2. 関数のグラフと近似 ,   2.1 一次近似

解析学２ No.4 2006.10.19

2. 関数のグラフと近似 ,   2.1 一次近似

接線の方程式

¶ ³

関数y=f(x)が x=aにおいて微分可能であるとき,点 (a , f(a))を通る傾きf⁰(a)の直線 y=f(a) + (x−a)f⁰(a)

を点(a , f(a))における関数y=f(x)の接線という.

µ ´

定理 7 (一次近似) 関数y=f(x)がx=aにおいて微分可能であるとき,つぎの 2つの条件を 満たす定数p,関数y=ϕ(x)が存在する：





(1) f(x) =f(a) +p(x−a) +ϕ(x) (2) lim

x→a

ϕ(x) x−a = 0 ここでp=f⁰(a)となる. また,この定理の逆も成り立つ.

¶ 極値 ³

(1) 関数y=f(x)が条件 「cのごく近くでは常に f(c)> f(x)となる」

をみたすとき,x=cで極大値f(c)をとるという.

(2) 関数y=f(x)が条件 「cのごく近くでは常に f(c)< f(x)となる」

をみたすとき,x=cで極小値f(c)をとるという.

極大値,極小値をあわせて単に極値ともいう.

µ ´

定理 8 (関数の増減) 関数y=f(x)を微分可能関数とする.

y=f(x)がx=aで極値をとるならばf⁰(a) = 0.

導関数y=f⁰(x)がx=aで連続のとき

 f⁰(a)>0ならばx=aの付近で,y=f(x)は増加関数.

 f⁰(a)<0ならばx=aの付近で,y=f(x)は減少関数.

 x=aの前後でf⁰(x)の符号が変化すれば,y=f(x)はx=aで極値をとる.

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解析学２ No.4 2006.10.19

2. 関数のグラフと近似 ,   2.1 一次近似

問題17 与えられたx座標を持つ点の付近において,以下の関数が増加か減少か答えなさい.

(1)y=−x³⁵, x= 32

(2)y= log(x²+x−3), x=−3

(3)y=xcoshx, x=−1

問題18 与えられたx座標を持つ点における,以下の関数の接線の方程式を求めなさい.

(1)y= tan(4x), x= π 12

(2)y=e^x−1, x= 4

(3)y= 4 arcsinx, x=

√2 2

問題19 関数y=xe^−2xの接線で点(2,0)を通るものを求めなさい.

学籍番号 氏名