一般 化 され た 生 産 関 数 に つ い て

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一般 化 され た 生 産 関 数 に つ い て

若 林 信 夫

目 次

1基 本的考 察

皿 一一般化 され たVES生 産関数

皿CES生 産関数

IV歴 史 的覚書(CESか らVESへ)

1基 本 的 考 察

与 え られ た 時 点 でn個 の 投 入 物(x、,κ2,…,Xn)の 組 合 せ を 用 い て 単 一 の 生 産 物yを 作 り出 す 生 産 者 を 考 え る 。 生 産 者 の 生 産 関 数Fと は,こ の よ う な 生 産 者 が 生 産 す る 最 大 産 出 量

(1)Pt‑F(x)

(1)

の,純 粋 に 技 術 的 な 関 係 で あ る 。

生 産 関 数 、Fに は 通 常,次 の よ う な 仮 定 を お く 。 仮 定1.(非 負 の 実 数 値,有 限)

(2)F(x)∈R+,x∈R+n

Fはn個 の 非 負 の 実 変 数x==(X1,X2,…,Xη)の 実 変 数 関 数 で,F(x)は, κ の 各 要 素 が 有 限 の と き,有 限 で あ る 。 つ ま り,ど ん な 有 限 な 投 入 物 を 用 い

る に せ よ,無 限 量 の 産 出 物 を も た ら す こ と は で き な い 。 仮 定2.(収 穫 非 減 少,ゼ ロ 投 入 ゼ ロ 産 出)

(3)F(xl)≦ 〔F(x2)ifκ1《 謬2

α)こ こ で は 結 合 生 産 の 存 在 を 排 除 す る.従 っ て,多 数 財 生 産 の 構 造 の 分 析 の 特 殊 な 場 合 で あ る.こ の 問 題 は 生 産 関 数 と い う よ り は 生 産 対 応(productioncorres‑

pondence)の 分 野 に な る.S・EJacobsen[12コ,R・Shephard[29コ 参 照.

(4)F(0)==O

す べ て の 投 入 物 が ゼ ロ の水 準 な ら,何 も 生 産 が で き な い 。 ま た,投 入 量 が 増 加 す れ ば,産 出 量 も増 加 し,決 して 減 少 しな い 。

仮 定3.(生 産 的)

あ らゆ る 正 の 産 出 量 水 準 は あ る投 入 物 の 組 合 せ に よ り生 産 可 能 で あ る。 数 学 的 に は,す べ て の 正 の 整 数Nに 対 して,あ るxN≧0が あ っ て,F(xN)≧N で あ る 。

仮 定4.(上 半 連 続 性)

Fは 上 か ら連 続 で あ る。(上 半 連 続)。 つ ま り,あ らゆ る整 数1>に 対 して, κκ≧O,F(xN)≧y,limxN・=x,y=F(x)な らば,

ル  ウ 

(5)limF(xN)=一 タ

ガ  ふ

で あ る 。 こ の 仮 定 は,生 産 過 程 に 非 分 割 性 が あ る場 合 適 用 で き る。

仮 定5.(準 凹)

Fは,新 古 典 派 の 凹 性 条 件 を 一 般 化 して,準 凹 で あ る とす る 。 従 っ て,生 産 関 数 が あ る単 一 要 素 に 関 し収 穫 逓 減 を 表 わ す 生 産 関 数 の 一 般 化 に も な っ て い る。 準 凹 の 数 学 的 表 現 は 集 合{xIF(x)≧y・x≧0}が す べ て のPt>.Oに 対 し て 凸 集 合 で あ る と い う こ と で あ る。

Fに は 規 模 に 関 し 収 穫 不 変 を 仮 定 しな い が,同 次 性,場 合 に よ っ て は homothe七ici七yを 仮 定 す る の で,定 義 を 与 え て お く。

仮 定6.(同 次 性)

Fは 次 数hの 同 次 関 数 で あ る。 す な わ ち,す べ て のX∈R.'bと す べ て の 正 の 数 λ∈R+に 対 して,

(6)F(2x)==ZhF(x)(λ>0)

が 成 り立 つ こ と で あ る。h〈,一,>1に 応 じ,規 模 に 関 し収 穫 逓 減,不 変, 逓 増 の 意 味 を も つ 。

定 義(homotheticity)

Fがhomotheticで あ る とは,一 一次 同 次 な 関 数Hと,連 続,非 負 値 か つ 非 減 少 な 関 数Gに よ り,

一 般 化 さ れ た 生 産 関 数 に つ い て249

(7)F(x)=(][H(x)コ と 書 け る こ と で あ る 。

以 下,生 産 関 数 は,二 要 素 投 入 物 の ケ ー ス だ け に 限 る 。 記 号

時 点 診 で

絶 対 量1人 当 り 量

産 出 量Yy

資 本 ス ト ッ クKk

労 働 力 五

生 産 関 数 一F(K'五)f(h)

を 導 入 す る と,上 で,投 入 ベ ク ト ル をx・=(K,L)と 指 定 し た 場 合 に 他 な ら ず,他 の す べ て の 仮 定 は そ の ま ま 保 持 さ れ る 。

関 係 式

1。 技 術 的 可 能 性(生 産 関 数)

生 産 は,資 本 と 労 働 の 代 替 的 協 働 で な さ れ る 。 す な わ ち, (8)Y・F(瓦L)

Fは 仮 定6に よ りh次 同 次 で あ る か ら, (9)F(λK・ZL)=RhF(K,L)

が な り た つ 。 そ の と き,オ イ ラ ー の 法 則 に よ り,

⑩FK・K+FL・L=h・F(瓦L) お よ び

⑪FI〈L・K+FLL・L==(h‑1)FL

⑫FLK・ 五+FKK・1(一@‑1)FK

を 得 る 。 い ま(9)で λ・・1/Lと お く と,・

⑬ ツーLh'1・f(k)

を 得 る 。

2。 限 界 生 産 力

資 本 の 限 界 生 産 力(MPκ)‑Fk‑..Lh}i.f'(h)

労 働 の 限 界 生 産 力(MP.)==FL…Lh‑1(hf(h)‑hf'(h) 3。 限 界 代 替 率(MRS)

労働の資本に対する限界代解(R)一 一器 一舞 亙(り審 ㈹

4。 代 替 の 弾 力性(σ)

可変 的 な 要 素 が 他 の要 素 と代 替 され る容 易 さの尺 度 をい い

・響/望 一翻 助R

r孟1㌻ 簿f(α)

「漏 謡 告 蘭(β)

(2) 一亨/窒(γ)

(証 明)

(a)定繍 ・翫 庫)=爾f癖 と計算で

き る こ と よ り 明 ら か 。 (β)分 母 が

ん{(h‑一,1)∫'2‑hff"}一(h‑1)hf'2‑hk∬"

==hf{(h‑‑1)f'‑hf"}一(h‑1)f'・(hf‑kf') と 変 形 で き る こ と と,

FκL一 ひ 隔2{(h‑1)f'一 一kf"}

を 用 い れ ば,容 易 に 得 る 。

(γ)こ れ を 全 微 分 し て み れ ば 定 義 に 帰 着 す る 。 但 し,市 場 が 純 粋 に 競 争 的 で あ る こ と を 必 要 と ず る 。

5。 相 対 的 分 け 前

資本の相対的分け前@)一 箏 一誓 響

(2)anは,賃 金 率 を 表 わ す,弾 力 性 の 一 般 化 に つ い て は,Samuelson[26コ 参 照.

一 般化 された 生産関数 につ いて 251

労働の相対的肘 前 叶 箏 一亙(鵠f㈹

.

こ の 論 文 は,以 上 の基 本 的 考 察 の 上 に た っ て,fiで,あ る一 般 化 さ れ た 生 産 関 数 を 提 示 す る 。 こ の 生 産 関 数 は,

c4)Y‑G[Σb、(瓦L)Kc・Ldi〕

δ

の 型 を し,係 数 の 選 択 に よ り,Cobb‑Douglas,CES,VES,・ 一般 化 さ れ た 線 型 生 産 関 数 等 を 包 含 す る 。 皿 で は,数 学 的 に 取 扱 い や す いCES生 産 関 数 に つ い て,「 ρ 次 の 平 均 値 」 とい う観 点 か ら,基 本 的 な 性 質 を 確 認 す る。

最 後 に1Vで,CESか らVESに 至 る まで の 小 史 を 展 開 す る。 生 産 関 数 の 計 量 的 考 察 は 割 愛 した 。

皿 一一般 化 され たVES生 産 関 数

こ の 節 に お い て は,最 近,VES生 産 関 数 の ク ラ ス と して 有 名 に な っ た Bruno型 の 生 産 関 数 を さ らに 一一般 化 し,そ の 性 質 に つ い て 論 じ る。 これ ら

の 生 産 関 数 は す べ て 前 節 の 仮 定 を 満 た す よ うに 作 られ て い る。

生 産 関 数 の理 論 は,か な り古 い 歴 史 を も ち,当 初 は か な り一 般 的 な 生 産 関 数 しか 考 え られ て い な か っ た 。 そ れ が,実 証 目的 上Cobb‑Douglas,ACMS

の よ うに 代 数 的 に か な り抽 象 化 さ れ て しま う と,今 度 は 逆 に 一 般 化,複 雑 化 の 作 業 が と られ 始 め た よ うに 思 わ れ る。 歴 史 はNTurgot,KWicksell,

F・Y・Edgeworth,1・Fisher,F・Knigh七,KMenger,G.Casselの 業 績 ま で 遡 る が,明 示 的 な 関 数 表 現 を 与 え た の は そ れ ほ ど古 くな い 。

有 名 なCobb‑DouglaS関i数 (1)Y‑AKαLβ

を 生 み 出 した 共 同 作 業 以 来,数 学 的 取 扱 い 易 さ を 失 わ ず,そ の 制 限 的 性 質 を 取 り払 う多 数 の 努 力 が 払 わ れ て き た 。 そ の 一 つ はCobb‑Douglasの 形 を 保 存

した 「超 越(transcendental)」 生 産 関 数 (2)Y・ ・AKaLPexp8(KIL)

を 作 る こ とで,他 の 一 つ は,周 知 のCES(ConstantElasticityofSubstitu一

tion)生 産 関 数

ユ

(3)yF=呂 γ[δ1ぐ一ρ十(1一 δ)L一ρ]‑77;ρ 〉‑1

に 進 む こ と で あ っ た 。 最 近 両 者 を 含 む よ り 一 般 的 な 生 産 関 数 の 追 求 が な さ れ て き た が そ れ は,後 者 寄 り で あ る た め に,VES生 産 関 数 と 名 づ け ら れ る 。 本 稿 もVES生 産 関 数 に 近 い が,前 者 も 十 分 に 考 慮 で き る 道 を 残 し て い る 点 で 一 般 化 さ れ たVES生 産 関 数 と い っ て お く 。 次 の 形 の 生 産 関 数

(4)y=γ[aK一 ρ十 Σb,(K.L)K"μiL‑(ρ 一μ奮)十cL一ρ]‑7

'

ま た は,

(4)'Y==・ γ[aK‑Ph十 Σb̀(K・L)K‑"iL‑(ρtt一 μi)十cL‑Ph]一"ii;

'

を 考 え る。 こ こ で,b、(K・L)は ゼ ロ次 同 次 で あ り,ρ 〉‑1,h・ μ>oと 仮 定 す る。

(4)ま た は(4)'の パ ラ メ ー タ ー を い ろ い ろ 指 定 す る こ とに よ り,多 数 の 興 味 あ る一 般 化 され たVES関 数 が 得 られ る 。 そ れ らを 列 挙 す る 前 に,(4)の 簡 単 な 性 質 を 示 して お く。

(の 乃 次 同 次 関 数 で あ る。

 ぞ

(5)[a(λK)‑P十 Σbi(λK・ λL)(λK)一 μ奮(RL)一(P  μi)十c(λ 乙)一 ρコー7

7 ん

=[λ 鰯ρ{(αK)‑P+Σb,(K.L)K一 μiL‑(ρ 一μ{)+cL‑P}コ ーア '

=λh・Y

(b)等 量 曲線 が 凸 で あ る。

(4)が 意 味 の あ る 生 産 関 数 で あ るた め に は,そ の等 量 曲線 が 凸 で なけ れ ば な らな い。 等 量 曲 線 の式 は,

ア

(6)Yπ=αK一 ρ十 Σb̀(K,L)K‑PiL‑(ρ 一μ̀)十cL一 ρ===const.

̀

に よ って与 え られ る。二 回微 分 可 能 な 関 数 の凸性 は,

42K‑一>O dL2

に 等 価 で あ る。 陰 関 数微 分 を行 な うと,

一般化 され た生産関数 につ いて253

d、K・RLL+2碗 鶉+RK・"(dKaL)2

⑦ ヨ】r=一R

K‑一 一

で あ る。 こ こにRは,(6)の 右 辺,添 字 は 偏 微 分 を 表 わ す 。 計 算 に よ り,以 下 の 限 界 生 産 力 条 件 と 凹 性 が あ れ ば,⑦ の 符 号 は プ ラ ス に 確 定 す る こ と が わ か る。(ま た,aK/dL<0も 明 らか 。)

(の 限 界 生 産 物 が 正 で あ る。

(8)3¥‑e[・ 丁 争 一1@K‑・ 一・+21

,]b・,aiK"‑itt‑iL‑(p"it・i)

一 激 血 〃 卿)

(9)8多 一 夢[・]‑9‑1@L‑・ 一・+写 瓦(ρ 一 ・Ui)K‑・ ・L‑・・一・・i・一・

一 藍 漁 ひ 卿)

で あ る か ら,

祭 〉・ となるのは・郷 蝋 砦)姻 一写{艶(L)細 〉

書多 〉・ となるのとe・1・p+ibi(p‑stt)(勧 厩 珍 ・L(卸 〉・

の と き に 限 る。

(d)代 替 の弾 力 性 は,可 変 で あ る 。 din(K

L)

⑩ σ==4癩 一;

こ こ で

⑪ 認 鍵 慌鋼

で あ る 。 例 え ば,b・=O(∀i)と か,c‑Oか つICti'・O(∀t≒1)か つ,bi・ ・const・

の よ う な 場 合 を 除 き 代 替 の 弾 力 性 は 可 変 で あ る 。 (4),(4)'に 対 応 す るpercapitaの 式 は,

ん

⑫ ツ ー[ak一 ρ+Σb、h一 μ叶oコ ー7

オ

ユ

⑫'y‑[ak'hρ+Σb、h‑ht・i十c]一 ア

菰

で あ る 。 この 方 が,数 学 的 に 取 り扱 い 易 い 場 合 が あ る 。

次 に,上 で 予 告 して お い た,超 越 生 産 関 数,な らび に 最 近,研 究 が 進 め ら れ て きた 種 々 のVES生 産 関 数 は,(4)の 部 分 集 合 に な っ て い る こ と を 示 そ

う。(特 に 指 定 しな い 限 り,bi一 μ〜‑0(∀ 鐸1)と す る 。)

くお 

例1.CMS(ConstantMargina1Share)関 数

a$Y==γKαLi一a‑mL

こ れ は,(4)で,α ・=O,b,一;',μ エー 一 α,ρ ・一 一1,c=・‑m,h‑1と お い た も の で あ る 。 代 替 の 弾 力 性 は,容 易 に(例 え ば,(d)を 用 い て)

勉 α 五

σ=1‑一 一一 一

1一 αY

と 計 算 で き,可 変 な こ と は 直 ち に わ か る 。 ま た,Y/Lが 大 き く な る に つ れ, σ が1に 近 づ く こ と も 明 ら か で あ る 。

例2.超 越 生 産 関 数(1)(Hal七eretal[10])

04)y=γ θα1κ+'i2t・K1 わ五 δ(ai,α 」>0)

こ れ は,(4)で,α 一 〇‑0,bi(KL)==γeαiκ+a2L,7'、 ・=‑b,h・‑1,と お い た も の で あ る 。

(1一 う+α 、K)(b+a2L)

びニニ      ロ

(1‑b)(b+α2L)2+う(1‑b+aiK)2 で あ る 。

例3.超 越 生 産 関 数(2)(Dobel1[8コ)

a句y=ノ 歪1ぐαLβexp8(KIL)

こ れ は,(4)で,a・=c・ ・O,b(KL)=・ge(κ/坑 と お い た も の で あ る 。9(K/L)

=・aK/Lの と き の 代 替 の 弾 力 性 σ は

(ah十1‑‑b)(b‑ah)

びニ    

(ak十1一 の(b‑ak)‑ak

(3)M・Bruno,JIER(Feb・1968)PP・49‑62・

一 般 化 さ れ た 生 産 関 数 に つ い て255

で 与 え ら れ る 。

例4.Nutter関 数([22]) a6)Y=22Ki/4L3,'4‑20K1/3L2!3

こ れ は ・(4)で ・ ・‑c=:O,bi‑一 一一一22・b2==‑2・ ・/・ ・一 一一 去,/・2‑一 ÷ ・ ρ 一 一1

とお い た も の で あ る 。 ⑯ は,収 穫 逓 減 と一 次 同 次 の 関 係 に つ い て,長 い論 争 を も た ら したNutterに ち な ん で,Nut七er関 数 と い う。

代 替 の 弾 力 性 は,

(讐ん÷一響)(号 濠 讐殉

び ニニ へ

!22々 ÷̲20ん ÷V還 ん一暑 」 ⊇ ん一尋N /,ii89ノ

で あ る 。

例5.Bruno関 数([4],[14])

⑰y一 γ[δK‑p+(1一δ)砺 げ)門 →

こ れ は(4)で,a=・ δ,c・=O,/.tl=C(1+ρ),δ 、嵩q一 δ)η,h・=1と お い た も の で あ る 。 代 替 の 弾 力 性 は,か な り の 計 算 の 後 に

ρδ+・(ρ+1)(1一 δ)η(券)(P+1'(1'c)一'

 ロニニ  へ   ロ  セ    コ            ヨ     ヘ ロ    

ρ(ρ+1){(1‑・)δ+・(1一 δ)}号(喜)剛 一の一1

蒲 ×11 τ穰 再

を 得 る 。

例6.Revankar関 数([25⊃

agY==γKα(1‑tVp)[乙 十(ρ 一1)K=]aδ ρ;γ>O,α>O,0〈 δ<1,0≦ δρ≦1

を 〉(1‑一 ρ1‑‑oρ)

上 の右 辺 は

ユ ユ ゆ

7'[(ρ 一1)K57「 十KT,LコOP

と 変 形 で き る か ら ・(4)で ・a一 ρ一1・ ρ一 一 毒 ・ 砺 一1‑1一 か ・鴫 胆 α と お い た も の に 等 しい 。 代 替 の 弾 力 性 は

。=。1+」 ヒ ユ∴ 些 1・一・δρL の よ うに 見 易 い 。

'以 上

の 例 の 他 に も 種 々 な 型 の 生 産 関 数 が 考 え られ て い るが,ほ と ん ど(4) に 帰 着 し うる 。

最 後 にdigressionで は あ る が,Bruno関 数 の 導 出 を 明 らか に して お く。

以 下 の 方 法 は,市 場 に 競 争 性 を 課 した と き に 経 済 的 意 味 が あ り,そ こ で 成 立 す る対 数 関 係 式 にBernoulliの 解 法 を 適 用 す る 。

Bernoul邑iの 微 分 方 程 式 の 解 法

⑲1+P(x)ツ=・9(x)ジ@≠ ・・1)

両 辺 を 野 皇ッ/ξ(ξ は新 変 数)で 割 る と

1三 諜+P(x)ξ ・=q(x) な る線 形 の微 分 方 程 式 に 変換 され る。 この解 は,

⑳ ξ一 グ 嚇 一((1‑M)∫e・ ・'"m'f・…d・dx+c)

で 与 え られ る か ら,求 め る ッ は,

⑳ ツ 轟 ξ蔵

で あ る 。

定 理(Bruno型VES生 産 関 数)

⑳loglγ ・=loga十b.109ω 十e・109h

㈱ ω吻 一監

loga,b,cは 係 数 パ ラ メ ー タ ー よ り,

⑳ 夕一匪+1呈 、諭 熟 弔

一 般化 され た生産関数 につ いて

ま た は,

⑳Y‑?一[δK"P+(1一 δ)L'・tl(砦)  雪 芸

を 得 る 。

系(CES生 産 関 数)

e⑤logy==loga十b・logOO

㈱ ω吻 一盤

よ り

ノム

②1)Pt==〔 α々一ρ+β]‑r

ま た は,

ぬ

⑳'y=7[δK"ρ+(1‑一 δ)L""ρ〕フ を 得 る 。

系 の 証 明 は 定 理 でc=Oと お け ば 自 明 。

〔定 理 の 証 明 コ

盤 一誓 一一(xakc)蔑

線 形 微 分 方 程 式 に還 元す る。 これ を 解 くと

ty‑k‑P[α+婦1呈 。ん劉 を 得 る。 従 って,

ツ ー[1‑一 〜)11‑b‑一 一cαk"ρ十a‑Th‑bh"P1

‑b‑c]書

を 得 る 。 あ と は,a"T==1‑・ δ,α ・一δ,h=‑KIL,y=・y/Lを 代 入 す れ ば

Y一 γ[δK‑P+(1一 δ)L‑・rp(5)判 零

は 直 ち に 得 る。

257

な るBernoulli型 の 微 分 方 程 式 が 導 か れ る か ら,新 変 数 η を 導 入 して,η の

皿CES生 産 関 数

この 節 は,既 に 指 摘 して きたCES生 産 関 数 に つ い て 個 別 に 研 究 す る。 最 初 に,市 場 の 競 争 性 を 仮 定 す る こ と な く,h次 のCES生 産 関 数 を 導 出 す る。 続 い て,こ の 関 数 の 若 干 の 数 学 的 性 質 を 追 求 す る 。 性 質 自体 は 周 知 の も の で あ る が 証 明 は,平 均 値 の 数 学 理 論 に も とつ い て い る。

定 理(h次CES関 数)

乃 次 同 次 の 生 産 関 数 に 対 して,代 替 の 弾 力 性 が 常 に 一 定 で あ る関 数 は, (1)∠ ソ=・γ(δん『ρ十(1一 δ))一再一

また は

(2)y・ ・γ[δK'P+(1一 δ)L'P]"P'

(̀t)

で あ る。

(証 明)

代 替 の 弾 力 性 σ の 定 義 に よ り,

a(亙ヂ)

la、

が 一 ん∫'σ ん

∫'

を 得 る 。 σ は 一 定 で あ る か ら 両 辺 を 積 分 す る と .髪 一 ゐプ'̲(hc)÷

∫' を 得,さ ら に,こ れ は

浮 一た+農)÷一勢 ÷ 舘4ん

な る変 数 雅 の 微分 耀 式 に 変 形 され る。 但 し,ρ 一÷‑1,・ は任 意 の定 数 で あ る。 これ を 解 く と,

(4)P.Dhrymes[6]のh次 同 次 関 数

(2)'y=γ[δ κ 一hp+(1一 δ)L‑hpコ 「『

を 直 接 算 出 す る に は 付 加 的 な 仮 定 を 必 要 と す る.

一般 化 された 生産 関数 につ いて259

÷1・9f‑1・gk‑i1・9(1+hl・c)+1・9・(1・9・ は 任 意 の 定 数)

==lo9ε ・h(1十knc)一 万コ

=・log((εh)一 ρ+εc)‑7  

す な わ ち,

ん

∫一(α ん一'+β)一 ガ

を 得 る 。 但 し,α,β は 上 で εhP,εOに 対 応 す る 任 意 の 定 数 で あ る 。 さ ら に,

ア ア

α一 δズ 瓦 β一=(1一 δ);'一万 と お く と,(1)を 得,y・hの 定 義 に も ど る と ② を 得 る 。

パ ラ メ ー タ ー7,δ,ρ,σ,hは 相 応 の 理 由 を も っ て 次 の 名 が つ け ら れ て い る 。

ん'

γ:(中 立 的)効 率 パ ラ メ ー タ ー;γ 一列[・ コーπ で あ るか ら,γ が 変 わ る と どん な 与 え られ た 組 の 投 入 物 に 対 して も,同 一 の 比 率 で 産 出 量 を か え る。

ρ:代 替 パ ラ メ ー タ ー;ρ 一⊥‑1よσ り,代 替 の 弾 力 性 σ に 一 意 に 関 係 す る 。 ρ〉‑1。

δ:分 配 パ ラ メ ー タ ー;技 術 が ど の 程 度 資 本 集 約 的 で あ る か そ の 配 分 を 示 す 。0<δ<1。}

h:収 穫 パ ラ メ ー タ ー一;規 模 に 関 す る 収 穫 の 度 合 を 表 わ す 。h>0。

以 下,h次CES関 数 の 若 干 の 性 質 を 証 明 す る 。 一 般 性 を 失 う こ と な く, γ・=1と す る 。

(3)M‑,(・,.)9[δK‑・+(1‑一 δ)L‑P]一 吾

と お く と,(2)は,一 ρ 次 の 平 均 値(のh乗)を 表 わ し て い る 。 平 均 値 に 結 び つ い た 古 典 的 数 学 で は,い く つ か の 命 題 が 成 立 し て い る の で,そ れ を 適 用

し,そ の 経 済 的 意 味 を 調 べ る こ と は 興 味 が あ る 。

定 理

(4)limM̲ρ(・,●)=lKhδLi,一 ノ〜δ

P→o

こ の経 済 的 意 味 は,ρ →o,す な わ ち,代 替 の 弾 力 性 σ が1に 近 ず くに つ れ,h次Cobb‑Douglas関 数 に な る こ と で あ る。

(証 明)

i聖 脚+(1一 δ)切 一袖 ・xp/‑2i・9(SK‑P+(1一 δ)L‑P)/

‑i聖 ・xp{」 一δ禦 暑 誰 謬 皐b組}

==exp[h{δ10gK十(1一 δ)log五}}・.KibbLh『hδ

定 理

(5)limM一 ρ(。,。)=[Min(K,L)]h

ρ→ ・十 ◎◎

こ の 経 済 的 意 味 は,ρ →+。 。,す な わ ち,代 替 の 弾 力 性 σ が ゼ ロに 近 ず く と 資 本 と 労 働 の 代 替 が 行 わ れ な くな る が,こ の と き,も と の 関 数 は,固 定 比 率 のWalras‑Leontief型 関 数 に 収 束 す る こ と で あ る。

(証 明)

f(ρ)会[・'K‑P+(1・ 一 δ)L‑・]‑4・ ・m全Min(K・L)・ δ(m)会{1

一 δ1;魁}

タ

と お く と,f(ρ)一 一h'・=δK←P+(1一 δ)L一 ρ が 得 ら れ る 。 ま ず,f(ρ)が 有 界 な る こ と を 示 す 。

ケ ー ス(i)(0〈)K≦L

こ の と き,ρ>oに 対 し,K'‑P≧L‑Rが 成 立 す る の で 両 辺 の 一 次 結 合 δKpP +(1一 δ)L‑PはK‑P≧ δK‑P+(1一 δ)L‑P(≧.L一 り と な る 。 他 方,(1一 δ)L‑P

≧Oに 注 意 す る と,δK‑P+(1‑一 δ)L‑P≧ δK‑Pと な る 。 従 っ て, K一 ρ≧ δK一 ρ十(1一 δ)L一 ρ≧ δK}ρ,

よ っ て,

K≦[δK一 ρ十(1一 δ)L『 ρ]‑7≦O'"6K

を 得 る 。 こ の 場 合,m==Kで あ り,ま た,δ(m)の 定 義 を 用 い る と, ん

Mh≦ ノ「(ρ)≦ δ(m)一 『声一勿￠h と な り,∫(ρ)の 有 界 性 が 示 さ れ た 。

一 般 化 さ れ た 生 産 関 数 に つ い て261

ケ ー ス(ii)(0<)L≦K

前 の 場 合 と 全 く 同 様 な 手 続 き に よ り,

Mh≦ ノてρ)≦ δ(m)一 済一勿レzん を 得,や は り,∫(ρ)の 有 界 性 が い え る 。

∫(ρ)の 下 限 は,ρ に 無 関 係 な 一 定 値 で あ り,そ の 上 限 は,ρ の 単 調 減 少 関

れ ゐ

数 で あ る 。 な ぜ な ら,a(δ(m)‑Lo勉 り/4ρ 一 扁(m)一,mh・lo9δ(m)/ρ2<0で あ る か ら 。 こ の こ と か ら,∫(ρ)は ρ→ 。。 の と き,励 に 近 ず く 。 す な わ ち,

mlt≦1imf(ρ)≦Mhlimδ(m)‑7==Mh

P→(x,P→ 「:e

よ り,limf(ρ)‑Mhを 得,定 理 は 証 明 さ れ た 。

ρ→ ◎○

な お,上 の 証 明 で は,∫(ρ)が 単 調 で あ る か 否 か は 問 う て い な い こ と に 注 意 し よ う 。 し か し 実 は,ア(ρ)は ρ>oの 単 調 減 少 関 数 で あ る 。 そ の 証 明 に は,次 の 補 題 を 必 要 と す る 。

補 題l

l(x)・‑xlogx(x>0)は,任 意 のXl・x2に 対 し,

(6)α1(κ1)十(1一 α)1(x2)〉/1(crXl十(1一 α)x2)0<α<1 従 っ て,

(7)a'・vilogx1十(1一 α)x2109麹 ≧≧(crxl十(1一 α)x2)lo9(crxl十(1‑・ α)x2) を 満 た す 。

(証 明)

1'(x)==logx+1,1"(〃)==1/x>0よ り,1'(x)はxの 増 加 関 数 で あ る 。 い ま, XJ‑crX1+(1一 α)x2と お く と,1'(x)が 増 加 関 数 で あ る こ と を 用 い て,

讐 三禦 一 物≒ ∫1:1'(Pt)dy×〈1'(x)

で あ る 。 ま た,

1'(犠 穐≒ ∫二:1'(肋一1α毫≡禦

を 得 るか ら,こ れ を 連 立 して解 け ば,(6)を 得 る。

定理

f(ρ)全[δK‑P+(1一 δ)L""・o]一芸 は ρ>0の 単 調 減 少 関 数 で あ る 。 (証 明)

∫(ρ)を 対 数 微 分 す る と,

鳶(ρ)一 誰1・g[δK‑P+(1一 δ)L‑・]+鱒:響 潟1￡ ≡;logL

よ っ て, ρ2[δK‑1+

,〜≒ 二のL‑'ユ ∫・(ρ) 砺(ρ)

=〔 δK一ρ十(1一 δ)L一 ρ]log[δKLρ 十(1一 δ).乙一ρコ

ー[δK}ρlogK‑P十(1一 δ)L}ρIogL}ρ]

上 の 補 題 を 用 い る と,上 式 が 負 で あ る こ と は 直 ち に わ か る 。

上 の 定 理 に 経 済 的 意 味 を 与 え る と 次 の よ う に な る:代 替 パ ラ メ ー タ ー ρ が 減 少 す る な ら,い い か え れ ば,代 替 の 弾 力 性 が 増 大 す る に つ れ,資 本 労 働 比 率 が1に 等 し い 場 合 を 除 き,産 出 量 の 増 加 が あ る 。

定 理

lim.M .,(・,・)一[δK+(1一 δ)L]h

P→‑1

ρ→ 一一1の と き,等 量 曲 線 はh乗 の 曲 線 に な る 。h‑・1の 場 合 は,直 線 と な る。 従 っ て,ρ 〈‑1な ら,等 量 曲 線 は,上 に 凸 な 形 状 を 示 し,生 産 が 不 可 能 で あ る。 証 明 は 不 要 で あ ろ う。

最 後 に 分 配 パ ラ メ ー タ ー の 所 得 に 及 ぼ す 影 響 を 調 べ よ う。

定 理

∂Y

・ 万 ≧OasK暑 五

(証 明 略)

定 理 の経 済 的 意 味 は,資 本 集 約 的 な{(K・ 五)IK>L}領 域 で は 分 配 パ ラ メ ー タ ー δが 増 加 す れ ば,yは 増 大 す る が,労 働 集 約 的 な{(KL)IK<L}領

域 で は,Yは 減 少 す る こ と で あ る 。 い い か え れ ば,δ の 増 加 は 労 働 節 約 的 な

一般 化 された生産関数 につい て ₂₆₃

innova七ionに,δ の 減 少 は 資 本 節 約 的 なinnovationに 対 応 す る 。(図1参 照)

〜

ON

図1分 配 パ ラ メ ー タ ー の 変 化 とYへ の 影 響

(矢 印 は δ に 増 加 が あ っ た と き の 等 量 曲 線 の 変 化 を 示 す 。)

IV歴 史 的 覚 書(CESか らVESへ)

CES生 産 関 数 と い え ば,ACMS[1]が 必 ず 引 用 され る ほ ど,ACMS

は こ の 関 数 の 生 み の 親 で あ り,育 て の 親 で あ る。 しか し,所 詮 は 生 み の親 も ま た 生 まれ た も の で あ る 。 実 際,CES生 産 関 数 は,ACMS(1961年)の

は る か 以 前 に遡 る 。

こ の 節 で はCES生 産 関 数 の 生 成 と発 展 を 跡 づ け て お く。

最 初 にACMS論 文 の前 史 を あ とづ け よ う。 こ こで 「ロシ ア か らの ク レ ー ム が つ か な い 限 り」 と断 っ て お く こ と は 重 要 で あ ろ う。 な ぜ な ら,近 年,線 型 計 画 法 を は じめ,多 く の 分 野 で 実 は 以 前 に ロ シ ア で な され て い た こ とが 判 明 して い る か らで あ る。

通 常,CES生 産 関 数 を 最 初 に 用 い た の は1956年 のSolowの 二 つ の 論 文 ひ とつ は,経 済 成 長 理 論,他 は 資 本 理 論 との 関 連 で あ る と い わ れ て い る。 しか し,Whitaker[34]が 正 当 に も 主 張 す る よ うに,1954年 のH・D・

Dickinson[7]こ そ,最 初 の 定 式 者 で あ ろ う。 彼 は そ こ で 次 の よ うに 定 式 化

(5)

し て い る 。

(1)9P富(ax)P+(b夕)P+cp(P<0)

こ こ で,・S?は 産 出 物,x,),は 投 入 物,a・b'cは 定 数 を 表 わ す 。(1)でc‑O と し た と き,cEs生 産 関 数 に 帰 す る 。 し か し,Dickinsonの(1)は,後 の Solowの 定 式 化 に ど の 程 度 影 響 を 与 え た か は 不 明 で あ る 。

二 年 後 の1956年 に は,MITで,Solowが,前 述 の よ う に,次 の よ う に

定 式 化 し て い る 。 ユ

(2)y」=(aKp十Lρ)ラ

お よ び

(3)Q鴇(fi/Tz'=十a〜/τ1十bs/‑Cii')2

(6)

で あ る 。 但 し,Cは 資 本 を 表 わ し て い る 。

1960年 に 入 る と,Enthoven[9]がArrowの 未 発 表 論 文 か ら,Pitchford [24]が,Solowの 私 的 な 話 か ら,そ れ ぞ れ 借 用 し,経 済 成 長 理 論 と の 関 連 で,

ユ

(3)'y・ 一[αK}β+(1一 α)L一 β]‑7(0<α<1,一 一1≦ β)

(4)Y‑=[γK一 β十PtN‑Pコ ー万(β==(1一 σ)/σ)

を 用 い て い る が,こ こ に 至 っ て,CES生 産 関 数 は 完 成 し て い る こ と が わ か る 。

ま た,同 じ 頃,Minasian[18]やMinhas[19]は,

(5)109v/L210ga十b・109レ レ「十 ε

の 形 で,実 証 分 析 を 試 み て い る こ と も 注 目 す ぺ き で あ る 。(7は 付 加 価 値, 伊 は 実 質 賃 金 を 表 わ す 。)

漸 く,Arrow‑Chenery‑Minhas‑Solowの 四 経 済 学 者 の 共 同 論 文 「資 本 ・労 働 代 替 と 経 済 効 率 」 が,1961年 のReOfiwofEconomicsandStatisticsVe現 わ れ る 。 彼 ら は,ま ず,(i)生 産 物,生 産 要 素 両 市 場 に 完 全 競 争 が 支 配 し(ii)

㈲ 原 典 は ρρ と ミ ス プ リに な っ て い る 点 が 惜 し ま れ る.

(6)(2)はSolow[30],(3)はSolow[31コ に よ る,

一般化 された 生産 関数に つい て 265

関 数Fに 一 次 同 次 を 仮 定 し,統 計 的 観 察(例 え ば,(5)参 照)か ら出 発 して, CES生 産 関 数 を 確 立 す る 。 そ して,代 替 の 弾 力 性 を,(1)経 済 成 長 理 論 の 安 定 ・不 安 定 均 衡,② 国 際 貿 易 理 論 に お け る 要 素 賦 存,お よび ③ 動 学 的 分 配 理 論 に お け る所 得 の 相 対 的 分 け 前 と密 接 な 関 連 させ て い る。

こ の 論 文 が 現 わ れ る と,理 論,実 証 の両 面 に お い て,世 界 中CES関 数 の ブ ー ム に わ い た 。 そ の 過 程 で サ ー ベ イ 的 な 論 文,刊 行 物 が 多 数 現 わ れ た 。 そ の うち,M・Brown[3]は,全 体 的 な サ ー ベ イ で,Nerlove[21]は,実 証 的 研 究 で,Chipman[5コ は,国 際 貿 易 論 で,最 後 にDobell編[8]は,VES

へ の 拡 充 面 に お い て,比 較 的 重 要 で あ ろ う。

以 上 の,諸 研 究 の 多 くは,投 入 要 素 の 数 が2つ に 限 定 して い た が,多 数 要 素 に 拡 張 す る 試 み も あ る。 しか し,要 素 が 三 つ 以 上 に な る と,各 ペ ア の 間 の 任 意 の 「一 定 な 」 代 替 弾 力 性 を も つ 生 産 関 数 は 一 意 に 定 ま る か は 重 要 な 問 題 で あ る。 多 数 の投 入 要 素 間 の 代 替 の 弾 力 性 の 定 義 に はMcFadden[17コ が う ま く ま と め た よ うに,直 接 代 替 弾 力 性(DES),Allen‑Uzawaの 偏 代 替 弾 力 性(PES)お よび,影 の 代 替 弾 力 性(SES)が あ る。 容 易 に 確 か め ら れ る よ うに ・ 二 螺 の 場 合 に は ・ こ れ らカミー 致 して ・ σ一 占 を 得 る・ と こ ろ が 前 述 の よ うに エ ネ ル ギ ー とか 中 間 財 等 の 第 三,第 四 要 素 を 次 々に 入 れ る と,「 任 意 の 」 組 の 「一 定 な 」 代 替 弾 力 性 を もつ 生 産 関 数 の 形 状 は 得 られ な い 。KSato[27コ は,Uzawa[33]やMukerji[20コ のn要 素 のCES を 実 証 的 に 操 作 しや す くす る た め,変 数 の 分 離 可 能 性 を 適 用 し,二 水 準

CES関 数

(6)Pt‑F[fi(φ1(x(1ノ))十f2(φ2(x(2}))一 ト・・.十fs(φs(x(s)))コ を 考 案 した 。

二 要 素CESの 他 の 一 般 化 の 方 向 は,VESな い し一 般 化 され た 生 産 関 数 の 追 求 に あ る。 即 ち,CES生 産 関 数 をspecialcaseと して 含 む 生 産 関 数 を 理 論 的 実 証 的 に 見 出 す 試 み が,ACMSの 論 文 以 来,急 速 に 増 加 した 。 こ の 一 般 化 作 業 の重 要 な 貢 献 と して

,前 掲 のDobellnCのSymposiumを あ げ る こ とが で き る。 そ こ で い ろ い ろ な 貢 献 が な され て い るが,大 き く3つ に 分 類

で き る。 ひ とつ は,平 均 生 産 物 関 数Y/L・‑f(h)を 修 正す る方 法,も うひ と つ は 代替 関数 また は,派 生 関数 に 明示 的 な形 を 与 え る こ と。 最 後 に,等 量 曲 線 の組 分 け を決 め る関 係 を 修 正す る こ とで あ る。 これ ら3つ に つ いて,概 略 を 述 べ て お こ う。 しか し,こ の よ うな複 雑 化 な い し一 般 化 を行 な うことがす ぐに 現実 の経 済 の適 合 度 が よ くな る こ とに は な らな い 点,ま た,関 数表 現が 一 見 して ,CESの 一 般化 か ど うか わ か らな い 点 な ど注 意 に値 す る。

(i)平 均 生 産 物 関 数 の修 正

ACMSは,平 均 生 産 物 つ ま り,労 働 一 単 位(man‑hour)あ た りの 付 加 価 値YILと,実 質 賃 金 ω の 関 係 か ら出 発 して い る。 す な わ ち,

(の ω一オ(老)β

ま た は,

(7)'logy/L=‑loga十b・109ω

か ら,Yを 見 出す 問 題 に 直 面 して い る。 従 って,資の 本 ス トックに は,表 面 的 に は,絶 対額 で あ れ,資 本/労 働 比 率 と して の 相対 量 で あれ,依 存 して い な い。 現 実 に は,要 素価 格 比 の 変化 に つれ,資 本 労働 比 率 が 不 変 で あ る とす る (即ち,代 替の弾力性が資本労働比率に無関係に定 まる)よ りは,む しろ,変 化 す る

と思 わ れ る。 従 っ て, (8)w・‑A'(老)JSt(甚)「

ま た は,

(8)'109y==loga十b・lo9ω 十 〇Iogh w一 ツ ーh・dツ/dk

と,型 の 想 定 を 行 な っ た 方 が よ い 。 こ の 想 定 に よ り,一 般 化 さ れ たCES

(9)y・‑r[δK‑・+(1‑一 δ)物 ぐ至)‑cq㍗

(・)対 称的 に,競 争 的績 本市場で ・‑B(萎)「 とした もの も考 え られてい る,

一般 化 された 生産 関数につ いて267

が 得 られ る こ と は,既 に み た 通 りで あ る。

こ の ア プ ロ ー チ は 別 の 見 方 を す れ ば,成 長 論 で 周 知 の,賃 金 レ ン タ ル 比 ω が,資 本 労 働 比 と一 意 に 関 係 す る。 即 ち,

⑩ ん一 た(ω)

とい う命 題 に 関 数 表 現 を 与 え た こ とに 他 な らな い 。 な ぜ な ら,平 均 生 産 物 関 数

⑪YIL.・ ∫(k)

を ん が ω に 明 示 的 に 依 存 して い る こ と を 考 慮 し

⑫YILイ(h(ω))

と書 い て み る こ と よ り 明 らか で あ る 。

この ア プ ロ ー チ に 対 す る 貢 献 者 と して,M.Bruno,G.H・Hildebrand‑

T.Liu,Yao‑chiLu‑LB.Fletcher,N.S.Revankarの 名 を あ げ て お く。

(ii)代 替 関 数 の 修 正

代 替 関 数 と い うの は,A.P.Lernerが か っ て 資 本 労 働 比 率kと 限 界 代 替 率 Rの 関 係 と して 定 義 した も の で あ る 。 代 替 関 数 の 直 接 の 修 正 よ りは む しろ派 生 関 数 と呼 ば れ る 代 替 の 弾 力 性 と 資 本 労 働 比 率 ん の 関 係 を 修 正 す る こ とに

よ り,新 しい 型 の 生 産 関 数 が 得 られ る 。 即 ち,ま ず

⑬ σ一σ(h)≒const.

の よ うに,ん に 明 示 的 に 依 存 させ る 。 次 に σ の 定 義 よ り,

⑭ 讐 論 雫

と,

tU‑・y/(dy/ak)一 ん

を 連 立 さ せ て,ッ を 求 め れ ば よ い 。 若 干 の 計 算 に よ り,

⑮ 井呵

堀 舜 響 ≧

が 得 ら れ る 。 特 に,σ=・b+C・k(b・Cは 係 数)な る 一 次 式 で は,適 当 な 可 積 分

条件 をおいて

⑯y一 覗 儲 ん)㍊]噛

を 得 る 。 こ こ で,d;は 未 定 係 数 法 に よ り定 ま る も の,λiは 代 数 方 程 式 の 根, m・n>o,aは 有 理 数 で あ る。 こ の ア プ ロ ー チ に よ り得 られ た も の は,(i)の

よ うに 労 働 お よ び 財 貨 の 市 場 に 競 争 が 純 粋 に な さ れ て い る と い う仮 定 を お く 必 要 は な い 利 点 は あ るが,CES関 数 の 修 正 され た も の と は 一 見 して 明 らか で な い 。 さ らに,(i)の ア プ ロ ー チ と の 関 係 を ひ とつ み て お く。(i)で は, σ(々)は,

￠わ ・(た)一δ+・・器 留

に よ っ て 与 え られ る こ とが わ か る。 従 っ て(ii)の 一 次 式 で は,

⑱ 旛 一乳

つ ま り,賃 金 曲 線 が,

⑲1・gw‑1・gC‑一 一一1

を した と き に 他 な らな い 。(ii)の 一 次 式 は,適 合 度 が よ くな い こ とが 報 告 さ れ て い る が,こ れ は 結 局,賃 金 曲 線 の推 定 が よ くな い こ とを 意 味 して い る。

派 生 関 数 の ア プ ロ ー チ は 代 替 の 弾 力 性 に 正 面 か ら取 組 む 意 図 とは う らは ら に,成 功 して い な い よ うに 思 わ れ る。 こ の ア プ ロ ー チ は,Brown大 学 のR SatoとRF・Hoffman〔28コ の 共 同 作 業 を あ げ る こ とが で き る。

(ili)等 量 曲 線 の 組 分 け

こ の ア プ ロ ー チ は 等 量 曲 線 の 絶 対 的 位 置 ま た は 相 対 的 な 位 置 を 考 察 す る こ と に よ り,新 しい 型 のCES生 産 関 数 を 得 る も の で あ る。 こ の ア プ ロ ー チ は(ii)と 同 じ く同 次 性 と い う 仮 定 の み を 必 要 と し,市 場 が 純 粋 に 競 争 的 で あ る か は 問 わ な い 。 以 下,や や 詳 し くみ る よ うに,等 量 曲 線 の 絶 対 的 位 置 関 係 か ら,homotheticなCES生 産 関 数 か そ の 拡 張 形 を 導 出 で き る 。 こ の 仕

一 般化 された 生産関数 につ い て ₂₆₉

事 は,Paroush[23コ,Yasui[35コ,McElroy[15コ 等 に よ りな さ れ た 。 特 に, McElroyは,代 替 の 弾 力 性 の 定 義 を 偏 微 分 形 式 に す る こ とに よ り,Yasuiら

の ク ラ ス に 属 さ な いCES関 数 の 存 在 を 示 した 。

等 量 曲 線 の 相 対 的 な 位 置 関 係 か らは,絶 対 的 な そ れ を 含 む よ り一 般 的 な 生 産 関 数 が 導 か れ る。 下 図 に み る通 り,等 量 曲 線 図 上 で,二 つ の 産 出 量 比 率 は,3つ の 量,λ,K/L・yに 依 存 しで い る。 即 ち,

⑳ 祭ぎ髪篶LG(叫y)

と 書 け る こ と か ら 出 発 す る 。 こ の ア プ ロ ー一チ に はSoskice〔32],McElroy [16],ZellnerandRevankar[25]等 が 貢 献 し て い る 。

聡

K

図2等 量曲線 の組 分け

絶 対 的 位 置 を 考 察 す る こ と か ら 始 め る 。 等 量 曲 線 を 定 義 す る 条 件 は,yを 不 変 に す る こ と で あ る か ら,

⑳Fκ(K,L)dK十FL(K,L)dL・‑O

が 成 立 し て い な け れ ば な ら な い 。 こ れ よ り,微 分 方 程 式,

⑫ ♂K/4L=‑Fム(瓦L)/FK(K,L) を 得 る 。 ￠Φ でG()=8(λ)の 場 合,

㈱aK/dL・‑OP'(KIL) を 得 る 。 ψ「 と し て

⑳ 卿)一 α(KL)÷ ・

とす れ ば,こ れ は 代 替 関 数 の 定 義 よ り,代 替 の 弾 力 性 が 一 定 値 σ を と る 場 合 で あ る こ とが わ か る。 こ の と き,微 分 方 程 式 を 解 け ば,

㈱{δK・‑t+(1一 δ)五1‑÷}畜 一・・n・t(全C)

な る等 量 曲 線 が 得 られ る。 こ こで,Cは,等 量 曲 線 の ひ とつ の 組 分 け を 表 わ す と考 え られ る か ら,一 般 解 は,

㈱Y・ ・F(K,L)‑o({δK‑・+(1一 δ)L‑・}一 ÷ 搾o(c)

と な り,こ れ はCESの 拡 張 で あ る,homotheticなCES生 産 関 数 が 導 出 さ れ た こ とを 示 す 。(実 際,G(0)=‑O,aG/ac>OforO《Cを み た して い る。) い ろ い ろ な 規 模 に 対 す る収 穫 の 問 題 は 結 局 定 数cを 産 出量 水 準yに 関 係 さ せ る 関 数 を ど う選 ぶ か に よ っ て 表 わ され る。Soskice[32]は,規 模 に 対 す る 点 収 穫 の概 念

⑳ α(y)皇{諸・5レ ノ些÷ 夢+{湯 ・季 皇恥 恥

乙 κ

を 導 入 し,規 模 に 対 す る収 穫 不 変 の 不 合 理 性 を 救 済 し よ う と した 。 ㈱ に 弾 力 性 のchainruleを 適 用 す る と,

cmp 、 α(y)==E・ ・e(E・K+Eα)

が 得 られ る。 こ こで,例 え ばE研 はCのKに 関 す る弾 力 性 を 示 して い る。

い ま,Cが 一一次 同 次 で あ る か ら,オ イ ラ ー の 法 則 に よ り,

⑳ α(y)一(dY/ac)・(C/y)

が 得 られ る。 α(y)の 型 の 想 定 を 行 な う こ とに よ り種 々 の 修 正 さ れ たCES

くの

関 数 を 得 る 。 例 と し て,一 次 式 BOα(Y)=‑b+aY(b.a>0)

を 採 用 す れ ば,容 易 に lbl

BDyiy+b‑i=‑r[osκ},+(1一 δ)L'‑P]‑7

(8)a・(y)の 型 の 想 定 と し て,一 般 の 多 項 式,ト レ ン ド項 を 含 む 式,三 角 関 数 な ど い ず れ も可 能 で あ る,Soskiceと 同 様 な 試 み は,Lin[13]に よ りな さ れ て い る.

一般化 された生産関 数につ いて271

を 得 る・ こ の 式 は 樋 常 のCES形 式 に 文寸し・ly+一 刻 がd・flat・ ・9ktま inflatorと してoperateし て い る こ と を 示 す 。

Soskiceは,産 出 量 水 準 と規 模 に 対 す る 収 穫 を 考 え た が,後 者 は さ らに 資 本 労 働 比 率 に も 相 互 の 産 出 量 比 率 に も 依 存 す るで あ ろ う と した も の に, F・W・McElroy[16]が あ る。 これ が 最 後 に み た ⑳ 式 で あ る。 い ま,⑳ 式 の 両 辺 を λ で 偏 微 分 し,λ 一1と お け ば,一 般 化 さ れ た 規 模 に 対 す る 点 収 穫 関 数

働 α(Y・KIL)‑G(1,1(/L・Y)

を 得 る。 関 数G2の 型 の想 定 を 行 な わ ず,一 般 解 を 直 接 求 め て しま い た い と

す ると激 学的には,膳 書Σ の囎 偏微分耀 式を解 くとい う作業

これ は 極 め て,非 経 済 的 な 数 学 で あ る。 に な る。 例 え ば,さ き のSoskice の 場 合 に 対 す る一 般 解 を 求 め る と,

㈱ ノ(至,孕)一 甑

但 し,

㊤Φ

﹂)y砥η翅〜﹁ー‑﹂即

配めπ

と な る 。 も ち ろ ん,こ の ケ ー ス は,F(RK・ZL)/F(K・L)一 一G(2,Y)tご 対 応 し て い る 。

他 の 場 合 も 同 様 で あ り,こ の 方 向 に 進 む と,(ii)の 場 合 と 同 様 な 困 難 に ぶ つ か る 。 結 論 的 に い え ば,一 般 的 な 生 産 関 数 を 求 め る さ い,つ ね に 経 済 的 現 実 を 反 映 さ せ つ つ,そ のoPerationalityを 問 題 に し な け れ ば な ら な い 。 こ の 最 後 のoperationalと い う 点 は と く にVESに あ っ て はcriticalで あ る 。

くの

第 一 に,多 数 要 素 投 入 に 拡 張 で き な い こ と,第 二 に,パ ラ メ ー タ ー に 関 し非 線 型 で あ るた め,パ ラ メ ー タ ー推 定 が 困 難 で あ る こ とな ど で あ る。

(9)資 本集約度す ら異論が あ る.

引 用 文 献

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