ディジタル画像における曲線検出,座標変換及び修復に関する研究

(1)

九州大学学術情報リポジトリ

Kyushu University Institutional Repository

ディジタル画像における曲線検出,座標変換及び修復に関する研究

小野, 直樹

https://doi.org/10.11501/3081245

(2)

第3章

点集合の2次曲線当てはめ

3.1

まえがJき

序論でも述べたように、画像中の円や楕円を検出する問題は、種々の画像処理において必要となる。コンビュータビジョンなどで実際に与えられる画像においては、

検出対象となる円状物休や楕円が完全な形で正確に与えられていることはごく希であり、その一部分が他の物体によって隠れていることも多い。また、画像中から円や楕円を検出する際には、予めエッジ強調処理などによって物体の輪郭を表す点座標をデータとして抽出しておく必要がある。これらのデータ抽出の際の標本化誤差や雑音の混入は避けることができない。従って、ある|隔で円弧状もしくは楕円弧状に分布している点集合に対して良く当てはまる円または楕円の位置、大きさ、傾きを得る方法が必要になる。

第2章で述べたように、 Hough変換を用いれば複数の円の候補点の抽出と、それぞれの円の中心座標と半径の推定とが同時に実行できる。しかしながら、中心座標と半径とからなるパラメータ推定の精度を上げるためには、大きなアキュムレータ配列を必要とし、処理に要するメモリも大きくなる。そこで、まず円を構成しているとみなされる候補点をHough変換などによって抽出してそれぞれの円ごとに分類し、次に適当な規範に基づいてそれら候補点に最も良く当てはまる円のパラメータを求める方法が考えられる。この方法では、パラメータの推定を別に行うため、円を構成している点の抽出の精度を比較的大まかにすることによって、円の候補点の抽出処理に要するメモリと時間とを抑えることができる。こうして抽出された円の候補点としては、上にも述べたように正確に円周上にあるデータ点だけではなく、

(3)

ある程度の大きさの誤差を含むようなデータ点も含まれている。従って、このようなl個の円を表すあるぱらつきを伴う点集合が与えられたときに、それらに良く当てはまる円のハラメータを推定するための方法が必要になる。

万、惰円は、中心座標、長�!自の長さ、短軸の長さ及び傾きからなる5個のパラメータによって決定される。すなわち、長IPIJlの長さ2RA、短中IIIの長さ2RB、中心��

棋(，fO・ω)イ頃きOの楕円は

{(.r ^{- .l' 0}⁾^COS^{0 +}^{(グ- !JO)}^sint9}2 _I {-(1' ^-^.rO⁾^sint9 ⁺^{(y - Yo)}^cost9}2

R 1 十 R 1

^\^.J ^.J ^V^I ⁾ ⁼ ^{1 (:3. 1}⁾

によって表すことができる。従って、与えられた点集合に良く当てはまる楕円のパラメータは、これらのパラメータを未知数とする評価関数を最小化するものとして求めればよい。しかしながら、この評価式には三角関数などが含まれているために線形方程式の解として陽に求めることが難しい。このため、一般には楕円を

f(.1ぅy) ⁼

��・2

⁺²^.^ωι1'^y⁺

bV2十2V1:

⁺^2'u!J⁺^{c =}⁰ ^(3.2)

によって表現し、 2次曲線として求めることが多い。しかしながら、 2次曲線としては双曲線や放物線もあり得るため、点集合に良く当てはまる楕円を求めるためには、 2次曲線を楕円に制限するために不等式で表される制約条件も考慮する必要がある。

本章においては、まず、点集合の単 aの円への当てはめの問題を拡張して、l個の共通の中心を持つが半径の異なるいくつかの円弧状のクラスターがある場合、すなわちl組の同心円弧の集合が与えられている場合における円のパラメータの推'，ぃ方法を検討している。つまり、ここで扱う問題は、円弧の共通の中心座標とそれぞれの半径を見つけるということである。

竹良く当てはまる?というときの誤差の評価の仕方としては種々考えられるが、木論文では、通常用いられる最小2乗誤差を一応の目安とする。すなわち、ある点集ムが与えられたとき、それらに良く当てはまる円のパラメータは、それぞれの点と円とのユークリッド、距離についての平均2乗誤差(Mean Square Error: MSE)を最小化するものとして求められる。しかし、そのような円のパラメータは、|湯に求めることはできない。そこで、平均2乗誤差を変形したCl\IIodified ^MeanSquareιrror:

l\lIMSE)関数を用いた、l個の円の推定のための簡単な解法がこれまでに提案されている[29]0

(4)

本章では、このMl\IISE関数を最適さの評価関数として、与えられた同心円の候補点に対して共通の中心とそれぞれの円弧の半径とを推定するための公式を与えている。従って、[29]における公式は本論文における公式の特別な場合である。さらに、円弧の当てはまりの良さを評価するl\IIl\lISE関数と通常の平均2乗誤差関数との聞の関係も示している。

ノ子、点集合の楕円による当てはめに対する従来方法においては、楕円を単に2 次曲線として求めており、上述の制約条件を同時には考慮していない。このような非線形な条件が含まれる問題の解法は、非線形計画法として研究されており、反復法による解法がしばしば用いられている。

木章では、点集合の惰円による当てはめの問題に対して、反復法を用いたパラメータ推定として解くことを提案する。また、同様に点集合の双曲線による近似についても報告する。一方、比較のために、楕円を表す幾何学ノモラメータを直接用いた式 (:3.1)にもとづく反復法による楕円の推定方法についても示している。

(5)

3.2

同心円弧を表す点集合の同心円による当てはめ

まず、 l佃の共通の中心を持つが、半径の異なるいくつかの円弧状のクラスターがある場合、すなわちl組の同心円弧の集合が与えられているときの、円弧の共通の中心座標とそれぞれの半径を見つける方法を検討する。

3.2.1

当てはめの良さの評価式[67]

画像lドに共通の中心(aぅb)を持ち、それぞれ任意の半径Rハ1二1; ぅl\!lRを持つ

'\1] Rイ同のディジタルの円弧状のクラスタがあるとする。ここで、 f長小2乗法によっ

て、点(a.b)とRiを見つけることにしよう(図:3.1)。

l番目の円弧AiがJVi個の点(画素)から構成されていると仮定し、それらの肝標が(:rⁱ^.i^'Vi.i)ぅ) ⁼ ^{1γ ..)}JV/であるとする。このとき、んに対するl\IISEは

N 〆 ‘ 什

ム11 =

I: i /

⁽^_r^ij^-α)2⁺

(y�.i

^- ^{b )2}^- ^Ri

�

^- ^. ⁱ⁼ ¹ ^、的 ^(:3め

によって与えられる。

Ai

Al

図3.1:最小2乗法による中心と半径の推定

(6)

全ての円弧に対する全体のMSEは、よ1^i.ⁱ= 1， • . ^{. . 111}Rの和によって定義されるので

J7I

-万二]n

^(:3•Ll)

である。ここで、

Ri.i -

ゾ

^(.ri.i^-げ+^{(Yij -}^b)2 ^(:3.5)

とすると式(:3. �3 )は、次のように書き直される。

j凡1-乞(Ri.i一九)2N ftl\ • 、J、， PHU 、、ats，J

式(:3.4 )におけるみは、

。]71 とミδんハ

。α 台。α v δJ凡位以l.l ハ åb

乞

θb V 8Jrl ^8]^�^j

--二3Ri δRi ニ=0， ^'i= ^{1ぅ・・・.}^JV1R

の時にその最小値をとる。ここで、 å]山/8αは次のように計算される。

。Jni δJη βR;.; l!.!. βR- Nz

àa 万五;77

f

⁼²

E

⁽^Rt/-Rt)ず^{= -}²

E

^(R11-^ml(^{ん i}^- ^a)

(3.7)

(3.8) (:3.9)

従って、条件式(3.7)は

��(Ri.i一九)Rijl(l'i.i一α)=0 (³^{. 1 0} ⁾

となる。ここで、 Ri.iはαとbの関数である。同様に条件式(3.8)と式(3，9)は、

!VJR N，

��(Rij -R7:)Ri/(Yi.i -^b)= 0 J''EE、、 qjJ 11よ 111ム、、11ノ

t=] .7=1 人f

�(Ri.i -

R.i)

₌⁰ _(3.12)

となる。

(7)

しかしながら、方程式(:3.10)(:3.11)及び式(:3.12)はα、b及びRi.i について陽に解くことができない。そこで、誤差関数Jηtを次のように変更することにする。

Jmi -工 ( ^RL-R7 ) ²

^(3.1:3)

この式の.)miは、変形平均2乗誤差(MMSE)関数と呼ばれ、全体のl\IIlVISEは、

!UH

Jm二工QiJml

(:3.1.，1 )

によって定義されるo Qiは、各クラスタごとに与える重み係数であり、ここでは特にD:i

=

1. ⁱ

=

^1，2，

• • • ，

^{J\1 Rとする。}

誤差関数(:3.14)に基づく推定はMl\IISE推定と呼ばれ、んは次の時に最小値をとる。

R

イAnハ

= 一一 0 7 ん一弘 7 2外

= tJh z r 仇一川 7

h一% 7

h

へ汁U .( ペび一， ( ハび τ σ 一一% ム一氏

(3.1.5)

(:3^.1⁶)

(:3. J 7)

文献[29Jには、円弧が1個の場合、すなわちJ\I[R

=

1の場合についてこの評価式に従って円の中心座標と半径とを求める方法が報告されている。また、この評価式に従って求めた円の中心座標と真の中心座標との偏りを入力された点の数と座標の分散の関数として示し、分散が大きいと真の値よりも大きな半径の円が推定されることが示されている。

ここで、i\1R ^>1の場合について、評価関数(:3.14)の意味を考察しよう。式(:3.14) のみ1は次のように変形することができる。

ふ=LL(九j + Ri)ペRり一九)2

1=1]二1 j\イ尺八l，

二EJZ(RL+2R4R41+Rz)2(R11-Ri)2 〆'sl、、 qd li 、、ta，ノ00

i=l.i=l

ここで、 RiとRりとは式(:3.13)を最小化するように決められるので九三Rij. ⁾⁼ 1ぅ 2，・・， JViとみなすことができる。従って、Jm は

^1 H N， j\4J-{ N，八1尺

ム11241ZZRf(Rt1-Rt)2二4LR;2二(Rij-RAY=42二尽ん

(3.19)

lニ1

.)=1

^1.=1 ^j=] ^tニ1

(8)

と近似できる。この式から、.1111は重みがRi. i

=

^{1γ ・'.} J1Rの2乗であるj川の重み付け和であるとみなせる。従って、評価関数としてこのよ11を用し1ると小さな半径を持つデータより、大きな半径を持つデータに対してより近く当てはまる円のパラメータ(中心座標〉が求められる。後の章で述べるように回転ブレ画像の修復においては、ブレの中心を求めるために同心円弧の推定アルゴリズムが必要となる。

その際に与えられるデータとしては、一般に大きな半径の円弧状クラスタを構成する点の数が、小さな半径の円弧状クラスタをなす点の数よりもかなり多くデータの質も高い。従って、式(3.14)のこのような性質は、回転ブレ画像の修復において同心円弧の'11心を推定するのに都合がよい。

なお、R?による重み付けが不要であるときには、式(3.14)の重み係数日lをo.i二

1/町、'l = ^1ぅ2γ ^.

^jJ11Rとして再計算することによって、MSE関数による結果とほぼ等しい結果が求められる。

3.2.2

同心円弧の中心と半径の推定のための公式[67]

この節では、J11R個の円弧状のクラスタが与えられたという条件で、同心円弧の中心と半径とを推定するための公式を得るために、;3.2.1項に示された問題を解く。

α，b及びRiに関して，Jnl，iを微分すると

AI- Ny 「

ず =-4 5 ^((え ¹⁾ ^α)2+ (yリ-b)2-Rf)(211一α)ぅl' =

^1，'" ^j^J11R^(3.20)

βI N， f

訴と =-4 E ^((Z iJ 一α)2+(U 27 42- R7 ) (yt J- b)31= l ぅ

J11R (3.21) ô .]""

f!_>_.

^r

jt L =-2 2 ^{( 1} ⁴ ^{j -α)2} ^十(Y ^i， ⁱ ^-b)2

^-叫i二iヲ ^ん

が得られる。式(:3.17)と式(3.22)とを組み合わせると

Rh d ((川/ーザ+(山一叫

^1:

=

^1，^•^• ^•^，^J\1R

となる。式(3.23)を式(:3.20)と式(3.21)に代入して、整理すると

fJ .1�)] ;

f!_>_.

^(、

話ピ = -4 5 ((工り- a)2 + (:Yi.i 一川 (1' ij一:ri)

庁I Nt ^r _、

討と =-4 5 ^((Zi ^{jーα)2+ (めJ} ^一 ^川 ^(y ^{り -} ^川

(3.22)

(3.2�3)

(:3.24)

(3.25)

(9)

となる。ここで、正1とYiは、

L'iこ

えさ

^れl

^釣二世 ^Yi.i ⁽

^:3.

²

⁶

⁾

である。式(:3.2<-1)と式(:3.2.5 )の2乗の項を展開すると、

。Jmi

1八九人口八 '1

=

^-4

� 乞(.1'i.i-，L'i)(イi+ば，) - 2αL .1'i.i(，lリ一丸) -

^2b

L Yi，J(，l'iJ -

^;T'i)

X3，:27)

âJmi

δb

l 八九人� N， )

= -4

� _玄(仏 _i - i)i)(イj+必) - 2αL ， fij(Vij -

ⁱ⁾ⁱ

⁾ -

^2b

L Yi.iCめi- ^!Ji) }

^(:3.28)

が得られる。ここで、

入l， N

A=芝川(Ti，i -1:i)ニエ(zil-fi)2

入「

ペ=玄:Muir-!/l)=玄(yij-U

N， N， N

O'i.1;y = LVi.i(1'i.i - ，1'i) = L 1'i.i(Vij -Yi) =乞(

^，1'

iJ -

^.f

i) (仇/-yt) ]Ji二玄(ZZ1-L)(;13+必)，

^qi

=乞(yzl-21)(171+必)

(:3，29 ₎

]=1

とおくことができるので、式(:3.1.5)と式(3.16)の条件は、

å.J明、

巳ミå.J 柄、主主五 = と五二二-4 2

1 (Pi- 2叫 - 2bO'i.ry)二o (:3.30)

庁I MRβ1m; MR

75i = さ _ず _=-4 E ^(qi- ^2町 ^一 ^川) ^二 ^o ^(:3.:31)

と表すことができる。従って、αとbは次の線形連立方程式の解として求められる。

\11111111111'/

n門町

hzdhFL同 //t11111111111\ 一一 \111111ノ

nU1hv

/iIit--\ 、、、、I，B1111111'// uud

Z 2 wu

叫 σ

件、，白州ゃん同 HUU 2・υ 中山

司 σ

的ヤム同州ヤム凶 /I111111111111\ つ山

^(3.:32)

(10)

式(:3.:3:2)を解し1て、

(づL ^b ₂ h

^MH

¹ ⁽ ^M ^R ^\

²

= ^r ^] ^ぺ

2 σ ! 日什 _ト ) z- ( - D lU が得られる。つまり

-2ンi.ry ， ( ^2ンi ，

Zσf7ハε(ji )

2ンfy LPi - LσiJ'Y Lqi

(/， =二

t=l l二1 1=1

\11It--f/ 、1111JIlt (:3.:34)

位、白 σ HUU /Ili--1\

h z d σ

t 7&

NU3 σ 位、合 /lift--K

ヴム

Z42二qi - 2ンυν乞])1

い f N MIt /MK \ 2 ) 2 � 乞σL Z σ L - l 乞σ川 ) }

である。ここで、式(:3.:34)と式(:3.35)の右辺のそれぞれの項は、式(3.26)と式(:3.29) (:3.:35)

によって与えられる。

Riは、式(3.34) と式(3.:35)とを式(:3.23)に代入することによって決定される。

すなわち

Ri=| 走 ^さ ^{( ^{Xi.i一山恥-} ^b)2}，

^1- ⁼ ^1.

• • • ，

^jVJ

^R

^(:3^.3

⁶ ⁾

である。もちろん、式(3.34)ぅ(3.:35)及び式(3.:36)においてJV1R = _{1とすれば、それ}

らは[29]における公式と等しい。

(11)

3.3

点集合の楕円、双曲線による当てはめ

与えられた点集合に良く当てはまる楕円及び双曲線を求めるための方法を検討する。

3.3.1 問題設定[68]

R2の点が

t = ^(ス:ぅy) ^(:3.:37)

によって記述されているとする。R2 に2次曲線に当てはめられるn個の点があり、

それらを

可tpfJqb 7 ι'uu

寸.4ιι 可』A4L 「JE目、

(:3.:38)

と表すことにする。3.1節で述べたように、tの値には少なくとも標本化誤差やl@像の歪みによる誤差が含まれており、式(:3.:38)の要素の中には、雑音も混在していると考えられる。

ェt(:3.:38)で与えられた点集合に当てはまるように2次曲線

f(t) = ぇ・2 + 2w:ry十 bj/2 +2'U2 +2u，y +c二 ^O (:3.:39)

を決定することにしよう。

記述の簡単のために、次の記述を導入する。

g(t) = -X2， fr(t) = 21:yぅ f2(t)= y2

ì

/3 ( t) = 2.1:，ん(t)= 2y) ん(t)= 1

f

p = (w， bぅ叫U，^c) _t _三 (lh ， ])2 ， ^{P:3， P}4 ， p.s ) I

(3.40)

(:3.41)

ここで、1は転置を表す。式(3.41)のpは、決定されるべきベクトルノぞラメータであって、

pεR5 (:3.42)

と表すことができる。従って、式(3.39)は次のように書くことができる。

l(t♂)=乞fi(t) Pi -9 (t) = 0 (:3.43)

(12)

ここで、式(:3.:39)の1"(t)は、ベクトルノぞラメータpによって特定されるのでf(ιp) と記述し直している。

さらに、

、、‘，E，，，、、、白盲目a，，，

arb ，rsaE、、rJ itf 、、BEE，，，ι'LU

ft1・、

J『，Jtt' 、‘ht，，ノιι ，，，EE‘、、、dJ，少11、‘BEE，，JA'む，z，Il--‘、ベノHit-、、.，E，，JA'u

〆ell-、、st，ノ

1 4L

F+ti r--t、

/11 0J

一一一一一一

千J σd

(:3.-1 �1)

としよう。すると式(3.<-1:3)は、

I(t，p) = fp

-

⁹⁼⁰ ⁽^:3

•

^"1.�⁾

まfこは

9 = fp (:3.46)

の簡単な形式に書き直される。

もし、11個の入力データ点が雑音などを含まず全て2次曲線上にあれば、式(3.38) の点tlにおけるf とgとをそれぞれflとめによって表すと、

g = Fp (:3.4 7)

を満足するpが存在する。ここでFは、式(:3.48)に示される1ì ^x，5行列であり、 g は式(:3.49)に示される17次元の列ベクトルである。

、、BE，，J、、BEEJ，，、、taz'''

1 2

、4J B J 、4 L /1、、 /|\/|\ l ιι &L ιι v 人 η吋 }

、、・lf，，、、EE，ノ、、l，，f GJ JF』tt、 f仁 fk f h L 4b 、‘J 今，

11 つん

η

i'uv i'uv

ayb

fsI、一 fel--、〆Ffh\ 守ん司L 〉 -M ? f11 「T 1

/I1\ ι'uv 市ム rトh \l/

\llJlj l/ Gd 1 2

九/iL a?i u aTι ap レ f - f λ

.••

h、=

11 ・ 1』 } Ti ，fIF F7 1

P 1

PI -

4ι \llJ

「Ill111IBilli--ー」

l ヤ，ヴイノ

=

υ

「Illi--ilillit--」

・

12 凡ょJFJ

ょJ ••• L

「111111』

しげ

二一一

F g

寸Ill1111111111111111」、、BE』，，，、、B13，r 、、EE，，，，

1 2

九

arb ayb

ayb 〆，，EE‘、，，，Et、、，，EE‘、、、F3・v乃'Hゾ

t ri - -TI ff- 、、BEE，，，、、BEE，，，、、EB』，，，，

1 2

η

ιι ιι

ιι f'fga、、J't・2、、〆''EE1、A『

・A

叫aA1

li f-- rrl r

(:3.48) (3A9)

(13)

3.3.2

最小2乗法による2次曲線近似[69][70]

般に、ディジタル画像において入力される点集合は、 2次曲線上に正確には存在しないため、式(:3.47) ( :3. '-18) (:3

.49

)が同時に成り立つようなpは保在しない。そ

こで、 2乗誤差 .]{J (評価関数〉を、

ん=(Fp - g)t(Fp - g) (:3.50)

と定義し、式(:3.50) を最小化するpを求めることにしよう。つまり、pを最小2乗誤差推定の解として求める。

みのpについての微分マp.]パま、

\7 p.]p二2F1(Fp- g) (:3.5l)

であり、マJρ=0のときにJpは最小値を取る。従って、 F'Fが正則なときには、

最小2乗誤差解が

p = (FtF)-lFtg

(3.52)

によって得られる [69][70]。

3.3.2.1 2次曲線の分類と標準化

よく知られているように、 2次曲線はその係数の値によって、楕円、双曲線、放物線、交わる2直線、平行2直線及び1点に分類される。 2次曲線の係数ノマラメータとそれらの関係について表:3.1 に示しておこう。但し、 Do及び、Dは次の式で与えられる。

Do=

l ; : l

l ω u D二lω b

u

υ u c

すなわち、 2次曲線が楕円であるためには Do>O， Dヂ0

(3.53) (:3.54 )

(3.55)

でなければならない。また、 2次曲線の方程式から楕円及び双曲線の中心座標、傾きを求めるための式を表3.2に示しておく。楕円については、長判!と短軸の長さを求

める方法についても示す。(図3.2)

(14)

表:3.1: 2次曲線の分類

Do

^D ^2次曲線

Do = 0 D手。

^放物線

D =

0

^{平行2直線}

Do

>

0 Dチ0

^楕円

D = 0

^1占

DoくO D -# 0

^双曲線

D =

0

^{交わる2直線}

表3.2: 2次曲線ノマラメータから楕円、双曲線のパラメータへの変換

ノミラメータ計算式

中心座標

主0二世づ!ょう _{yo = rzま}

(Xo，Yo)

傾き。二�tan

(告)

。

RA二

J三

^三 ^RB⁼

J一言

長軸の半径RA 但し短軸の半径RB r

= DjD。

(惰円の場合のみ)

A=l+b+、/b2 - 2b +

¹

+ω2

B = 1

+ b一、/が- 2b

^{+ 1}

+ω2

(15)

グ

( a，)楕円

y

/ぐ(:1'0ヲ1)0)

(b)双曲線

図:]，2: 2次曲線の中心と傾き

:1.:

/ /

(16)

3.3.3

反復法による2次曲線のパラメータの決定[71

^][72]

式(:3..52)によって得られる解は、式(:3.:38)におけるn個の点に最も良く当てはまる楕円もしくは双曲線、またごく希に放物線となる。但し、それらの曲線のどれであるかは、式(:3..52)を解し1て、式(:3 .5:3) (:3. _.54)によってDo及びDを調べるまでわからない。

楕円へのヨてはめに限定すれば、式(:3.52)だけでは不十分であり、更に pについて不等式(:3.55 )で表される制約条件が必要である。もし、pが不等式によって制限されていれば、その制約条件は評価関数の中に組み込むことが難しい。そのような場合、反復法が効果的で‘ある。

:3.:3.:3.1項で制約条件を考慮、した反復法を示し、史に:3.:3.:3.2項及び:3.3.:3.3項で不等式によって表される条件を含む問題の例として、楕円や双曲線を得るための処理方法を紹介する。

3.3.3.1

非線形制約条件のもとでのパラメータ決定のための反復法[68]

まず、一般的な形式で反復法を紹介する。

Aを.5 X nの行列であるとすると式(3.47)から次の式が得られる。

従って、反復法

P = P + A( g - Fp)

= Ag +

(1

^-^AF)p

Pk+1二Ag +

(1

^-^AF)pん

(3.56)

(:3.57)

が導出される。式(3.57)のPkは、ん回の反復におけるパラメータpの計算値であり、初期値p。としてはoもしくは適当な値が与えられる。ここで例えば、

A = aFt (;3.58)

とすると、この処理過程が収束したときには、Pkは式(3.52)によって与えられる解と同じ結果となる。つまり、式(:3.52)によって、pを求めることができるため、必ずしも式(:3.57)の反復法を用いる必要はない。

(17)

しかしながら、このような反復法は、pが不等式によって制限されているときには欠くことのできないものである。pが不等式によって制限されているときとは、p

がR.5のある部分空間に限定されているとき、すなわち、

のときである。

pε/)' ç ^R.5

式(:3..59)のような場合においては、

p'二Bp. pft三/)'

(:3..59)

(:3.60)

なる適ヰ!な作用素Bによって制約条件を表し、式(:3.60)を式(:3..57)の右辺に代入することによって、反復法

が得られる。

Pk+l = Ag + (1 -AF)Bp" (3.61 )

ここで、Aと Bとを適切に定めることによって、式(:3.61)を傑々な場合に適用することができる。

3.3.3.2 楕円を得るための反復法[68][7:3]

2次曲線の式(:3.39)が楕円を表していれば、表4-1に示したように次の条件が満足される。

b-ω2 > 0

1 ω υ

D=

l

w b 'U

1

^#0

υ 'u C

(3.62) (:3.63)

条件式(:3.63)は、ディジタル点集合のほとんどの場合において成り立つので、一般に省くことができる。従って、実際には条件式(3.62)だけを考慮すればよい。

R.5の部分領域Seを次のように定義する〈図:3.:3)。

月。 = {plb-w2 > O} (3.64) 条件式(:3.62)は

pε8e _{c R5} (3.65)

(18)

のように書くことができる。これは、式(:3.59)における楕円の場合である。

この場合の非線形作用素BをBeで表すことにすると、これは p

B P

一一 fll〈BI--、

p pε』QL

p � S(

と定義することができる。ここで

p( 二(ωパUZ+ムuゥ仏c)t

であって、式(:3.67)の6は小さな正数である。また、p( は b-J=(ω2+6)-J=6>O

(:3.66)

(:3.67)

(:3.68)

を満足する。

上の作用素Bf の意味を、図:3.3を用いて説明しよう。まず、S'e 内のpc/ のようなパラメータは作用素Bpによって変わらない。しかし、 Sc内にないようなPbや

b == ]J2

S巳

• Pa

PC ω== ]Jl

])3 P4 P5

図3.3:部分領域んと作用素Beの意味

(19)

Pcといったノミラメータは、強制的にえの内側、但し境界の近傍に持ち上げられる。

なお、i内にないパラメータの修正法としては、そのパラメータベクトルに最も近い(修正量の小さい) Sf内への移動も考えられるが、ここでは処理の簡単のために式(:3.67)を用いている。

上に定義された作用素Brを式(:3.61 )に代入することによって、

Pk+l ⁼ Ag十(1-AF)B♂A (:3.60)

が得られる。更に、

A二apl

とすると式(:3.38)の点集合に良く一致する楕円を決定するための反復法

Pk+l二αFtg + (1-αFtp)BpPk (3.70)

が得られる。ここで、。は正の定数であり、反復過程が収束するように十分小さな値を与える。

般にこのような非線形な処理を含む反復法によって求められる解は、はじめにとえられる初期解によって具なる結果となるため、必ずしも最適解である保証はない。しかしながら、後に示す実験においては、初期解として式(3.52)の解を用いており、この結果点集合に良く当てはまる楕円が求められた。

3.3.3.3 双曲線を得るための反復法[73J

双曲線の当てはめについても楕円の場合と同様な反復法が考えられる。実際の画像中の対象を双曲線によって当てはめることはごく希であると考えられるが、非線形制約条件を含む問題の一つの例の解法としてここで整理しておくことにする。

2次曲線が

b-ω2くO r''EE、、 qJ ウi 1i 、、目』IJ であれば、その2次曲線は双曲線で‘ある。ここで、部分領域Shを

Sh ⁼ {plb-ω2くO} (3.72)

(20)

とすれば

pモSh (二Rら (:3.7:3 )

と書くことができる。この場合の非線形作用素BをBhと書くことにすると、これは惰円の11寺と同様に

p

B

P 一一 /ll〈1ll、

p pε S'h

p経 ^S^h ^(:3.74)

と定義できる。ここで

plL=(tU1d-6、v， U， C)l (375) である。従ってphは、

b-ω2 = (ω2- 6)-J=-6くO (:3.76)

b ==])2

Pb Pc

Sh

^Pα

'W ₌₌]Jl

•

]J3 P4 P5

図3.4:部分領域ぬと作用素Bhの意味

(21)

を満足する。図:3.--1に示すように P(lは作用素Bhによって不変であるが、PbやPc はS'hの中になく、強制的にS'hの中に引き法とされる。

Bhを式(:3.61 )に代入しA ⁼ (1Ftとすると式(:3.:38 )の点集合に良く当てはまる双曲線を決定するための反復法

Pk+l ⁼aFtg十(1 - aFtF)BhPk (:3.77 ₎ が得られる。

3.3.4 楕円の標準形を基にした反復法[69][72]

:3.:3.:3 .2項では、データ点の楕円による近似を、式(:3.39)をもとにした評価関数に惰円となる非線形な条件を付加することによって行う方法を示した。ここでは、比較のために惰円の中心座標、長軸の長さ、短軸の長さ及び傾きを直接の未知数とする評価関数によって、データ点集合を楕円によって近似する方法を説明する。なお、

この方法においては、先の2次曲線として楕円を求める際に付加したような、ゴ|三線形制約条件などを新たに考慮する必要はない。

長�!自の長さ2RA、短IUlSの長さ2RB、中心座標が(:roぅ;ゲ0)で傾き0の楕円は式(:3.1 ) によって表される。この式をもとに次の評価関数を考える。

Jq二

万二

^Ri ^(3.78)

、ーレだた

Ri =

R1{(:むi

^-

xo) cos B

⁺

(Vi一Vo)slnB}2

+ R �

{ - (

^{T i}- .(; 0)

si

ⁿB ⁺(V

i - Yo) co s B} 2

- _R�^R

1 (

3 .79 ) とおいた。みを最小化するパラメータベクトル

q = (RA1

RB1

^:ro、YOiB)t (3.80) は、Jqの各ノマラメータによる偏微分をすべて0とおいた時の解として求めることが

できる。 Jqの偏微分は次のように表される。

(22)

但し、

5Ef=4R

å']

A E R I ( ヮ? -Rb ) ニ O

凡 I

五;二4RB ERM-R;)=。

βf" �

万三=4 5 R t( R 17ll 日 inO- RLZ I 川)=。

d = 4壬E

けl ^R^t

(吟R玲肱臥Lμμ仲炉と乙ωμωtパ川S幻山ωi山inO +什R杭吟附1わhh?り恥ド川}むμIパC

けJ日 A A J人

」 =4( MZ RL - Ri) う �Ri�i 和二O

(:3.81)

(:3.82

)

(:3.8:3)

(:3.8.1)

(:3.85 )

ごl二(:ri一:rO)

^{cos ()}⁺

(.lJi

^{- Yo)}^{sin 0}

1 ( _(: _3.

86

) 77 i二一(.ri ^-

^{:rO) s}ⁱⁿ^{() +}

(:I)i -

^{YO) cos}

() J

とおいている。この連立方程式を解けば、パラメータが求められるが、これら一連の方程式はqを未知数とする非線形方程式となるので、解くことが難しい。そこで、

次に示す反復法によって計算することにする。

qk+1

=

qk一αマJq Iq=qkう α>0

(:3.87)

ここで、qkはk回の反復によって得られた楕円のパラメータベクトルであり、

qk

=

^(RAk^，RB^k^，l'O^k^，^YOk^，^()んr

と表される。また、マJqIq=(/!，. ，ま次の式によって計算する。

RAJ\.

LRiん(仏-RL)

t=l

n

RBk・5二Riん(�fk

_t=l

-

^R

�

k

)

\7 Jq Iq=qk

= I L Rik( R�k77ik

sÍn ()k -Rtkf.i人・ ∞s ()

k) 2二R以R1心

t=l

〔RL-RL心

乞

Ri心7]ik t，ik

=いi -

Xo.d COS ()k十(Yi - Yo心sinfh ηik

= -(l'i -

xOk)sin()k十(Yi - Yok)仁OS ()k

Rik二RhKGKキRiA

(:3.89)

(23)

般に、反復法における初期値は、簡単のためoとすることが多い。しかし、ここで取り扱っている問題においては、初期値をoとすると、マJq

IIJ=CJ"

0となるため全く修正されないことになる。当然のことであるが、初期値が解に近いほどとの過程は早く収束するので、次のような初期推定解を初期値として用いると具合いが良い。すなわち、楕円の中心座標の初期値としては入力座標データの平均値を用いる。また、 RAの初期値としては、入力座標データの、r座標の最大値と最小値との差の1/2を、 RBの初期値としては、y座標の最大値と最小値との差の1/2を用いることにする。

3.3.5

実験

3.3.5.1 非線形な条件を含む反復法による楕円の決定実験

式(3.70)に基づいて、楕円の決定実験を行った。

ここで示す実験においては、簡単のために反復回数を比較的大きな値に設定し、

点集合に当てはまる楕円と双曲線を求めた。

アルゴリズム中の係数αを大きくすれば、 1回の反復によってなされる修正量がきくなるが、大きすぎるとアルゴリズムが収束しなくなる。従って、αは注意して設定する必要がある。また、推定されるそれぞれのパラメータに大きな違いがある場合には、修正の大きさが、パラメータごとに大きく違ってくるため、αによる収束性の制御が難しくなってしまう。そこで、反復法の入力データとして与える民l人標の値は、入力座標データの:どもしくはy座標の最大値によって規格化しておくことにする。

<実験1 >惰円データを与えた場合

入力データとして、中心座標(100，100)、長車IUの長さ100、短期IJの長さ50、イ頃き 300の楕円の一部分を与えた〈図3.5(a))。隣接した点からなる2個の弧の中心角を

合わせると1800で、データ点数は70個である。

初期値としては、全てのパラメータの値を 0 とおいた。すなわち、

Po

₌

(ωoぅ 60，υ0， 'Uo， co)t

= (0，0，0，0，0) (3.90)

(24)

とし、係数。= 0.6とした。求められた結果を図3.5(b)に示す。ここでは、 20000 回の繰り返しによって求められたものを示している。真値とほぼ一致した結果が待られている。この計算値は繰り返し回数を更に増やすことによってより正確なものとなった。なお、これは式(:3.，52)を直接解いて得ることもできる。

く実験2 >双曲線データを与えた場合

式(:3.:)2)を解し1て得られる曲線が双曲線となる場合のデータ点集合に対して、情円を当てはめる実験を行った。ここでは成物線の式によって求められた点座標のデータを乱数によって少し振らせたものを入力データとした。図:3.6(a.)に実験2で用いた120点から成るデータを示す。式(:3.52)を解し1て得られる山線は、

ゾ- 0.118 X 101・u + 0.:309y:2 -0.161 x 10:31

+0.552 X 102y + 0.

8

₄₄_x _10tj= 0 (:3.91)

である。式(:3.91)において、 b^- w:2 二^一0.392 X 10-2く Oであり、これは図3.6(b) に示すように双曲線である。

。二0.2.8= 0.0，5として式(:3.70)によってデータに最も良く一致する楕円を検出した。初期値は、双曲線の式(3.91)のパラメー

タ

_{である。 200} 回の繰り返しの後で

得られた楕円は

:2・:2_ 0.122 x 10.r.l) + OA24グ」-0.155×103.1・

十0.:360 X 10:2y + 0.

8

_{8 1}_X₁₀₄= 0 (:3.92)

であった。図:3.6( c)にこの結果を示す。なお、 200回の繰り返しに要した計算時間はノモソコン(CPU: _Intel386Dx20NIHz)でi秒弱であった。

一方、最小平均2乗誤差法の式(:3.52)の解である式(:3.91)のパラメータを、式 (:3.67)に基づくb=ω:2 +8によって単純に修正しでも楕円を得ることはできる。この惰円と反復法によって得られた楕円とを比較した。式(3.92)を求める際に与えた

δによって補正して得られる楕円を図3.6(d) 示す。なお、この楕円の式は、

x:2 -0.118 x 10ュ:y + 0.398

:�，?

-0.161 x 1031

+0.552 X 10:2y + 0.844 X 104 ⁼0 (:3.9:3) である。図 :3.6(c)(めから式(:3.92)の当てはまり具合が、式 (3.93)よりもはるかによいことがわかる。また、式(3.92)における平均2 乗誤差 (J

p

_{を入力データ点数で}

(25)

-・、

.、.、、、

• • • • • ・

( a，)入力データ

中心座標(99.8，100.0)，長軸の長さ99.8ぅ短軸の長さ49.5，傾き30.60 (b)反復法によって得られた結果

図3.5:実験1 :惰円を表す点集合を与えた場合の楕円当てはめ

(26)

割った値)は0.977であって、式(:3.93)においては23.992であり、これらの数値からも式(:�.92)による結果が良いことがわかる。この結果は、次のように説明できるo

pが最小平均2乗誤差の解であるとする。すなわち

P = (FtF)-l Ftg

であるとする。このとき、式(3.68)を仁のようにpに直接組み込むことによって待られる惰円PD = BFPは、同じωのときに常にb二w2の境界の近傍にある。ところが、最適もしくは良い解は必ずしもそこには仔在しない。一方、提案している繰り返し処理過程においては、パラメータが何度も修正されるので、最適もしくはより良い解をとらえるための多くの機会があるといえる。

なお、ここで示している以外のデータ点について行った実験においても与えられた点集合によく当てはまる惰円が求められている。

3.3.5.2 非線形な条件を含む反復法による双曲線の推定実験

く実験3 >楕円データを与えた場ム

エ亡(:3.52)を解し1て得られる曲線が楕円となる場合のデータに対して、双曲線を山てはめる実験を行った。凶3.7(a.)に実験で用いた132 点から成る入力データを示す。

なお、このデータは、楕円の式と双曲線の式によって求められた座標点とを乱数によって少し振らせることによって生成したものである。

方程式(:3.，52)を解けば、

2・:2 ^- 0.18Lq/ + 0.343y2 - 0.169 x 10:��r

十0.796 X 102y + 0.111 X 105 = 0 (:3.94)

が得られる。この式においてはDo= 0.3:34であり、この式の表す曲線は図:3.7(b) に示される楕円であった。反復法(:3.77)によって、データに最も良く一致する双曲線をα= 0.2，8 = 0.05とした場合について求めた。初期値は、式(:3.94)のパラメータである。図3.7(c)に200回の繰り返し後に得られた双曲線を示す。

方、最小平均2乗誤差の解の式(3.94)を式 (3.75) に基づき b=ω2 ^_ 8(但し 8=0.05)によって修正した結果を図3.7(d)に示す。反復法によって得られる曲線の方が、図3.7(d)に示す曲線に比べて点集合に良く当てはまっている。

(27)

(a.)入力データ ^(b⁾^式^(:3..52)を解し1て得られた双曲線

(c)反復法(:3.70)によって得られた楕円 (d)式(:3..52)の解を補正して得られた楕円

図:3.6:実験2 :方程式を解くと双曲線となる点集合を与えた場合の楕円近似

(28)

�

、 1

..

・ょ，

... . 、...

.，.宇 ..

. ..

-・ .�

.・. ・�-・

--ペ“で、ー-・J

( a.)入力データ

(c)反復法(3.77)によって得られた双曲線

(b)式(:3.52)を解し1て得られた楕円

(d)式(:3.52)の解を補正して得られた双曲線

図3.7:実験3 :方程式を解くと楕円となる点集合をえた場合の双曲線近似

(29)

3.3.5.3 楕円の標準形を用いた反復法による椿円の推定

く実験4 _>惰円データを与えた場合

式(:3.89)による反復法によって、惰円のパラメータの惟定を行った。パラメータの初期値は、:).:1..f項で述べた通りである。:3.:3.5.1項の実験と同じ入力データを)-Hいて推定を行った。(図3.8(a.)は図:3.5(a)と同じ。)

図3.8(b)にα= 2.0とし、 20000回繰り返したときの結果を示す。これも:3.:).5.1 項の実験と同じく良い推定がなされていることがわかる。

<実験5 >双曲線データを与えた場合

また、入力データとして、実験2と同じ点集合を与えた場合についても同様に官験した。その結果、楕円は求められたがそれは入力データと視覚的に一致していなかった。これは、この反復法が局所解に落ちたためであると考えられる。

(30)

、. . 、.

、• 、、• • • • • •

• • •

• •

Z -.

. . . . ~ . . ..ー一・・ .

(a)入力データ

中心座標(100.3ぅ99.9)ぅ長軸の長さ100.3ぅ短軸の長さ50.7，傾き29.20 (b)推定された楕

図3.8:実験4 :楕円の標準形に基づく反復法による楕円の推定

(31)

3.4

むすび

与えられた点集合に良く当てはまる2次曲線の決定方法について検討した。

まず、共通の中心を持つが、いくつかのそれぞれ具なる半径のディジタル円弧が与えられたという条件で、同心円弧の中心とそれぞれの半径とを推定するための公式を与えた。この公式によって惟定される値は、 1\II1\IISE関数(3.1ムi)を最小化するものであり、この公式を用いれば簡単な代数計算によって、与えられた同心ディジタル円弧によく当てはまる同心円の中心座標とそれぞれの半径とを求めることができる。また、この論文で用いられているl\IIl\IISE関数がそれぞれの円弧についての l'vISE関数の重み付けられた和であり、それらの重みはそれぞれの円弧半径の2乗であることも示した。従って、この方法によると大きな半径を持つ円弧が小さな半径を持つ円弧よりも、データにより近く当てはまるような円弧のパラメータが解として求められる。なお、この性質は、後に述べるように回転ブレ画像のブレの中心以l人標を推定する際に都合が良い。

次に、与えられた点集合を楕円もしくは双山線によって近似する方法を検討した。

ある評価関数を最小化するパラメータを求めるための方程式は、必ずしも|陽に解けるとは限らない。特に、求めるパラメータに評価関数とは別に何らかの条件が付加された場合にはその取扱いが難しくなる。与えられた点集合に良く一致する惰円や双曲線を求める問題は、その種の問題であり、反復法によって楕円や双曲線のパラメータを求める方法を提案した。この処理は、惰円や双曲線を2次曲線によって表す際のパラメータの非線形な制約条件を考慮している。

P際、与えられた点集合に当てはまる2次曲線を単純に万程式を解いて求めたときには、楕円として求められない場合でも、提案している反復法を用いれば与えられた点集合をよく近似する惰円のパラメータが求められることが実験からも確かめられた。同様なことが、点集合を双曲線によって当てはめる実験についても確かめられた。

方、楕円の幾何学的なパラメータを元にした反復法を用いた場合には、与えられた点集合に一致するような楕円が推定されないことがあった。これは、反復過程が局所解に収束したためである。従って、解の収束性から2次曲線をもとにした方法が有効で-ある。

(32)

第4章

ディジタル極座標変換

4.1

まえカてき

通常、画像は直角座標系で与えられる。しかし、図形の回転に左右されない同定処理や回転ブレ画像の修復処理等においては、処理を円滑に行うためにその極座標表示が必要となる。

従来、ディジタル画像における極座標変換は、図4.1に示すように、極座標系において半径方向、回転方向とも均一な標本化がなされてきた。しかしながら、この方法では、直角座標系で与えられた画像を極座標系の中心に近い部分で密に、中心から離れた部分では粗に再標本化することになってしまう。すなわち、座標変換によって画像の有していた情報が失われたり、逆に冗長な・情報が増加するといったÆ 態が生じる。

ディジタル極座標変換を行うとき、極座標の標本化だけでなくその標本化によって得られた極座標画素と直角座標画素との対応付けも必要である。連続系では、商角座標で表した点と極座標で表した点とでl対]の対応がつき何ら問題はない。しかし、有限な大きさを持つ1画素を最小単位とする離散系においては、直角座標西系と極座標画素との聞の対応付けは注意を要する。例えば、 1個の極座標画素に対してその画素の近傍の複数の直角座標画素の情報を重み付けして与える方法が考えられる。しかし、この方法では、対応付けに関わる直角座標画素の選択や重み係数の決定といった煩雑な処理が必要になる。従って、極座標画素と直角座標画素との対応付けは、連続系と同じく1対1が望ましい。

本章では、離散系における直角座標から極座標系への、またその逆の座標変換の

(33)

方法について述べる。このような座標変換においては、変換前の各画素に含まれる情報が、変換後もできるだけ保存されている必要がある。また、変換によって冗長な情報が生じないことが望ましい。本章においてはこれらの点に留意し、特に回転 }j向に関する処理を効率的に行うための極座標変換の方法を提案している。この方法は、半径に応じて回転方向の分割数を変える極座標の標本化の方法と、この標本化によって得られる極座標画素と直角座標画素との1対1の簡便な対応付け方法とからなっている。また、この方法の有効性を実験的にも確かめる。

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戸久ノ /1 /

《せ?tï _士一℃ソ/

ヌI 4.1:従来の極座標変換における極座標の標本化

4.2

極座標系における標本化の方法[74][7.5] [76] [77] [78]

ディジタル画像を直角座標から極座標へ変換するためには、極座標系における標本化と、その標本化によって定まった極座標画素と変換前の直角座標画素との対応付けとの2つの過程が必要である。本節では、まず極座標における標本化の方法を述べる。なお、以下の記述においては、 "画素"及び"標本点"が重要なキーワードとなり、これらを明瞭に区別して用いる必要がある。本論文では、画素を面積を有す

(34)

る閉領域とし、標本点とは画素の中心の座標点であるとする。また、ここでは、変換後の極座標画素をその画素の近傍の直角座標画素と1対1に対応付けることを前提にして標本化方法を検討する。

極座標における標本化は、半径方向と回転方向との標本化〈分害IJ)によって行われる。従って、半径方向について分割する線と回転方向について分割する線とによって固まれた最小の閉領域が極座標画素である。一般に、画素の大きさ等を考慮せず便宜的に標本化を行った場合、複数の直角座標画素の標本点が一つの極座標画素に含まれてしまう場合がある。例えば、図4.2において、複数の黒点が1個の極座標PLJI 系の中に含まれている場所である。この状態、は縮退と呼ばれ、直角座標画素複数の情報が、座標変換によって区別されなくなることを意味する。縮退は、極座標画糸の大きさを小さくすれば、すなわち標本点を密にとれば防ぐことができる。しかし、

直角座標系標本点 :極座標系標本点区14.2:画素の縮退と冗長な極座標画素

(35)

図1.2に示すように極座標の原点の近傍では1個の直角座標画素の情報が複数の極座標画素に冗長に与えられることになる。また、有限の大きさ(画素数〉の画像を標本化する際には、変換後の画素数が大きくなることは好ましいことではない。

方、そのような変換に伴う情報の欠落や冗長性だけではなく、変換によって得られる極座標情報が、極座標系における種々の処理を円滑に行えるものであることも極座標変換を吟味する上で重要な要素である。

以上のような観点から、本論文では画像における全ての直角座標画素の持つ情報を保存し、かっ標本化後の極座標画素数の増加を抑える極座標系における標本化の

方法を示す。

4.2.1

半径方向の分割

直角座標系における画素の大きさは縦横ともlとし、画像の大きさは(2八九+ 1) x

(2JVc + 1)とする。ここでJVcは、正整数である。図4.3に示すように画面の中心画

素の標本点を通る水平方向直線を:l・軸、垂直方向直線をy軸とする。この座標系で、標本点(i， j)の直角座標画素を[i， j]と表すことにしよう。ここで1，Jは、整数値である。例えば画素[0，0]は、座標(0，0)に中心があり、・1方向、y方向それぞれに-1/2から1/2の範囲に広がっている。この画素[0.0]を原点画素と呼ぶ。従って、ここで考えている(2JVc+ 1) X (2JVc + 1)の画像においては、z.Jは、それぞれ

ーへんからJVcの整数値をとることになる。

極座標における標本化も、直角座標系の原点を中心とし、原点を通る水平庁向直線を基準に行う。直角座標の標本点間隔は、450方向ではdであるが、水平方向では1なので、各々の直角座標画素をそれぞれ異なる極座標画素に標本化するためには、ム7、を1以下にしなければならない。従って、半径方向には山、ニlの分割を行う。先に述べた直角座標系の選び方との相似性を考えて、半径方向(7・方向)への分割を半径ん= 0.5，1.5，2.5， • • .の円によって行うことにする。このようにすれ

ば、図4.3に示すように直径 2Rdの分割円は、直角座標系における1辺2Rdの方形に内接することになる。 Rd= 0.5で切り取られる円は直角座標画像における民、

点画素[0，0]に対応するものである。また、各円環の中心円の半径は整数値となるので、極座標画素の標本点の?座標は整数値をとることになる。

先の(2八九十1)x(2Nc+l)画像を上の方法によってr方向へ分割するのに必要な

(36)

円をん=^{0..5ぅ1.5，}^{• •}^•^，^J^VR ⁺0.5とすると、JVRは、次式で与えられる。

JV R =

í ^J2JVc 1

^(-1.1)

但しj.tlは1・を四捨五入した値である。式(4.1)は(2JVc^{+ 1)}^X(2JVc ⁺1)の直角座標画像全体を極座標変換するために、 jVR + 1佃の円を要することを意味している。

図4.:3は、JVc= .5の場合に対して上の方法で-半径方向への分割を行ったものであり、Ig環の中心を0，1、2，:3、4.5.6，7とするIIJ面lの円環ができていることがわかる。

4.2.2

回転方向の分割

半径万向の分割によって、IIJ福lの円環が形成されている。次いで-凶転庁向への分割を考えよう。一般に円環に含まれる直角画像の標本点の数は、その半径が大きいものほど多くなる。そこで、半径の大きさに応じて回転方向への分割数を増やしていくのが自然である。ここでは、直角座標における画素数と極座標におけるそれとをできるだけ近くするように決める。このことは両座標系における画素の平均の大きさを等しくすることに相当する。本論文では、直角座標系における画素のl方向、

//ォ4/Jコ

^ー

，; I V L.-

万/

^/

_{V 1/ 11} /1171' � i�

^〆 ^J^レ

_11レ/

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、 � ¹ \又\ 卜"l--

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ーーーーーーーー

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卜，，1

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J� グ

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一ー一一- ^ー^_..

刈4.3:半径方向の標本化

-

(37)

ク方向の大きさふれムyが共にlであるから、直角座標画素の大きさは、

今、rムy ⁼ 1

( ':1:.2)

である。半径Iにおける回転方向の分割Ilf�をム()1 とすれば極座標画素の大きさは

I、�1ム0，二l

( �

.:3)

である。 4.2.1項で述べたように半径方向の分割Ilfffiム7、は、

ムァ= 1 (4.4 )

であるから

1.6_()1. ⁼1 (4.5 )

とすれば良い。すなわち

ム()1. =

�

( 4.6)

である。

両座標画素聞の対応付けにおいて、極座標画素を直角座標上で対称に配置していれば、計算時間の短縮を図ることができる。更に極座標画素の標本点が、 2・�Ilh及びグ車IIIに位置するように標本化を行った方が直角座標との対応がつかみやすい。また、

水平)j向から450方向付近の直角座標画素は中心角でみると相対的に密に存在することになるため縮退に対して特に注意する必要がある。つまり同じ半径γ においても、水平方向付近の直角座標の標本点の間隔が中心角で‘1/1程度であるのに対して、

450方向では1//21'程度に狭くなってし1るのである。例えば図4.4に示すように450 の方向に極座標の分割のための境界が存在した場合、境界線上の直角座標画素の標本点とその隣の標本点とが一つの極座標画素に含まれてしまうことになる。つまり縮退が生じることになる。 z軸、y軸方向、及び450以外の方向における直角座標画素の位置関係は予測し難く、縮退についても、正確な評価を行うことは困難である。しかし、上述のように450方向の縮退は明らかに予測できるものであり、分割の方法を次のようにすれば防ぐことが出来る。すなわち、450 方向の直線上に極以l人標画素の標本点が位置するような分割を行う。

(38)

中心半径がγの円環を考え、上のことを考慮、にいれて、これの回転方向への分割は次のようにする。先ずはじめにe ₌00ヲ450，900ぅ1350，1800，2250，2700，3150の点には極座標画素の中心すなわち極座標の標本点が存在するようにする。半径ァにおけるムムは式(4.6)に従ってl/rとするのが望ましいので、分割数は450の範囲で考えて

レ出1

⁼

_r�:l

とする。よって中心半径ァの円環全体での総分割数は

めr = 8

r�:l

(4.7)

( 4.8)

となるO実際には式(4.8)に基づいて分割した場合、若干の縮退が生じることもあり得る。もしそれを避ける必要がある場合には分割数を補正するために適当な数α(三1) を定めて

NTr = 8

r�:α1

^' ^α- ^(4.9)

とすれば良い。 αの具体的な数値は、実験的に定められるものである。これについては後述する。

. 直角座標画素 0:極座標画素図4.4: 450方向近傍の画素の縮退

(39)

図.f..5は、各々の円環の00以上900未満の範囲に含まれる直角座標画素の標本点の数八名と式(-4:.8)に基づいて計算した900範囲の回転方向の分割数つまり回転方向の標本点数λ'Tr/4とを比較したものである。図--1.5の標本点の数111，は、その円環を含む正万形領域内の直角座標の標本点[i. j]を総て調べて、

[ケト

^'''aE、、 ^414A ¹ⁱ ^ハU ^、^•••^『²^ノ

となる画素[i. j]の個数を1/4倍した結果である。JÎd1と式(4.8)による計算他八ヤ1'/4 とはほぼ一致し、|司じ領域において直角座標の標本点数と極座標におけるそれとが近くなっており、分割数の式(4.8)の妥当性が言えよう。

さて、図4.5においてJ1iL，が計算値より大きい場合、すなわち八rT1./4 - JÎd1が負となる場合には縮退が起こる。従って、縮退を防ぐために式(4.9)の係数αは、それらの差が総て正数となるように与えることが望ましい。実験によるとαを1.4存度まで上げれば縮退をほとんど防げることが確められている。このことは、直角住民標における4.50近傍での二つの標本点の回転方向で‘の間隔の最小値が、約1//2であることからも推測される。

数ゆ素M函

。

60 分割数:NTT/4

標本点数:AI，

誤差 140

120 100 80

40 20

。

20 40 60 80 100半径図4.5: 円環に含まれる直角座標の標本点数と回転方向の分割数

(40)

上述の方法に従って行った極座標の標本化の例を図4.6に示す。直角座標と同様に、中心から111 (171 0.1ぅ2，' .・ .JYR)番目の円環にあって水平方向からは71(n 0.1.2.一. .1VTrn - 1)番目の極座標画素を [111.η]pで表すことにする。ここで、1・11l nL�7'、及びÐn 二 nムÐm と表せば、この画素の標本点は(7・111，On)となる。但し、

ムベ= L)は前述のように半径方向の分割11I高、ムOmは中心線の半径二川�γの川環における回転庁向の分割11屈であり、式( 4.9)によるJVT川を用いて

ムO柄、 =

三

^乙

川ヘTTけ (�.ll)

によって求められる。但し、 m = 0の場合には、JVTm = 1ぅム()171 =かとし、この極

座標画素[0ヲO]}-'は中心の円を表す。

. .直角座標画素。:極座標画素

図4.6:極座標の標本化

ディジタル画像における曲線検出,座標変換及び修復 に関する研究

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