2021 年 5 月 7 日

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随伴の列と Set

alg-d

http://alg-d.com/math/kan_extension/

2021 年 5 月 7 日

※ このPDFでは局所小とは限らない圏を扱う．

定理 1. F: C → D^が関手でC ^が小圏，D^{が局所小圏のとき}F^† ⊣F⁻¹ ⊣F^‡: Cb → Db である．

0⊣!⊣1 : 1→Setだから0⁻¹ ⊣ !⁻¹ ⊣1⁻¹: Setd →b1∼=Setが成り立つ．故に随伴の列0^†⊣0⁻¹ ⊣!⁻¹ ⊣1⁻¹ ⊣1^‡: Set→Setd を得る．

命題 2. 小圏Cの米田埋込をy: C →Cb，Cbの米田埋込をz: Cb→ Cbb とする．このとき y^‡ ∼=zである．

証明. y⁻¹ ⊣y^‡: Cbb →Cbだから，F :=y⁻¹◦zとすればy^‡=∼F^†z である(普遍随伴)． Cbb

Cb Cb

z

F y⁻¹ y^‡

P ∈ Cb に対してF(P) = y⁻¹(z(P)) = z(P)◦y = Hom^Cb(y(−), P)∼= P だからF ∼= id である．故にF^†z(P) ∼= Hom^Cb(F−, P) ∼= Hom^Cb(id^Cb(−), P) ∼= z(P)だからF^†z ∼= z である．よってy^‡∼=F^†z ∼=zが分かった．

系 3. 圏Setの米田埋込y: Set →Setd に対して，随伴の列U ⊣ V ⊣W ⊣ X ⊣y が存在する．

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証明. 圏0の米田埋込をz: 0→b0∼=1，圏1の米田埋込をw: 1→b1∼=Setとする．随伴z⁻¹ ⊣z^‡: Set∼=b1 →b0∼=1が成り立つから，命題2によりz⁻¹ ⊣wが分かる．ここでz⁻¹ = ! : Set→1だからw∼= 1 : 1→Setである．故に1^‡∼=w^‡∼=yとなり

0^† ⊣0⁻¹ ⊣!⁻¹ ⊣1⁻¹ ⊣1^‡∼=y

が分かる．

この系の性質は実はSet^{の特徴付けを与える}(^系7)．以下ではそれを説明する．

C を局所小圏として，米田埋込y: C →Cbに対して随伴の列W ⊣X ⊣yが存在するとする．W ⊣Xのunitをη，X ⊣yのcounitをεとする．yが忠実充満だからW も忠実充満であり，よってηとεは自然同型である．今，自然変換σ: W ⇒yで

C

Cb

C

⇒^σ

⇒^η ⇒^ε

W y

X

id_C id_C =

C

=^id⇒

id_C id_C

となるものが一意に存在する．充満部分圏A ⊂C ^をOb(A) := {a ∈C |σa が同型}^により定義し，I: A→Cを包含関手とする．定義よりσ_I: W I ⇒yI は自然同型である．

定理 4. 局所小圏Cの米田埋込をy: C →Cbとするとき小圏Aが存在してC ≃Abと書ける

⇐⇒^随伴の列W ⊣ X ⊣y が存在し，上記のようにI: A → C ^を取るとI ^が稠密でI⁻¹ が左随伴を持つ．

証明. (=⇒) 略

(⇐=)I⁻¹が左随伴を持つから左Kan拡張I^†が存在しI^†⊣I⁻¹である．F :=I⁻¹◦y とするとI^†⊣I⁻¹かつX ⊣yだからF は左随伴X◦I^†を持つ．

Ab ⊥ Cb ⊥ C

I^† I⁻¹

X y

I が忠実充満だからI^†も忠実充満であり，よってI⁻¹◦I^†∼= id^{である．今}Iが稠密だからF ∼= HomA(I−,□)は忠実充満である．従ってF が本質的全射であることを示せばよ

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い．そのために任意のP ∈Abに対してc:=X(I^†P)とすると

F(c)∼= HomC(I−, c) = HomC(I−, X(I^†P))∼= Hom^Cb(W I−, I^†P)

∼= Hom^Cb(yI−, I^†P)∼=I^†P(I−) = (I⁻¹◦I^†)(P)

∼=P

となるからF は本質的全射である．

定理 5. 局所小圏Cの米田埋込をy: C →Cbとするとき

余完備順序集合A が存在してC ≃ Abと書ける⇐⇒^随伴の列V ⊣ W ⊣ X ⊣ yが存在する．

証明. (=⇒) Aを余完備順序集合としてz: A →Abを米田埋込とするとz は左随伴F を持つ．よってF^†⊣F⁻¹ ⊣z⁻¹ ⊣z^‡∼=yである．

(⇐=) ^{上記のように} I: A →C ^とσ: W ⇒ y^を取る．T :=V y: C →C ^とするとσT

は自然同型である．よってH: C → A をHc := T cで定義できる．このときH ⊣ I である．故にH⁻¹ ⊣I⁻¹ である．またI は稠密である．故に定理4 (の証明)によりA は小圏でC ≃Abが分かる．またAは余完備であることが分かる．故にA は順序集合である．

定理 6. 局所小圏Cの米田埋込をy: C →Cbとするとき

C ≃Set⇐⇒^随伴の列V ⊣W ⊣X ⊣yが存在し，V がpullbackと交換する．

証明. (=⇒) 系3と右随伴がpullbackと交換することから明らか．

(⇐=) 定理5 (の証明)により，順序集合 A を使って C ≃ Abと書けるが，このとき A がGrothendieckトポスであることが分かる．すると射 1 → Ω が1つしか無いから true = false : 1→Ω^{である．故に}A ∼=1^でありC ≃Set^{が分かる．}

系 7. ^局所小圏C ^{の米田埋込を}y: C →Cb^{とするとき}

C ≃Set⇐⇒^随伴の列U ⊣V ⊣W ⊣X ⊣yが存在する．

証明. 右随伴V がpullbackと交換するから明らか．

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参考文献

[1] R. Rosebrugh and R. J. Wood, an Adjoint Characterization of the Category of Sets, Proceedings of the American Mathematical Society vol. 122 No. 2 (1994), 409–413

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