁷₂ ^{/ 5}₁₂

)

^{= 147}₅

(

^{29 2}₅

)

答え　

147

5

(

^{29 2}₅

)

^m#

文章題は，整数のときと同じように，言葉の式で考 えます。

（ 全体の長さ ）

/

（

1

本分の長さ ）

=

（ 本数 ） です。

はじめに，横の長さを求めます。

横の長さ…

7

2 / 512 = 425

（

m

） 次に面積を求めると，

62〜63 ^ページ

1

2

1

2

3

4

3

4

5

6

7

8

割合の問題は，簡単な図をかいて，

その関係を理解させます。

まちがえた計算の答えの確かめ

5

6

1

□

750

（倍）

（人）

0 0

3 25

生徒数

倍

7

1

□ （倍）

（m

²

）

0

0 17 ⁵¹14

池の面積

7

倍

8

（m）

1

□

0

（倍）

0

5 12

72

長さ

倍

場合の数

1

㋷　

2

㋷　

3

㋷　

4

㋡　

5

㋪　

6

㋖　

7

㋷　

8

㋖　

9

㋡　

06

　

Q6

　

W4

　

E24

6

通り

12

個

図を使って調べると，

十の位が

1

のとき，下の図より

3

個。

十の位が，2 ，3 ，4 のときも

3

個ずつできるから，

3*4=12

（ 個 ）

205，250，502，520

4

通り

8

通り

百の位の数は2 か

5

です。

表○，裏

^うら

●として図をかくと，

白のご石○，黒のご石●とします。

1

回目が白のとき，下の図より

4

通り。

1

回目が黒のときも

4

通りあるから，全部で

4*2=8

（ 通り ）

1

Ｂ　

2

Ｃ　

3

Ｃ　

4

Ｂ　

53

　

63

　

73

9

64 ^ページ

1

65 ^ページ

1

2

1

左 まん中 右

あ

あ あ あ

あ え

え え

し

し え

え し し し

あやかさん… あ   えりなさん… え   しおりさん… し  

2

十の位 一の位

1

4 3 2

3

4

5

並

なら

べ方を求めるときは，図をか いて確

^かく

認

^にん

しよう。

3

百の位 十の位 一の位

2 0

5 5 0

百の位 十の位 一の位

5 0

2 2 0 4

1回目 2回目

5

1回目 2回目 3回目

66 ^ページ

1