多体問題とグリ}ン関数との関係の研究

近畿大学工学部研究報告 No38，2

∞

4年，pp20l・221 Research Reports of the School of Engineering， 

Kinki University No38， 2004， pp201^・221

多体問題とグリ}ン関数との関係の研究

一高等量子力学における摂動理論 ( 1 3 ) 一

橋爪邦夫*、林田秀人**

S t u d i e s  o f  r e l a t i o n s  between many

^圃

bodyproblems  and Green f u n c t i o n s  

‑Perturbation Theory i n  Advanced Quantum Mechanics  ( 1 3 ) 一

Kunio HASHIZUME and Hideto HAYASHIDA 

Synopsis 

1n this pap問 nextsubject is  discussed.  ~ 34.  Calculation of modified propagators.  The part of  diagram， with just two external fermion lines， which constructs a part in a larger diagram， say sub‑diagram  pa此， defines a modified propagator G'

仇

E)of the supposed momentum k and energy E of an incoming  and outgoing electron. Here， the modi宣edpropagators  G'

恥 E )

of some sub‑diagrams are calculated. 

~ 34  修正伝播関数の計算

先ず初めに以前の節(~)20の

r s

マトリックスのT 積表示Jの個所を読み返してみよう。そこでは我々は 相互作用表示で記述された標準的なフェルミオン・ボ

ソン相互作用の摂動ハミノレトニアン密度

Hl'

( x )  

= g

V /

・か

} P 1 ( X ν ^{( x )}

^{[(1108)刻 (1663)} 

を取り挙げて、そのSマトリックス展開式

を考察した。そしてそのとき、(1663)式中の

v /

・か)と

v / ( x )

は真の真空(barevacuum)に対して記 述されたフェノレミオン(電子)の生成と消滅の場の演算 子であるが、次にそれをフェルミ真空(fermivacuum)  又はフェノレミ海(fermisea)に対する準粒子の電子と正

︒

u n

国ヤ ム同

S  孔の生成・消滅の場の演算子氏・か)，

V 1 . ( x )

， ~・ (x)， 

~(x) で置き換えて議論をするのかどうか、又ボソン

= 会 ( 子 ) 7 jj d ^{叫 ポ}

_{場の演算子世}

_{I ( X )}

をボソン(フォノン)の生成と消滅の T

{ H I ' ( 高知、)…

H¹'

( x ， ， ) }  

[(1107)

式]

(1664)  _{場の演算子}

4

背)，

o

¹ か)で置き換えて表現するかど

*近畿大学工学部建築学科 Department of Architecture.  School of Engineering  Kin1ri University 

Japan Coast Guard Academy  201 

**海上保安大学校

202  近畿大学工学部研究報告 NQ38 

うかによって、ブェルミオン・ボソン相互作用の摂動 ハミノレトニアン密度H¹ひ)の表現の形式に4つの形式 が考えられる事を述べた。それは同節 (~)の(1 111)式と

(1112)式と(1113)式と(1114)式とである。そしてそれ以 後我々は、例外はあるとしても主として第 (4)の形 式である(1114)式を用いて議論を進めて来た。そこで はファインマン・ダイヤグラムで時間軸を逆行するよ うな物理現象は実際には存在しない物理現象となる。

本論文のこの節(~)においては、ハミノレトニアン密 度

H I ' ( X )

の上述の4つの形式の内の第(1 )の形式で

ある(1111)式を使って議論を進める。故にHI'

( x )

に対 しての(1663)式の表現がそのまま使われる。この場合 の Sマトリックス展開式の3次の項までの表現が (1121)式と(1122)式と(1123)式と(1124)式に記されて いる。ここでは更に4次、 5次、 6次までの項を以下 に書いておこう。

品 = ( ず か ^{4 ff J J}  

^d

^{川 内 内}

T

レ

^I

^・

^(X1

^{} o}

^I

^{円 . ( ) v I ( . 高 炉}

^I

^・

^(X2

) o

I

仏 ) 〆 ( x

₂₎

v

μ ( X 3 } P I  ( X 3 ) 〆 ( x 3 Y* 弘 知

1

( X J v

l 

( x 4 ) }  

(1665) 

Ss 

= ( 子 ) 5 j E 5 u m ω V 山 内

T

レ

^I

^{・ ( X t ) o I ( X} t ) 〆 仇 ル

^μ

( X 2 ) o I ( x 2 Y ( x J  

〆 ( X 3 } o I ( x 3 ル

^I

^{( x} 3 } v !

μ

( X 4 ) o I ( X 4 ) v 1 ( X 4 ) 

v / * 仏 } ; 6

1

( X S > v /   ( x

_s)}  (1666) 

ミ = ( 子 ) j g 6 即 日

d⁴xtd⁴

T

レ ^{( x}

¹

^知

¹

^{( x J v / 仇 ル}

^I

^{・ ( X 2 } o I ( x 2 ) v /仏)}

Vμ

( X 3 } o I ( X 3 Y 仇ル

^μ

( X 4 } o I ( X 4 ) v 1 仇) v

μ ( x s } ; 6

¹ 

( x s ) v l   ( x J v / * ( X

₆

) o I  ( x

₆

Y ( x

_6)}  (1667)  (1664)式が語るように、 Sマトリックス展開式の各次 数項は6次までではなくて、 7次、 8次、…16次、 17

次、…と無限に続くのである。

次にそれに続いて、各次数項中のT積はWickの定 理(~19)に従って、 1個のN積とそのT積を構成して いる演算子の組中で選ばれる事の出来る総ての可能な 縮約積(コントラクション又はベアリング)で作る事の 出来る総ての可能な N積の和として(1101)式又は (1102)式のように展開する事が出来る。この展開項の 内、縮約積(コントラクション又はベアリング)が 0 と なるものは消えてしまう。こうして残った項の1つ1 つが物理的に意味のある物理現象を表わしており、フ

ァインマン・ダイヤグラムで表わす事が出来る。

次の図1の様な1つの複雑なダイヤグラムを計算す る事を考えよう。このダイヤグラムは(1667)式の6次 の項S6をWickの定理で展開して、縮約積(コントラク ション文はベアリング)が0となって消える項は総て 消した後に、残る項の中に含まれるものの1つである。

図1

X₁ 

x 

₃ 

x 

₆ 

初めに、これからの計算に必要となる諸式をまとめ て説明して置く。

① 

G

1  ( x ; x ， )  

= 

-i(φ。 IT~〆 (xνヤ)}φ。)

[(1351)式， (1384)式， (1591)式] (1668)  この式は真の真空中の電子の1粒子グリーン関数の定 義式である。

多体問題とグリーン関数との関係の研究 一高等量子力学における摂動理論仰ト 203 

② 

G~(x'

‑ x )

書

G 1 ( x ;

x')

[(1355)式， (1383)式， (159ω式] (1669) 

唱 + 司 取・(rイドさ(/‑1')

= 石 jyY14 州

^+io

[(1596.1，2，3，4)刻 (1670) for  t > t' 

[(1597)式] (1671)  for  t' > t 

(1670) 式の伝播関数 G~(x' -x) は時空点どで生成した フェルミオン粒子(真の電子)が時間軸を正の方向

わ

t')へ伝播して、時空点xで消滅するまでの振る舞 いを表わす関数である。

③ 

G~(ど -x) 三 G1(x;x')

[(1355)式， (1383)式， (159ω式] (1672) 

= +i(φ

。 ￨ 〆

*(X，

ν ^{か い 。}

^{for t' > t} 

[(1593)式， (1603)式， (1605)式] (1673) 

/ke(ト 作 之(/‑1')

= 

訪

^k 

! ?   1 4   2  州

^{‑iδ  お伽r t'} 

for  t' > t  for  t > t' 

[的(16ω06ω)式] (16引7

心

4)  (1675) 

(1674) 式の伝播関数 G~(x'

‑ X )

はより後の時刻t'で生 成した粒子(真の電子)が時間軸を負の方向。，

> t )

へ逆 行して、より早い時刻tで消滅するまでの振る舞いを 表わす関数である。一般的に言って、粒子の時間軸の 逆行はホール(hole)又は反粒子の時間軸の順行を意味 している。故に、この事は国体のバンド構造モデルに 立って解釈すると、より早い時刻tで生成した正孔(反 粒子)が伝播してより後の時刻fで消滅する事を表わ

している事となる。

④ 

G : ( x ; x ' )

= 

-i(<l>oIT~I(X}PI(ど)}φ。)

[(1369)式

1

(1676)  この式はボソン(フォノン)の1粒子グリーン関数の定 義式である。但し、ここで

件I

か ) =  o I ‑ ( X ) +

砂1+

か )

[(802)式， (1345)式] (1677)  である。

⑤ 

D J ぶ ‑ X } = i G : ( x ; x ' )

[(1373)式， (1407)吋 ( 167ω

J  長 柵 a崎市‑r'}‑I咽(ト1')

= 訪 ・ 去 ^j 刊 ωJ42(q)+t5'

[(1411)式， (1625)式， (1628)式， (1630)式] (1679)  (1679)式の伝播関数

D t o (

x'

‑ X )

はより早い時刻t'(又は

t)で生成したボソン(フォノン)粒子が伝播して、より 後の時刻t(又はt')で消滅するまでの振る舞いを表わ

している関数である。

⑥ 

1

い午)

〆 ( け z Z ^戸

^e

^九

[(628)式， (738)式， (1549)式] (168ω  1 

→ (  

k

・

^r

一 千 )

〆 ( x ) = Z 戸 z ‑

e

死

[(629)式， (739)式， (1551)吋(1681) 又は、 Y→∞へ移行して、

〆(斗ァ仰いト互

pith(k)[(155ω式]1 (1682) 

( 2 1 1 : l y

ーJ

V I * ( か」寸2" r 

dke ‑{ ^ker

苧 I ) b * ( k }

[(1552)式1](1683) 

( 2 1 1 : 1 '

² J 

これ等の式は相互作用表示での自由場中の電子の生 成・消滅演算子である。

①乃至⑤に計算に必要な式を列挙したので、これから は図1のダイヤグラムの計算を進める。そこで改めて もう一度、必要な形で図を描いて置く。(図 2参照)

図2(a)の大きなダイヤグラムは(1664)式のSマトリ ックス展開式中の6次のマトリックス演算式(1667) 式S6中に含まれる 1ダイヤグラムであるので、取り敢 えずこの項(このダイヤグラム)をS6として置こう。

204 

. . . . '

，  

^X1 

， 

X2  .

， 

..." 

x 

₅

、 、 _{、 、}

、

( a) 

近畿大学工学部研究報告 No38 

(c)部分修正を受けた大きなダイヤグラム (big diagram with a modified propagator) 

図 2

図2(a)を眺めて式を構成すると次のようになる。

ト ( 子 ) j g 6 m m d ^判

D :

O(x2 -Xl)J~(XS -X2 )J~(X2 ‑x₅₎

巧 。

(X6‑xs) 

G~(X3 一高知~(X4

^‑x3)

D i

o(x4 

-X3)J~(X6 ーら) v μ (

明

) v / ( x

₆⁾ (1684) 

= 

白 同 凶 ) ' 日 6 1 i

g

ど ゆ 6

D

巧 ; 0 ( 仇

x巧

2 一

^x1)戸:阿子五

J ( 仇

x巧

5 一

x巧'2)<知尚3五J(令~2

‑

xs)

D i

^o(x6 ‑xs) 

td44d4d 仏一高知 J 札一月)巧。仇

‑x3)

(a)、大きなダイヤグラム(bigdiagram) 

︑ ︑

︐

J

LU  

︐ ︐

SE︑

X₁ 

X1 

G~(X6

^‑x4)

ν ^{か J v J}

^{(xJ (1685)} 

(1685)式 で 中 括 弧 { で 束 ね た 部 分 は 図2(b)の副 ダイヤグラムの部分である。この部分を改めて

G~(X6 ‑ X i ) =   f 

^d4x3

f  d4x4G~(X3 -XJ:;~(X4

^‑x3)  D:O(x4 -xぷ.~(x6 ‑x4)  (1686)  と置く。ここで新たに導入した関数 G~(ら -xJ を副ダ イヤグラム図2(b)の相互作用表示での修正伝播関数 (modified propagator)と言う。図2(b)では修正伝播関 数がジグザグ線で表わされている。こうして、 (1685) 式は次のように続く。

X6

_{G~ 仏-} ・

^X6

X1)  modi

五 ed

propagator 

(c) 

(b)句副ダイヤグラム(sub‑diagram)

正U

X X  

F

︑ 一

/

¥   〆/

︑

1iV1/¥

vh A

巧

(1687)式の計算は、大きなダイヤグラム図2(a)の計算 をするに、あたかもそれが副ダイヤグラム図2(b)の代 わりにジグザグ線で置き替えられた図

2 ω

^であるか

のようにして、計算して良い事を表わしている。

= (

子 ) 6 j ^{ど j} 川 川

D i

^o (x2 ‑Xl )J~ (xs ‑x2 p~ (x2 ‑Xs 

) D :

_o (x6 ‑x5)  G~(X6 -Xl~〆μ(同妙I(X6) (1687) 

多体問題とグリーン関数との関係の研究ー高等量子力学における摂動理論。3ト 205 

次にここで、相互作用表示の修正伝播関数(1686)式 G~仏 -X1) の運動量・エネルギー表示 σ(k， E) を定義し て置く。

rr  広・(r1‑r6μ互(11ーら)

G!

私

‑ X

1)=1̲ ~ ^¥4 rrdkdEG'(k， E~"'-\'1-'6r 晶 一

( 2 7 r ) 4

JJ 

(1688)  (168紛式は σ仇 E) の定義式であり、 G~(X6‑XJと G'

恥 E )

は互いに1対1の関係にある。

これから(1686)式を計算して、最後にその結果を (1688)式と比較する事によって修正伝播関数の運動 量・エネルギー表示G'

仇 E )

の式の具体的な式形を求 めよう。(1686)式へ先に列挙した①乃至⑥の式を代入 する。次のように計算される。

G~(X6 ‑X l ) 

= 

f 

^d4x3

f  d4X4G~ 弘一高知J(X4 一巧)

D ; o ( x

₄ -xぷ^~(X6-X4)

.  一

^{庇M停.引(仇町一r乃3)-μi~竿:(11-吋，ら3}

= f 日 μ f 《 帆 《 吋 日 μ 久 M 仇訪 r i l  ^{け ぬ}

^A

^{ぽ 〈}

^t

^♂

^q

^ペ

^n:1?Jl(

唱 +∞  ^仙 (rJ‑叶 ぞ ( 日 )

. 訪 _kl!?k'F3 ^， _{‑ E (} 山

品 +∞  句・(円‑r.トω(ら‑1.)

・ ( 2 方 ・ 去 ^{J 4 1 d ω ; 2 4 2} 句

^)+iO

∞  ^{成・(r.‑r6}ト中山6)

‑ 訪 ^Y14eE‑ 刷

^{+io (1689)} 

= 訪 ^kFwlaw‑y ト ^{j 尚 子 γfdE}

J ‑ n ^{ふ ) . i i ( k 町 一 ト )}

E'ーE'‑II^副

・ ^~rdr

ezy J 3 2 z J  ^，

^{e 付~川ち.土 rdt}

^{，/ ‑11‑13} 

E'+II回 ーE

e 

~

e z y J 4 2 z J  

r  d r ^，

^{e'(‑k'‑q叫 r.e}

^土 r

^dt

^{， /}  

^{‑11‑. 1.} 

. E W ‑ E ν

_)+i

δe 

_E' ^̲ _E(k') 

+ 

ⁱ

δ 

・ ー ー

や

ー ^~t ー ー 一 ー ‑ 一 ー n  一 ・ ・

PO ‑

aJ2 _‑aJ2(q)+iδ E ^・‑E(k)+iδ  (1690)  ところで、ディラックの

s

関数については次の式があ る。

δ ( k x ‑ l x ) = J ー や

^(kx‑1x

^切

^(16幻)

L.~ 二

又は

δ

( X _一 %)=J 一 団

^{e1k("‑"O)dk (1692)} 

L.~ " 

3次元で書くとこれ等は次のようである。

又は

ぬ ^{‑ 1 ) =} 

^1̲1 ¥3 

f 

^{dre恥 伽 (1693)} 

や~r

^J 

δ ( r ‑ r o ) = J ‑ l d k e a ‑ ( r

^{一 町 ( 1}694)

や

^~rJ

故に、(1690)式は次のように続く。

= 訪 ^{kplaw‑y'ld 叫州 lω ・ yidE}

ik".r1‑1千九 ‑ik^or6 +1716 

e

・

^e

e O ^{， 依} + q  

‑k"

) O

^(E' 

+ 

^nω‑E"

) O

^(k'

+  q 

‑k

) a

^(E' 

+ 

^nω‑E) 

.EW‑Eν)+ 

io 

e 

E' ‑E(k') 

+ 

ⁱ

δ 

n 

₍₁

695) 

似 t ‑

PO ‑

aJ2_ーの

2 _匂

)+iO‑E‑E(k)+iO  ところで、(1695)式中に出て来る6関数は次の性質を 持つ事は明らかである。

δ ( k '  + q  ‑ k " ) a ( k '  +  q  ‑ k ) = δ ( k " _一 k ) a ( k '+  q  ‑ k )  

(1696)  δ(E' + nω‑E"

) O

^(E' + nω‑E)=δ(E" ‑E

) a

^{(E' +naJ ‑E)} 

(1697)  故に、 (1695)式は次のように続く。

= 訪

δ列持(依k"

一

^k

) a  俳

^'+ q ‑k

) o

^(E" ‑E

) a

(E' + n ^ω ‑E) 

ik'.r1 ^‑1=:‑/1  ‑/k町 村 討

e e ・

^e

E"‑ECピ)+iO^e E'‑

叫 ) δ

n 

(2~

t  ‑

Po ^‑aJ2 ‑^aJ2(q)+ io ‑

E ‑E(k)+ iδ  (1698)  (1698)式 中 の 中 括 弧 の 部 分 の 積 分 を 実 行 す

る。故に、(1698)式は次のように続く。

=5jyyldE‑EL)+iδ.{ 訪 ^j 尚 子

in 

E ‑n^aJ ‑E(k 

‑ q ) +  

i

δ.75.dJ(q)+ 刈

Na38  近畿大学工学部研究報告

206 

g v ‑ e

背

m m

母国

、

)  q ， ω 

〆 (1699) 

}の部分を改めて

(1700) 

• l 

A J

広伽刷ke

y

ベ(門〉ド吟吟

f

守宇^{仏(11‑→‑1イ九166}

E 

一

E 

伝 糾

)+it5"

ここで、(1699)式中の中括弧{

M

仇 E )

と置こう。

M~叫がゆ日ω-AK-q)+i5

in 

. 7 Z . ω

^2 ̲o2

^{( q ) +}  

^io 

我々は修正伝播関数(1686)式 匂

( x

₆

‑ x

₁)を計算してい 結局(1699)式[(1686)式]は次のように たのであった。

なる。

︑

︑ ︐

J

LU  

z︐ ︐ ︑

句 仇 十 訪 yldEHL)H5M(k

，

E )

(a) 

図4

えられ得る限りのその他の沢山の可能な副ダイヤグラ ムがある事となる。思いつくままに、その幾っかを匪 示しよう。(図5参照)

λ ν '  

Ike(rl‑r

， 汁 ヰ

(1，一向)

E‑E 年

)+iOe

(1701)式を(1688)式と比較しよう。次の結果を得る。

G'

， k (

E)

一

l

MOd) 

‑E‑E(k)+iδ E ‑E(k)+iδ 

(1702) 式は修正伝播関数 (1686) 式 G~(X6

‑ x J

の運動 量・エネルギー表示であり、 G~(ら -xJ と σ(k， E) は 1 対1の対応にある。(図3参照)

(1701) 

(1702) 

o r  

A U V  

X1 

︑ ︑ ︐ ︐ LU  

︐ ︐

g︑ ︑

( a ) 

︑ ︑ ︐ ︐

J'

︑

︐

〆

︐ ︑

︐ ︐

︐  

•••

︑ o r  

A U V  

(  d)  1

盃

， E

X1 

‑

・・・圃・・

‑

G ' 仇 E )

k ， E  k ， E 

X₃ 

、 、 、

) q ， ω 

， 

"

~

'

"

  _x 

4 

k‑q 

E‑n ^ω 

x 

₆ 

x 

₆ 

(c)  図3

今、我々は上述の議論において、図4(a)のような副 ダイヤグラムを考察した。そしてそれは図4(b) [図1] のように大きなダイヤグラムの適当な場所へ挿入され ていた。しかし、そのように考えて行くと、我々が考

多体問題とグリーン関数との関係の研究一高等量子力学における摂動理論仰ト

(e) 

etc. 

図5

これ等の副ダイヤグラムの各々が、適当な場所におい て、或る 1つの大きなダイヤグラムへ挿入されるので ある。理解の為にこの事を例えば図4(b)に即して描く ならば、それは次の図のようになる。(図6参照) 四 角い箱で囲んだ部分が副ダイヤグラム部分である。

( a ) 

( c ) 

︑_{. B}﹄J

LU  

J'E

︑ ︑

(d) 

207 

etc. 

︐

︐

︐

︑

︑

〆

〆

︑

︑

〆

¥11

ノ︑

( e ) 

図6

これ等の副ダイヤグラムの各々が、例えば図2(b)  [図

3 J

のようなジグザグ線で描かれた修正伝播関数

σ 仇 E )

を定義する。以下に、図5に挙げたそれぞれ の副ダイヤグラムについて修正伝播関数

G ' ( k

，

E )

をI1康 次求めて行く。

ところで、ここで1つの注意を喚起して置く。図5 の(a)，(b)， (C)を眺めよう。 (a)と(C)の副ダイヤグラム では、フェノレミオンの伝播とは無関係に真空の揺らぎ が起こっている。そして、この1つの副ダイヤグラム 中のこの 2つの部分は分離しており、どのような伝播 関数の線によっても結ぼれてはいない。こうしてこれ 等は所謂、分離型の副ダイヤグラムとなっている。他 方(b)の副ダイヤグラムでは、粒子と反粒子(電子と正 孔)の対生成とその消滅がボソン線(フォノン線)に よってフェルミオンの伝播と結び付けられている。こ うしてこれは所謂、結合型の副ダイヤグラムとなって いる。これ等の事はこの論文のシリーズの中で後に再 び議論される事となる。

次の副ダイヤグラムを考察する。(図7，図5(a)，図 6(a)参照)

図7は固体の電子縮退したフェルミ真空中を電子が 1個通過した為に、直ぐその横のフエノレミ真空に縮退 電子の揺らぎが発生して、電子・正孔対とフォノンの 生成・消滅が起きた事を現している。これが固体中の 物理真空の揺らぎである。

208  近畿大学工学部研究報告ぬ38

x 

_I 

X4 

①= 

X2  X3 

図7

X1 

~G~ か4

^{‑ X1)} 

~ G ' ( k ， E) 

IX4 

図 7 を眺めながら修正伝播関数G~(X4‑X1)の式を構 成すると次のようになる。

句(X4‑X1) = 

J 

^d4x2 

J  d4X3G~

^(X4

一 明 知 ^{; ( X 3 ーら)}

G~(X2 -x必~0(X3‑X2)  (1703) 

= 

G~(X4

^‑x1

) J  

d4x2

J  d4x3G~(X3 -XJG~(X2 ー巧)

D:_O

( x

₃ 

‑ x

₂₎  (1704)  上式へ(1670)式と(1674)式と(1679)式を適用する。

(1704)式は次のように続く。

噌 叩 凪 ・ ( 町‑r4}‑1

お

^‑14)

= 訪 k F J { F E E ‑ E ^年

⁾⁺ⁱ⁸

^{J 川 内}

G~(X3 -x必.~(x2 ‑x3 

) D :

_o (x3^{ーも) (1}705) 

政・(rl‑r. }-1~{ll ‑1.) 

= 訪 r l a e M ( 吋

⁺ⁱ⁸ 

  J f

dr2dt2

J J  

d帆

+咽 Ik'・(rl‑r3}‑1与(らーら)

ーニ7':"" I dk' I dE'': 

加 t ム F i E ' ‑ E ( k ' ) + t s

Ik'・(ち‑U4(rrr1) 

・訪グ ' l g e M b ‑ t s

J  も +∞  4・(乃ーちト^ω{11ーら)

‑ 訪 ・ 去 j ψ

= 訪 k r P E W ‑ y ? ^{・ j} 尚 子 ‑ y l d E

Ik

・

^(r1‑r4

ト ヰ

⁽¹1‑14)

e 

• ̲.̲1̲.̲ 

f 

^{dr̲el(k'‑内 h.ifdtgi}

千 二 坐'

¹

μ1 

^{J -"2~ ‑21f J町2}

S'‑S'+lI^副

.一 _{( 2}

勿1

^~fω

f

1 ド

^{Jdr~el(‑"3W 司山 ‑ 21f J} 

. E ‑ E 年

^{)+i8.E" ‑E(k")+iO. E'} ‑E

令 ) ー

^io

I i

5 Y . 7 Z

 

.

の

2 _{_{l)}

_2~ψ

_+iδ

⁽¹⁷⁰⁷⁾ 

デ ィ ラ ッ ク の 8関 数 に つ い て の 式 ( 1691)式乃至 (1694)式を適用する。(1707)式は次のように続く。

= 訪 れ F ' P E W ‑ y ' f d 叫 尚 子 γ f d E

Ik・(ャ町^}‑I手{/lーら)

e 

ω ( k '  ‑k ， 

+ q

) o

^(E' ‑Iiω‑E

切 ら ，

‑q ‑k"

) o

^(E' + Iiω‑E') 

. E ‑ E _年

)+io^e E"‑E(k")+io ^e E'‑E(k')‑io  I

i

5 7 . 7 Z

 

. ω 2   _{l)

2~

ω ^+iö

⁽¹⁷⁰⁸⁾ 

6関数を含む積分については、次式が成立している。

E' =Iiω+E"  (1708・1)

k '

  = q + k "  

^(1708・2)

故に、次の図8を参考にしながら計算を実行すると (1708)式は次のように続く。

k  E 

X1 

x 

₄ 

k "  

E "  

図8

x 

₂ 

x 

₃ 

= 訪 k ! ? l a E ‑ E L ) + i s ・ ( 訪 k F l a w

• J  d q J  

^d

ω 1  

ー∞ E"‑E

年 ' ) +

^io ‑E" + iIω‑E(q +k")‑iδ 

多体問題とグリーン関数との関係の研究一高等量子力学における摂動理論(13:ト

t舟 1  Jk・(町田町〉与(11ーら)

. 2 Z . ω

^2̲o2_(q)+iδ^Jee  (1709)  ここで、図6(a)又は図7又は図8のファインマン・ダ イヤグラム中の外線を持たない部分、即ち、真空部分 を汽と置こう。文字Vはvacuumを表わしている。

下付き添字の 2はその部分が 2次の Sマトリックス部 (結節点(パーテックス)が 2個)に相当するからであ る。(1705)式又は(1709)式によれば、その部分は次式 で表わされる。

円 =

f 

^d4x2 

f 

^{d4x3G~ (x3 ‑}

^xJG~

^(x2 ‑

^{x:必 ~O(X3}

^‑x2) 

(1710) 

209 

X₁  X₁ 

G ' ( k ， E )   G~ 仏 ^-x 1 ⁾

A﹃

x 

aF ︐F 

︐ 

ζ J  

X 

x 

₆  X₆ 

Idk" IdE"

・

^{IdqI d l ω 1 図9}

ム土

^{J~"t}oo ~~ E" ‑E(k") + iδ} 

in  上式へ(1670)式と(1674)式と(1679)式を適用する。

.ーー一一四一‑・町一一・ E"+nω‑E(q+k")‑iδ 

伊

^)4‑Po ‑

o2‑o2(q)+iδ  ₍₁71θ式は次のように続く。変数の割り当てに就いて (1711)  は図 10を参照せよ。

円を使うと(1703)式の修正伝播関数G~(X4‑x!)は次の

ように書ける。 ^X1

句 仏 十 訪 y l a H L ) + j s

^汽

ik

・

(r₁‑r₄ド互(九一九)

ee""‑'"' "41 "11'"'  ""  (1712)  次に修正伝播関数 G~(X4‑XJの運動量・エネルギー 表示G'

恥

E)の定義式を書こう。

G!

か

^‑xJ= 

_や7

1̲1 ¥4 

  r r

^{dkdEG'(k，E}/ke(町 叶}

^{i * (}

^川

r )

JJ 

(1713)  (1712)式と(1713)式を比較する。次式を得る。

G'(k，E) = T"'  T"'I.  '¥  "" V2  (1714) 

E‑E

年 ) +

it5' 2 

G~(X4 ^{‑ X}

1 )

^と

^{σ 仇}

^{E)は1対1の対応にある。(図7参}

照)

次の副ダイヤグラムを考察する。(図9，図5(b)，図 6(b)参照)

図 9 を眺めながら修正伝播関数 G~(X6‑XJの式を構成 する。次のようになる。

G~(X6

^‑XJ= 

f 

^d

刈

^d

刈

^d4X4jd4X5GJ

か

^2‑X!) 

G~(X5 ‑x2)DJo(x3 -X2P~(X4 一巧知;(巧 -x

4

⁾

DJo(xs ‑X4 )G~ (X6 ‑

X J  

(171θ 

司AX 

hF

勺

Xs 

k ， E  x 

₆ 

図10

= 

f f  

dr2dt2 

f f  

dr3dt3

日

^d

帆 日

^drs

a  叩 内・(r1‑叶t

与( /

1‑/2)

訪 Y E l l d 1 2 1 ‑ E ( K 1 山

a 

一

^{忠ik2e仇(r乃'2‑r}

，

)‑i存与(/匂zい

. 訪 勾 」 よ l L F & 2 l 炉 叫

^e  

210  近畿大学工学部研究報告 NQ38 

品 +∞  tq刈rz‑町トIQI'(tzーら)

・ 命 ・ 去 j

^州

' F ' ; ^，

^z

^{イ 紅}

^)+iδ

Ik4

・

^(r3‑r. }-I~(ら叫)

・ 訪 ね ^LA4141‑E(k 山

jk3

・

^{(rrサt与仏ーら)}

・

石 jyhlFA3YEAh‑

2  生 +∞  a崎市'.‑r"トjQl(t4‑t，，)

・すが仰の ^;242(q)d

+国 EK・(巧ーサI~(t" ー'6⁾ 

・

石

:)4kLFdkLdEt:E̲

叫

^{io (1716)} 

=

石 j Y 2 1 1 d 旦 ¥ ケ ²

^IdE2

^{・ j}

^内

' l d

^の'

• J 

^ak4 

J 

^dE4•

J 

^ak3 

J 

^dE3

^{・ j}

^内Jdω

~ ・ーー ，81.  ιー̲ . ^，B. 

・ ^r

^ak 

^r 

dEe'''I.~I-'

81‑Bz‑1I^{副 '}

・ ^‑Lfde _{{ 2}

_1r

₁ 

J^{勺 帆 +kz+q')orz.土 fdt~elh}21fJ ^".2 

.  一 _{や 似}

₁

^~f

_r

1 

^J 

^{仇 d 侃}

^"'3‑

^r~e

^{t(牛付{ト- ‑21f J ".3} 

B.‑Bー副

・ ^‑Lfdre

帆 尚 ゆ ・ . 土

f

dt.e'

ー す ‑

( 2   f 1 1 

^{J ~'4- ‑2}

  ^{f 1}

^J ".4 

，81+11田‑8

・ ^‑Lfdre o

^1r 

1 

^{J "'5‑帆 ‑q吋 "}

^.土

^‑21f J 

^f

^{d".5 t.e'‑'}

^τ‑'" 

• E1‑E(k1)+io.

ι

^‑E

年

^2)+io

n 

石 1 f y •

^{PO • o}

^，

^{2 ‑o2{q')+iO. E4 ‑E(k4)+iδ} 

n  1 

.広一E 恥) ‑

io•

( 2

1r)4

・ 7Z.d‑d(q)+is

• E ‑E(k)+io  (1717)  デ イ ラ ッ ク の8関 数 に つ い て の 式 ( 1691)式乃至 (1694)式を適用する。(1717)式は次のように続く。

ー の

柵r

lJ 4

何 晴 嵐

︐d r

・ ‑

︐

e

•

勾︐.

z 

畑pトd叫

司

' a

ぬ ケ

F' EE M

出ι h

 

•

宮

崎rトJ叫

A‑ F  fJ H  ι .  

1

一 例

‑ 一

•

_k.>

J 

_k^ak_F⁴ 

J 

^dE4•

J 

^ak3 

J 

^dE3

^{・ j}

^内Jdω

曲 勾<k

，

・

+伺 .B， .8 

• J 

^ak 

J 

^{dEe /k1er. ‑1‑;;‑'. • e ‑/ker，吋6}

k>kF ^{ー 曲}

.o

十 ^k

1

+k

₂ 

+ q ' ) δ ( 旦

^‑E2‑nω

， )   ω ( ‑ q '  +k4‑k ぷ

^(no'‑E4 

^{+  EJ} 

・ ^{O ( ‑ k 4+k3} 

^+q

^{) 8 { E}

^4 ‑E3‑

^{n ω )}  

・

⁵

_←

^k2‑q + 

^{k } o ( E}

^2 +nω

^{‑ E )}  

.兵一

_{E(k1)+io• E2 ‑E(k2)+iδ} 

n 1 

伊 Y.7Z.d‑d(q')+iδ.E4‑E(K4)+tδ

1  n 

.E~ ‑E{k3)‑i

s.5Y.7Z.d ー の も

^)+io

.E‑E 年

^{)+i8 (1718)} 

8関数を含む積分に就いては次式が成立している。

q' + ^k2 = k₁ 

' no' + E2 ⁼ El  (1719) 

q '  +k3 =  k 4   ' 

^nω

， 

+E3 =E4  ⁽¹⁷²⁰⁾ 

q  + k 3  =  k 4   ' 

^{nω+E3 =E4  (1721)} 

q  +k

₂ 

=  k 

，Iiω+E2 

= 

^E  (1722)  これ等の式より、次の関係式が成立しているのが分か る。

q'=q  ，

ω ω   (1723) 

k

₁ 

=k  ， 

_El =E  (1723)  k₂ = k ‑q 

，

E2 = E ‑nω (1725) 

k 3  =  k 4  ‑q 

^， E3 =

ι

‑nω (1726)  こうして、この計算中に現れる独立変数は、

k，E，q，ω，k4，E4  U 727)  の6個のみであるとする事が出来る。我々は以後、必 要な時点で上の独立変数の内

k 4

^とE4を

k '  ak4  ' 

^{E' aE4  (1728)}  で置き換えるであろう。

(1718)式の8関数を含む積分を実行するに当たり次 の関係に注意する0

o ( _一k

₁

+k

₂ 

+ q ' } o ^{( ‑ k}

2 

‑q+k) 

=o(q+ki一k

^j

} o ^(q+k

2

‑k) 

= δ ( k l一k ) 8 ^(q+k

2

‑k) 

(172ω  δ(E1‑

ι

^‑no'

^{) o}

^{(E2 +nω‑E)} 

= δ

(E2 +nω‑E1

} o

^(E2 +nω‑E) 

= o(E1 ‑E

} o

^{{E2 + nω‑E)  (1730)} 

δ ( ー

q '+k4‑k ぷ

^(no'‑E4 

+ 

E3) 

=δ(q+k3一

k4

) 8

^(nω+E3‑E4)  (1731)  (1729)式乃至(1731)式を(I718)式へ代入した上で、最

るす

民

を 実 一 行

Tlトd叩 九 州 一 FPSE

︐

d﹄同

ル ﹂

E a  

TE _ト

J 4

北

f‑

ps td

出

分積

n川 ・

4 τ 

多体問題とグリーン関数との関係の研究 一高等量子力学における摂動理論。3ト

1718)式は次のように続く。

= 訪

^Jdq

ト ‑ Y 4 1 4 4 γ

^3jdE3

・ ^j 尚 子

+∞ E  E 

e 

J a k  

^JdEe叶

e o(‑q' + 

k 4  ‑

kJo(no' ‑E4 + _E3) 

・

⁶

← ^{k 4+ k 3}  

^+q

) o

(E4 ‑E3‑

h ω )  

e E ‑E(k)+iO e E ‑nω‑E

年 一

q)+iO

. 石 万 ^{. 7} n  ^{Z . ω ， 2}

^{ー の}

^{2 ( q} い ^δ.E4 一時

J+iO

n 

1 

.E~

‑E(k3)‑io

乍万 .7rd‑d(ω

+io

.E‑E 年

)+iO (1732) 

るす行実を

E d  

T a _ト

J 4

d 

pt 'd d 

h と

F ω

 

畑作

l

d

叩

何 回

EJU 

︐ ︐  

Z E••

d ‑

分積

次

l732)式は次のように続く。

=訪グ

^4jdE4

・ JaψγldE

政・(町一r6}‑与(/1ーら)

e 

‑ E ‑ E ( k ) + t 5 . E ‑ h ω

‑E(k ‑q)+iO 

. 石 万 . 7 n  Z . ω 2

_ø2~ψ+ts.E4 一時4)+iô

ι

^‑n

^ω

^‑E

恥 ‑ω‑t5. 石 ZY.7Z.ω2 n 

‑o2(q)+iO 

‑E‑E 年

)+i

δ

聞の時点で(1728)式の変数の置換えをしてまとめると、

l733)式は次のように続く。(図11参照)

(1733) 

= 向 k ! ? l d H L M ‑ i r い 4 0

w十 ^{ω 2 州   + 1} . ⁸ r ^E‑

^Ii

^{O ‑ : ( k ‑ q ) + 1 8}  

e‑‑‑‑‑‑‑; 、 ・ 〉

E' ‑E(k')+i

δ j  

ik

・

(rt‑r6ー}i互(ヤ16)

(1734)  E ‑E(k)+iO 

211 

ここで、(1734)式 の 中 括 弧 の 部 分 を 改 め て M

仇 E )

と置こう。

M

恥

E)=

J 

^dk' 

J 

^dE'J内

J d

^ωl

};'<k_F 田 ー 咽

( 2 f y   fv‑d(q)J‑E‑M‑4‑q)+iδ 

‑ E ' ‑ h ω

_{‑E(k'‑q)ーが}^eE' ‑E(k')+i

δ 

⁽¹⁷³⁵⁾ 

X1 

k， E  x 

₂ 

k‑q 

、~~の 、子、、

X3

k '   r ^¥k'‑q 

E'¥  T  ^E'‑hω 

ー . "

  . ， : : "  

X 4  Xs 

， ‑ ‑ ^{( ¥ ， 1 i O : >}  

E‑h ω 

k， E  x 

₆ 

図11

我々は(1715)式の修正伝播関数G~(ろ^-X1^{) を計算して}

いたのであった。結局(1734)式[(1715)式]は次のよう になる。

帆 イ J = 訪 ylaEA)dM(MKE お

ike(r_l ‑r₅ }‑i互(/_1‑16) 

・

e'""~'"'  ".，  ‑ " 且 ( 1736) 次に、 (1715)式の修正伝播関数G~(X6 -~)の運動

量・エネルギー表示。仇

E )

の定義式を書こう。

α

(X6 ‑X1) = ₁，.. 

1 

¥4 

  r r

^dkdEG'

^恥

^E

^{} 2 1 k}

^{・(ャ山*"(/1‑16)}

( 2

i'r

) 4  

^JJ 

(1737)  (1736)式と(1737)式を比較する。次の結果を得る。

G ' K E ) ‑ l M

^‑

恥 ^{E ) 1}

E‑E(k)+iδ E‑E(k)+iO  (1738) 

212  近畿大学工学部研究報告 No38 

G~(X6 ‑XJとG'仇

E )

は 1対1の対応にある。(図9参 照)

次の副ダイヤグラムを考察する。(図 12，図 5(c)， 図6(C))

X1 

x 

_l 

、

X5

G~仏 -

^X1) 

x 

₄ 

、 . . . . .  

i  X 6 6 ; る

^X8

雲

ノ 司F

X7 

G ' 仇 E )

図12

x 

₄ 

図 12を眺めながら修正伝播関数G;仇 ‑xJの式を 構成すると次のようになる。

句仇

‑xJ=Jd乍

' 2 J

^d4x3Jd匂

5 J

^d4x6J d4 x7 

J 

^d4有

G~(X2 ‑X₁

同

^(x3‑x2

) D

:O(X3 -X2 )G~(X4 ‑X3) 

・G~(X6 -xぷJ(X7-xぷ;払 -X7)G~(XS ーら)

eD:_O(X7 ‑ Xs

減。仇ーら)

⁽¹⁷³⁹⁾ 

(1739)式の積分を、図 12のファインマン・ダイヤグラ ムにおいて、外線を持つ部分と外線を持たない真空部 分とに明瞭に分けた形で記述し直すと次のようになる。

= Jd刈d4X3G~(X2 一円減(X

3

^‑XJ

巧 。

(X3-X2P~(X4 -~)

x Jd4xSJd

刈

^d4X7

J  d

⁴

ゐ ^G~

^(X6 ‑

^XS)G~

^(X7 ‑XJ 

・ 仁 志

(X8

-X7P~仏ーら)Dfo(x 7

^‑xs)

. o :

^o(ゐ‑X6) (1740)  ここで、(1740)式中の外線を持たない真空部分、即ち 真 空 の 揺 ら ぎ の 部 分 の 式 を 九 と 置 く 。 文 字

V

は vacuumを表わし、下付き添字の4はその部分が4次 のSマトリックス(結節点(パーテックス)が4個)に

相当するからである。には次のようである。

κ =   J 

^d4xSJ d4

x6

f 

^d4X7 

f 

d⁴

ら

^G~(X6‑XS

同

^(X7

ーら)

・ ^{G~(ろ -X 7} 同(xs 一為)Dfo

^(X7 ‑Xs 

) . 0 :

^0 (

ゐーら)

(1741)  (1741)式の汽を用いると(1739)式[(1740)式]は次の ように書ける。

匂

(X4‑X1) = 

f 

^d4xz

f  d4X3G~ (X 2 ^{一高知 ~(X3}

^‑X2) 

e

n :

^o(X3 -XZ )G~(X4 ‑X3)X九 ( 1742) (1742)式中の汽を除いた部分は図 12のファインマ ン・ダイヤグラム中の外線を持つ部分を表わしている。

そしてそれは図2(b)[図3]の副ダイヤグラムと本質的 に全く同じである。ゆえに、そのときの結果である (1686)式及び(1699)式乃至(1701)式を利用して計算を 進めると、(1742)式中の九を除く部分の計算は次のよ

うになる。(図 13参照)

k‑q 

E‑ 1 i ω 

X₁ 

x 

₄ 

図13

x 

₂ 

X₃ 

q  h ω  

J 

^d4x2J 

d4X3G~(X2 -Xl)G~仇 -x 2 ^)Dfo(x 3 ^-X2)G~(X4

^‑X3) 

= 訪 ylaML)+i s o { がゆ

i1i 

E ‑1ico

一時一 q ) + i 5 . 7 Z . ω 2

^{‑ O2(q)+i8} 

J