ルベーグ積分入門前編

ルベーグ積分入門前編

会田茂樹

内容 1 Introduction

2 リーマン積分 2.1 平面上の積分 2.2 面積について

2.3 ルベーグ測度について

3 測度空間

3.1 定義と性質

3.2 ある集合族から生成されたσ-加法族

4 可測関数

4.1 定義と性質 4.2 補足

5 ルベーグ積分の定義 5.1 非負単関数の積分

5.2 非負可測関数の積分と単調収束定理 5.3 一般の関数に対する積分の定義とその性質 6 リーマン積分とルベーグ積分の関係

7 収束定理

8 ルベーグ測度の性質について

∗後編と前編に分けることにしました. 前期の講義でFubiniの定理の紹介まで進みましたが,証明も含めた説明は後 期,後編で行います.

1 Introduction

この講義ではルベーグ積分を学ぶ。高校や大学1年の時に学んだ積分はリーマン積分と呼ばれ るもので、リーマン積分だけではいろいろと不都合なことがあり、ルベーグ積分まで積分論を進 めておく必要がある。リーマン積分だけでは不都合な理由は

(1) リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能な関数に比べて圧倒的に少ない。

(2) リーマン積分可能な関数の極限は一般にはリーマン積分可能ではない。しかし、ルベーグ積 分可能な関数の極限はやはりルベーグ積分可能である。

(3) 解析学においては完備性(実数の完備性など)が重要な役割を果たすが、そのためにはルベー グ積分可能な関数を考える必要がある

などである。もう少し、正確に述べよう。

{fn(x)}^∞n=1を閉区間[a, b]上のリーマン積分可能な関数とする。あるK >0が存在して、すべて のn, xについて|f_n(x)| ≤K <∞(有界性)を仮定する。すべてのx∈[a, b]についてlim_n→∞f_n(x) が収束するとし、極限をf(x)と書く。このとき、

(1) f(x)は積分可能か?

(2) (積分と極限の順序交換定理)f(x)が積分可能の時

nlim→∞

∫ _b

a

fn(x)dx=

∫ _b

a

f(x)dx (1.1)

となるか?

という問題を考えよう。

答えは

(1)f(x)は一般にはリーマン積分可能ではないが、ルベーグ積分可能である。

(2)∫_b

af(x)dxをルベーグ積分の意味で解釈すれば(1.1)は成立する。リーマン積分の範疇ではfn(x)

が連続関数でf(x)に一様収束しているときは(1.1)が成立するのは微分積分でよく知られた事実 だが、ルベーグ積分の順序交換定理はこれよりはるかに一般的な定理なのである。さらに次の事 も指摘しておこう。次の問題を考える:

問題 Ai (i= 1,2, . . .)をR²上の面積確定な集合で、

(1) ある大きな正方形E = [a, b]×[c, d]が存在し、すべてのAiがEに含まれるとする。

(2) i̸=jのときA_i∩A_j =∅^とする。

このとき、∪^∞_i=1A_iの面積が確定であるか? また

|∪^∞i=1Ai|=

∑∞ i=1

|Ai| (面積の完全加法性) が成立するか?

この問題では、平面上の集合に対してどのように面積を定義するかをはっきりさせねばならな い。面積・体積と言うとアプリオリ(a priori,先験的)に与えられているような気がするが定義が 必要なものだと認識する必要がある。リーマン式の面積(1年次に講義したはず。次の章で復習す る)に基づくと∪^∞_i=1A_iは一般にはリーマン式に面積の定義される集合にはならず、完全加法性は 成立しないということになる。しかし、ルベーグ式に面積を定義すると

(1) リーマン式に面積が定義できれば、ルベーグ式に面積が定義可能(ルベーグ式の面積が定義 できる集合の方が多い)

(2) ルベーグ式に面積が定義できる集合については、完全加法性が成立する

のようになるのである。上の完全加法性も積分と極限の交換可能性の一つの表現なのだが、こ のようにルベーグ式の面積(ルベーグ測度)を考えた方が、都合のよい事が多いのである。

さて、リーマン積分はユークリッド空間Rⁿ上の積分論であったがルベーグ積分論はより一般な 測度空間と呼ばれる空間で定式化される。この講義でも一般な測度空間の枠組でルベーグ積分を 学ぶことにする。一般な集合上の話になるので、抽象的な話になるが、それも訓練と思ってつい てきて欲しい。

私の専門分野は確率論と解析学だが、皆さんには確率論と言うと高校で学んだ場合の数の計算 という印象が強いかもしれない。しかし、現代的な確率論ではルベーグ式の積分論を修得するの は必須であると言える。

最後に、

•[a, b]上の関数f(x)について、リーマン式の積分とルベーグ式の積分のおおざっぱな定義

•初等確率論に現れる期待値(平均値)の定義がルベーグ式の積分であること を述べておこう。

(1)リーマン式

[a, b]を分割して積分する。すなわち分割

∆ :a=a0 <· · ·an=b に対してリーマン和

I(f,{ξ_i},∆) =

∑n i=1

f(ξ_i) (a_i−a_i−1) (a_i ≤ξ_i ≤a_i+1)

の極限lim_|∆|→0I(f,{ξi},∆)を計算する。ただし|∆|= maxi(ai−ai−1).

(2)ルベーグ式

f(x)が[α, β]の範囲の値をとるとする。[α, β]の分割

∆ :α=α₀<· · ·α_m=β に対して

I˜(f,∆) =

∑m i=1

α_i−1|{x |α_i−1 ≤f(x)< α_i}|

を計算し極限lim_|∆|→0I(f,˜ ∆)を計算する。ただし|{x |α_i−1 ≤f(x)< α_i}| ^は[a, b]の部分集合 {x |α_i−1≤f(x)< α_i}^{の長さを表す。}

(3)初等確率論における期待値の定義

確率変数Xが異なる有限個{x1, . . . , xn}^{の値を取り、}X=xiになる確率がpiとする。このと きXの期待値は次で定義される:

E[X] =

∑n i=1

xipi

これはルベーグ式の積分である。

参考文献

[1] 高木貞治,解析概論,岩波書店 [2] 伊藤清三,ルベーグ積分入門,裳華房 [3] 西尾真喜子,確率論,実教出版 [4] 竹之内脩,ルベーグ積分,培風館

[5] 志賀徳造,ルベーグ積分から確率論,共立出版 [6] 新井仁之,ルベーグ積分講義,日本評論社 [7] 盛田健彦,実解析と測度論の基礎,培風館 [8] 吉田伸生,ルベーグ積分入門,遊星社

[9] 梅田亨,徹底入門・測度と積分,日本評論社・数学セミナー( 2002年11月号〜2003年4月号) の連載記事

[1, 2, 3]は1980年以前、[4]は1980年、[5, 6, 7, 8] は2000年以後の出版である。[1, 4]はコン パクトにまとまっている。[7, 4]はルベーグ積分の歴史にも詳しい。また、[7]では、Stieltjes積分 の説明も詳しい。[6]は記述がわかりやすいが、測度論一般の説明と言うより、R^{n上の関数、測度} の実解析的観点から書かれている。[3]は全測度1の測度空間、確率空間上の測度論が基礎から展 開され、確率論特有の言葉に慣れるのによい。[5]では、講義ではあまり話されない停留位相、ラ プラスの漸近公式も述べられている。[9]は「有界収束定理」を中心にリーマン積分とルベーグ積 分の比較を論じていて興味深い。

2 リーマン積分

2.1 平面上の積分

ここではリーマン積分の定義を思い出す。記述を簡単にするため、2次元(平面)の場合に述べ るが、一般次元でも同じである。E ={(x, y) | x∈ [a, b], y ∈[c, d]} とする。f(x, y)をE上の有 界関数とする。

∫∫

E

f(x, y)dxdy の定義を思い出そう。

定義 2.1 Eの分割

∆ : a=x0 < x1<· · ·< xn=b, c=y0 < y1 <· · ·< ym=d に対し、

S(f,∆) = ∑

1≤i≤n,1≤j≤m

sup{f(x, y) | xi−1 ≤x≤xi, yj−1 ≤y≤yj}(xi−xi−1)(yj−yj−1)

s(f,∆) = ∑

1≤i≤n,1≤j≤m

inf{f(x, y) |xi−1≤x≤xi, yj−1 ≤y≤yj}(xi−xi−1)(yj−yj−1).

さらに

S(f) = inf{S(f,∆) | ∆はすべての分割を動く} s(f) = sup{s(f,∆) |∆はすべての分割を動く} S(f), s(f)については次のDarbouxの定理が基本的である。

定理 2.2 ∆に対して|∆| = max{xi −xi−1, yj −yj−1 | 1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m} ^とおく。

|∆lim|→0S(f,∆) =S(f), lim

|∆|→0s(f,∆) =s(f)が成立する。

定義 2.3 S(f) =s(f)のとき、f(x, y)はE上可積分と言い、この共通の値を

∫∫

E

f(x, y)dxdyと 書く。

注 2.4 (1) f(x, y)が連続ならば可積分である。実は可積分になるための必要十分条件はf(x, y) の”不連続点の集合の測度ゼロ”ということが知られている。これについては演習問題 6.2を参照 せよ。

(2)f(x, y)が可積分ならばDarbouxの定理からどのように分点ξi,j ∈[xi−1, xi]×[yj−1, yj]を選ん

でも ∫∫

E

f(x, y)dxdy= lim

|∆|→0

∑

1≤i≤n,1≤j≤m

f(ξi,j)(xi−xi−1)(yj−yj−1)

となる。逆にこの極限が分点、分割の取り方によらず同じ値に収束するなら、f(x, y)が可積分に なることもDarbouxの定理から容易に分かるだろう。

2.2 面積について

前章の積分に基づいてリーマン積分の意味での面積の定義を思い出そう。有界集合A ⊂R²を 考える。

1_A(x, y) =





1 (x, y)∈A

0 (x, y)∈A^c (2.1)

と定義し、1AをAの定義関数と言う。

定義 2.5 (Aの面積の定義) A⊂Eとなる長方形を一つ取る。1_AがEで可積分のとき、

|A|=

∫∫

E

1_A(x, y)dxdy. (2.2)

この定義で、あるEに対して1_Aが可積分ならば他のAを含む長方形E^′についても1_AはE^′上

可積分で ∫∫

E

1A(x, y)dxdy =

∫∫

E^′

1A(x, y)dxdy

が成立する。したがって、Aの面積|A|の定義はEの取り方にはよらない。

有界でない集合についても広義積分で面積を定義できるが、リーマン積分に基づいた面積の定 義に深入りしてもあまり意味がないので、述べないことにする。

定義 2.6 S(1_A)をm_J(A), s(1_A)をm_J(A) と書き、それぞれAのJordan外測度、Jordan内測 度と言う。また面積|A|^のことをAのJordan測度とも呼び、m_J(A)とも書く。S(1_A), s(1_A)を定 義する時には、Aを含む長方形Eを取ることになるが、これらの値はEの取り方にはよらない。

積分の定義からm_J(A) =mJ(A)のとき、Aの面積が確定で、この共通の値がAの面積の値にな る。またこのとき、AはJordan可測と言う。

例 2.7 (1) c(t) = (x(t), y(t))を区分的にC¹の平面上の単純閉曲線(c(0) =c(1)かつt̸=t^′のと きc(t)̸=c(t^′))とし、この曲線で囲まれた図形Aの面積は確定。

(2) AをE = [0,1]²の点で x座標、y座標がともに有理数であるような点全体の集合とする。

m_J(A) = 0, m_J(A) = 1 でJordan可測ではない。

この講義では証明しないが以下の性質が成り立つ。

定理 2.8 以下A, A_iは有界集合とする。

(1) m_J(A)≤mJ(A).

(2) (Jordan測度の有限加法性)A1, A2がJordan可測ならばA1∪A2, A1∩A2もJordan可測で m_J(A1∪A2) =m_J(A1) +m_J(A2)−m_J(A1∩A2).

(3) {A_i}ⁿ_i=1^がJordan可測ならば∪ⁿ_i=1A_iもJordan可測で m_J(∪ⁿ_i=1A_i)≤

∑n i=1

m_J(A_i).

(4) A⊂E (Eは長方形)のとき、

m_J(A) =|E| −mJ(A^c∩E).

またAがJordan可測ならばA^c∩EもJordan可測である。

演習問題 2.9 AをR^{2 の集合とする。}1Aの不連続点全体の集合はAの境界と一致することを示 せ。ただし、Aの境界∂Aとは次の集合である。

∂A={

P ∈R² |^任意のε >0に対して、B_ε(P)∩A̸=∅, B_ε(P)∩A^c ̸=∅ }

. (2.3) ただし、P = (p, q)のときB_ε(P) ={(x, y) | √

(x−p)²+ (y−q)² < ε}.

演習問題 2.10 有界集合A⊂R²の面積が確定するための必要十分条件はAの境界のJordan測度 の面積が0であることを示せ。

演習問題 2.11 R^の閉区間I = [0,1]をとる。

(i) Iの中点を中心とした長さ ¹₃の開区間を除く。

(ii) (i)の操作で除かれた後の左側の閉区間をI1,右側の閉区間をI2とする。I1の中点を中心に、

長さ(₁

3

)2

の開区間を除く。同様にI₂の中点を中心に長さ(₁

3

)2

の開区間を除く。

(iii) (ii)の操作の後残っている閉区間を左からI1,1, I1,2, I2,1, I2,2とする。おのおのの閉区間の中 点を中心とした長さ(₁

3

)3

の開区間を除く。以下この操作を繰り返す。

以上のような開集合を除去して最終的に得られる閉集合CはCantor集合と呼ばれる。m_J(C) = 0 を示せ。また、n回目の操作で除かれる開区間の長さをrⁿ (0< r < ¹₃) として得られる閉集合を C_rと書くときC_rはJordan可測では無いことを示せ。

2.3 ルベーグ測度について

例2.7 (2)の集合AはEの稠密な部分集合だが可算集合である。したがって、その面積は0に

なってもおかしくない。しかし、そのJordan外測度は正でそのため面積が0ではなくなっている。

これは、Jordan外測度が規則的に並んだ長方形の和で覆ったときの面積で近似するという近似の

仕方が粗すぎることにある。そのためルベーグはもっとうまく外から図形を覆って外測度が小さく なるように工夫して次の定義を置いた。以下では特に2次元にかぎらず一般次元で定義を与える。

定義 2.12 AをR^{nの部分集合とする。}Aのルベーグ外測度m_L(A)を次のように定義する。

mL(A)

= inf { _∞

∑

i=1

|I_i| I_i はR^{nの直方体}(∏_n

i=1[a_i, b_i]の形の図形)で、A⊂ ∪^∞_i=1I_i }

(2.4) ルベーグ外測度は次の性質を持つことが証明できる。

定理 2.13 (ルベーグ外測度の基本性質) (1) 任意のA⊂R^{nについて}mL(A)≥0.

(2) A⊂Bならばm_L(A)≤m_L(B) (3) 任意の集合A, B⊂R^{nに対して}

mL(A∪B)≤mL(A) +mL(B) (4) 任意の集合A_i ⊂Rⁿ (i= 1,2, . . . ,) に対して、

mL(∪^∞_i=1Ai)≤∑^∞

i=1

mL(Ai).

注 2.14 (1)R^{nの空集合}∅に対しても、ルベーグ外測度を定義することができる。空集合は任意 のRⁿの部分集合の部分集合になるから、上の定義に従うとm_L(∅) = 0となる。これは、机上の 空論のようだが、これからのいろいろな計算で空集合の測度を0と考えておくのが自然である。

(2)N を自然数とし、集合Ai ⊂Rⁿ (1≤n≤N) が与えられたとき、

∪^Ni=1A_i ={x∈Rⁿ |^ある1≤i≤Nが存在してx∈A_i} である。しかし、上記の(4)の記号で

∪^∞i=1A_i ={x∈Rⁿ| ^ある1≤i <∞^についてx∈A_i}

が定義であることに注意してほしい。A_∞という集合があってそれの要素も含むというわけでは 無い。無限級数の和

∑∞ i=1

a_i は lim

n→∞

∑n i=1

a_iであってa₁+a₂+· · ·+a_∞では無いのと同様である。

また次もわかる。次の(1)-(4)は定義から簡単に(有界閉集合の定義を知っていれば)わかる。(5) は少し工夫を要する。

演習問題 2.15 (1) Aiがルベーグ外測度ゼロの集合ならば∪^∞i=1Aiのルベーグ外測度もゼロ。

(2) Aが可算集合ならばm_L(A) = 0.

(3) Aを有界集合とするとm_L(A)≤m_J(A).

(4) Aを有界閉集合とする。このとき、Aのルベーグ外測度が0ということとJordan測度が0と いうことは同じである。

(5) EをRⁿの直方体とする。mL(E)はEの体積|E|と一致する。

さらに

定理 2.16 A⊂Rⁿとする。次は同値である：

(i) 任意の直方体Eに対して

m_L(A∩E) +m_L(A^c∩E)≤m_L(E).

(ii) 任意の集合Bに対して

m_L(A∩B) +m_L(A^c∩B)≤m_L(B).

上記定理で≤^{としているが、定理}2.13 (3)より逆向きの不等号は常に成立しているから等号成 立と同じことである。次にルベーグ測度の定義を与える。

定義 2.17 AをRⁿの部分集合とする。任意のR^{nの部分集合}Bに対してつねに

mL(A∩B) +mL(A^c∩B) =mL(B) (2.5) が成立するとき、Aをルベーグ可測集合、mL(A)をAのルベーグ測度と言いmL(A)と書く。ま た、Rⁿのルベーグ可測な部分集合全体をBL(Rⁿ) と書く。

注 2.18 Aを有界集合とする。Eを直方体でA⊂Eのとき、B =Eとすると(2.5)は

mL(A) =|E| −mL(A^c∩E) (2.6)

と同じである。この式は定理 2.8の(4)の式に従い、右辺をAの「ルベーグ内測度」の定義と思 うならば、「ルベーグ内測度＝ルベーグ外測度」を意味し、Jordan測度の定義から見ても定義と してふさわしいと見て取れる。

以下の定理からルベーグ測度はリーマン式の面積・体積の拡張概念であるとわかる。

定理 2.19 R^{n の有界集合}AがJordan可測とする。このとき、A はルベーグ可測でmJ(A) = m_L(A).

証明 定理 2.16 (2)から任意の直方体Eについて

mL(A∩E)≤ |E| −mL(A^c∩E) (2.7)

を示せばよい。

m_L(A∩E) ≤ m_J(A∩E) (演習問題 2.15 (3)) (2.8)

≤ |E| −mJ(A^c∩E) (AのJordan可測性と定理2.8 (4)) (2.9)

≤ |E| −m_L(A^c∩E) (演習問題 2.15 (3)) (2.10) これは、(2.7)を示している。(2.7)からなぜm_L(A) =m_J(A)が従うかは演習問題とする。

定理2.20の(3), (4)が解析での極限と積分の順序交換に有効に働く基本的に重要な性質である。

定理 2.20 (ルベーグ測度,ルベーグ可測集合の基本性質) (1) Rⁿ,∅ ∈BL(Rⁿ).

(2) A∈BL(Rⁿ)ならばA^c∈BL(Rⁿ).

(3) Ai ∈B_L(Rⁿ) (i∈N)ならば∪^∞_i=1Ai ∈B_L(Rⁿ).

(4) (ルベーグ測度の完全加法性) A_i ∈B_L(Rⁿ) (i∈N)かつi̸=jのときA_i∩A_j =∅^ならば m_L(∪^∞i=1A_i) =

∑∞ i=1

m_L(A_i). (2.11)

定理 2.19とあわせれば面積・体積が定義される集合が非常にたくさんあることがわかる。

注 2.21 ルベーグ測度のその他の基本的な性質は8章にまとめておく。また、現代的な測度論で

はCarath´eodoryにしたがって、一般的な集合上で

1. 外測度の定義をあたえる。

2. その外測度を用いて(2.5)の式をみたすA全体を可測集合とよび、測度を導入する。

の順番で理論が展開される。その観点からは定理 2.16 (2)の直方体から任意の集合への拡張は非 常に重要である。Carath´eodoryによる測度の構成法については後編で説明する.

次の章からはRⁿとは限らない一般な集合上で測度論を展開していく。

3 測度空間

3.1 定義と性質

まず、集合に関する復習をしておく。

定義 3.1 以下Xと書いたら集合を表す。また、2^XでXの部分集合全体を表す(X自身、∅^も入る)。 また、任意のA⊂Xに対して∅ ⊂A である。2^X の部分集合はXの部分集合の集合だがそれを 集合族と呼ぶ。

すでに前の章で∪^∞_i=1A_iの定義、notationについて注意したが、以下の定義について復習して おく：

定義 3.2 (1)Ai⊂X (i∈N)に対して

∪^∞i=1A_i = {x∈X |^あるi∈N^{が存在して}x∈A_i } (3.1)

∩^∞i=1Ai = {x∈X |^すべてのi∈N^についてx∈Ai} (3.2) (2)より一般に任意のS⊂N^{に対して、集合族}A_i (i∈S)が与えられたとき、

∪i∈SA_i = {x∈X |^あるi∈Sが存在してx∈A_i } (3.3)

∩i∈SAi = {x∈X |^すべてのi∈S についてx∈Ai} (3.4) 定義 3.3 A, B⊂Xに対して

A\B=A∩B^c

とかき、差集合という。B^cはBの補集合(complementary set)を表す。

次の演算規則もよく用いられる。以下では可算個の集合について述べているが、もっと一般の 場合も同様に成り立つ。

命題 3.4 (1) (de Morganの法則) Ai ⊂X i= 1,2, . . .に対して (∪^∞i=1Ai)^c =∩^∞i=1A^c_i, (∩^∞i=1Ai)^c =∪^∞i=1A^c_i. (2) (∪,∩^{の分配法則})

(∪i=1∞A_i)∩B = ∪^∞i=1(A_i∩B) (3.5) (∩^∞i=1Ai)∪B = ∩^∞i=1(Ai∪B) (3.6) 演習問題 3.5

(∪^∞i=1Ai)∩(∪^∞i=1Bi) =∪^∞i=1(Ai∩Bi) は成立するか?

以上の事は集合論で学んだはずですが、ピンとこない人は、復習をしておいて下さい。

定義 3.6 (可測空間) Xを集合、F ^を2^X の部分集合(すなわちF^の要素はXの部分集合)とす る。(X,F)が可測空間であるとは次が成立する時に言う。

(1) X,∅ ∈ F.

(2) A∈ FならばA^c ∈ F.

(3) An∈ F (n= 1,2, . . .)ならば∪^∞n=1An∈ F.

上の(1),(2),(3)をみたす集合族をσ-algebra, σ-field,σ-加法族,σ-集合体などという。

例 3.7 (X,2^X)は明らかに可測空間である。Xが有限集合あるいは可算個の要素からなる集合な らこれは自然な例である。

命題 3.8 (X,F)を可測空間とする。

(1) 可測空間の定義の(3)に関連して次が成立する:

(3)^′ An∈ F (n= 1,2, . . .)ならば∪^Nn=1An∈ F (N ∈N).

(2) An∈ F (n= 1,2, . . .)ならば∩ⁿ_i=1Ai ∈ F (∀n), ∩^∞_i=1Ai ∈ F.

証明 (1)定義 3.6 (2) の条件で、An=∅ (n=N+ 1, N + 2, . . .) とすればよい。

(2)∩ⁿi=1Ai= (∪ⁿi=1A^c_i)^c だから(1)とσ-加法族の定義(2)から従う。∩^∞i=1Aiも同様である。

注 3.9 定義 3.6の(1), (2)と上の(3)^′をみたす集合族を有限加法族とよぶ。あきらかにσ-加法族 は有限加法族である。

定義 3.10 (測度空間) (X,F)を可測空間とし、mをF^{上の関数とする。}mが次の性質をみたす とき、mを測度、三つ組(X,F, m)^{を測度空間と言う。}

(1) すべてのA∈ F ^について0≤m(A)≤+∞ ^かつm(∅) = 0.

(2) (可算加法性,完全加法性) An∈ F ^がAn∩Am =∅ (n̸=m) をみたせば、

m(∪^∞_n=1An) =

∑∞ n=1

m(An). (3.7)

特に、

(i) m(Xn)<∞ (n∈N)が存在してX =∪^∞n=1Xnのときσ-有限測度空間、

(ii)m(X)<∞^{のとき有限測度空間、}

(iii) m(X) = 1のとき確率空間 (mを確率測度と言う) と言う。

注 3.11 (1)A ⊂2^X とし, (X,A, m)が (i) A^{は有限加法族}

(ii) すべてのA∈ A^について0≤m(A)≤+∞^かつm(∅) = 0.

(iii) Ai∈ A(1≤i≤n, n∈N),がAi∩Aj =∅^{をみたせば}m(∪ⁿ_i=1Ai) =∑_n

i=1m(Ai).

をみたすとき、有限加法的測度空間と言う。Jordan測度はこの性質をみたす。

例 3.12 (1)Xを集合とし、F = 2^Xとする。

m(A) =





Aの要素の数 Aが有限集合 +∞ Aが無限集合.

(3.8) (2) X = Rⁿ, F としてルベーグ可測集合の全体BL(Rⁿ), ,m(A)をAのルベーグ測度の三つ組 (Rⁿ,BL(Rⁿ), mL).

確率論では

X = {w: [0,∞)→Rⁿ | w(0) = 0 でw(t)はtの連続関数} (3.9)

X = [0,1]^N (3.10)

のような無限次元空間上に測度(確率測度)を考える必要がある。どのようなσ-加法族を考えるか については、3.2を見よ。

命題 3.13 (X,F, m)を測度空間とする。次が成り立つ。

(1)A_i ∈ F (1≤i≤n)のとき∪ⁿ_i=1A_i ∈X. さらにA_i∩A_j =∅^ならばm(∪ⁿ_i=1A_i) =∑_n

i=1m(A_i).

(2) A, B ∈ F ^がA ⊂ Bを満たせばm(A) ≤ m(B). さらに、m(B) < ∞^ならばm(A) < ∞^で m(B\A) =m(B)−m(A).

(3) An⊂An+1, An∈ F (n= 1,2, . . .) のとき

nlim→∞m(An) =m(∪^∞_n=1An). (3.11) (4) An∈ F (n= 1,2, . . .)ならばm(∪^∞n=1An)≤∑_∞

n=1m(An).

(5) A_n⊃A_n+1, A_n∈ F (n= 1,2, . . .) かつあるn₀に対してm(A_n0)<∞^{とする。このとき、}

nlim→∞m(A_n) =m(∩^∞n=1A_n). (3.12) (6)A△B := (A\B)∪(B\A)とおく。m(A)<∞, m(B)<∞^とする。|m(A)−m(B)| ≤m(A△B).

証明 (1)定義 3.10の完全加法性でAn+1=An+2=· · ·=∅とすればよい。

(2)B=A∪(B\A)かつA∩(B\A) =∅. ここでB\A=B∩A^cである。(1)の結果よりm(B) = m(A) +m(B\A)≥m(A). m(B)<∞^のときm(A)<∞^であり、m(B\A) =m(B)−m(A).

(3)B_n=A_n\A_n−1 (n≥1, A₀ =∅)とおく。

1. AN =∪^N_n=1An=∪^N_n=1Bn (N ∈Nまたは+∞) 2. n > mのとき、Bn∩Bm⊂A^c_n−1∩Am =∅. したがって、完全加法性とすでに証明した(1)より

m(∪^∞n=1A_n) =m(∪^∞n=1B_n) = lim

N→∞

∑N n=1

m(B_n) = lim

N→∞m(

∪^Nn=1B_n)

= lim

N→∞m(AN). (3.13) (4)まず帰納法で

m(

∪^Nn=1A_n)

≤

∑N n=1

m(A_n) (3.14)

を示す。

(i) N = 2のとき A1 ∪A2 = A1∪(A2 \A1)よりm(A1 ∪A2) = m(A1) +m(A2 \A1) ≤ m(A1) +m(A2).

(ii) N のときOKとする。N = 2の結果と帰納法の仮定から m

(∪^N_n=1⁺¹A_n )

= m(

(∪^Nn=1A_n)∪A_N+1)

≤ m(

∪^Nn=1An

)+m(AN+1)

≤

N+1∑

n=1

m(An). (3.15)

これで示された。目的の式は(3.14)でN → ∞^として(3)の結果を適用すればよい。

(5)A_n\A_n+1=B_n, ∩^∞_n=1A_n=Cとおく。n > mのとき、B_n∩B_m⊂A_n∩A^c_m+1 =∅.

An0 \C=∪^∞_n=n0Bn. (3.16)

したがって、(2)の結果と測度の完全加法性よりm(C)<∞, m(An)<∞ n≥n0で m(An0)−m(C) =

∑∞ n=n0

m(Bn) = lim

N→∞

∑N n=n0

(m(An)−m(An+1))

= lim

N→∞(m(A_n0)−m(A_N+1)). (3.17) ゆえにm(C) = limN→∞m(AN). なお(3.16)は図を書くとほとんど自明だが次のようにチェック できる。

(i) x ∈ A_n0 \Cとする。このとき、あるn≥ n₀ に対してx ∈ A_nかつx /∈ A_n+1.したがって x∈A_n\A_n+1=B_n.

(ii)x ∈ ∪n=n0Bnとする。このとき、あるn≥n0に対してx ∈Bn =An\An+1. したがって x∈An0 かつx /∈C.

(6)m(A) =m(A∩B)+m(A∩B^c),m(B) =m(A∩B)+m(B∩A^c). したがって、|m(A)−m(B)|=

|m(A∩B^c)−m(B∩A^c)| ≤m(A∩B^c) +m(B∩A^c) =m(A△B).

命題 3.14

lim sup

n→∞ An = ∩^∞n=1{∪^∞i=nAi} (3.18)

lim inf

n→∞ An = ∪^∞n=1{∩^∞i=nAi} (3.19)

と定義する。lim inf_n→∞A_n= lim sup_n→∞A_nのとき、lim_n→∞A_nと書く。次が成立する。

(1) lim infn→∞An⊂lim sup_n→∞An. (2) m(lim infn→∞An)≤lim infn→∞m(An).

(3) あるn0∈N^に対してm(

∪^∞n=n0An

)<∞^{とする。このとき、}

lim sup

n→∞ m(An)≤m (

lim sup

n→∞ An

)

. (3.20)

(4) あるn0∈N^に対してm(

∪^∞n=n0An

)<∞^とする。limn→∞Anが存在するとき、

nlim→∞m(An) =m (

nlim→∞An

)

. (3.21)

証明 (1) x ∈ lim infAnとするとあるn0 が存在してx ∈ ∩i=n0Ai. ゆえに任意のnに対して x∈ ∪i=nA_i. したがって、x∈lim supA_n.

(2) B_n = ∩^∞_i=nA_iとおく。lim inf_n→∞A_n = ∪^∞_n=1B_nである。B₁ ⊂ B₂ ⊂ B₃ ⊂ · · · ^だから命 題3.13 (3)より

m (

lim inf

n→∞ An

)

= m(∪^∞_n=1Bn)

= lim

n→∞m(B_n)

= lim inf

n→∞ m(Bn)

≤ lim inf

n→∞ m(An) (3.22)

(3) C_n=∪^∞_i=nA_iとおく。lim supA_n=∩^∞_n=1C_nかつC₁ ⊃C₂ ⊃C₃ ⊃ · · ·, m(C_n0)<∞^だから 命題 3.13 (5)より

m(lim supAn) = m(∩^∞_n=1Cn)

= lim

n→∞m(C_n)

= lim sup

n→∞ m(Cn)

≥ lim sup

n→∞ m(An). (3.23)

(4) (2),(3)の結果より m

( lim inf

n→∞ An

)≤lim inf

n→∞ m(An)≤lim sup

n→∞ m(An)≤m (

lim sup

n→∞ An

)

. (3.24)

仮定よりこの４つの量はすべて等しい。

演習問題 3.15 Ai ⊂X (i∈N) とする。

∪^∞i=1A_i= lim

n→∞∪ⁿi=1A_i, ∩^∞i=1A_i = lim

n→∞∩ⁿi=1A_i を示せ。

注 3.16 上の問題は奇妙に見える。しかし、左辺の集合は定義 3.2で定義されているもので、右 辺の集合の極限は命題3.14で定義されているものだから当り前というわけでは無い。証明は簡単 だと思いますが。

演習問題 3.17 lim sup

n→∞ A_n = {

x∈X |n(1, x)< n(2, x)<· · ·< n(k, x)<· · · ^{が存在して}x∈ ∩^∞_k=1A_n(k,x)} (3.25) lim inf

n→∞ A_n = {

x∈X | n(x)が存在してx∈ ∩^∞_n=n(x)A_n }

(3.26) を示せ。

演習問題 3.18 {f_n(x)}^∞_n=1, f(x)をX上の[0,+∞]値関数とし、すべてのnとxについてf_n(x)≤ f_n+1(x)かつlim_n→∞f_n(x) =f(x)とする。a, bは0≤a < b≤+∞^{を満たすとする。}

A_n = {x∈X |a < f_n(x)≤b} (3.27) A = {x∈X |a < f(x)≤b} (3.28) とおく。このとき、lim_n→∞A_n=Aを示せ。

なお、命題3.14 (2)と演習問題3.18 は単調収束定理(定理 5.14)の証明で用いる。

3.2 ある集合族から生成されたσ-加法族

感じとしては、σ-加法族とはXの部分集合のうち、面積、体積が定義され得る集合全体のこと であるが、2^X 以外に性質(1)〜(3)をみたすものをどう作るか? 疑問に思うのが自然である。

そこで次の概念を定義する。

定義 3.19 C1,C2 ⊂2^X とする。C1 ⊂ C2のときC1はC2より小さい(C2はC1より大きい) と言う。

以下、上の意味で集合族の大小関係(数学用語では順序)を考えることにする。

補題 3.20 C ⊂2^X とする。

σ(C) =∩λ∈ΛFλ

と定義する。ただし、{Fλ | λ∈Λ} ^はC ⊂ Fλ となるσ-加法族Fλ全体を表す。するとσ(C)はC を含むσ-加法族の中で最小のものである。