COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS FOR VORTEX INDUCED OSCILLATION OF THE CIRCULAR CYLINDER

円柱構造物の渦励振振動に関する数値流体解析 

COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS FOR VORTEX INDUCED OSCILLATION OF THE CIRCULAR CYLINDER

      土木工学専攻    24 号  佐藤  亮       

Akira SATO

 

1.

はじめに 

既往の研究において，渦励振現象は円柱からのカル マン渦放出に伴う自励的渦励振¹⁾として説明されてき た．しかし最近の研究では，励振開始時にはカルマン 渦の発生周波数と円柱の固有振動数が一致する

lock-in

現象が認められないことや，風速の増加に伴う振動振 幅が段階的に変化することなどから，この励振の原因 をカルマン渦に伴う自励的渦励振に帰着するとするこ とには無理があると指摘されている．これらに関して は，河井ら²⁾の研究によると，励振時の振幅の変化から 振動を

3

つの風速領域に分類することにより，それぞ れの風速域で発生機構が異なることを論じている．

一方，数値流体解析の分野においては，計算機容量 や計算時間等の物理的制約から, 従来より 2次元解析 が中心となっている．円柱まわりの

2

次元解析結果と おおむね共通することは，亜臨界域（約

Re=10

^2.5〜

10

⁴ 付近）で流体力を過大に評価することや，レイノルズ 平均化された乱流モデルを導入して行うことから，流 れの急変現象等の詳細な検討が十分に行えない等が挙 げられる．そのため，

3

次元解析を用いた検討は田村ら の研究

Gr.

³⁾などに限られており，必ずしも多くない．

特に励振力及び空力減衰などの急変現象の詳細な研究 に関しては，十分に行われていないのが現状である．

  以上の様なことから，本論文では

3

次元円柱の渦励 振の特性を数値解析の面から検討をすることを目的と する．具体的には，河井²⁾らが行った一様流中での

3

次

元円柱の

lock-in

域を中心とした風洞実験に関して，

3

次元数値流体解析とを対応させることを目的とする．

これにより，渦励振時における応答特性の急変現象を 明らかにし，空気力応答、空力減衰力や振動応答を検 討するものである．

2.

基礎方程式 

  流れ場を非圧縮性粘性流れとして扱うと，支配方程 式は非圧縮

Navier-Stokes

方程式で表される．また，物

体の振動に合わせたメッシュの変形に対処するために

ALE(Arbitary Lagrangian-Eulerian)

法を用いてメッシュ 速度を支配方程式に取り込む．この時運動方程式は式

(1)

で，連続式は式

(2)

でそれぞれ表される．

in 0 ) , ( - ) ) (

( u u v u u  

t p

   

⁽¹⁾

in 0  

u

       

(2)

ここで，ρは密度，

u

は流速，

v

はメッシュ速度，

t

は 時間，p は圧力，Ω は解析領域を示す．また，σ(p,

u)

は応力テンソルであり，式

(3)

となる. 

) ) ( 2 ( ) 1 ( , ) ( 2 ' ) ,

( p u p I u

  

u u u

^T

 

(3)

ここで， 

μ(=ρν)

は粘性係数，

ν

は動粘性係数，Ｉは単 位テンソルである. 

次に構造モデルの支配方程式は，鉛直たわみ変位

η

およびねじれ変位

θ

についての式

(4)

の振動方程式で表 される.  

p x x

x C K

M & & &

 

(4)

 

ここで， 

f I f mD I

mD

2 0

0 2

0

0

²

2

C

M

 

 

(5)

M p DL x D

f I f

mD

   

2 2 2 2 2

4 0

0

K 4 (6)

であり，

δ

η ，

δ

θは構造減衰率，

f

η ，

f

θは固有振動数，

m

，

I

は質量と慣性モーメントを表す．

3.

解析手法 

数値流体解析には丸岡ら⁴⁾が提案している

IBTD/FS

有限要素法を，乱流モデルは

LES

の

Smagorinsky SGS

モデルを用いて，静的解析及び動的解析を行う．ここ での動的解析手法は，構造減衰と空力減衰を分けて算 出するために，風洞実験で広く行われている．バネ支 持振動試験法と同一の手法を取り入れる具体的な解析 方法は, 静的解析において定常状態になった流れを初 期条件とし, ここに加振振幅η₀

=0.05D

として強制加 振を与える．さらに十分に加振した状態で解析を行っ

た後, これを自由振動法における初期条件とし，自由 減衰状態における空力減衰率を算出する．ここで本手 法での自由振動法は，たわみ及びねじれの

1

自由度振 動方程式に直接時間積分法の線形加速度法を適用し，

振動応答を求める．また，スクルートン数は無次元量 として式

(7)

のように定義する．

4 2

2 2

D S I

D

S

_C

m  

_C

           

(7) 4.

解析条件 

解析領域を図-1に示す．円柱直径を

D

とした場合，

円柱前方と側方を

7.0D

，円柱後方を

20.5D

，アスペク ト比は

2.0

である．境界条件は，

Γ

1で一様流速

, Γ

2

で流体の表面応力

0, Γ

3で

slip, Γ

4で円柱の移動速度 を与え，円柱上の視点で考えると

non-slip

としている．

Γ

5で周期境界条件を与えている.

  解析条件を表-1 に示す．一様流入風速

U

∞は円柱直 径

D

を用いて次式で無次元化される．

D f

U

_r

U

     

(8)

また，構造減衰率と質量比は，式

(7)

を満たすように設 定する．メッシュ分割は，断面近傍で節点を集中的に 配置している．また，河井ら²⁾の円柱の風洞実験と対応 させ，スクルートン数を

1.5，Reynolds

数を

2.0×10

⁴と する．なお，本論においては鉛直たわみ変位

η

に着目 し，流れ方向の変位およびねじれ変位

θ

については拘 束されているものとする．

5.

解析結果及び考察  (1)振動応答 

 図-2 に強制加振後の自由振動状態における振動応 答の風洞試験結果及び数値解析結果との比較を

,

図-3 に無次元風速に対応した定常振幅時の円柱後流渦の卓 越振動数特性を, また, 図-4に各無次元風速における 応答のパワースペクトルを示す．ここで図-2の縦軸は 風直角方向の変動変位の

rms

値を円柱の直径で除した 無次元振幅

η

rms

/D

を，図-3の縦軸は振動数比

f

w

/f

ηを，

横軸はそれぞれ無次元風速

U

rηを表す．

河井ら²⁾の風洞実験においては

, U

rη

=5.0

付近から励振 が開始され,

U

rη

=6.5

で最大振幅

η

rms

/D=0.26

に達し, そ

の後

U

rη

=10.0

付近まで励振が持続する. また,

lock-in

現象が生じているのは

U

rη

=5.7

〜

7.0

付近となることが

示されている．そして

,

この風洞実験の場合

,

励振時の 振幅の変化を手掛かりに, この振動を図-2,3 に示す

3

つの風速領域であるⅠ〜Ⅲに分類している. 

D

7D 20.5D

7D 7D

L

x y z Γ

₁

Γ

₃

Γ

₃

Γ

₂

Γ

₅

Γ

₄

Γ

₅

図-1 解析領域 

図-2  3 次元円柱の振動応答 

（河井^2）らの風洞実験との比較） 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Urη

ηrms / D

exp.

cal. 3D

Ⅰ Ⅱ

Ⅲ

図-3  後流渦の卓越振動数特性 

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Urη

fw/fη

cal. 3D Ⅰ Ⅱ

Ⅲ 表-1 解析条件 

解析ケース 3次元解析

Reynolds数 2.0×10

⁴

総節点数

14190×21

総要素数

14000×20

周方向分割数

160

軸方向長さ L

2.0D

軸方向分割数

20

最小分割幅

0.0005D

時間増分 ⊿

t 0.02D/U

モデル定数 Ｃｓ

0.1

無次元風速 Ur_η

3.0~9.0

加振振幅  η₀

0.05D

構造減衰率 δη

1%

スクルートン数 S_Cy

1.5

質量比 m/ρD²

75

これ対して解析結果は，

U

rη

=4.5

付近から円柱の励振 が発生し，風速が上がるにともない振幅も増加して行 く．

U

rη

=6.0

で最大振幅

η

rms

/D=0.26

を示し，ここから風 速が上がるにともない振幅が徐々に減少している．ま た図-3より，

U

rη

=5.5~7.5

の風速域から

f

w

/f

η

=1.0

を示し ていることから，

lock-in

状態となっているのがわかる．

(2)

各風速領域での検討

領域Ⅰは

,

風洞実験では，励振開始時

U

rη

=4.8

から

U

rη

=5.7

までの領域，解析結果では

,

 励振開始時の

U

rη

=4.5

から

U

rη

=5.5

までの領域である. 図-4(a)，(b) に示す領域の特徴は

,

応答のパワースペクトルに

2

つ のピークが存在することである.

U

rη

=4.5

においては

0.18Hz

と

0.15Hz, U

rη

=5.0

においては

0.18Hz

と

0.17Hz

である.  前者の鋭いピークは円柱の固有振動数に伴 うピークで

,

後者の小さいピークはカルマン渦発生に 伴うピークである. 励振が開始されるまでには, パワ ースペクトルには固有振動数以外のピークはなく, 静 止状態ではカルマン渦の放出に伴う変動揚力は極めて 小さい. 図-4(a)，(b)に示すうように, その刺激によ ってカルマン渦の発生が助長され

,

円柱には周期的変 動が働くようになるが

,

この揚力の周波数は円柱の固 有振動数とは一致せず, 風速の増加とともに徐々に増 大する. よって,  この励振はカルマン渦の発生とは 直接的には関係がなく, 別の発生機構によって生じた ものと考えられる. さらに, 風洞実験結果²⁾において,  このような振動現象の特徴は, 奥行きが幅より小さい 角柱の場合と同様であると述べられている.  

次に, 領域Ⅱは, 実験結果では

U

rη

=5.7から 7までの

領域，解析結果では

lock-in

が生じている

U

rη

=5.5

から

U

rη

=7.5

までである. 図-4(c)の領域では

,

応答のパワ ースペクトルのピークは

1

つとなり

,

カルマン渦は円 柱の固有振動数と同期して発生する

lock-in

が生じる.

領域Ⅲは

, U

rη

=7

から励振が収まる

U

rη

=10

までの領域 である. 解析結果では

, lock-in

領域からはずれた後

,

振 幅が収束するまでである. 応答のパワースペクトルに は固有振動数に伴うピーク以外に

,

固有振動数の半分 程度の周波数付近にもう一つのピークが現れる. 図 -4(d)に示すように

0.2Hz

とほぼ半分程度である

0.12Hz

を見ることができる.また, この領域では円柱

の後流中での風速変動や既往の研究から, 

lock-in

は生

じていないと考えられる. よって, この領域における 励振現象の継続は, 低風速ギャロッピングのような空 力不安定振動と考えられる.  

このように, これまで自励的渦励振とされてきた円 柱の励振も, 発生機構によって大きく 3 つに分類する ことができる. さらに解析結果において, 励振の発生 から収束に至るまでの無次元風速の増加に伴う振幅の 変化と, 各無次元風速における応答のパワースペクト ルについても, 風洞実験を再現できている. 

(3) 空力減衰 

図-5に無次元風速

U

rη

=4.5, U

rη

=5.0, U

rη

=6.0, U

rη

=8.0

における振動振幅の時刻歴を, 図-6に自由振動開始か らの振動振幅の減衰率を算出したものを示す. 縦軸に 無次元振幅

η

rms

/D

及び減衰率を, 横軸にそれぞれ無次 元風速とする. なお, 図-5については, 自由振動状態 開始からのものである. 励振前から

lock-in

に至るまで は

,

無次元風速の増加に伴い

,

減衰率はプラス域であ ることから

,

強制振動から自由振動に移ると

,

振幅が 緩やかに収束していることがわかる.

lock-in

が生じる と, 減衰率は負減衰となり, 振幅は増加する. その後 無次元風速の増加に伴い

,

振幅が収束するにつれて

,

減衰率も増加している. ここで

, U

rη

=8.0

において

,

 図 -4(d)に示すように, 円柱の固有振動数とカルマン渦 の発生周波数の一致はみられないので lock-in から外 れているのがわかる. だが, 減衰率はわずかに負減衰 図-4  各無次元風速における応答のパワースペクトル  (a) 無次元風速

U

_rη=4.5 (Ⅰ) 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Frequency

カルマン渦 に伴う応答

円柱の 固有振動数 に伴う応答

(b) 無次元風速

U

_rη=5.0 (Ⅰ) 

 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Frequency

カルマン渦 に伴う応答

円柱の 固有振動数 に伴う応答

(c) 無次元風速

U

_rη=6.0 (Ⅱ)   

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Frequency

カルマン渦に伴う応答 と円柱の固有振動数に 伴う応答の一致

(d)  無次元風速

U

_rη=8.0 (Ⅲ) 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Frequency

円柱の 固有振動数 に伴う応答

1/2

程度

を示しているので,風洞実験において示唆されている

lock-in

後の振動の継続についての

,

空力負減衰に伴う

低風速ギャロッピングタイプの空力不安定振動という ものを, 数値解析の面からも示すことができた.

6. おわりに 

  本研究では, 

3

次元円柱の渦励振現象について，一 様流中での

3

次元数値流体解析を行い, 風洞実験との 比較

,

検証を行った．得られた結果を次に示す.

① 無次元風速の増加に伴う振動振幅の変化について

,

励振開始から

,

最大振幅を示した後振幅の収束に 至るまで

,

概ね風洞実験結果を再現できている.  

② 後流渦の卓越振動数特性から

, lock-in

の発現に関 しても, 風洞実験結果とほぼ一致している. 本解 析では

,

各現象の発現風速や振動振幅値において

,

実験値との若干の乖離がみられるが

,

これは解析 諸条件における解析精度の問題であり, 解析領域,  アスペクト比, 分割数などを向上させることでよ り精度は上がるものと考えられる.  

③ 風洞実験において指摘されている円柱の励振発生 機構の三つの領域関し、解析結果からもこの指摘 を確認することができた．特に励振域での低風速 ギャロッピングのような空力不安定振動を捕らえ ることもできた．

以上のことから

,

円柱の振動問題に関して

, 3

次元数値 流体解析を用いることにより

,

実現象を概ね再現でき ることがわかった. 今後は, 振動現象の発生機構につ いて, 可視化などによる評価を行い, より詳細な検討 を行う予定である.  

 

＜参考文献＞

１） 

Wootton, L. R. : Aerodynamic stability, Summary of Proceedings of CIRIA Seminar, The modern design of Wind-sensitive Structures, 1970, pp65-81

 

２） 河井宏允，二井啓，藤波潔：リブ付き円柱の渦励振とギャロ ッピング，第 15 回風工学シンポジウム論文集，

pp461-466, 1998. 

３） 小野佳之, 田村哲郎：振動円柱まわりの渦挙動と空気力特性の 関連性 / LESによる物理機構の検討 / ,日本建築学会構造系 論文集, Vol. 534, 2000. 

４） 丸岡晃，太田真二，平野廣和，川原睦人：同次補間を用いた 陰的有限要素法による非圧縮粘性流れの解析，構造工学論文 集

Vol.42A, pp383-394, 1997

 

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

400 900 1400 1900 2400 2900

time

η/D

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

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400 900 1400 1900 2400 2900

time

η/D

(a)  無次元風速

U

_rη=4.5

(b)  無次元風速

U

_rη=5.0

(c)  無次元風速

U

_rη=6.0

(d)  無次元風速

U

_rη=8.0

図-5  各無次元風速における振動振幅の時刻歴

-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Urη 減衰率（%）

図-6  自由振動開始からの振動振幅の減衰率

I

Ⅱ Ⅲ