数列の極限

数列の収束・ ε − N ^論法 ( ^略解 )

作成日: May 10, 2020 Updated : May 18, 2020

問題

1. (

数列の極限

)

(1) 0 (

対数をとる

) (2) 4 (3) 3 (

対数をとる

) (4) log 5 (

ある微分係数の値となる

)

問題

2. (

数列の収束と極限

)

[

コメント

]

以下で

,

「有界な単調数列は収束する」を用いた解法と

,

漸化式で与えられる 数列の場合の別解を紹介しますが, いずれの場合も, 極限値が何になるのかを予想してお くのが重要です

.

それにはグラフによる直感的理解による方法

(

図

1

参照

)

と漸化式の両 辺の極限をとる方法

(

別解参照

)

があります

.

O a₁ a₂ a₃2(= α) a₂

a₃

x

y y=x

y=√ x+ 2

図

1:

漸化式で与えられた数列の極限 漸化式より

,

すべての自然数

n

について

an>0

が成り立つ

.

まず, (数列

{a_n}

が上に有界であることを示すため) すべての

n ∈ N

について「a

_n <

2· · ·(∗)

」であることを帰納法で示す

.

• n= 1

のとき

a1 = 1<2

より

(∗)

は成り立つ

.

• n = k

のとき

(∗)

が成り立つと仮定すると

, a_k+1 = √

a_k+ 2 < √

2 + 2 = 2

より

, n=k+ 1

のときも

(∗)

は成り立つ

.

次に, 数列

{a_n}

が単調増加数列であることを示す. 0

< a_n <2

より

a_n+1−a_n =√

a_n+ 2−a_n = (a_n+ 1)(2−a_n)

√a_n+ 2 +a_n >0.

よって数列

{a_n}

は単調増加数列である

.

以上により

,

すべての

n∈ N

について

(∗)

が成り立ち

,

数列

{an}

は上に有界であるこ とが示された.

したがって数列

{a_n}

は収束する

.

その極限を

α:= lim

n→∞a_n

とおくと

,

与えられた漸化 式の両辺の

n → ∞

極限を取ることで

α

の満たす式が得られる

: α =√

α+ 2.

a_n >0

より

, α= 2 · · · (

答

).

解答 名古屋大学・理学部

: : A 327 E-mail:[email protected] [

別解

]

数列

{a_n}

の極限値が存在すると仮定してそれを

α

とすると

,

与えられた漸化式の 両辺の

n → ∞

極限を取ることで

α

の満たす式が得られる

: α = √

α+ 2. a_n >0

より

, α= 2

となる

.

このとき

,

|a_n+1−α|=|√

a_n+ 2−√

α+ 2|= |(a_n+ 2)−(α+ 2)|

√a_n+ 2 +√ α+ 2

≤ 1

√α+ 2|a_n−α|= 1

2|a_n−α| (√

a_n+ 2 ≥0

より

)

≤(1 2

)2

|a_n−1−α| ≤ · · · ≤(1 2

)n

|a₁−α|^n→∞→ 0,

すなわち

lim

n→∞|a_n−α|= 0.

よって数列

{a_n}

の極限値は存在し

, lim

n→∞a_n=α= 2· · · (

答

).

問題

3. (ε−N

論法

1) n

n²+ 1 < n n² = 1

n

のように自明な不等式を用いて変形しておくと よい.

(1)

たとえば

N = 100

とすればよい. 実際このとき，

n≥N ⇒ n

n²+ 1 < n n² = 1

n ≤ 1 N = 1

100 = 0.01.

(2)

たとえば

N = 10000

とすればよい

.

実際このとき，

n≥N ⇒ n

n²+ 1 < 1 n ≤ 1

N = 1

10000 = 0.0001.

(3)

たとえば

N = [1/ε] + 1

とすればよい. (ただし, [x] はガウス記号) 実際このとき，

n ≥N ⇒ n

n²+ 1 < 1 n ≤ 1

N = 1

[1/ε] + 1 < 1 1/ε =ε.

[

別解

]

アルキメデスの原理より

, 2

つの正の数

1, ε

に対して

, N ε > 1

を満たす自然 数

N

が存在する. この

N

を求める答えとしてもよい. 実際このとき，

n ≥N ⇒ n

n²+ 1 < 1 n ≤ 1

N < ε.

(4)

前問

(3)

より明らか

.

(5)

正の数

ε

が任意に与えられたとする

.

このとき

,N = [1/ε] + 1

として自然数

N

を定 めると,

n ≥N ⇒ |a_n−0|= n

n²+ 1 < 1 n ≤ 1

N = 1

[1/ε] + 1 < 1 1/ε =ε.

したがって, lim

n→∞a_n = 0

が示された.

[

別解

]

正の数

ε

が任意に与えられたとする

.

このとき

,

アルキメデスの原理より

, 2

つの正の数

1, ε

に対して,

N ε >1

を満たす自然数

N

が存在する. このとき，

n ≥N ⇒ |a_n−0|= n

n²+ 1 < 1 n ≤ 1

N < ε.

したがって

, lim

n→∞a_n = 0

が示された

.

解答 名古屋大学・理学部

問題

4.(ε−N

論法

2) √

n(√

n+ 1−√ n)− 1

2 =

√

√ n

n+ 1 +√ n − 1

2

= |√ n−√

n+ 1| 2(√

n+ 1 +√ n) = 1

2

√1 + (1/n)−1

√1 + (1/n) + 1 < 1 2

√1 + (1/n)−1

1 =1

2 (√

1 + 1 n −1

)

<1· (√

1 + 1 n −1

)

<

( 1 + 1

n )1

− 1 = 1

n

に注意

.

(1)

たとえば

N = 100

とすればよい

.

実際このとき，上記の不等式より題意は成り立つ

.

(2)

たとえば

N = 10000

とすればよい

.

実際このとき，上記の不等式より題意は成り

立つ.

(3)

たとえば

N = [1/ε] + 1

とすればよい

. (

ただし

, [x]

はガウス記号

)

実際このとき，上 記の不等式より題意は成り立つ

.

[

別解

]

アルキメデスの原理より

, 2

つの正の数

1, ε

に対して

, N ε > 1

を満たす自然 数

N

が存在する. この

N

を求める答えとしてもよい. 実際このとき，上記の不等式 より題意は成り立つ

.

(4)

前問

(3)

より明らか

.

(5)

正の数

ε

が任意に与えられたとする. このとき,

N = [1/ε] + 1

として自然数

N

を定 めると

,

n≥N ⇒

an−1 2

= √

n(√

n+ 1−√ n)− 1

2 =

√

√ n

n+ 1 +√ n − 1

2

= |√ n−√

n+ 1| 2(√

n+ 1 +√

n) = 1 2

√1 + (1/n)−1

√1 + (1/n) + 1 < 1 2

√1 + (1/n)−1 1

< 1 2

(√

1 + 1 n −1

)

<1· (√

1 + 1 n −1

)

<

( 1 + 1

n )1

−1 = 1 n ≤ 1

N = 1

[1/ε] + 1 < 1 1/ε =ε.

したがって

, lim

n→∞an = 1/2

が示された

.

[

別解

]

正の数

ε

が任意に与えられたとする

.

このとき

,

アルキメデスの原理より

, 2

つの正の数

1, ε

に対して

,N ε >1

を満たす自然数

N

が存在する

.

このとき，

n≥N ⇒ a_n−1

2 =

√ n(√

n+ 1−√ n)− 1

2

<· · ·< 1 n ≤ 1

N < ε.

したがって

, lim

n→∞a_n = 0

が示された

.

問題

5. (ε−N

論法

3) 0< x≤1

において

, log(1 +x)< x

より

, log (

1 + 1 n

)

< 1 n

とな ることに注意

.

(1)

たとえば

N = 100

とすればよい.

(2)

たとえば

N = 10000

とすればよい.

(3)

たとえば

N = [1/ε] + 1

とすればよい. (ただし, [x] はガウス記号)

[

別解

]

アルキメデスの原理より

, 2

つの正の数

1, ε

に対して

, N ε > 1

を満たす自然 数

N

が存在する

.

この

N

を求める答えとすればよい

.

解答 名古屋大学・理学部

: : A 327 E-mail:[email protected] (4)

前問

(3)

より明らか

.

(5)

正の数

ε

が任意に与えられたとする

.

このとき

,N = [1/ε] + 1

として自然数

N

を定 めると

,

n≥N ⇒ |a_n−0|= log (

1 + 1 n

)

< 1 n ≤ 1

N = 1

[1/ε] + 1 < 1 1/ε =ε.

したがって

, lim

n→∞a_n = 0

が示された

.

[

別解

]

正の数

ε

が任意に与えられたとする

.

このとき

,

アルキメデスの原理より

, 2

つの正の数

1, ε

に対して

,N ε >1

を満たす自然数

N

が存在する

.

このとき，

n≥N ⇒ |a_n−0|= log (

1 + 1 n

)

< 1 n ≤ 1

N < ε.

問題

6. (ε−N

論法

4) (1) bn :=an−α

より

, lim

n→∞an =α ⇔ lim

n→∞(an−α) = 0 ⇔ lim

n→∞bn = 0.

また, lim

n→∞

a₁+a₂+· · ·+a_n

n =α⇔ lim

n→∞

(a₁+a₂+· · ·+a_n

n −α

)

= 0

⇔ lim

n→∞

(a₁−α) + (a₂−α) +· · ·+ (a_n−α)

n = 0 ⇔ lim

n→∞

b₁+b₂+· · ·+b_n

n = 0.

(2) |c_n|= |b1+b2+· · ·+bN^′ +bN^′+1+· · ·+bn| n

≤ |b₁+b₂+· · ·+b_N′−1|

n + |b_N′|+|b_N′+1|+· · ·+|b_n|

n (

三角不等式より

)

< |b₁+b₂+· · ·+b_N′−1|

n +ε^′ +ε^′ +· · ·+ε^′

n (

前提条件

(∗)

より

)

= |b₁+b₂+· · ·+b_N′−1|

| {zn } (i)

+

(n−N^′+ 1 n

) ε^′

| {z } (ii)

.

(3)

アルキメデスの原理より

,

与えられた

2

つの正の数

|b₁+· · ·+b_N′−1|

と

ε^′

に対して

M^′·ε^′ >|b1+· · ·+bN^′−1|

をみたす自然数

M^′

が存在する

.

このとき

n ≥M^′ ⇒ |b₁+b₂+· · ·+b_N′−1|

n ≤ |b₁+b₂+· · ·+b_N′−1| M^′ < ε^′ (4)

宿題で作成してください

(5) lim

n→∞d_n = β (d_n > 0)

より

, lim

n→∞logd_n = logβ.

ゆえに

, lim

n→∞log √ⁿ

d₁d₂· · ·d_n =

nlim→∞

1

n(logd₁+ logd₂+· · ·+ logd_n) = logβ

よって

lim_n→∞ √ⁿ

d₁d₂· · ·d_n=β.

(6)

前問

(5)

で

d_n :=e_n/e_n−1

とすればよい

.

このとき

lim

n→∞d_n = lim

n→∞

e_n

e_n−1 = β

ならば

nlim→∞

√n

d₁d₂· · ·d_n = lim

n→∞

n

√e₁ e₀

e₂

e₁ · · ·e_n−1 e_n−2

e_n

e_n−1 = lim

n→∞

n

√e_n

e₀ = lim

n→∞

√n

e_n 1 =β.

参考書

田島一郎「イプシロン

-

デルタ」

(

共立出版

)

解答 名古屋大学・理学部

問題

7. (

宿題：

10

点

)

(1) (5

点) 数列

{b_n}

の極限値が存在するとしてそれを

β

とすると,

β

は,

β= 1 + 1 β

を満 たす

. b_n≥1

より

, β= 1 +√

5

2 .

このとき

,

|b_n+1−β| = (

1 + 1 bn

)

− (

1 + 1 β

)= |b_n−β| bnβ ≤ 1

β|b_n−β| (∵b_n≥1)

≤ (1

β )2

|b_n−1−β| ≤ · · · ≤ (1

β )n

|b₁ −β|.

0<1

β<1

より

lim

n→∞|b_n−β|= 0.

よって数列

{b_n}

の極限値は存在し

lim

n→∞b_n= 1 +√ 5 2 .

[

コメント

]

•

収束先は

2

つのグラフ

y =x

と

y= 1 + 1

x

の交点からも予想できる

.

•

単調性と有界性から収束性を示し, 極限値を求めることもできるが, その場合 は

n

の偶奇で場合分けが必要となる

. (

以下略解を示す

.)

c_m :=b_2m, d_m :=b_2m−1, m ∈N

とおいて, 数列

{c_m}

が上に有界

(c_m <2)

かつ 単調増加

,

数列

{d_m}

が下に有界

(1 ≤ d_m)

かつ単調減少

,

であることが示され る

.

このとき

2

つの数列

{c_m}

と数列

{d_m}

の極限は存在し

,

それぞれ

γ

と

δ

と 表すことにすると, 与えられた漸化式の

m → ∞

極限をとることで, 次式が得 られる：

γ = 1 +1

δ, δ = 1 +1

γ.

よって求める極限は

,γ =δ= 1 +√ 5

2 (= β).

•

漸化式を直接解くこともできる

.

(2) (5

点

)

与えられた漸化式の両辺を

an+1 (> 0)

で割ると

, a_n+2

a_n+1 = 1 + a_n

a_n+1, a1 = a₂ = 1,

すなわち

, b_n+1 = 1 + 1

b_n, b₁ = 1,

となり

,

前問

(1)

に帰着する

.

ゆえに

ϕ= lim

n→∞b_n =β= 1 +√ 5 2 .

[コメント]

高校の知識

(3

項間漸化式の解法) で一般項を求めることもできる.

フィボナッチ数列は単純な細胞分裂のモデルからも導かれることが知られており

,

自然界 のいたるところに現れる

. (

最近では、映画「ダ・ヴィンチ・コード」にも登場し

,

話題と なった

. )

黄金比と「美意識」との関係についてもこれまで多くの研究がなされており

,

大変興味深い

.

参考文献を一冊だけ挙げておく

.

• Mario Livio

著, 斉藤隆央訳「黄金比はすべてを美しくするか?」(早川書房, 2005 年).

授業サポートページにも一つリンクがある： 「黄金比のいろいろ」

https://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/museum/golden/page62_0.html

問題

8. (宿題：20

点)

解答 名古屋大学・理学部

: : A 327 E-mail:[email protected] (1) (5

点

)

正の数

ε

が任意に与えられたとする

.

このとき

,

アルキメデスの原理より

, 2

つの正の数

18, ε

に対して

, N ε >18

を満たす自然数

N

が存在する

.

このとき，

n≥N ⇒ |a_n−0|= 18

5n+ 1 < 18 5n ≤ 18

n ≤ 18 N < ε.

したがって

, lim

n→∞a_n = 0

が示された

.

[

別解

]

正の数

ε

が任意に与えられたとする

.

このとき

,N = [18/ε] + 1

として自然数

N

を定めると,

n≥N ⇒ |a_n−0|= 18

5n+ 1 < 18 5n ≤ 18

n ≤ 18

N = 18

[18/ε] + 1 < 18 18/ε < ε.

したがって

, lim

n→∞an = 0

が示された

. (2) (5

点

)

正の数

ε

が任意に与えられたとする

.

数列

{a_n}

が, lim

n→∞a_n =α

を満たすという条件より, 正の数

ε/10

に対して, ある自然 数

N₁

が存在して, 以下が成り立つ.

n ≥N₁ ⇒ |a_n−α|< ε

10.· · ·(∗)

同様に数列

{b_n}

が

, lim

n→∞b_n =β

を満たすという条件より

,

正の数

ε/16

に対して

,

あ る自然数

N₂

が存在して

,

以下が成り立つ

.

n≥N₂ ⇒ |b_n−β|< ε

16.· · ·(∗∗)

このとき,

c_n := 5a_n+ 8b_n

とし, 自然数

N

を

N = max{N₁, N₂}

ととると,

n ≥N ⇒ |c_n−(5α+ 8β)|=|5(a_n−α) + 8(b_n−β)|

≤5|an−α|+ 8|bn−β| (

三角不等式より

)

<5· ε

10+ 8· ε

16 =ε ((∗),(∗∗)

より

)

以上により, lim

n→∞c_n= 5α+ 8β

が示された.

(3) (10

点)

[観察]c_n := b₁+b₂ +· · ·+b_n

n

とおく. まずは先週

H003

問題

6

の観察を振り 返ってみよう

.

問題

6

の

(2), (3)

では「任意の正の数

ε^′

に対して

,

ある自然数

N^′

が存 在して

, n≥N^′ ⇒ |b_n|< ε^′.

」

· · ·(∗)

という前提条件の下

c_n

の大きさを評価した：

|c_n| = |b1+b2+· · ·+bN^′ +bN^′+1+· · ·+bn| n

≤ |b1+b2+· · ·+bN^′−1|

n +|bN^′|+|bN^′+1|+· · ·+|bn|

n (

三角不等式より

)

< |b₁+b₂+· · ·+b_N′−1|

n +ε^′+ε^′+· · ·+ε^′

n (前提条件 (∗)

より)

= |b1+b2+· · ·+bN^′−1|

n +

(n−N^′+ 1 n

) ε^′.

ここでアルキメデスの原理より

,

与えられた

2

つの正の数

|b₁+· · ·+b_N′−1|

と

ε^′

に 対して

M^′ ·ε^′ > |b₁ +· · ·+b_N′−1|

をみたす自然数

M^′

が存在する

.

よって

N =

解答 名古屋大学・理学部

max{N^′, M^′}

ととると

,n ≥N

を満たすすべての自然数

n

に対して以下が成り立つ

.

|cn| ≤ |b₁+b₂+· · ·+b_N′−1|

M^′ +

(

1− N^′−1 n

)

ε^′ (n ≥N ≥M^′

より

)

< ε+ (

1− N^′−1 n

)

ε^′ (

アルキメデスの原理より

)

≤ ε^′+ε^′ = 2ε^′.· · ·(∗∗) (n ≥N ≥N^′

より

)

さて，ここで示したいことは「任意の正の数

ε

に対して, ある自然数

N

が存在して,

n≥N ⇒ |c_n|< ε.

」である

.

つまり，一番最初に正の数

ε

が任意に与えられたとし たときに，上記の観察を利用して，最後の不等式評価

(∗∗)

の最右辺の

2ε^′

がちょう どこの与えられた

ε

に一致するようにしたい．観察で用いた条件

(∗)

において正の 数

ε^′

は任意であったから

, (∗∗)

より

ε^′ =ε/2

のようにとればよいことが分かる

. (

前 提条件

(∗)

は任意の正の数

ε^′

に対して成り立つが

,

その

ε^′

として

(

一番最初に与えら れた

ε

から定まる) 具体的な正の数

ε/2

を採用し, 条件

(∗)

を適用したということ. ) 以上の観察を振りかえって解答をまとめてみる：

[解答]

まず正の数

ε

が任意に与えられたとする

. lim

n→∞bn = 0

であるから

,

「正の数

ε/2

に 対して

,

ある自然数

M1

が存在して

, n≥M1 ⇒ |bn|< ε/2.

」

· · ·(∗)^′

cn := b₁+b₂+· · ·+b_n

n

とおき

,

その大きさを評価しよう：

|c_n| = |b₁+b₂+· · ·+b_M1+b_M1+1+· · ·+b_n| n

≤ |b₁+b₂+· · ·+b_M1−1|

n +|b_M1|+|b_M1+1|+· · ·+|b_n|

n (

三角不等式より

)

< |b₁+b₂+· · ·+b_M1−1|

n +ε/2 +ε/2 +· · ·+ε/2

n ((∗)^′

より

)

= |b₁+b₂+· · ·+b_M1−1|

n +

(n−M₁+ 1 n

)ε 2.

ここでアルキメデスの原理より, 与えられた

2

つの正の数

|b₁+b₂ +· · ·+b_M1−1|

と

ε/2

に対して

, M₂·(ε/2) >|b₁+b₂+· · ·+b_M1−1|

をみたす自然数

M₂

が存在する

.

よって

,N = max{M1, M2}

ととると

, n≥N

を満たすすべての自然数

n

に対して

|c_n|< ε 2 +

(

1− M₁−1 n

)ε 2 ≤ ε

2 +ε 2 =ε

が成り立つ

.

以上により

,

任意に与えられた正の数

ε

に対して

,

ある自然数

N

が存在 して

, n ≥N

を満たすすべての自然数

n

に対して

|cn|< ε

が成り立つことが示され た

.

すなわち

, lim

n→∞

b₁+b₂+· · ·+b_n

n = 0

となることが示された

.

[

コメント

]

冒頭の

(∗)^′

においては

,

条件の定義を書いたのではなく条件を適用した のであって， 「任意の正の数

ε/2...

」と書かれていないことに注意

. (

この問題

8(

宿題

)

の

(2)

も同様.)

解答 名古屋大学・理学部