Expanding Polyhedral Universe in Regge Calculus

24 June 2017

Expanding Polyhedral Universe in Regge Calculus

津田 廉

茨城大学 素粒子論研究室

共同研究者：藤原高徳（茨城大学）

核物理

×

@

Contents

1. ^単体分割

2. Regge Calculus ^における Hilbert ^作用

3. Regge Calculus ^における Einstein ^方程式 4. Expanding Polyhedral Universe

5. Summary

2

1. ^単体分割

3

2 ^{次元曲面の三角分割}

滑らかな曲面

4

2 ^{次元曲面の三角分割}

三角形で近似

5

曲率 · · · ^{三角形の頂点に定義}

平面（曲率ゼロ） 球面（正曲率） 鞍状面（負曲率）

6

曲率 · · · ^{三角形の頂点に定義}

平面（曲率ゼロ） 球面（正曲率） 鞍状面（負曲率）

6

曲率 · · · ^{三角形の頂点に定義}

過不足なし

平面（曲率ゼロ） 球面（正曲率） 鞍状面（負曲率）

不足 過剰

6

n- ^単体 · · · n + 1 ^{個の頂点を持つ} n ^{次元凸面体}

0- ^単体

1- ^単体

2- ^単体

3- ^単体

  .. .

 点

.. .

線分 三角形 四面体

  .. .

7

単体の構造

=

2- ^単体

× 3 × 3

=

3- ^単体

× 4 × 6 × 4

 

 

 



 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 



 

 

 

8

単体の構造

∋

2- ^単体 1- ^単体

× 3 0- ^単体

× 3

=

,

3- ^単体

× 4 × 6 × 4

 

 

 



 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 



 

 

 

8

単体の構造

∋

2- ^単体 1- ^単体

× 3 0- ^単体

× 3

∋

, ,

,

3- ^単体 2- ^単体

× 4 1- ^単体

× 6 0- ^単体

× 4

 

 

 



 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 



 

 

 

8

単体の構造

Volume : A

A

名称 : Boundary Hinge: h

n- ^単体 ∋ { (n − 1) - ^単体 , (n − 2) - ^単体 , · · · , 0- ^単体 }

×

C

×

C

×

C

9

Delaunay ^格子と Voronoi ^ポリゴン

単体分割によって作られた格子 · · · Delaunay ^格子

1. ^{各単体の外心を求める}

2. ^{隣り合う外心を結ぶ} · · · Voronoi ^ポリゴン

10

Delaunay ^格子と Voronoi ^ポリゴン

単体分割によって作られた格子 · · · Delaunay ^格子

1. ^{各単体の外心を求める}

2. ^{隣り合う外心を結ぶ} · · · Voronoi ^ポリゴン

10

Delaunay ^格子と Voronoi ^ポリゴン

単体分割によって作られた格子 · · · Delaunay ^格子

1. ^{各単体の外心を求める}

2. ^{隣り合う外心を結ぶ} · · · Voronoi ^ポリゴン

10

Hinge ^と Voronoi ^{ポリゴンと} Deficit Angle

上から見た図 開いた図 Hinge: h

Voronoi Polygon: h

Area: A

Deficit Angle: ε

11

Hinge ^と Voronoi ^{ポリゴンと} Deficit Angle

上から見た図 開いた図 Hinge: h

Voronoi Polygon: h

Area: A

Deficit Angle: ε

11

Hinge ^と Voronoi ^{ポリゴンと} Deficit Angle

上から見た図 開いた図 Hinge: h

Voronoi Polygon: h

Area: A

Deficit Angle: ε

11

Hinge ^と Voronoi ^{ポリゴンと} Deficit Angle

上から見た図 開いた図 Hinge: h

Voronoi Polygon: h

Area: A

Deficit Angle: ε

11

Hinge ^と Voronoi ^{ポリゴンと} Deficit Angle

上から見た図 開いた図 Hinge: h

Voronoi Polygon: h

Area: A

Deficit Angle: ε

11

Hinge ^と Voronoi ^{ポリゴンと} Deficit Angle

上から見た図 開いた図 Hinge: h

Voronoi Polygon: h

Area: A

Deficit Angle: ε

h ^と h ^{∗ と} ε _h : 1 ^対 1 ^対 1 ^対応

11

Regge Calculus ^とは

多様体の Dynamics を単体分割で表現するには

1. 各単体の形状を変化させる

2. 単体の配置を変化させる

12

Regge Calculus ^とは

多様体の Dynamics を単体分割で表現するには

1. 各単体の形状を変化させる

−→ Regge Calculus 2. 単体の配置を変化させる

12

Regge Calculus ^とは

多様体の Dynamics を単体分割で表現するには

1. 各単体の形状を変化させる

−→ Regge Calculus 2. 単体の配置を変化させる

−→ Dynamical Triangulation

12

Regge Calculus ^とは

多様体の Dynamics を単体分割で表現するには

1. 各単体の形状を変化させる

−→ Regge Calculus 2. 単体の配置を変化させる

−→ Dynamical Triangulation

12

2. Regge Calculus ^における Hilbert ^作用

(W. A. Miller, Class. Quantum Crav. 14, 199 (1997))

• Ricci Scalar Curvature

• Proper Volume Element

• Hilbert Action

13

Ricci Scalar Curvature ^の変形

Dimension

R = g ^µρ g ^νσ R _µνρσ

Gaussian Curvature

14

Ricci Scalar Curvature ^の変形

R = D (D − 1) K

Dimension

R = g ^µρ g ^νσ R _µνρσ

Gaussian Curvature

14

Ricci Scalar Curvature ^の変形

R = D (D − 1) K

Dimension

R = g ^µρ g ^νσ R _µνρσ

Gaussian Curvature

14

Ricci Scalar Curvature ^の変形

R = D (D − 1) K

Dimension

R = g ^µρ g ^νσ R _µνρσ

Gaussian Curvature

14

Gaussian Curvature

K = lim

Area → 0

Angle that Vector is Rotated

Area Circumnavigated = 1 r ²

r

15

Gaussian Curvature

K = lim

Area → 0

Angle that Vector is Rotated

Area Circumnavigated = 1 r ²

Vi

15

Gaussian Curvature

K = lim

Area → 0

Angle that Vector is Rotated

Area Circumnavigated = 1 r ²

V_f

Vi

15

Gaussian Curvature

K = lim

Area → 0

Angle that Vector is Rotated

Area Circumnavigated = 1 r ²

V_f

Vi

15

Gaussian Curvature

K = lim

Area → 0

Angle that Vector is Rotated

Area Circumnavigated = 1 r ²

r

V_f

Vi

15

Gaussian Curvature

K = lim

Area → 0

Angle that Vector is Rotated

Area Circumnavigated = 1 r ²

r

V_f

Vi

15

Gaussian Curvature

V_i V_f

Area Circumnavigated

= A ^∗ _h

16

Gaussian Curvature

Vi V_f

Area Circumnavigated

= A ^∗ _h

V

16

Gaussian Curvature

Vi V_f

Area Circumnavigated

= A ^∗ _h

V

16

Gaussian Curvature

Vi V_f

Area Circumnavigated

= A ^∗ _h

V

16

Gaussian Curvature

Vi V_f

Area Circumnavigated

= A ^∗ _h

V

V

16

Gaussian Curvature

Vi V_f

Area Circumnavigated

= A ^∗ _h

V

V

ε

16

Gaussian Curvature

Vi V_f

Area Circumnavigated

= A ^∗ _h

V

V

ε

Angle that Vector

is Rotated

= ε _h

16

Ricci Scalar Curvature in Regge Calculus

K _Regge = ε _h A ^∗ _h

(

−→ 1 r ²

)

R _Regge = D (D − 1) ε _h A ^∗ _h

17

2. Regge Calculus ^における Hilbert ^作用

(W. A. Miller, Class. Quantum Crav. 14, 199 (1997))

• Ricci Scalar Curvature

• Proper Volume Element

• Hilbert Action

18

複体 · · · 有限個の単体からなる立体

= + + · · · +

19

複体の構造

N

^個の単体 {S

, S

, · · · , S

} ^から成る D ^次元複体

S

S

S

S

20

複体の構造

N

^個の単体 {S

, S

, · · · , S

} ^から成る D ^次元複体

S

S

S

h = { H

, H

, · · · , H

}

S

20

複体の構造

N

^個の単体 {S

, S

, · · · , S

} ^から成る D ^次元複体

S

S

S

h = { H

, H

, · · · , H

}

S

S

20

複体の構造

N

^個の単体 {S

, S

, · · · , S

} ^から成る D ^次元複体

S

S

S

h = { H

, H

, · · · , H

}

S

S

S

S

20

複体の構造

N

^個の単体 {S

, S

, · · · , S

} ^から成る D ^次元複体

S

S

S

h = { H

, H

, · · · , H

}

S

S

S

S

{ H

, H

, · · · , H

, S

, S

}

20

複体の構造

N

^個の単体 {S

, S

, · · · , S

} ^から成る D ^次元複体

S

S

S

h = { H

, H

, · · · , H

}

S

S

S

S

{ H

, H

, · · · , H

, S

, S

}

S ⁱ = { H ₀ , H ₁ , · · · , H _{D − 2} , S _i , S _{i+1 mod N}

}

20

Voronoi ^{ポリゴンの分解}

C

C

C

: Circumcenter of S

C

S

S

S

h

= { C

, C

, · · · , C

}

21

Voronoi ^{ポリゴンの分解}

O

C

C

C

: Circumcenter of S

: Circumcenter of Hinge C

O

S

S

S

h

h

= { C

, C

, · · · , C

}

21

Voronoi ^{ポリゴンの分解}

O

C

C

C

h

21

Voronoi ^{ポリゴンの分解}

O

C

C

C

h

21

Voronoi ^{ポリゴンの分解}

O

C

C

C

= O

C

C

+

+ +

+ · · · + h

21

Voronoi ^{ポリゴンの分解}

O

C

C

C

= O

C

C

+

+ +

+ · · · + h

h

21

Voronoi ^{ポリゴンの分解}

O

C

C

C

= O

C

C

+

+ +

+ · · · + h

h

h

= { O

, C

, C

}

A

i

: Area of h

A

=

N

∑

A

i

21

Hinge ^の分解

Oh

H0

H2

H1

h

h

H3

22

Hinge ^の分解

Oh

H0

H2

H1

H3

h

h

22

Hinge ^の分解

=

Oh Oh

H0

H2

H1

H3

H1

H2

H3

Oh

H0

H2

Oh

H₀

H1

Oh

H0

H2

H1

H3

H₃

h

h

22

Hinge ^の分解

=

Oh Oh

H0

H2

H1

H3

H1

H2

H3

Oh

H0

H2

Oh

H₀

H1

Oh

H0

H2

H1

H3

H₃

h h

h

22

Hinge ^の分解

=

Oh Oh

H0

H2

H1

H3

H1

H2

H3

Oh

H0

H2

Oh

H₀

H1

Oh

H0

H2

H1

H3

H₃

h h

h

h

h

22

Hinge ^の分解

=

Oh Oh

H0

H2

H1

H3

H1

H2

H3

Oh

H0

H2

Oh

H₀

H1

Oh

H0

H2

H1

H3

H₃

h h

h

h

h

h

= { O

, H

, · · · , H

,

, H

, · · · , H

}

A

: Volume of h

A

=

D

∑

A

22

Proper Volume Element ^の定義

C₁

C₂ C₀

23

Proper Volume Element ^の定義

C₁

C₂ C₀

h

23

Proper Volume Element ^の定義

C₁

C₂ C₀

h

23

Proper Volume Element ^の定義

C₁

C₂ C₀

23

Proper Volume Element ^の定義

C₁

C₂ C₀

V

Volume: ∆V

23

Proper Volume Element ^の定義

C₁

C₂ C₀

V

Volume: ∆V

23

Proper Volume Element ^の定義

C₁

C₂ C₀

=

C₁ C₀

C₁

C₂

+ +

C₂ C₃

V

Volume: ∆V

+ · · ·

23

Proper Volume Element ^の定義

C₁

C₂ C₀

=

C₁ C₀

C₁

C₂

+ +

C₂ C₃

V

Volume: ∆V

+ · · ·

V

V

V

V

V

V

23

Proper Volume Element ^の定義

C₁

C₂ C₀

=

C₁ C₀

C₁

C₂

+ +

C₂ C₃

V

Volume: ∆V

+ · · ·

V

V

V

V

V

V

V

= { H

, H

, · · · , H

, C

, C

}

∆V

=

N

∑

V

23

V ^{i の分解}

V

= { H

, H

, · · · , H

, C

, C

}

= h

j=0

h

24

V ^{i の分解}

V

= { H

, H

, · · · , H

, C

, C

}

= h

j=0

h

24

V ^{i の分解}

V

= { H

, H

, · · · , H

, C

, C

}

= h

j=0

h

24

V ^{i の分解}

V

= { H

, H

, · · · , H

, C

, C

}

= h

j=0

h

V

≡ { O

, H

, · · · , H

,

, H

, · · · , H

, C

, C

} Vol. (

V

) = V

V

=

D

∑

V

24

V ⁱ _j ^の構造

V

≡ { O

, H

, · · · , H

,

, H

, · · · , H

, C

, C

} 頂点 D + 1 ^個 · · · V

は D- ^単体

Σ

H1

H0 Oh

H2

C

C

Hj+1

Hj−1

h

−−−→ O

C

⊥ −−−→ O

H

25

V _{i j} ^の値

V

= 1 D!

( −−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−→ O

H

∧ −−−−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−−→ O

H

∧−−−→ O

C

∧ −−−−−−−−−−→ O

C

)

= 1 D!

( −−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−→ O

H

∧ −−−−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−−→ O

H

)

= (D − 2)!A

× ( −−−→ O

C

∧ −−−−−−−−−−→ O

C

)

= 2A

26

V _{i j} ^の値

V

= 1 D!

( −−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−→ O

H

∧ −−−−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−−→ O

H

∧−−−→ O

C

∧ −−−−−−−−−−→ O

C

)

= 1 D!

( −−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−→ O

H

∧ −−−−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−−→ O

H

)

= (D − 2)!A

× ( −−−→ O

C

∧ −−−−−−−−−−→ O

C

)

= 2A

26

V _{i j} ^の値

V

= 1 D!

( −−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−→ O

H

∧ −−−−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−−→ O

H

∧−−−→ O

C

∧ −−−−−−−−−−→ O

C

)

= 1 D!

( −−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−→ O

H

∧ −−−−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−−→ O

H

)

= (D − 2)!A

× ( −−−→ O

C

∧ −−−−−−−−−−→ O

C

)

= 2A

26

V _{i j} ^の値

V

= 1 D!

( −−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−→ O

H

∧ −−−−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−−→ O

H

∧−−−→ O

C

∧ −−−−−−−−−−→ O

C

)

= 1 D!

( −−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−→ O

H

∧ −−−−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−−→ O

H

)

= (D − 2)!A

× ( −−−→ O

C

∧ −−−−−−−−−−→ O

C

)

= 2A

26

V _{i j} ^の値

V

= 1 D!

( −−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−→ O

H

∧ −−−−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−−→ O

H

∧−−−→ O

C

∧ −−−−−−−−−−→ O

C

)

= 1 D!

( −−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−→ O

H

∧ −−−−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−−→ O

H

)

= (D − 2)!A

× ( −−−→ O

C

∧ −−−−−−−−−−→ O

C

)

= 2A

26

V _{i j} ^の値

V

= 1 D!

( −−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−→ O

H

∧ −−−−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−−→ O

H

∧−−−→ O

C

∧ −−−−−−−−−−→ O

C

)

= 1 D!

( −−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−→ O

H

∧ −−−−−→ O

H

∧ · · · ∧ −−−−−−→ O

H

)

= (D − 2)!A

× ( −−−→ O

C

∧ −−−−−−−−−−→ O

C

)

= 2A

= 2

D (D − 1) A

A

26

Proper Volume Element in Regge Calculus

∆V

=

N ∑

− 1 i=0

D − 2

∑

j =0

V _i

=

N ∑

− 1 i=0

D − 2

∑

j =0

2

D (D − 1) A _h

A ^∗ _h

i

= 2

D (D − 1) A _h A ^∗ _h

27

2. Regge Calculus ^における Hilbert ^作用

(W. A. Miller, Class. Quantum Crav. 14, 199 (1997))

• Ricci Scalar Curvature

• Proper Volume Element

• Hilbert Action

28

Hilbert Action in Regge Calculus

S _Regge = 1 16π

∑

hinges

∆V _proper R _Regge

= 1 16π

∑

hinges

( 2

D (D − 1) A

A

) (

D (D − 1) ε

A

)

= 1 8π

∑

hinges

A

ε

29

3. Regge Calculus ^における Einstein ^方程式

30

Regge Analogue of Metric

計量テンソル · · · （大雑把に言うと）時空の形を決めるもの

n- ^単体 · · ·

本の辺の長さ全てを指定すると，形が一意的に決定する．

※一般の立体ではこうはいかない

2 ^{次元の例：三角形} · · · 辺の長さを決めると形が決まる．

：四角形 · · · 辺の長さが等しい菱形が存在する．

基本変数 : g

−→ l

: Delaunay 格子に含まれる辺のうちの p ^{番目のものの} 長さ

31

Hilbert Action ^の変分

∂S

∂l

= 1 8π

∑

hinges

∂

∂l

(A

ε

) = 1 8π



 ∑

hinges

∂A

∂l

ε

+ ∑

hinges

A

∂ε

∂l





= 0 ( Schl¨ afli Identity)

真空の Einstein ^方程式

0 = 1 8π

∑

hinges

∂A

∂l

ε

※ Schl¨ afli Identity ^{は 表面項が} Gauss の定理によって落とされるのに似てい る．しかし両者の関係はあまり分かっていない．

32