創造的な教材・指導法及びカリキュラム : 中高6カ
年から大学へ(5年計画の4年次)
著者
三井田 裕樹, 更科 元子, 鈴木 清夫, 須田 学, 須
藤 雄生, 町田 多加志, 吉崎 健太
雑誌名
筑波大学附属駒場論集
巻
55
ページ
25- 58
発行年
2016- 03
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a1-4.
ࢉज़
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ࡍͷܭࢉʹ͓͚Δࢉज़ద༻͠ɼͦͷ༗༻ੑΛ֬ೝ ͢Δɽ·ͨɼ๏ଇ͔Βػցతʹಋ͔Εɼநతʹ ͳΓ͕ͪͳެࣜͷزԿతදݱߟ͠ɼެࣜͷҙຯΛ ࣮ײͰ͖ΔΑ͏ʹ͢Δɽ
a1-4.1. ల։ɾҼղͷެࣜͱͦͷزԿతදݱ
๏ଇ
(a+b)x=ax+bx
ͷزԿతදݱɼಛʹa >0, b >0, x >0ͱͯ͠ɼ࣍
ͷΑ͏ͳํܗͷׂ͕ߟ͑ΒΕΔɽ
x
a b
ల։ɾҼղͷެࣜ๏ଇ͔Βಋ͔ΕΔ͕ɼجຊ
తͳͷʹ͍ͭͯɼಉ༷ʹزԿతදݱΛߟ͑ͯΈΑ͏ɽ
1. ࣍ͷࣜΛܭࢉ͠ɼಛʹx >0, y >0, x > y
ͱͯ͠ɼͦͷزԿతදݱదͳਤܗΛ༩͑ͯߟ ͑Αɽ
(1) (x+y)2
(2) (x−y)2
(3) (x+y)(x−y)
(4) (a+b)(x+y)
ղ
(1) (x+y)2
= (x+y)(x+y) =x(x+y) +y(x+y) =x2
+xy+yx+y2 =x2
+ 2xy+y2
ʲزԿతදݱʳ
x
y
x y
(2) (x−y)2
= (x+ (−y))2 =x2
+ 2x(−y) + (−y)2 =x2
−2xy+y2
ʲزԿతදݱʳ
x
x
y y
x
x−y x−y
y
(3) (x+y)(x−y) =x(x−y) +y(x−y) =x2
−xy+yx−y2 =x2
−y2
ʲزԿతදݱʳ
x
x
y y x−y
x−y
y
˞ࣼઢ෦ಉ͡໘ੵ
(4) (a+b)(x+y) =a(x+y) +b(x+y) =ax+ay+bx+by
ʲزԿతදݱʳ
x
y
a b
͜͜Ͱɼࢉज़Ͱར༻͢Δ࠷جຊతͳެࣜͷΈ
Λѻ͕ͬͨɼଞͷެࣜزԿతදݱΛߟ͑ͯΈΔͱɼެ
2. ࣍ͷࣜΛܭࢉͤΑɽ
(1) (a−b)(x−y)
(2) (x+a)(x+b)
(3) (10a+b)(10a+c)
(4) (a−b)3
ղ
(1) (a−b)(x−y) = (a+ (−b))(x+ (−y)) =ax+a(−y) + (−b)x+ (−b)(−y) =ax−ay−bx+by
(2) (x+a)(x+b) =x2
+xb+ax+ab =x2
+ (a+b)x+ab ˞xͰཧͨ͠߹
(3) (10a+b)(10a+c) = (10a)2
+ (b+c)10a+bc = 100a2
+ 10(b+c)a+bc
˞aͰཧͨ͠߹
(4) (a−b)3
= (a−b)(a−b)2
= (a−b)(a2
−2ab+b2 ) =a(a2
−2ab+b2
)−b(a2
−2ab+b2 ) =a3
−2a2
b+ab2 −a2
b+ 2ab2 −b3 =a3
−3a2
b+ 3ab2 −b3
͜͜Ͱ֬ೝͨࣜ͠ɼࢉज़ͰΑ͘ར༻͞ΕΔɽ
a1-4.2. ࢉज़ͷجຊ
1ɼ2Ͱূ໌ͨ͠ެࣜΛద༻ͯ͠ɼࢉज़ͷج
ຊΛ֬ೝͯ͠ΈΑ͏ɽ
3. ࣍ͷࣜΛͯ͠ܭࢉͤΑɽ
(1) 99×78
(2) 999×681
(3) 103×97
(4) 1002×998
(5) 98×103
(6) 998×997
(7) 9983
ղ
(1) 99×78 = (100−1)×78 = 7800−78 = 7700 + 100−78 = 7700 + 22 = 7722
(2) 999×681 = (1000−1)×681 = 681000−681 = 680000 + 1000−681 = 680000 + 319 = 6800319
(3) 103×97 = (100 + 3)(100−3) = 1002 −32 = 10000−9 = 9991
(4) 1002×998 = (1000 + 2)(1000−2) = 10002 −22 = 1000000−4 = 999996
(5) 98×103 = (100−2)(100 + 3) = 1002
+ (−2 + 3)×100−2×3 = 10000 + 100−6 = 10094
(6) 998×997 = (1000−2)(1000−3) = 10002
+ (−2−3)×1000 + (−2)×(−3) = 1000000−5000 + 6
= 995000 + 6 = 995006
(7) 9983
= (1000−2)3 = 10003
−3×10002
×2 + 3×1000×22 −23 = 1000000000−6000000 + 12000−8
= 994000000 + 11992 = 994011992
3ͷ(1)ɼ(2)ͷܭࢉ݁ՌΛجʹࢉज़Λߟ͑ͯΈ
Δͱɼ
99×a= (100−1)a= 100a−a
= 100(a−1 + 1)−a
= 100(a−1) + 100−a (1≦a≦99),
999×b= (1000−1)b= 1000b−b
= 1000(b−1 + 1)−b
= 1000(b−1) + 1000−b (1≦b≦999)
͕ಘΒΕΔɽ͜͜Ͱɼ
1≦100−a≦99, 1≦1000−b≦999
ΑΓɼͦΕͧΕɼඦͷҐɼઍͷҐͷ্ܻ͕Γ͕ͳ͍ ͜ͱʹҙ͓͖͍ͯͨ͠ɽ
ྫ (2ܻͷͷੵ) ࣍ʹ༩͑ͨܭࢉɼࢉज़ͷجຊ
Ͱ͋Γɼ༷ʑͳຊͰհ͞Ε͍ͯΔɽʮ͖͕͚ͨ͢ʯͱ
ݺΕΔʮ3×7 + 5×4ʯͷܭࢉ͕༰қʹͰ͖ΔͷͰ
3 5 4 7 × 1 2 3 5
2 1 2 0 5 4 6 1
3×7 5×4 3×4 5×7
3 5 4 7 × 1 2 3 5
4 1 5 4 6 1
3×7 + 5×4 3×4 5×7
ʲ҉ࢉʳ
ʲཱࣜʳ
͜ͷࢉज़ͷΈɼ
35 = 3×10 + 5, 47 = 4×10 + 7
ͷΑ͏ʹɼ2ܻͷΛ10a+b, 10c+dͱදͤΔ͜ͱ
Λར༻ͯ͠ɼ࣍ͷΑ͏ʹূ໌Ͱ͖Δɽ
(10a+b)(10c+d)
= 10a×10c+ 10a×d+b×10c+bd
= 100ac+ 10(ad+bc) +bd
a1-4.3. ࢉज़ͷԠ༻
࣍ʹɼΑΓෳࡶͳࢉज़ʹ͍ͭͯߟ͑ͯΈΑ͏ɽͨ ͩ͠ɼܭࢉ͕؆ܿʹͳΔҰํͰɼ͋Δఔͷ͕݅ඞ ཁͰ͋Δ͜ͱʹҙ͓͖͍ͯͨ͠ɽ
4. ࣍ʹ༩͑ͨܭࢉʹ͓͍ͯɼࢉज़Λߟ͑ɼҰ
ൠʹཱ͢Δ͜ͱΛจࣈΛͬͯূ໌ͤΑɽ
(1) 2ܻͷͱ11ͷੵ
7 2 1 1 × 2 9 7 8 7 1 1 × 7 5 9
(2) ҰͷҐ͕5Ͱ͋Δ2ܻͷͷ2
352
= 1225, 752
= 5625
(3) ҰͷҐ͕5Ͱ͋Δ3ܻͷͷ2
9952
= 990025, 2052
= 42025
(4) ेͷҐ͕ಉ͡ͰҰͷҐͷ͕10Ͱ͋Δ2ܻͷ
ಉ࢜ͷੵ
3 4 3 6 × 1 2 2 4
(5) ҰͷҐ͕ಉ͡ͰेͷҐͷ͕10Ͱ͋Δ2ܻͷ
ಉ࢜ͷੵ
4 8 6 8 × 3 2 6 4
(6) ඦͷҐ͕ಉ͡ͰԼ2ܻͷ͕100Ͱ͋Δ3ܻ
ͷಉ࢜ͷੵ
7 4 7 5 × 6 2 4 7
5 5 5 5
(7) ҰͷҐ͕ಉ͡Ͱ্2ܻͷ͕100Ͱ͋Δ3ܻ
ͷಉ࢜ͷੵ
4 6 5 4 × 5 5 4 4
7 7 9 2
(8) ඦͷҐͷ͕10ͰԼ2ܻ͕ಉ͡Ͱ͋Δ3ܻͷ
ಉ࢜ͷੵ
3 1 7 1 × 2 8 3 2
8 8 4 2
ղ
(1) (10a+b)×11 = 110a+ 11b
= 100a+ 10a+ 10b+b= 100a+ 10(a+b) +b
(2) (10a+ 5)2
= (10a)2
+ 2×10a×5 + 52 = 100a2
+ 100a+ 25 = 100a(a+ 1) + 25 (1≦a≦9ͷͱ͖)
͜ͷͱ͖ɼ(10a+ 5)
2
ͷԼ2ܻɼ“25”ͱͳΔ͜
ͱʹҙ͓͖͍ͯͨ͠ɽ
(3) (2)ʹ͓͍ͯɼ10≦a≦99ͷͱ͖Λߟ͑ΕΑ͍ɽ
(4) b+c= 10ͱ͢Δɽ
(10a+b)(10a+c) = (10a)2
+ (b+c)10a+bc = 100a2
+ 10a(b+c) +bc = 100a2
+ 10a×10 +bc = 100a(a+ 1) +bc
͜͜Ͱɼbc࠷େ2ܻͰ͋Δ͜ͱʹҙ͓ͯ͘͠ɽ
(5) a+c= 100ͱ͢Δɽ
(10a+b)(10c+b)
= 100ac+ 10×10×b+b2 = 100(ac+b) +b2
͜͜Ͱɼb
2
࠷େ2ܻͰ͋Δ͜ͱʹҙ͓ͯ͘͠ɽ
(6) 0 ≦ b ≦ 99, 0 ≦ c ≦ 99, b+c = 100ͱ͢Δɽ
(100a+b)(100a+c) = (100a)2
+ (b+c)×100a+bc = 10000a2
+ 100×100a+bc = 10000a(a+ 1) +bc
͜͜Ͱɼbc࠷େ4ܻͰ͋Δ͜ͱʹҙ͓ͯ͘͠ɽ
(7) 10 ≦ a ≦ 99, 10 ≦ c ≦ 99, a+c = 100, 0≦b≦9ͱ͢Δɽ
(10a+b)(10c+b)
= 10a×10c+ 10a×b+b×10c+b2 = 100ac+ 10(a+c)b+b2
= 100ac+ 10×100×b+b2 = 100(ac+ 10b) +b2
͜͜Ͱɼb
2
࠷େ2ܻͰ͋Δ͜ͱʹҙ͓ͯ͘͠ɽ
(8) 1≦a≦ 9, 1≦ c≦ 9, a+c = 10, 0≦ b≦ 99
ͱ͢Δɽ
(100a+b)(100c+b)
= 100a×100c+ 100a×b+b×100c+b2 = 10000ac+ 100(a+c)b+b2
= 10000ac+ 100×10×b+b2 = 1000(10ac+b) +b2
͜͜Ͱɼb
2
࠷େ4ܻͳͷͰɼΛͱͬͨͱ͖ʹɼ
ઍͷҐͰॏෳ͕͋ΔՄೳੑ͋Δɽ
࠷ޙʹɼਖ਼ํܗͷ໘ੵͷܭࢉΛ͡Ίɼ͏ػձ͕ ଟ͍ฏํͷࢉज़Λߟ͑ͯΈΑ͏ɽ
5. 81,82,· · · ,90ͷฏํΛͰ͖Δ͚ͩ͘ ܭࢉͤΑɽ·ͨɼ͘ܭࢉ͢ΔͨΊʹɼͲͷΑ͏ͳ Λ͔ͨ͠ड़Αɽ
ղ
Ұൠʹa
2 −b2
= (a+b)(a−b)ɼ͢ͳΘͪɼ
a2
= (a+b)(a−b) +b2
· · ·1
ཱ͕͢Δɽಛʹa=x+ 1, b=xͱ͓͘ͱɼ
(x+ 1)2
= (x+ 1 +x)(x+ 1−x) +x2 ΑΓ
(x+ 1)2 =x2
+x+ (x+ 1) · · ·2
ཱ͕͢Δɽͭ·Γɼ(x+ 1)
2
ɼx
2
ʹx+ (x+ 1)
Λ͢͜ͱʹΑͬͯಘΒΕΔɽ
x2 (x+ 1)2 +x+ (x+ 1)
࠷ ॳ ͷ ฏ ํ Ͱ ͋ Δ81
2
Λ ܭ ࢉ ͢ Δ ͨ Ί ʹ ɼ1Ͱ
a= 81, b= 19ͱ͓͘ͱɼ
812
= (81 + 19)(81−19) + 192
· · ·(∗)
= 100×62 + 361 = 6561
Ͱ͋Γɼ2Ͱx= 81ͱ͓͘ͱɼ
822
= (81 + 1)2 = 812
+ 81 + 82
= 6561 + 163 = 6724
ΛಘΔɽ͞Βʹɼ2Ͱx= 82ͱ͓͖ɼ
832 = 822
+ 82 + 83
ͷΑ͏ʹɼ܁Γฦ͠ಉ༷ʹܭࢉ͍͚ͯ͠ɼٻΊΔฏ ํɼॱʹ
6561, 6724, 6889, 7056, 7225,
7396, 7569, 7744, 7921, 8100
Ͱ͋Δɽ
ͪͳΈʹɼ(∗)ʹ͓͍ͯɼb= 1ͱ͢Εɼ
812
= (81 + 1)(81−1) + 12
= 82×80 + 1 = 6560 + 1 = 6561,
b= 9ͱ͢Εɼ
812
= (81 + 9)(81−9) + 92
= 90×72 + 81 = 6480 + 81 = 6561
Ͱ͋ΓɼbΛͲͷΑ͏ͳʹͯ͠ɼಉ༷ͷ݁ՌΛಘ
Δɽ·ͨɼ࣍ͷੑ࣭
x2 (x+ 1)2 +x+ (x+ 1)
(x+ 2)2 +(x+ 1) + (x+ 2) +2
Λར༻ͨ͠ղɼ୯७ʹ
(100−a)2
= 10000−200a+a2
Λద༻ͨ͠ղ͋ͬͨɽ
A 1-4.
ɹੜెͷ՝ൃݟೳྗΛҭΉڭࡐͱ͠
ͯͷΦΠϥʔؔ
ؔ࿈ɿ߹ಉࣜ
ߴֶɿॳ
ରֶɿߴߍ
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ڭࡐ໊ɿΦΠϥʔؔͰ༡΅͏
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ϕ
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۩ ମ ྫ Ͱ ֬ ೝ ͠ ͯ Έ Α ͏ɻ
ϕ
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ɺ
6
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6
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1
,
5
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ϕ
(6) = 2
Ͱ͋Δɻ·ͨɺૉ̍ͱࣗ
͔ࣗ͠Λ࣋ͨͳ͍ͱ͍͏ఆ͔ٛΒͨͩͪ
ʹɺ
p
͕ૉͱ͢Δͱ
ϕ
(
p
) =
p
−
1
͕Γཱͭɻ
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1
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ؔͰɺࠓ·Ͱ͞·͟·ͳݚڀ͕ͳ͞Ε͖ͯ
ͨؔͰ͋Δ͕ɺΦΠϥʔ͔͍ؔͬͯͳ͍
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ϕ
(3) = 2
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(6) = 2
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2
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2
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ΦΠϥʔؔͷٯؔଟՁؔͰ͋Δ͜ͱ͕
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͔͍ͬͯͳ͍͜ͱ͕ଟ͍ͱ͍͏͜ͱɺͦΕ
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ΛཧతͳղੳʹΑͬͯղ͖໌͔ͦ͏ʯͱ͍͏
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ڭࡐʹͳΓ͏ΔɻಛʹɺΦΠϥʔؔͦͷఆ
͕ٛඇৗʹγϯϓϧͰɺදʹͯ͠ோΊɺࣗͳ
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•
m
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ϕ
(
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p
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p
−
1)
•
m, n
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ϕ
(
mn
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ϕ
(
m
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ϕ
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A1-3
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ϕ
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2
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3
, . . .
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p
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p
1−
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p
2ͷഒ͕আ͔ΕΔͷͰɺ
n
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p
1, p
2ͱޓ͍ʹૉͱͳΔͷׂ߹ɺ
p
1−
1
p
1p
2−
1
p
2ͱͳΔɻ͜ͷߟΛ܁Γฦ͢ͱɺ
n
ʹࢸΔ·Ͱ
ͯ͢ͷૉҼࢠ
p
1, p
2, . . . , p
kͱޓ͍ʹૉͱͳΔ
ͷׂ߹ɺ
p
1−
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p
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2−
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. . .
p
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1
p
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n
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ϕ
(
n
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k
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p
1p
2−
1
p
2ɹ
. . .
p
k−
1
p
k=
p
m1−11
p
m2−1
2
. . . p
mk−1
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k
i=1
p
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(
p
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1)
=
k
i=1
ϕ
(
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mii
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ઌ΄ͲͷܭࢉͰग़͖ͯͨɺ
ϕ
(
n
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n
p
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1p
2−
1
p
2ɹ
. . .
p
k−
1
p
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n
͕ɺ
n
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3
. . . p
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k
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ϕ
(
n
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1
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1)(1
−
1
p
2)
. . .
(1
−
1
p
k)
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2×
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ϕ
(100) = 100(1
−
1
2
)(1
−
1
5
) = 40
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ͯɺΦΠϥʔ͕ؔԠ༻্ॏཁͳҙຯΛ࣋ͭཧ
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Δɻ
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a, m
͕ޓ͍ʹૉͰ͋Δͱ͖ɺ
a
ϕ(m)˹
1 (mod
m
)
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͞·͟·ͳূ໌͕ΒΕ͍ͯΔ͕ɺγϯϓ
ϧͳٞͰࡁΉͷΛ༩͓͑ͯ͜͏ɻ
m
ҎԼͷࣗવͰ
m
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1, x
2, . . . , x
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m
ͱޓ͍ʹૉͳࣗવ
a
Λ͔͚Δɻ
ax
1, ax
2, . . . , ax
ϕ(m)͜͜Ͱɺ
a
ͱ
m
͕ޓ͍ʹૉͰ͋Δ͜ͱ͔Βɺ
m
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x
1, x
2, . . . , x
ϕ(m)ͷͱಉ͡ͷʹͳΔɻ͜ͷ͜ͱʹ͍ͭͯɺ۩ମ
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m
= 7
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a
= 9
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7
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2
,
3
,
4
,
5
,
6
Ͱɺ͜ΕΒΛͯ͢
9
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9
,
18
,
27
,
36
,
45
,
54
ͱͳΔ͕ɺ͜ΕΒΛͯ͢
7
Ͱׂͬͨ༨Γɺ
2
,
4
,
6
,
1
,
3
,
5
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ʹɺ
m
ͱޓ͍ʹૉͳ
m
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2
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t
i, t
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m
ͱޓ͍ʹૉͳ
a
Λ͔͚
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at
i, at
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m
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͢ͳΘͪɺ
at
i˹
at
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m
)
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(
a, m
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a
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t
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t
i−
t
j<
m
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(c.f.
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m
ͱޓ
͍ʹૉͳͨͪΛ͔͚ͯ͋͢ΘͤͨͷΛ
m
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x
1x
2. . . x
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a
ϕ(m)x
1x
2. . . x
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m
)
ɹ
֤
x
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m
ͱޓ͍ʹૉͰ͋ΔͷͰɺͦΕ
Βͷੵ
m
ͱޓ͍ʹૉͰ͋Δɻ͕ͨͬͯ྆͠
ลΛ
x
1x
2. . . x
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0.2
ΦΠϥʔؔͷΛ؍͢Δ
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ͯɺڭҭతʹͱͯେ͖ͳՁͷ͋Δൃݟ
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n
ϕ
(
n
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n
ϕ
(
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2
1
3
2
3
2
4
2
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2
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4
6
2
6
2
5
4
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6
8
4
8
4
10
4
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6
12
4
10
4
7
6
11
10
9
6
12
4
14
6
13
12
18
6
14
6
15
8
15
8
16
8
16
8
20
8
17
16
24
8
18
6
11
10
19
18
22
10
20
8
30
10
21
12
13
12
22
10
21
12
23
22
26
12
24
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28
12
25
20
36
12
26
12
17
16
27
18
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16
28
12
34
16
29
28
19
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30
10
27
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31
30
38
18
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16
25
20
33
20
33
20
34
16
23
22
35
24
35
24
36
12
29
28
37
36
31
30
0.3
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ϕ
(2) = 1
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ੜె͕؍ͨ͜͠ͱʹର͖ͯͪ͠Μͱূ໌Λ
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2
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(
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(
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(
p
m2
2
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. . . ϕ
(
p
mk
k
)
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p
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ϕ
(
p
m) =
p
m−1(
p
−
1)
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࣭Λ࣋ͭ͜ͱ͔Βɺ
p
͕
2
Ͱͳ͚Ε
p
حૉ
Ͱ͋ΔͷͰɺ
p
−
1
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ϕ
(
n
)
ͷӈลͷͲ͔͜ʹۮ͕͋ΔͷͰɺ
ϕ
(
n
)
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؍̎ɿ ୯ௐͰͳ͍͕ɺ
m
͕େ͖͚Ε
ϕ
(
m
)
େ͖͘ͳΔɻ
ߴߍ
1
Ͱۃݶͷ֓೦·ֶͩश͍ͯ͠
ͳ͍͕ɺۃݶͷݴ༿Ͱݴ͍͑Δͱ
lim
m→∞
ϕ
(
m
)
ൃࢄ͢Δɺͱ͍͏͜ͱͰ͋Δɻ
m
ҎԼͷૉͷݸΛ
p
(
m
)
ͱ͓͘ͱɺ
m
ҎԼ
ͷૉগͳ͘ͱ
m
ͱޓ͍ʹૉͳͷͰɺ
p
(
m
)
≤
ϕ
(
m
)
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͢ΔͷͰɺΦΠϥʔؔͷແݶʹେ͖͘ͳ
Δɻ
؍̏ɿ ۮͷͰଘࡏ͠ͳ͍ͷ͕͋Δɻ
ࣗવʹରͯ͠ΦΠϥʔؔͷΛॱ൪Ͱ
ฒସ͑ͯ؍ͯ͠ΈΔͱɺ
14
,
26
,
34
. . .
ͳͲɺΦΠϥʔؔͷͱͯ͠ొ͠ͳ͍͜ͱ
͕؍Ͱ͖ΔɻૉҼղͯ͠ΈΔͱɺ
2
×
p
(
p
:
حૉ
)
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͍ͷͰͳ͍͔ͱࢥ͑Δ͕ɺ
ϕ
(11) = 10 = 2
×
5
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ΔͨΊʹʮͳΜ͔ɺͦΜͳؾ͕͢Δʯ͕ୈҰ
าͰ͋Δ͜ͱ͕ଟ͍ɻͦ͜Ͱɺ
p
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ͯɺ͋Δࣗવ
n
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ϕ
(
n
) = 2
p
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n
͕গͳ͘ͱ̎ͭҎ্
ͷحͷૉҼΛ࣋ͭͱ͖ɺΦΠϥʔؔͷ
๏ੑʹΑΓ؍̎ͱಉ༷ͷٞͰɺ
4
ͷഒ
ʹͳΔ͜ͱ͕͔ΔͷͰɺͦ͏ͨ͠
n
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ʹআ֎Ͱ͖Δɻ্͕ͨͬͯ͠ͷΑ͏ʹͳͬͨͱ
͢Δͱɺͻͱͭͷحૉ
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n
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ؔΛ࡞༻͕ͤͨ͞
2
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2
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1) = 2
p
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m
= 2
ͷͱ͖ɺ
p
͕
حૉͰ͋Δ͜ͱ͔Βɺ
q
k−1(
q
−
1) =
p
ͱͳ
Γಘͳ͍ͨΊɺͨͩͪʹ
m
= 1
Ͱ͋Δ͜ͱ͕
͔Γɺ
q
k−1(
q
−
1) = 2
p
ͱͳΔɻ͋ͱੵͷ߹͚Ͱٞ͢Δɻ
(1)
q
k−1(
q
−
1) = 1
×
2
p
ͷͱ͖
q
(k−1)= 1
ΑΓ
k
= 1
ɺ͔ͭ
q
−
1 = 2
p
ͱͳΔɻ
ͭ·Γ
q
= 2
p
+ 1
Ͱ͋Δɻ
p, q
حૉͰ͋ͬ
ͨͷͰɺରۮ໋ΛऔΔ͜ͱʹΑΓɺ࣍ͷఆཧ
ͷΑ͏ͳͷΛಘΔɻ
حૉ
p
ʹରͯ͠
2
p
+ 1
͕ૉͰͳ͍ͳΒ
ϕ
(
n
) = 2
p
ͱͳΔࣗવଘࡏ͠ͳ͍ɻ
(2)
q
k−1=
p, q
−
1 = 2
ͷͱ͖
ͨͩͪʹ
p
=
q
= 3
, k
= 2
͕ಋ͔ΕΔɻ͜Ε
ଞͳΒ͵
ϕ
(9) = 6
ͱ͍͏͜ͱͰ͋Δɻͦͷଞ
ͷ߹͋Δ͕ɺ
p, q
ͷحૉੑʹ͔ͳΓ੍ݶ
͞Εɺ݁ہ
(1)
ͷΈ͕༗ޮͳओுͳͷͰͳ͍
͔ͱߟ͑ΒΕΔɻ
0.4
͓ΘΓʹ
ઌͷߟͰɺ
14
26
͕ΦΠϥʔؔͷʹ
ͳΒͳ͍͜ͱ͕ࣔͤͨɺΦΠϥʔؔͷʹ
ͳΒͳ͍ͯ͢ͷۮΛཏͨ͠Θ͚Ͱͳ͍ɻ
ௐͯΈΔͱɺͨͱ͑
50
ΦΠϥʔؔͷ
ʹͳΒͳ͍ͷͰ͋Δ͕ɺ͞ΒͳΔಛ͚͕ͮ
ඞཁͰ͋Ζ͏ɻ·ͨɺૉͳ؍ͷ̍ͭʹ
ΦΠϥʔؔඞͣॏෳͨ͠Λ࣋ͭ
͜ͱ؍͞ΕΔɻݴ͍͑ΔͱɺΦΠϥʔؔ
ͷٯ͕ؔଟՁؔͰ͋Δͱ͍͏͜ͱ͕ͩɺ͜
ͷͲ͏ΒະղܾͰɺ
2015
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10
1010·Ͱਖ਼͍͜͠ͱ͕ࣔ͞Ε͍ͯΔɻΦΠ
ϥʔؔۙηΩϡϦςΟٕज़ͷԠ༻͋
Γɺ·͢·͢ॏཁੑΛ૿͖͍ͯͯ͠Δɻͦͯ͠ɺ
͔͍ͬͯͳ͍͜ͱ͕ଟ͍͔Βͦ͜ɺڭࡐͱ͠
ͯͷΦΠϥʔؔͷॏཁੑΛײ͍͚ͯͨͩͨ͡
ͳΒ͍Ͱ͋Δɻ
[
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A1-3
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http://mathworld.wolfram.com/BicentricPolygon.html
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