a, a 1 , · · · , a n は有理整数、を満たすと仮定する。

Uber die Transzendenz der Zahlen ¨ e und π David Hilbert

数

e

が

n

次の方程式

a + a ₁ e + a ₂ e ² + · · · + a _n e ⁿ = 0,

ここに

a, a ₁ , · · · , a _n

は有理整数、を満たすと仮定する。

この等式の両辺に積分

∫ _∞

0

=

∫ _∞

0

z ^ρ [(z − 1)(z − 2) · · · (z − n)] ^ρ+1 e ^{− z} dz

を掛ける。ここに

ρ

はある有理整数。すると次の表示を得る：

a

∫ _∞

0

+a ₁ e

∫ _∞

0

+a ₂ e ²

∫ _∞

0

+ · · · + a _n e ⁿ

∫ _∞

0

.

これを次の二つの表示の和に分ける：

P ₁ = a

∫ _∞

0

+a ₁ e

∫ _∞

1

+a ₂ e ²

∫ _∞

2

+ · · · + a _n e ⁿ

∫ _∞

n

,

P 2 = a 1 e

∫ 1 0

+a 2 e ²

∫ 2 0

+ · · · + a n e ⁿ

∫ n 0

.

公式

∫ _∞

0

z ^ρ e ^{− z} dz = ρ!

により、積分

∫ _∞

0

は

ρ!

で割り切れる有理整数であり、また、z

= z ^′ + 1,

z = z ^′ + 2, · · · , z = z ^′ + n

と置換してみればすぐわかるやうに、e

∫ _∞

0 , e ² ∫ _∞

2 ,

· · · , e ⁿ ∫ _∞

n

たちは

(ρ + 1)!

で割り切れる有理整数である。よって

P ₁

は

ρ!

で 割り切れる有理整数であり、ρ

+ 1

を法として合同式

P ₁

ρ! ≡ ± a(n!) ^ρ+1 (mod ρ + 1) (1)

が成り立つ。

一方、

K

及び

k

を、それぞれ函数

z(z − 1)(z − 2) · · · (z − n)

1

及び

(z − 1)(z − 2) · · · (z − n)e ^{− z}

の、z

= 0

から

z = n

に至る区間に於ける最大値、とすると、

|

∫ 1 0

| < kK ^ρ , |

∫ 2 0

| < 2kK ^ρ , · · · , |

∫ n 0

| < nkK ^ρ

が成り立ち、これより、簡単のため

κ = ( | a ₁ E | + 2 | a ₂ e ² | + · · · + n | a _n e ⁿ | )k

と置くと、不等式

| P ₂ | < κK ^ρ (2)

が成り立つ。

さてこで正整数

ρ

を、第一に整数

a · n!

で割り切れるやうに、第二に

κ ^K _ρ!

^ρ

< 1

であるやうに、取る。すると合同式

(1)

より

^P _ρ!

¹ は

ρ + 1

で割り切 れない、特に

0

でない、整数であり、一方

^P _ρ!

² は不等式

(2)

よりその絶対値 が

1

より小さい。よって等式

P ₁ ρ! + P ₂

ρ! = 0

は不可能である。

数

π

が代数的数であると仮定し、

α 1 = iπ

なる数が

n

次の整数係数方程式 を満たすと仮定する。α

2 , · · · , α _n

をこの方程式の残りの根とすると、1 +

e ^iπ

の値は

0

だから、次の表示

(1 + e ^α

¹

)(1 + e ^α

²

) · · · (1 + e ^α

ⁿ

) = 1 + e ^β

¹

+ e ^β

²

+ · · · + e ^β

^N

の値も

0

となる。ここに、簡単にわかるやうに、

N

個の指数

β ₁ , · · · , β _N

は或る 一つの整数係数方程式の根たちである。これらのうち

M

個の指数

β ₁ , · · · , β _M

は

0

でなく、残りは全て

0

であるとすると、これら

M

個の指数

β ₁ , · · · , β _M

も或る一つの

M

次の整数係数方程式

f (z) = bz ^M + b ₁ z ^{M − 1} + · · · + b _M = 0

の根たちである。ここで特に定数項

b _M

は

0

でない。そこで上の表示は

a + e ^β

¹

+ e ^β

²

+ · · · + e ^β

^M

,

ここに

a

は正整数、の形となる。

2

この表示に積分

∫ _∞

0

=

∫ _∞

0

z ^ρ [g(z)] ^ρ+1 e ^{− z} dz

を掛ける。ここでもまた

ρ

はある正整数を表し、簡単のため

g(z) = b ^M f (z)

とおいた。すると

a

∫ _∞

0

+e ^β

¹

∫ _∞

0

+e ^β

²

∫ _∞

0

+ · · · + e ^β

^M

∫ _∞

0

となる。これを次の二つの表示の和に分ける：

P ₁ = a

∫ _∞

0

+e ^β

¹

∫ _∞

β

1

+e ^β

²

∫ _∞

β

2

+ · · · + e ^β

^M

∫ _∞

β

M

, P ₂ = e ^β

¹

∫ β

1

0

+e ^β

²

∫ β

2

0

+ · · · + e ^β

^M

∫ β

M

0

.

ここで一般に、積分

∫ _∞

β

i は、複素

z-平面上、点 z = β _i

から実軸に並行な半直 線上を

z = + ∞

まで、積分

∫ β

i

0

は点

z = 0

から点

z = β _i

に至る線分上に、

渡るものである。

積分

∫ _∞

0

は

ρ!

で割り切れる或る有理整数であり、また

ρ + 1

を法として

合同式

1

ρ!

∫

≡ b ^ρM+M b ^ρ+1 _M (mod ρ + 1)

が成り立つこがわかる。

さらに、置換

z = z ^′ + β _i

を行ひ

g(β _i ) = 0

を使ふと、

e ^β

ⁱ

∫ _∞

β

i

=

∫

(z ^′ + β _i ) ^ρ [g(z ^′ + β _i )] ^ρ+1 e ^{− z}

^′

dz ^′ = (ρ + 1)!G(β _i )

の形となる。ここに

G(β _i )

は

β _i

の整数係数多項式で、その

β _i -次数は ρM +M

より小さく、その係数たちは全て

b ^ρM+M

で割り切れる。ここで

β ₁ , · · · , β _M

は整数係数方程式

f(z) = 0

の根だから、最初の係数

b

を掛けることにより 代数的 整数 となり、従って特に

G(β ₁ ) + G(β ₂ ) + · · · + G(β _M )

は一つの 有理整数 である。これより表示

P ₁

は

ρ!

で割り切れる有理整数で あり、また、ρ

+ 1

を法とした合同式

P ₁

ρ! ≡ ab ^ρM+M b ^ρ+1 _M (mod ρ + 1) (3)

3

が成り立つことがわかる。

一方、

K

及び

k

を、それぞれ、函数

zg(z)

及び

g(z)e ^{− z}

の絶対値の、

z = 0

から

z = β _i

に至る積分区間たちの上に於ける最大値、とすると、

|

∫ β

i

0

| < | β _i | kK ^ρ (i = 1, 2, · · · , M ).

これより、簡単のため

κ = ( | β ₁ e ^β

¹

| + | β ₂ e ^β

²

| + · · · + | β _M e ^β

^M

| )k

とおくと、不等式

| P ₂ | < κK ^ρ (4)

が従ふ。

さてここで正整数

ρ

を、第一に

abb _M

で割り切れるやうに、第二に

^κK _ρ!

^ρ

< 1

であるやうに、取る。すると

^P _ρ!

¹ は合同式

(3)

より

ρ + 1

で割り切れない、特 に

0

でない、整数であり、一方

^P _ρ!

² は不等式

(4)

よりその絶対値が

1

より小 さい。よって等式

P ₁ ρ! + P ₂

ρ! = 0

は不可能である。

この方法により指数関数に関する最も一般な

Lindemann

の定理も同様に 簡単に証明できることが容易にわかる。

訳： 田口雄一郎

4