2 -category での極限

2-category ^での極限

alg-d

http://alg-d.com/math/kan_extension/

2021 年 5 月 18 日

この PDF^では 2-category^と言えばstrict 2-category を表すものとする．またここで

は圏2のidでない射をl: 0→1で表す．

2-category とはCAT-豊穣圏であるから，2-category C ^においてweighted (co)limit を考えることができる^*1．

J ^をsmall 2-category，W: J →CAT，T: J → C^をstrict 2-functor，即ちCAT- 関手とする．weighted limitとはa∈ C ^{に関して自然な圏同型}

φ_a: C(a,lim^WT)→[J,CAT](W,C(a, T−))

が存在する対象lim^WT ∈ C^{のことであった．また}lim^WT のunitとはη :=φ(id_lim^W_T) で定まるCAT-自然変換η: W ⇒ C(lim^WT, T−)のことである(このような形のCAT- 自然変換をcylinderと呼ぶのであった)．

a 7→ C(a, T−)で定まるCAT-関手をGとする．このときCAT-豊穣圏の米田の補題

によれば，圏同値φaはηを使ってφa = (G−)b•ηと書ける．

C(lim^WT,lim^WT) [J,CAT](W,C(lim^WT, T−))

C(a,lim^WT) [J,CAT](W,C(a, T−))

φ

(Gf)b^•−

−•f

φ

id η

f σ

φ

(Gf)b^•−

−•f

φ

逆に cylinder η: W ⇒ C(c, T−) が与えられたとき，φ_a := (G−)b•η と定義すれば φa: C(a, c)→[J,CAT](W,C(a, T−))はaについて自然な関手である．

*1nLab[3]^{ではこれを}strict2-limit^{と呼んでいる．}

そこでφaが圏同型となる条件をηを使って表すことを考える．これは通常の圏論と同 様に「普遍性」を使って述べることができる．まず次の命題が成り立つ．

命題 1. η: W ⇒ C(lim^WT, T−)をunitとするとき任意の cylinder σ: W ⇒ C(a, T−) に対して，ある1-morphism f: a→lim^WT が一意に存在して(Gf)b◦η=σ となる．

J CAT

⇐

η

⇐

Gf W

C(lim^WT ,T−)

C(a,T−)

= J _σ ⇐= CAT

W

C(a,T−)

証明. φa = (G−)b•η^{が圏同型だから，}f 7→(Gf)b◦η^は全単射

Ob(C(a,lim^WT))→Ob([J,CAT](W,C(a, T−))) を与える．故に主張が成り立つ．

この普遍性をここでは「1次元的普遍性^*2」と呼ぶ．通常の圏論ではHomが集合だか らφは全単射でありこの条件だけでよいが，今回はC(a,lim^WT))が圏なので，この圏の

射(=C ^の2-morphism)についても考慮にいれなければならない．そこで次の「2^次元的

普遍性」が得られる．

命題 2. η: W ⇒ C(lim^WT, T−)をunitとする．σ, τ: W ⇒ C(a, T−)をcylinderとし て，それに1次元的普遍性で対応する1-morphismをf, g: a →lim^WT とする．このと き任意のmodification Γ : σ ⇛τ に対して，ある2-morphism β: f ⇒gが一意に存在し て(Gβ)b•η= Γとなる．

J CAT

⇐

η

⇐

Gf ≡⇛ ⇐^Gg

Gβ W

C(lim^WT ,T−)

C(a,T−)

= J _σ ⇐= ≡^Γ⇛ ⇐= _τ CAT

W

C(a,T−)

証明. φa = (G−)b•ηが圏同型だから，β 7→(Gβ)b•ηは全単射

Hom_C(a,lim^W_T)(f, g)→Hom_[J,Cat](W,C(a,T−))(Gf, Gg) を与える．故に主張が成り立つ．

*2[1]^などではone-dimensional aspect of the universal property^{と呼んでいる．}

定理 3. J,C ^を2-category，W: J →CAT，T: J → C^をstrict 2-functorとする．ま たcylinder η: W ⇒ C(c, T−)が1次元的普遍性と2次元的普遍性を満たすとする．この ときc∼= lim^WT である．

証明. φ_a := (G−)b•η が圏同型を与えることを示せばよい．まず1 次元的普遍性によ

りφa は対象について全単射である．次に2 次元的普遍性によりφa は忠実充満である．

よってφaは圏同型である．

weighted limitの性質より次の定理が成り立つ．

定理 4. J ^をsmall 2-category，W: J →CAT，T: J → C^をstrict2-functor，a ∈ C とする．このときC(a,lim^WT)∼= lim^W(C(a, T−))である．

例 5. J = 0の場合のweighted limitを2-終対象という．J =0の場合[J,CAT] =1 である．故にC ^の2-終対象とは，任意のa ∈ C ^に対してC(a, x) = 1となる対象xのこ とである．即ちxは次の条件を満たす．

• 任意のa∈ C ^{に対して，}1-morphsim ! : a→xが一意に存在する．

• β: !⇒! : a →xを2-morphismとするときβ = id! である．

例 6. J ^が小圏でW = ∆1の場合．σ: ∆1 ⇒ C(a, T−)をcylinderとするとj ∈ J ^に

対してσj: 1→ C(a, T j)^{は関手である．}σ^{の自然性から}J ^の射 k: i →j ^{に対して次の}

図式が可換である．

1 C(a, T i)

1 C(a, T j)

σi

T k•−

id₁

σ_j

よってfj :=σj(∗) : a→T j と置けばT k◦fi =fj である．

a

F i

F j

T k fi

fj

=

このような族{fj: a→T j}j∈J をconeと呼ぶことにする．逆にconeがあればcylinder

σ: ∆1⇒ C(a, T−)が得られる．故にこの場合cylinderをconeと同一視することができ

る．従ってこの場合のweighted limitとは「普遍性」を持つconeのことである．

lim^∆1T が存在するとして，そのunitをη: ∆1 ⇒ C(lim^∆1T, T−)とし，ηに対応す るconeを{p_j: lim^∆1T → T j}j∈J とする．{f_j: a → T j}j∈J をconeとして対応する cylinderをσ: ∆1⇒ C(a, T−)とすれば1次元的普遍性によりh: a→lim^∆1T が一意に 存在してσ= (Gh)b◦ηとなる．即ちj ∈ J ^に対してσj = (− •h)◦ηj: 1→ C(a, T j)は 関手である．故に∗ ∈1の行き先を考えればf_j =σ_j(∗) =η_j(∗)◦h =p_j ◦hとなる．

a lim^∆1T

T i

T j

== = ^{T k}

h f_i

fj

pi

pj

次に{f_j: a → T j}j∈J と{f_j⁰: a → T j}j∈J をconeとして，これら対応する cylinder をσ, σ⁰: ∆1⇒ C(a, T−)として上の方法で得られる1-morphismをh, h⁰: a → lim^∆1T とする．

a lim^∆1T

T j

h

fj

pj

=

a lim^∆1T

T j

h⁰

f_j⁰

pj

=

Γ : σ ⇛ σ^{0 を}modification ^とすると Γj: σj ⇒ σ⁰_j: 1 → C(a, T j) ^{は自然変換であり，}

θ_j := (Γ_j)_∗: f_j ⇒ f_j⁰: a → T j はC の2-morphismとなる．Γ がmodification だから 等式

1 C(a, T i)

1 C(a, T j)

σi

T k•−

id1 σj

=

σ⁰_j

⇒Γj

=

1 C(a, T i)

1 C(a, T j)

σ⁰_i T k•−

id1

σ_j⁰

=

σi

⇒Γ_i

が成り立つ．故にθj =T k•θi となることが分かる．

a

T i

T j

T k f_i⁰

fi

fj

⇒

θi

=

= a

T i

T j

T k f_i⁰

f_j⁰

fj

⇒^θj

=

逆にこのような{θ_j: τ_j ⇒τ_j⁰}j∈J があればmodification Γ : σ ⇛σ⁰ が得られるから，Γ と{θj}j∈J が対応することが分かる．このような {θj}j∈J が存在するとき，2次元的普

遍性からβ: h ⇒ h⁰ が一意に存在して(Gβ)b•η = Γとなる．このときj ∈ J ^に対して (Gβ)_j•η_j = Γ_j となるからp_j •β =θ_j である．

a ⇒^β lim^∆1T ^pj T j

h⁰

h

= a ⇒^θj T j

f_j⁰

f_j

以上をまとめると，J ^が小圏でW = ∆1の場合のweighted limitとは，対象lim^∆1T とcone p={pj: lim^∆1T →T j}j∈J の組hlim^∆1T, piであって，以下の条件を満たすも のである．

• (1次元的普遍性) cone {f_j: a → T j}j∈J に対してh: a → lim^∆1T が一意に存在 して，任意のj ∈ J ^に対して

a lim^∆1T

T j

h

fj

pj

=

となる．

• (2 次元的普遍性) {f_j: a → T j}j∈J と {f_j⁰: a → T j}j∈J を cone として，こ れらから1 次元的普遍性で得られる1-morphism をh, h⁰: a → lim^∆1T とする．

2-morphism^の族{θj: fj ⇒f_j⁰}j∈J が，任意のk: i→j ^{に対して等式}

a

T i

T j

T k f_i⁰

fi

f_j

⇒

θ_i

=

= a

T i

T j

T k f_i⁰

f_j⁰

f_j

⇒^θj

=

を満たすとき，2-morphism β: h⇒h⁰ が一意に存在して，任意のj ∈ J ^に対して

a ⇒^β lim^∆1T ^pj T j

h⁰

h

= a ⇒^θj T j

f_j⁰

fj

となる．

例 7. 例6の特別な場合として，J ^が

i₁ j

i0

の場合を考える．(この場合のweighted limitをstrict 2-pullbackという．) T: J → C を

T:

i₁ j

i0

a₁ b

a0 f g

で定義するとき，これのstrict 2-pullbackとは，図式

a1 b

c a0

= _f

g

p0

p1

であって「普遍性」を満たすものである．例6によれば，この「普遍性」は次のように なる．

• (1次元的普遍性) 任意の

a1 b

x a₀

= _f

g

q₀ q1

に対して，ある1-morphism h: x→cが一意に存在してpi◦h=qiとなる．

a₁ b

c a0

x

=

=

=

f g

p0

p1

q0

q1

h

• (2次元的普遍性) 図式

a₁ b

x a₀

= _f

g

q⁰₀ q₁⁰

a₁ b

x a₀

= _f

g

q₀ q1

に1次元的普遍性により対応する1-morphismをh, h⁰: x →cとする．θ, ξが等式

a1 b

x a₀

= f

g

q₀

q₁⁰ ⇐_ξ q1 =

a1 b

x a₀

= f

g

q₀⁰

q₀ q⁰₁

⇒^θ

を満たすならばβ: h⇒h⁰が一意に存在して次の等式が成り立つ．

a1

c

x

⇐^β

p1

h⁰ h

=

a1

x

⇐^ξ

q⁰₁ q₁ x ⇒^β c ^p0 a0 h⁰

h

= x ⇒^θ a0

q⁰₀

q₀

例 8. 2-category J ^を

i1 j

i0

とする．strict 2-functor W: J →CAT，T: J → C^を

W:

i1 j

i₀

1 2

1

0 1

T:

i₁ j

i₀

a₁ b

a₀

f g

で定義する．このときのweighted limitをf, gのコンマ対象といい，f ↓gで表す．

x ∈ C^{を対象として}σ: W ⇒ C(x, T−)をcylinderとする．するとσ_i0: 1→ C(x, a₀)， σ_i1: 1→ C(x, a₁)，σ_j: 2→ C(x, b)は関手であり，またσ の自然性から次の図式が可換 である．

1 C(x, a₀)

2 C(x, b)

σi0

f•−

0

σ_j

1 C(x, a₁)

2 C(x, b)

σi1

g•−

1

σ_j

故にq0 := σi₀(∗)，q1 :=σi₁(∗)と定義すればqk: x →akであり，またσj(0) = f ◦q0， σj(1) =g◦q1である．故にτ :=σj(l) : f ◦q0 ⇒g◦q1 とすれば次の図式を得る．

a1 b

x a₀

⇒ =

τ f

g

q₀ q₁

これによりσ とτ を同一視することができる．故にa0

−→f b←−^g a1のコンマ対象とは，対 象f ↓g∈ C^，1-morphismp₀: a₀ →b，p₁: a₁ →b，2-morphism η: f ◦p₀ ⇒g◦p₁ の 4つ組hf ↓g, p₀, p₁, ηi^{，即ち図式}

a1 b

f ↓g a₀

⇒ =

η f

g

p0

p₁

であって「普遍性」を満たすものであると言える．

容易に分かるように，1次元的普遍性は次のようになる: 別の組hx, q₀, q₁, σi^が同じ条 件を満たすならば，1-morphism h: x→f ↓gが一意に存在して次の等号が成り立つ．

a1 b

f ↓g a0

x

⇒ =

η

=

=

f g

p0

p1

q0

q1

h

=

a1 b

a0

x

⇒ =

σ

f g

q0

q1

次に2次元的普遍性についてみる．x∈ C^{を対象として}σ, σ⁰: W ⇒ C(x, T−)をcylinder とする．即ち図式

a1 b

x a₀

⇒ =

σ f

g

q0

q₁

a1 b

x a₀

⇒ =

σ⁰

f g

q₀⁰ q⁰₁

である．これらに 1 次元的普遍性で対応する h, h⁰: x → f ↓g を取る．Γ : σ ⇛ σ⁰ を modificationとする．

Γ_i0: σ_i0 ⇒σ_i⁰

0: 1→ C(x, a₀), Γ_i1: σ_i1 ⇒σ_i⁰

1: 1→ C(x, a₁), Γ_j: σ_j ⇒σ⁰_j: 2→ C(x, b)

は自然変換である．θ := (Γi₀)_∗: q0 ⇒ q⁰₀，ξ := (Γi₁)_∗: q1 ⇒q₁⁰ と置く．またmodifica- tionの定義より，次の等式が成り立つ．

1 C(x, a₀)

2 C(x, b)

σ_i0

f•−

0 σj

=

σ_j⁰

⇒Γ_j

=

1 C(x, a₀)

2 C(x, b)

σ⁰_i

0 f•−

0

σ⁰_j

=

σ_i0

⇒Γi0

1 C(x, a1)

2 C(x, b)

σi1

g•−

1 σj

=

σ_j⁰

⇒Γj

=

1 C(x, a1)

2 C(x, b)

σ⁰_i

1 g•−

1

σ⁰_j

=

σi1

⇒Γi1

よって(Γj)0 =f •θ^，(Γj)1 =g•ξ^{である．また}Γj: σj ⇒σ_j⁰ が自然変換だから，次の 図式が可換である．

σ_j(0) σ_j⁰(0)

σj(1) σ_j⁰(1)

(Γj)0

σ_j⁰(l) σj(l)

(Γj)1

これは書き換えると

f ◦q₀ f ◦q₀⁰ g◦q₁ g◦q₁⁰

f•θ

σ⁰ σ

g•ξ

となる．即ち

a1 b

x a0

⇒ =

σ f g

q0

q₁⁰ ⇐_ξ q1 =

a1 b

x a0

⇒ =

σ⁰ f g

q₀⁰

q0

q⁰₁

⇒^θ

である．このとき2-morphism β: h⇒h⁰ が一意に存在してp1•β =ξ，p0•β =θが成 り立つ．

a1

f ↓g

x

⇐^β

p₁

h⁰ h

=

a1

x

⇐^ξ

q⁰₁ q₁ x ⇒^β f ↓g ^p0 a0 h⁰

h

= x ⇒^θ a0

q⁰₀

q₀

命題 9. ^{コンマ圏は}CATにおけるコンマ対象である．

証明. ^関手F: A0 →B^，G: A1 →B^{のコンマ圏}F ↓G^を取る．

A₁ B

F ↓G A0

⇒ =

η F

G

P₀ P₁

これが1次元的普遍性を持つことは「コンマ圏」のPDF で既に示したから2次元的普遍 性を示せばよい．

そのために次の等式が成り立つとする．

A1 B

X A0

⇒ =

σ F G

Q0

Q⁰₁ ⇐_ξ Q₁ =

A1 B

X A0

⇒ =

σ⁰ F G

Q⁰₀

Q0

Q⁰₁

⇒^θ

1次元的普遍性からH, H⁰: X →F ↓Gが存在して次の等式が成り立つ．

A1 B

F ↓G A₀ X

⇒ =

η

=

=

F G

P1

P0

Q1

Q0

H

=

A1 B

A₀ X

⇒ =

σ

F G

Q1

Q0

A₁ B

F ↓G A0

X

⇒ =

η

=

=

F G

P₁

P₀ Q⁰₁

Q⁰₀ H⁰

=

A₁ B

A0

X

⇒ =

σ⁰

F G

Q⁰₁

Q⁰₀

x∈X に対してHx=hQ₀x, Q₁x, σ_xi^，H⁰x= hQ⁰₀x, Q⁰₁x, σ⁰_xiだった．一方上記の等式 からGξ_x◦σ_x =σ⁰_x◦F θ_x である．

Q0x

Q⁰₀x

F Q0x GQ1x

F Q⁰₀x GQ⁰₁x

Q1x

Q⁰₁x

θx

σx

Gξ_x F θx

σ_x⁰

ξ_x

よってF ↓Gの射hθx, ξxi: Hx = hQ0x, Q1x, σxi → hQ⁰₀x, Q⁰₁x, σ_x⁰i = H⁰x が得られ る．βx :=hθx, ξxiと置けばこれは自然変換β: H ⇒H^{0 を与える．}

...

) f: x→x⁰ をX の射とする．定義から，図式

hQ0x, Q1x, σxi hQ⁰₀x, Q⁰₁x, σ⁰_xi

hQ0x⁰, Q1x⁰, σx⁰i hQ⁰₀x⁰, Q⁰₁x⁰, σ_x⁰0i

hθx,ξxi

hQ⁰₀f,Q⁰₁fi hQ0f,Q1fi

hθ_x0,ξ_x0i

が可換であることを示せばよい．その為には

Q0x Q⁰₀x

Q0x⁰ Q⁰₀x⁰

θx

Q⁰₀f Q0f

θ_x0

Q1x Q⁰₁x

Q1x⁰ Q⁰₁x⁰

ξ_x

Q⁰₁f Q1f

ξ_x0

が可換であればよいが，それはθ, ξが自然変換だから明らか．

P₁(β)_x =P₁(β_x) =ξ_x，P₀(β)_x =P₀(β_x) =θ_xだから等式 A1

F ↓G

X

⇐^β

P1

H⁰ H

=

A1

X

⇐^ξ

Q⁰₁ Q1 X ⇒^βF ↓G ^P0 A0 H⁰

H

= X ⇒^θ A0

Q⁰₀

Q₀

が成り立つ．このようなβが一意であることは明らかである．

従って定理4により

命題 10. f: a₀ →b，g: a₁ →bを1-morphismとしてコンマ対象hf ↓g, p₀, p₁, θi^が存 在するとする．このとき任意のx∈ C ^{に対して圏同型}C(x, f ↓g)∼=C(x, f)↓ C(x, g)が成 り立つ．(右辺はコンマ圏である．)

例 11. J = 1 の場合のweighted limit をpower object というのであった．W: 1 → CAT，T: 1→ C ^をstrict 2-functorとしてX :=W(∗)，c:=T(∗)∈ C ^{とする．このと} きpower objectX ⋔cとは，a ∈ C^{について自然な同型}C(a, X ⋔c)∼=CAT(X,C(a, c)) を満たすものである．この場合のcylinderとは関手X → C(a, c)のことである．

X =2の場合を考える．この場合のcylinder ^は2-mophism σ: q0 ⇒q1: a → c^と同

一視できる．故にpower object 2⋔ cとは，2-mophism η: p0 ⇒p1: 2⋔ c→cであっ て次の普遍性を満たすものである．

• (1次元的普遍性) 任意の2-mophism σ: q₀ ⇒ q₁: a → cに対してh: a → 2 ⋔ c が一意に存在して

a ^h 2⋔c ⇒^η c

p1

p0

= a ⇒^σ c

q1

q₀

となる．

• (2次元的普遍性)任意の2-mophism σ: q0 ⇒q1: a →c，σ⁰: q⁰₀ ⇒ q₁⁰: a → cを 取り，これらに1次元的普遍性で対応する1-morphismをh, h⁰: a → 2 ⋔ cとす る．2-morphism θ: q₀ ⇒q₀⁰ とξ: q₁ ⇒q₁⁰ が

a ⇒⇒^σξ c

q₁⁰

q₁

q₀

= a ⇒⇒^σθ0 c

q⁰₁

q⁰₀

q₀

を満たすならば，β: h ⇒h⁰が一意に存在して

a ⇒^β 2⋔c ^p0 c

h⁰

h

= a ⇒^θ c

q⁰₀

q₀

a ⇒^β 2⋔c ^p1 c

h⁰

h

= a ⇒^ξ c

q⁰₁

q1

となる．

従って2⋔c= idc ↓idcである．

命題 12. hf ↓g, p0, p1, ηiをコンマ対象とする．このとき次の図式において 左の四角がstrict 2-pullback ⇐⇒外側の四角がコンマ対象．

c a1 b

d f↓g a₀

⇒ =

= η f

g

p₀ p1

q1

k

q₀

証明. (=⇒) まず1次元的普遍性を示すため，次の図式を考える．

c a₁ b

a0

x

⇒ =

σ

g

f k

k1

k0

f ↓gの1次元的普遍性から，次のsが得られる．

c a1 b

f ↓g a₀ x

⇒ =

η

=

g

p₁ f

p0

k

k1

s k0

=

=

c a1 b

a₀ x

⇒ =

σ

g

f k

k1

k0

strict 2-pullbackの1次元的普遍性から，次のtが得られる．

c a₁ b

d f ↓g a0

x

⇒ =

= η

g

p1 f

p0

q1

k

q0

k1

t s k₀

=

= =

このtの一意性も容易に分かるから，1次元的普遍性が分かった．2^{次元的普遍性を示す} ため，次の等式を考える．

c a₁ b

x a0

⇒ =

σ f

k g

k⁰₁ k1

k0

⇐ξ =

c a₁ b

x a0

⇒ =

σ⁰ f

k g

k⁰₁

k⁰₀

k0

⇒^θ

σ, σ⁰から上記のようにs, t, s⁰, t⁰を取ると次の等式を得る．

c a1 b

d f ↓g a₀ x

⇒ =

= η

g

p₁ f

p₀ q1

k

q₀ k₁’

t s k0

ξ⇒

= =

=

c a1 b

d f↓g a₀ x

⇒ =

= η

g

p₁ f

p₀ q1

k

q₀ k₁’

t⁰

s⁰ k0

=

= ^θ⇒

左辺を書き換えて次の等式を得る．

c a₁ b

f ↓g a0

x

⇒ =

η g

p1 f

p0

k

k1’

s k₀

k⇒ •ξ

=

=

c a₁ b

d f↓g a0

x

⇒ =

= η

g

p1 f

p0

q1

k

q0

k1’

t⁰

s⁰ k₀

=

= ^θ⇒

よってf ↓gの2次元的普遍性から，β: s ⇒s⁰が存在して次の等式が成り立つ．

a1

f ↓g

x

⇐^β

p₁

s⁰ s

=

a1

x

k⇐•ξ k◦k⁰₁ p1◦s

x ⇒^β f↓g ^p0 a₀

s⁰

s

= x ⇒^θ a₀

k⁰₀

k0

このとき次の等式を得る．

c a₁

d f ↓g x

= ^p1

q1

k

q0

k1’

t s

ξ⇒

=

=

c a₁

d f↓g x

= ^p1

q1

k

q0

k1’

t⁰ s

=

⇒

β

よってstrict 2-pullbackの普遍性からγ: t ⇒t⁰ が存在して次の等式を満たす．

c d

x

⇐^γ

q1

t⁰ t

=

c

x

⇐^ξ

k⁰₁ k1 x ⇒^γ d ^q0 f ↓g

t⁰

t

= x ⇒^β f ↓g

s⁰

s

このとき

x ⇒^γ d ^q0 f ↓g a0 t⁰

t

p0

= x ⇒^θ a0

k₀⁰

k₀

である．このようなγの一意性も分かるから，2次元的普遍性が成り立つことが分かった．

(⇐=) まずstrict 2-pullbackの1次元的普遍性を示すため，次の図式を考える．

c a1

f ↓g x

=

p1

k

k1

k0

コンマ対象dの1次元的普遍性から次のtを得る．

c a₁ b

d f ↓g a₀ x

⇒ =

= η

g

p1 f

p₀ q1

k

q₀ k₁

t p0◦k0

=

=

=

c a1 b

f↓g a0

x

⇒ =

η

=

g

p1 f

p0

k

k1

k0

このときコンマ対象f↓gの1次元的普遍性からq0◦t=k0となるから，次の図式を得る．

c a₁

d f ↓g x

= ^p1

q1

k

q0

k1

t k0

=

=

コンマ対象 d の 1 次元的普遍性から，このような t の一意性も分かる．故に strict

2-pullbackの1次元的普遍性が成り立つことが分かった．

2次元的普遍性を示すため，次の等式が成り立つとする．

c a₁

x f↓g

= _p

1

k

k0

k⁰₁ ⇐ k1

ξ =

c a₁

x f↓g

= _p

1

k

k₀⁰

k0

k⁰₁

⇒^θ

上記で示した通り次のt, t⁰ を得る．

c a1

d f ↓g x

= ^p1

q1

k

q0

k1

t k0

=

=

c a1

d f ↓g x

= ^p1

q₁ k

q0

k⁰₁

t⁰

k⁰₀

=

=

等式

c a1 b

x f ↓g a₀

= p1

k

k0

k₁⁰ ⇐_ξ k1

g

p₀

= f

η ⇒ =

c a1 b

x f↓g a₀

= p1

k

k₀⁰

k0

k⁰₁

⇒^θ

g

p₀

= f η ⇒

が成り立つから，コンマ対象d^の2^{次元的普遍性により}β: s ⇒s^{0が存在して次の等式が}

成り立つ．

c d

x

⇐^β

q1

t⁰ t

=

c

x

⇐^ξ

k₁⁰ k1

x ⇒^β d ^q0 f↓g a0 t⁰

t

p0

= x ⇒^θ f ↓g a0

k⁰₀

k₀

p0

このとき

a₁

x ⇒^β d q₀ f↓g

t⁰

t

p1 =

c a₁

x ⇒^β d

q₁ t⁰

t

k

=

c a₁

x

⇐^ξ

k⁰₁ k1

k

=

a₁

x f ↓g

p1

k⁰₀

k₀

⇒^θ

となるからf ↓gの2次元的普遍性より

x ⇒^β d ^q0 f ↓g

t⁰

t

= x ⇒^θ f ↓g

k⁰₀

k0

が分かる．βの一意性も分かるので，strict 2-pullbackの2次元的普遍性が成り立つこと が分かった．

系 13. 任意のstrict 2-pullbackが存在し，また任意のa ∈ C^に対して2⋔aが存在する とする．このとき任意のコンマ対象が存在する．

証明. 2⋔ a = ida↓idaだからコンマ対象ida↓ida が存在する．f: a0 →b^，g: a1 →b とする．p₀: id_b ↓id_b →bとf のstrict 2-pullbackを取ればそれはコンマ対象f ↓id_b と