構造材料の力学的性質、応力度とひずみ

1

第９回 構造材料の力学的性質

• 材料特性

• 応力（N,Q,M）から応力度（σ、τ）へ

• ひずみ（度）

• 応力度とひずみの関係

p.77~ 2

構造物の安全を検討するには

構造物 モデル化 応力算定 安全性の検討？ ・安全性は応力度で検討する ・応力N、Q、Mを応力度に変換する ・そのために必要な事項＝材料特性と断面特性 N Q M 3

材料特性

• 剛さや強さ

• これらの性質が

– 方向で変わらない：等方性

（⇔異方性）

– 部分で変わらない：等質性

（⇔異質性）

• 部材全体としてみれば、鉄もコンクリートも弾性

範囲では等方等質性材料と考えてよい

p.77~ 4

応力度

• 単位面積あたりの応力の大きさ

• 断面に対する方向で二種類

– σ：垂直応力度

（軸力と曲げモーメントで生じる）

– τ：せん断応力度

（せん断力とねじりモーメントで

生じる）

p.79~

5

軸力による垂直応力度

P P P N(=P) 断面積A 引張または圧縮 p.79~ 6

軸力による垂直応力度

P P P N(=P) 断面積A 引張または圧縮

A

P

A

N







p.79~ 7

せん断力による（平均）せん断応力度

P P 断面積A P Q(=P) p.80~ 8

せん断力による（平均）せん断応力度

P P 断面積A

A

P

A

Q







P Q(=P) （一様に分布すると仮定すれば） p.81

9

垂直ひずみ（度）

P P l Δl

l

l







P l Δl P 引張 Δl＞０ 圧縮 Δl＜０ p.81 10



a b b’

ab

b

b







せん断ひずみ（度）

p.82 11

垂直応力度とひずみ度の関係（鋼材）

(P)比例限度 (L)弾性限度 上降伏点 (U)引張強度 (B)破壊点





2 5 / 10 05 . 2 N mm Es  y



降伏ひずみ（およそ0.12%～） 破断ひずみ （およそ20～30%） u



（＝205GPa：Esはほぼ一定） 降伏棚 (Y)下降伏点 y



(H)ひずみ硬化開始点 st



u



b



鋼材種別：SS400, SM400, SM490, SN490... （引張応力度）

垂直応力度とひずみ度の関係（鋼材：続き）

12 u



b



0.2%耐力（≒降伏点） （0.2% proof stress） （引張応力度）

13

垂直応力度とひずみ度の関係（コンクリート）

圧縮強度 破壊点





2 4 / 10 5 . 3 5 . 2 N mm Ec ～  はじめから曲線関係であり明確な比例限度、弾性限度はないが、 はじめは近似的に弾性と考えてよい 割線剛性 （参考）圧縮強度の記号・・・（土木）f’c，（建築）σBまたはFc［設計基準強度］ （圧縮応力度） c F 3 c F 3 1 2 4 60 24 10 35 . 3                 c c F E  日本建築学会RC規準では （＝25～35GPa） 14

弾性定数

• 近似的に弾性限度内で応力度とひずみは比例

するとみなす

• ヤング係数（弾性係数）：E

（フックの法則）

• ポアソン比：ν （ポアソン数m=1/ν）

• せん断弾性係数:G







E

V H









/







G

V   1 V     1 ) 1 ( 2 



 E G p.84~ 15

ポアソン比と体積

1 1 1   1   1





1

体積変化： 体積増加 体積一定 2 1 ( 0.5) (1 )(1 ) (1 2 ) 1 ( 0.5)







 



        _   コンクリート：約0.2 鋼材：約0.3 p.84~ 16

演習6.1

150 P=450kN 300 （単位mm） 供試体の断面積 2 4 2 10 77 . 1 2 150 mm A          



2 4 25.4 / 10 77 . 1 450000 mm N   



破壊時の圧縮応力度 p.90

17

演習6.2

3 22



 ボルト一本の断面積 2 2 380 2 22 mm A         



ボルトに生じるせん断応力度 2 / 105 380 3 120000 mm N   



120kN 120kN 一面せん断 （⇔二面せん断） p.90 18

演習6.4

直径 2cm 長さ l=1m P=50kN 鋼材 50kN



20 1000mm 50kN 25 . 0 / 10 0 . 2 5 2     mm N E 2 2 314 2 20 mm A          



2 / 159 314 50000 ) 1 (



  N mm 4 4 10 99 . 1 10 95 . 7 25 . 0 ) 4 ( 



      

0004

.

1

)

2

1

(

)

5

(











mm l l 7.95 10 1000 0.795 ) 3 (     4  4 10 95 . 7 200000 159 ) 2 (      E   p.90 19

例題6.1 並列材の応力とひずみ

P P 1 1, E A A2, E2 同じ変位を起こすように引張ると ひずみは同一になる → εとする。 1 1 2 2 P A E A E     1 1 1 1 1 2 2 A E P P A E A E    AE AE P E A P 2 2 1 1 2 2 2 _   2 2 1 1 2 1 P AE AE P P       ₁E₁ , P₁ ₁A₁A₁E₁    ₂E₂ , P₂ ₂A₂A₂E₂ p.88 kN 6 20

演習6.5 中間に軸力を受ける両端固定棒

A R R_B 2 5 2 1000 , 2.0 10 / A mm E  N mm kN 6 力のつりあい： A R 6kN RB 0 6   B A R R A C B 1000 2000 A R N1 AC間 RAN1 CB間 A R N2 2 2 6 0 6 A A R  N  N R  0 2 1  l l (1) (2) EA l R EA l N l 11 A 1 1   EA l R EA l N l 22 A 2 2 ) 6 (     1 2 1 2 ( 6) 0 A A R l R l l l EA EA        より kN l l l R_A 6 4 2 1 2 _   kN R_B462 （左向き） , l N l E A l N l l l E EA                  変形の適合： p.90 x 左端より （∵両端固定） 1 (l) (l2)

kN 6 21

演習6.5 （続き）

A R RB 2 5 2 / 10 0 . 2 , 1000mm E N mm A   kN 6 A C B 1000 2000 2 1 l l   (1) (2) kN RA4 RB2kN 2 1 4000 _{4 /} 1000 AC N N mm A     kN R N1 A4 N2462kN 2 2 2000 _{2 /} 1000 CB N N mm A      （引張） （圧縮） mm l C 02 . 0 1000 10 0 . 2 1000 4000 5 1         C点の変位を求める・・・ （右方向に変位） 部材の途中で外力が作用すると 部材の左右で応力度が異なる ⇒これまでの棒材と同じ p.90 =R1・ℓ1/E・A 各区間の応力度を求める・・・ より 22

温度応力(両端固定棒における一般式)

①拘束がないときの伸び量  P P , , A E ここで，Δt：温度上昇量（℃），α：線膨張係数とする t       ②この伸び量をあらかじめ縮ま せておくのに必要な（圧縮）力 PAE A EA EA t ③棒に生じる軸（圧縮）応力度 例題6.2 t_15C,l_1000mm,E_2.0_105N/mm2,_1.0_105/C 5 5 2 2.0 10 1.0 10 15 30N mm/          P E t A     p.89 t  ① ② ③ 23

演習6.6 異種材料の直列部材の温度変化

・部材の途中で外力が作用していな いので反力は左右で等しい ・単位は与えられたもので計算したほ うが楽



 







1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 0 0 T R T R T R t R R A EA EA R R t t E A E A t R E A E A                                                       _      （温度上昇による伸び） （軸力による縮み） R R A C B 60cm 40cm 1 1 1,E , A A2,E2,2 C  部材1 部材2 24

演習6.6 （続き）

1 1 1 1 1 1 1 0.0048 T R C R t cm E A              （部材１・・・C点は左方向へ） p.90 2 2 2 2 1 1 7 2 / 2800 / / 5600 / 56000 10 5 10 8 . 2 cm N A R cm N A R N R         _   （部材2におけるC点の変位） C点の変位= 温度による伸び－反力による縮み R R A C B 60cm 40cm 1 1 1,E , A A2,E2,2 C  部材1 部材2



1 1 2 2



1 2 1 1 2 2 t R E A E A                より 2 2 2 2 2 0.0048 R t cm E A  _{   }  _     