ウ エ-ブ レ ッ ト解 析 の 路 面 評 価 問題 へ の 適 用 性 に つ い て
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(2) の検 出 2)プ. のパ ター ンの 発 生 との 相 関 関 係 に つ いて 分 析 す る こ. ロ フ ァイ ル に起 因す る車 両 振 動 デ ー タ の ノイ. とが 可 能 で あ る.. ズ 除去 3)路. 面 プ ロフ ァイ ル の 自己 相 似 特 性 の 検 討. 1),2)で. は,WT関. (1). 数 に よ る 空 間周 波 数 分 析 に. よ り,路 面 の縦 断 プ ロフ ァイル 上 に局 在 す る損 失 箇 所 の特 定 を行 う と同 時 に,多 重 解 像 度 分 析 を用 いて,. 本 粗 波 で あ り,パ ラメ ー タa ,b はそ れ ぞ れ 単 位 長 さ当 た りの 波形 振 動 の周 波 数 と,. 路 面 走 行 時 の 車 両振 動 加 速 度 デ ー タ に含 まれ る ノイ. そ の 存 在 位 置 を 示 して い る.. ズ 成 分 の 除去 を行 って い る.ま た,一 般 的 な 舗 装 路 面 の プ ロフ ァイ ル は,自 己 相 似 性 を有 す る こ とが 知. こ こで,ψ(x)は,基. 上 式 よ り,空 間 関 数f(x)のWT変. 実 数a,bを パ ラ メ ー タ とす る平 面 上 の 分 布 とな り,a. られ てお り1),こ れ まで フ ラク タ ル次 元 に よ り解 析. は ス ケ ール パ ラ メー タ,bは. が な され て きて い る.3)で. aは,周. は,連 続WT変. 換 が,解. 換 され た 信 号 は,. 位 置 パ ラメ ー タ で あ る . 波 数 に関 連 し,空 間 解 像 度 の 分 析 が 可 能 と. 析 した い 関数 の 自己 相 似性 検 出 に これ ま で利 用 され. な るた め,bを 操 作 す る こ とで解 析 の た め の ψ(こ れ. て い る こ とか ら,各 種 路 面 プ ロ フ ァイ ル ごと に 自 己. を アナ ライ ジ ングWTと. 相 似 性 の検 討 を行 っ た.な お,本 研 究 で は解 析 に 用. 信 号 の 局 所 的 な 変 動 を 把 握 で き る ことか ら,路 面 プ. い るア ナ ライ ジ ングWTに. ロ フ ァイ ル の 異常 値 検 出 を空 間‑周 波 数 分 布 特 性 か. はDaubechiesのWTを. 用 い て い る.本 研 究 のWT解. 析 に当 た って は,ワ ー. 称 す)を 空 間 的 に移 動 させ ,. ら行 う こ とが で き る と期 待 され る.. ク ス テー シ ョン上 で 動 作 す る 数 値 計算 用 ソ フ トウ ェ ア のMATLAB2)と. 数 式 処 理 ソ フ トウ ェ ア の. Mathematica3)を 一 部使 用 した.. (2)離. 散WT変. 連 続WT変 て,離. 2.ウ ェ ー ブ レ ッ ト変 換 と そ の 特 徴. 換 が,信. 散WT変. 号 の特 性 を 導 出す る の に対 し. 換 は 計 算 機 利 用 に 適 し,数 量 的 把 握. が 可 能 な う え,連 続WT変 ン グWTが. ウ ェ ー ブ レッ ト(WT)は,語. 換. 源 か ら も推 察 され る. 換 と異 な り,ア ナ ラ イ ジ. 完 全 直 交 基 底 関 数 で あ る た め,信 号 の ノ. イ ズ 除 去 や 異 な る 性 質 を 持 つ 信 号 の 分 離 ・比 較 に 適. よ うに信 号 デ ー タ を生 成 す る さ ざ破(wavelet)を. す る た め,Daubechies5),Vetterli6)ら. 表 す 様 々 な 関 数 の 使 わ れ方 に 関連 した 呼 称 で あ り,. 解 像 度 解 析 で も 利 用 さ れ て い る.. 1930年. 代 頃 にあ っ た概 念 で あ るが,Morletに. より. 離 散WT変. 換 は,パ. 石 油 探 索 をす る とき の 人 口,震 波 の 解 析 道 具 と して,. し,信 号 をWT級. 最 初 に 導 入 され た4).WT変. る.す な わ ち,離. 換 と は,あ る基 本 関 数 を. 基 に,こ れ を ス ケー ル 変 換 な らび に シ フ ト変 換 し て. ラ メ ー タa,bと. に よ って 多 重. Ψ(x)を 離 散 化. 数 に 展 開 す る こ と に よ り達 成 さ れ 散 化 し た Ψ((x‑b)/a)は,整. 数j,k. に よ り,. 求 め られ る関 数 の組 を 基 底 と した積 分 変 換 で あ る. このた め,基 底 関 数 は 互 い に 相似 の 関 係 に あ り,解 析 した い関 数 の 自己相 似 性 がWT変. 換 係 数 の ス ケー. (2). ル 依 存 性 を見 る こ とに よ り,解 析 が 容 易 にな る と 共 に,空 間 的 に も周波 数 的 に も局 在 した 関 数 を用 い て い るの で,空 間 と周 波 数 の両 方 の 情 報 を あ る範 囲 内. で 表 され る基 底 で あ り,こ れ を用 い て信 号f(x)は 次 式 によ り級 数 表 現 で き る.. (これ を ア ドミ ッシ ブル 条 件 と い う)で 分 析 で き る. これ まで の研 究 で は,時 系 列 デ ー タ の処 理 が 多 い た. (3). め,時 間 周 波 数 分 析 の 名 前 が用 い られ て い る が,本 研 究 で は路 面 プ ロ フ ァイ ル を扱 うた め,空 間周 波 数 表 現 で 示 す こ と にす る.WT変. 換 に は,大 き く分 け. て2種 類 あ り,そ れ ぞ れ 「 連 続WT変 散WT変. 換」及び 「 離. (4). 換 」 と呼 ばれ る.. (1)連 続WT変 連 続WT変. こ こ で,Cj ,kはWT係 数 と 呼 ば れ る 展 開 係 数,"*" は,複 素 共 役 を 示 し,jは ス ケ ー ル パ ラ メ ー タ で 解 像. 換 換 は,次 式 で 表 され,解 析 デ ー タ にお. け る特 定 パ ター ンの 発 生 個 所,発 生頻 度 あ る い は 他. ― 24―. 度 を 表 現 し,kはk/2jに は,f(x)と. よ り位 置 を 表 す.ま た,Cj ,k Ψj,k(x)と の 相 関 係 数 に 相 当 し,そ の 値 は,.
(3) 次 式 で 表 され る。. 位 置bに お い て 信号f(x)に 含 まれ る Ψ(x/a)の 成 分 を 示 して い る こ とか ら,後 述 の多 重 解 像 度 解 析 を用 い. (12). て,周 波 数 ご と に特 定 成 分 の検 出が 可 能 とな る. (3)多. 重解像度解析. (13). 多重 解 像 度 解 析 は,フィル タ 係 数h(k)を 用 い た 計 算 ア ル ゴ リズ ム と して 定 義 され,直 交WTを 行 わ れ る が,Malletら7)に. 用 いて 上 式 に示 され る よ う に,繰 り返 し計 算 で 求 め る こ. よ って 一 般 的 枠 組 み が 整. 備 され た 解 析 手 法 で あ り,複 数 の スケ ー ル で 信 号 の. とがで き る.上 式 のhとgは,そ. 局 所 的 平 滑 化 を行 っ て 得 られ る 階層 的構 造 を持 つ デ ー タ を用 いて ,信 号 の 局 所 的性 質 と大 域 的性 質 を 同. を 高 周 波数 帯 域 と低 周 波 数 帯 域 に分 割 す る一 連 の 帯 域2分. 時 に解 析 す る方 法 で あ る.. 可 能 で あ る と同 時 に 次 式 に よ り,再 構 成 が 可 能 とな. 割 フ ィ ル タ で あ る こ とか ら,デ ー タ の分 解 が. る.. 多重 解 像 度 解 析 の数 学 的 定 義 は,L2(R)の 閉 部 分 空 間 列Vj(n∈Z)で. れ ぞ れ ス ペ ク トル. 以 下 の5条 件 を満 足 す る もの を い. う.. (14) (5). 1.. これ ら の性 質 を利 用 して,信 号 の 階 層 的 平 滑 化 に よ る検 討 が可 能 で あ る.. はL2(R)で 稠 密. 2.. (6). 3.路 面 プロファイルの空間周波数分析 による (7). 3.. 路面上の損傷箇所の検出 WT変. (8). 4.. 換 の路 面 プ ロ フ ァイ ル 評 価 へ の 応 用 へ の 有. 効 性 を検 討 す る 際 に,そ の第 一 の機 能 は不 連 続 信 号 の検 出 で あ る.WT変. (9). 5.. はV0の 正 規 直 交 基 底. 換 は,信 号 の不 連 続 を検 知 す る. 能 力 が あ る と推 察 され た め こ こで は,各 種 路 面 の 空 間 周 波 数 分 析 によ り,こ れ らの 異 常値(路. 面プロフ. ァイ ル にお け る局 所 的 損 失)の 検 出 を試 み る.解 い ま,適. 当 な ア ナ ライ ジ ン グWTを. 式 の 離 散WTが (3),(4)式. 選 択 し て,(2). に用 い た路 面 は,北 海 道 で 一 般 的 に見 受 け られ る 密. 正 規 直 交 系 に な っ た と仮 定 す る と,. に お い て,jは2倍. 粒 度 ア ス フ ァル ト舗 装 の縦 断 プ ロ フ ァイ ル で あ る.. ご と の 拡 大 ・縮 小 の パ ラ. メ ー タ で あ る た め,こ の 展 開 のjに 関 す る 和 は,倍. 析. 測 定 デ ー タ か ら,路 面 の ラ フ ネ ス性 状,波 状 特 性 を. 々. 検 討 す る際 に は,従 来 は,路 面 高 の標 準 偏 差,IRI(国. に 解 像 度 を 上 げ な が ら関 数f(x)を 観 察 す る プ ロ セ ス. 際 ラ フネ ス 指 数),パ. に 対 応 す る.多. て 行 わ れ て き た.測 定 デ ー タ に対 して,(3)式 に よ り. 重 解 像 度 解 析 で は,こ. す ア ナ ラ イ ジ ン グWTを. 構 成 す るた め にス ケ ー リン. グ と 称 す る 基 底 関 数 φ(x)を 用 い る.こ 号f(x)の. の 条 件 を満 た. 離 散 化 表 現 は,次. WT変. の と き,元 信. ワ ー ス ペ ク トル 分 析等 を用 い. 換 した 結 果 をFig.1に. 示 す.空 間 的 な 分解 能. を有 す る 周 波 数 解 析 法 を得 る た め に,空. 式 の よ う に な る.. 間軸上 で. 局在 化 した 関数 で あ る アナ ライ ジ ン グWTを 数 に選 ん でWT変 (10). 換 を行 うた め 、WT解. 基本関. 析 にお け る. 空 間 お よび 周 波 数 分解 能 は,ア ナ ライ ジ ン グWTの 性 質 に大 き く依 存 して お り,そ の選 択 は極 め て重 要. こ こ で,. で あ る.本 研 究 で は,解 析 に用 い た ア ナ ライ ジ ン グ WTはDaubechiesWT8)で (11). た後 のWT係 い る.図. (10)式 のdj,kは,ス. ケ ー リ ン グ 係 数 と 呼 ば れ,元. 信 号 のj次 の 解 像 度 の 離 散 化 表 現 で あ る.j次 解 像 度 の ス ケ ー リ ン グ 係 数,WT係. あ り,信 号 をWT変. 換し. 数 のエ ネル ギ ー 的 解 釈 が 容 易 と され て. の よ うに 、距 離 と周 波 数 毎 の 平 面 か ら判 断. さ れ るよ うに,原 波形 で は不 明瞭 な 凹 部 の位 置(図. 以下の. に お け る○ で 囲 っ た 箇所)が,特. 数 はdj,kを 用 い て,. ― 25―. で 検 知 で き る。. 定 の周 波 数 成 分 上.
(4) j=‑0. j=‑1. j=‑2. Fig.. 2. Vertical acceleration. j=‑3. at driver's seat. (original signal). j=‑4. j=‑5. Fig.. 1. S-F domain. representation. of road profile. Fig.. 4.多 重解像度解析を用 いたノイズの除去 路 面 プ ロフ ァイ ル が,車 の 振 動 乗 り心,,騒. 3. Vertical acceleration. at driver's seat. (denoised signal). 音,. Original signals. タイ ヤ との摩 擦 問題 等 に及 ぼ す影 響 を把握 す る場 合, そ れ ぞれ の 問題 に 関係 す る路 面 周 波 数 上 で 分析 す る こ とが,問 題 の影 響 範 囲 や 因 果 関 係 を明 確 に す る 上 で 有利 で あ る 。そ の際,デ ー タ に よ っ て は各 周 波 数 帯 に含 ま れ る ノイ ズ成 分 を 除去 す る必 要 が 出て くる 場 合 が あ る.前 述 した よ うに,多 重 解 像 度 解 析 で は 信 号 の フ ィル タ リン グ が 可能 で あ る た め,こ こ で は 悪 路 を走 行 した 際 の 車 体 に作 用す る振 動 加 速 度 に含 まれ る ノイ ズ成 分 の 除 去つ い て考 察 を行 っ た. 解 析 に用 い た 路 面 プ ロフ ァイル は,砂 利 路 で あ り,. Original. wavelet. coefficients. 測 定 に用 い た車 両 は 市 場 で使 用 され て い る10tダ ン プ トラ ック と した.悪. 路 を走行 す る 場 合,大 型 車. の よ うな 多振 動要 素 か ら な る車 両 で は,路 面 入 力 が CABや. シ ー ト部 な どのバ ネ 上 振 動 系 に伝 わ るま で. に 幾 つ か の ノイ ズ成 分 が 含 まれ る こ とが 予 想 され る. 本 研 究 で は,悪 路 の代 表 と しで 砂 利 路 に対 して,多 重 解 像 度 分 析 を行 い,分 解 ア ル ゴ リ ズ ム に よ り (12),(13)式. か らス ケー リン グ係 数WT係. 数 を求 め,. 乗 り心,解 析 へ の 応 用 を 考 慮 し,解 析 対 象 周 波 数 の. Thresholded. 低 い範 囲 を処 理 す る 目的 か ら,(14)式に お け るWT成. wavelet. coefficients. 分 中 のg成 分 を ノイ ズ と して 除 去 した.大 型 車 の シ ー ト部 に作 用 す る上 下 方 向 加 速度 に 対 して解 析 した 結 果 をFig.2,Fig.3に. 示 す.. 図 よ り,原 デ ー タ か ら高 周 波 成 分 が 除 去 され,平 滑 化 され て い るの が分 か る.同 一 のデ ー タ に対 して 周 波 数 成 分 上 に お け る 除去 箇 所 を解 像 度 と共 に示 し た のが,Fig.4で. あ る.図 に お け る 濃 淡 は明 る く な. る に つれ てWT係. 数 の 値 が 増 加 して い る こ とを示 す. が,空 間〓 ス ケー ル 解 像 度 平 面 で見 る と ノイ ズ 除 去 Fig.. 前 後 で 係 数 が解 像 度 に応 じて 変 化 して い る の が 明 確. ―26―. 4. Multiresolution. signal. decomposition.
(5) で あ り、 高 周 波 成 分 の 除 去 され て い る 様 子 が 分 か る。 5.連 続WT変. 換 によ る路 面 プ ロ フ ァイ ル の 自. 己相 似 性 の 検 討 路 面 プ ロ フ ァイ ル は,ラ ン ダム 信 号 で は あ るが, 従 来,局 所 的 損 失 の無 い 場 合,定 常 不 規 則 過 程 と し て 統 計 的 に処 理 され る と とも に,自 己 相 似 集 合(全 体 の形 を相 似 凝 縮 した幾 つか の部 分 か ら成 り立 って い るよ うな 集 合)を 持 つ 特 性 面 に着 目 し,フ ラ ク タ ル 次 元 か らも解 析 が な さ れ て きて い る.し か しな が ら,従 来 の 路 面 プ ロ フ ァ イ ル に 関す る フ ラ ク タル 解 析 は,ハ ウス ドル フ次 元9)や 相 関次 元10)を用 い て お り,大 域 的 な 把 握 には 向 い て い る が,局 在 す る デ ー タ の 自己 相 似 性 解 析 には 不 向 き で あ る.WTは,WT 基 底 の各 基 底 関 数 が,互 い に相 似 か つ 局 在す る た め. Fig. 6 Continuous wavelet analysis for general. に,局 所 的 に 自己 相 似 性 を呈 す るデ ー タ の抽 出 に 適. pavement surface (N=2). す る こ とが分 か って い る.路 面 プ ロ フ ァイ ル には 空 間 的 に 眺 め る と,あ る 区 間 で は 激 しい 変 動 が 生 じ て い る場 合 が あ り,そ こで は,高 い空 間 周 波 数 の 励 起 が 期 待 され る.こ の様 な とき 連 続WT変. 換 によ る. 「 空 間ー ス ケ ー ル 」 図 を 利 用 す る こと に よ り,そ の 位 置,大 き さ,範 囲 の特 徴 を表 す 特 定 のパ ター ン 検 出が 有 効 と思 わ れ る. フ ラ ク タル 図 形(Koch曲. 線)に 関 して,連 続WT. 変換 によ り 「 空 間ー ス ケ ー ル 」表 示 した ものが,Fig. 5で あ る.. Fig. 7. Fig.6の. Continuous wavelet analysis for gravel road surface (N=2) 舗 装 路 で は 自己 相 似 性 が 明瞭 な 箇 所 と. そ うで な い 箇 所 が,低 空 間 周波 数 成分(長 波 成 分) Fig.. 5. Detecting. self-similarity. by use of fractal. に な る に つ れ て 見 受 け られ る の が 分 か る.こ. signal. れに. 対 し,砂 利 路 は,自 己 相 似 性 を示 して い る 箇所 の 発 図 に お い て,ス ケ ー ル ごと に連 続WT変 ((1)式 に お け るW(a,b))を. 換 した 値. 見 は こ の程 度 の 解 像 度 で は 困 難 で あ るた め,解 像 度. 位 置 に関 して 表 示 し た. を増 加 させ て 表 示 した の がFig.8で. もの で あ り,値 の大 き さ と位 相 をそ れ ぞ れ 明 暗 と 色. あ る.幾 つ か の. 類 似 パ タ ー ン の 出現 が 見 受 け られ る.さ ら に、ス ケ ー ル は変 えず に 、 ア ナ ライ ジ ン グWTの 生 成 次 数 を. 相 によ って 描 い て お り,明 る い ほ ど値 の大 き い,す な わ ち,振 幅 の 大 き い こ とを 示 して い る.同 じ明 る. 1上 げ た の がFig.9で. さか ら形 成 され て い る 等 高 線 によ り輪 が 出現 して い. る 路 面 プ ロフ ァイ ル に 応 じて 、 用 い る ア ナ ライ ジ ン. る 中 に,ま た 同様 の輪 が 出 現 す る とい うよ うに,自. グWTや. 己 相 似 性 を有 して い るパ ター ンが 見 受 け られ る.. て お り、 解 析 信 号 特 性 に応 じたWT選. 舗 装路 面 と非 舗 装 プ ロ フ ァイ ル に対 して,連 続WT. 化 につ いて 、 今 後 の 報 告 が 期 待 され る 。. 変 換 した もの をFig.6,Fig.7に. 示 す.. ―27―. あ る.こ. の こと は 、解 析 す. ス ケ ー ル の 設 定 が 重 要 で あ る こ とを意 味 し 択 のル ーチ ン.
(6) を路 面 評 価 問題 に利 用 す る こ とで,路 面 プ ロ フ ァ イ ル の 空 間 周波 数 分 析,ノ イ ズ 除 去,自 己相 似性 の 検 出 に有 効 で あ る こ とが わ か った 。 本 研 究 は,WT理 論 を路 面特 性 評 価 に応 用 した 例 で は,国 の 内 外 を 問 わず 最 初 の報 告 と思 わ れ る.WT理. 論 は,現 在 理 学 に. お け る理 論 的 整 備 段 階 か ら工 学 分 野 の 応 用 段 階 へ と 研 究 対 象 が 移 行 しつ つ あ り,舗 装 工 学 にお け る 路 面 特 性 把 握 お よ び 評 価 へ のWT理. 論の適用性について. 継 続 的 研 究 が 今 後 期 待 され る.. 参考文献 1) 阿 部, 小 川: 縦 断 凹 凸 の フ ラ ク タ ル 解 析,土 47回. Fig.. 8. Continuous. wavelet analysis. road surface. 年 次 学 術 講 演 会 講 演 概 要 集 第5部,. 木学会第. 1992,. pp.. 108‑109.. for gravel. 2) MATLAB User's Guide for UNIX Workstations, The MathWorks Inc. , Natick, MA 01760, 1996. 3) Wolfram, S. , MathematicaTM, A System from Doing Mathematics by Computer 2nd ED. , Addison-Wesley Publishing Company Inc. 1991. 4) Morlet , J. , Arens, G. , Fourgeau I. and Giard, D. , Wave. (scale=128). propagations and sampling theory, Geophysics 47, pp. 203-236, 1982. 5) Daubechies, I. , Ten Lectures on Wavelets, CBMSNSF Regional Conference Series in Applied Mathematics , (1992), 1, Society for Industrial and Applied Mathematics. 6) Vetterli, M. and Herley, C. , Wavelets and Filter Banks: Theory and Design, IEEE Trans. Signal Processing, 40-9(1992), 2207. 7) Mallat, S. , Trans of the American Mathematical Society, 315, pp. 69-87, 1989. 8) Daubechies, I. , Orthonormal Bases of Compactly. Fig. 9. Continuous wavelet analysis for gravel. Supported Wavelets, Commum. Pure Appl. Math. , XLI(1988), 909. 9) Mandelbrot, B. , The Fractal Geometry of Nature, Freeman, New York, 1983. 10) Schuster, H. G. Deterministic Chaos, VCH, Weinheim, 1988.. road surface (scale=3) 6.お. わ りに. WT解 析 が,空 間 的 に局 在 す る異 な った 空 間 ス ケ ール現 象 を統 一 的 に 処 理 す る こ とが可 能 で あ る性 質. (1997.9.1受. 付). APPLICATION OF WAVELET ANALYSIS TO ROAD SURFACE EVALUATION Akira KAWAMURA, Kenji HIMENO, Takashi FUJIWARA and Takashi AKIMOTO. We introduced. wavelet. for road roughness potent method Furthermore,. analysis. especially. as a useful and powerful. for defects. on road profile.. data processing It is clarified. method that. to detect. specified. space-frequency. information. analysis. is a very. to find the location of defects such as pothole, fault and rutting with a space frequency domain. Multi-resolution analysis is applied for denoising from acceleration data at a vehicle body. induced from road irregularity By use of wavelet. analysis,. and a continuous several. new findings. wavelet. transform. on road surface. ― 28―. is used to detect evaluation. a self-similarity. are reported. of road profile. in this paper .. ..
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