教 育 研 究 員 研 究 報 告 書 東 京 都 教 育 委 員 会

高等学校

平 成5年 度

教 育 研 究 員 研 究 報 告 書

東 京 都 教 育 委 員 会

平 成5年 度 教 育 研 究 員(数 学)名 簿

班 研 究 テ ー マ 学 校 名 ^{氏 名}

身近な事象についての確率 都立台 東 商業 高 等 学 校 逸 見 幸 弘

1

的 な解釈を通 して、数学的な 考え方を育てる指導

都 立 葛 西 南 高 等 学 校 都 立 篠 崎 高 等 学 校

山 下 康 弘 小 澤 彰 都 立 片 倉 高 等 学 校 中 問 均

動的な視点か ら直観力を高 都 立 井 草 高 等 学 校 佐 々 木 雅 人 め、論理的な力を養 う平面幾 都 立 北 高 等 学 校 荻 野 大 吾

II 何の指導一合同変換(回 転移 都 立 志 村 高 等 学 校 栗 原 卯 田 子

動)を 通 して 一 都 立 東 高 等 学 校 滝 沢 勝

都 立 小 平 西 高 等 学 校 ^{太 田 重 臣}

パ ソ コ ンを 活 用 した 関 数 の 都 立 練 馬 高 等 学 校 ^{上 内 進}

グ ラ フ の 指 導 一 パ ラ メ ー タ 変 都 立 田 柄 高 等 学 校 成 田 宏 明 皿

化 に よ る グ ラ フの 変 化 ・平 行 都立北豊島工業 高 等 学 校 鈴 木 公 平

移 動 一 都 立 拝 島 高 等 学 校 ^{中 村 和 喜}

担当 教育庁指導部高等学校教育指導課指導主事 吉 野 恒 夫

主 題 学 習 意 欲 を 高 め 、 数 学 を 活 用 す る 態 度 を 育 て る教 材 の 開 発 及 び 指 導 法 の 工 夫

目 次

1身 近 な 事 象 に つ い て の 確 率 的 な 解 釈 を通 して 、 数 学 的 な 考 え 方 を育 て る指 導

1344艮﹂ρ07

は じ め に 、2.

研 究 内 容 ・ 方 法

研 究 の ね ら い

イ ラ ス ト教 材 と 小 テ ス ト ノ」、テ ス トに 基 づ い た 授 業

研究の成果

ま と め と今 後 の 課 題

II動 的 な 視 点 か ら直 観 力 を 高 め 、論 理 的 な カ を養 う平 面 幾 何 の 指 導 一 合 同 変 換(回 転 移 動)を 通 して 一

1り04だひρ07

は じめ に 、 研 究 の 方 法

2.研 究 の ね ら い

事 前 ア ンケ ー ト調 査

授業実践

事 後 ア ンケ ー ト調 査 ま と め と今 後 の 課 題

皿 パ ソ コ ン を 活 用 した 関 数 の グ ラ フ の 指 導

一パ ラ メ ー タ変 化 に よ る グ ラ フ の 変 化 ・平 行 移 動 一

ーらδ45ρQ78

は じ め に 、2.

研 究 内 容 ・ 方 法

指導計画 学習指導案

研 究 の ね ら い

パ ソ コ ンを 活 用 した グ ラ フ の 授 業 に 関 す る ア ン ケ ー ト調 査 分析及び考察

ま と め

9白り乙り07Qり0ひ

10 11 12 19 16 17

18 19 19 20 22 23 23

1身 近 な 事 象 に つ い て の 確 率 的 な 解 釈 を 通 し て 、 数 学 的 な 考 え 方 を 育 て る 指 導

1.は じめ に

社 会 の 変 化 に伴 って 、 学 校 教 育 に お い て は 、 生 徒 一一一人 一人 の 興 味 ・関 心 を 生 か し、 個 性 に 応 じた 教 育 を 推 進 す る こ と が 強 く求 め られ て い る。 しか し なが ら、 教 科 学 習 、 と りわ け 数 学 の 学 習 に お い て は、 数 学 的 な考 え 方 や そ れ を 活 用 す る こ との よ さ に 気 づ く前 に、 数 学 の 学 習 を あ き らめ て しま う生 徒 が 少 な くな い の が 現 状 で あ る。

本 研 究 で は そ の よ う な生 徒 を 対 象 と し、 新 教 育 課 程 の 「数 学1」 の 内 容 の 中 か ら 「確 率 」 を テ ー マ と して 取 り上 げ 、 身 近 な 題 材 を ・っ の 物 語 に す る こ とを 通 して 、 生 徒 の 興 味 ・関 心 を 高 あ 、 数 学 的 な考 え 方 や そ れ を 活 用 す る こ との よ さ に気 付 か せ る指 導 法 を 試 み た。

2.研 究 の ね ら い

天 気Y'報 の 降 水 確 率 な ど の よ うに 、 「〜 確 率 」 と い う 言葉 を 耳 にす る こ と は多 い 。 ま た 、 確 率 に っ い て の 詳 しい知 識 を も っ て い な くて も、 私 た ち は 「〜 確 率 」 を 身 近 な も の と して 感

じ、 日常 の 行 動 を 決 め る際 の 判 断 材 料 と して い る。 この よ う に 、 確 率 は 日常 の い ろ い ろ な 事 象 に適 用 さ れ て お り、 数 学 の 領 域 の 中 で も、 私 達 の 生 活 に 密 接 に 関 連 す る内容 の 一つ で あ る。

そ こ で 、 本 研 究 で は、 新 教 育 課 程 に お け る 「確 率 」 の 内 容 を 、 身 近 な 学 校!f:活を 題 材 と して 一 っ の物 語 に ま とめ 、 以下 の よ うなね らいを定 めて研 究 した。

(1)中 学 校 で 学 ん だ 確 率 の 知 識 を も と に 、 確 率 に お け る用 語 や 確 率 の 意 味 をu‑̲し く理 解 して い る か ど うか を 調 査 す る と と もに 、 確 率 の 用 語 や 意 味 に っ い てi1=.しい理 解 を 図 る。

(2)「 順 列 」 や 「組 合 せ 」 の 知 識 を用 い な い 説 明 を 試 み る。

(3)イ ラ ス ト入 りの 教 材 を 作 成 し、 平 易 な解 説 を工 夫 して 「確 率 の 基 本 性 質 」 、 「和 事 象 」、

「余̀}{象」 、 「積 事 象 」 及 び 「期 待 値 」 ま で 無 理 な く発 展 さ せ る。

3.研 究 内 容 ・方 法

(1)確 率 の 内 容 を 、 学 校 生 活 を 題 材 と して ・っ の 物 語 に す る。

(2)物 語 を 、 イ ラ ス ト入 りの 教 材 に編 集 し、 生 徒 が受 け入 れ や す い よ うに 工 夫 す る。

(3)イ ラ ス ト人 りの 教 材 を 使 川 して 内 容 を 把 握 さ せ 、 小 テ ス トを 実 施 して 誤 答 を分 析 す る 。

A高1年B組ホームルーA

では︑遠足にっいての話し合いがもたれ

爺㌍駕励

そうだね.でも︑晴れるか

晴れないか

のとちらか

だから︑

50%の確率で

晴れだね︒①

4.イ ラ ス ト教 材 と 小 テ ス ト

〃

國

班分けは︑このように決まった

から︑各班それぞれ班長1人︑

副班長2人を決めてね,

"↓ 」… … 」!ノ ノリ,

灘  

﹁

フ 儀

嬉欽談

み丸た丸丸男6433

2人4人 一

一

13人12人  

際即坤韓騨各 先生︑2班て弓けご︑

中間君が欠席なので

代わりにクジを

引いて下さい.

確 班 で

率 長 も

は か 副 r,匡班' 分 を

t引

ノ、r

、り(

吉a

④

先生クジ運強いのよ︒

■ 湾噛

・ぞい

跨 瓢  

中間君は長と

名の付ぐ︑ものは

大嫌いだかr︑

当りを引くと

大変よ︒ 班長が全員男子

だったらやり

ずらいわ︒.

⑤て毛︑1班は男子

しかいないから必す

男子の班長よ.

/〃

でも︑1人は

女子の班長がいて

ほしいわよね. ⑧

5人の班長のうち

女子は何人なのかな︒

ζいうこζは︑‑班⑥

の班長が女子であるここ

は絶対に無いわけね︒

ザ綴 ⁝晶穫.綴.㍗.麟く.

それじゃ︑班長が

,

藷  

全員男子になる確郵は

これ位なのかしら︒⑦ 雛磯(

私の勘では

2人じゃない

かな,

〈 小 テ ス ト〉

イ ラ ス トを 読 ん で 次 の 設 問 に 答 え て 下 さ い 。

問 題1(1)① の 彼 の 言 っ て い る こ と は 、 正 し い と 思 い ま す か 。 ど ち ら か に ○ を 付 け てFさ い 。 正 し い ・正 し く な い(理 由)

(2)② の 彼 の 言 っ て い る こ と は 、 」Lし い と 思 い ま す か 。 ど ち ら か に ○ を 付 け て ドさ い 。 正 し い ・正 し く な い(到!山)

問 題2(1)③ の コ マ の3人 の 決 め 方 は 公 平 な 決 め 方 で あ る と 思 い ま す か 。 ど ち ら か に ○ を 付 け て トさ い 。

・ ア ミ ダ ク ジ 公 平 ・公 平 で な い(理 由)

・ ク ジ 引 き 公 平 ・公 平 で な い(理 由)

・サ イ コ ロ 公 平 ・公 平 で な い(理 由)

(2)あ な た は 、 ク ジ を 引 く と き 何 番 目 が 有 利 だ と 思 い ま す か 。 ○ を 付 け て 下 さ い 。 1番 目 ・2番 目 ・3番 目 ・4番 目 ・5番Ll・6番 目 ・何 番 目 で も 同 じ

(3)あ な た は 、 漫 画 の よ う に サ イ コ ロ で 決 め る と き 何 番 目 が 有 利 だ と 思 い ま す か 。 ○ を 付 け トさ い 。

1番 目 ・2番 目 ・3番 目 ・4番 目 ・5番 目 ・6番 目 ・何 番 目 で も 同 じ 問 題3④ で 先 生 が 班 長 か 副 班 長 を 引 く 確 率 を 求 め て 下 さ い 。()

問 題4⑤ で1班 の 班 長 が 男rで あ る 確 率 を 求 め て 下 さ い 。() 問 題5⑥ で1班 の 班 長 が 女 子 で あ る 確 率 を 求 め てFさ い 。()

問 題6⑦ で 班 長 が 全 員 男 子 に な る確 率 に 最 も 近 い の は 、 次 の う ち ど れ で す か 。 ○ を 付 け て 下 さ い 。

5%・25%・50%・75%・95%

問 題7⑧ で 少 な く と も1人 の 女 子 が 班 長 に な る 確 率 に 最 も近 い の は 、 次 の う ち ど れ で す か 。

○ を 付 け て 下 さ い 。 5%・25%・500.75%・95%

問 題8⑨ で5人 の 班 長 の 中 で 、 女rは 何 人 位 に な る と 思 い ま す か 。 ○ を 付 け て く だ さ い 。 0入 ・1人 ・2人 ・3人 ・4人 ・5人

小 テ ス トの 正 答 率 ・誤 答 分 析(K高 校 、S高 校)

問題 領 域 ^{正答 正答率 誤 答 例}

1

(1)

確軸 鰍 僻 の趨

正しく ない

42%

100%中50%は 半 分 だ か ら ど ち ら と も い え な い 。51%な ら分 か る 。 曇 りと か 雨 が あ る 。 天 気 予 報 で しか 分 か ら な い 。

(2) 正しい 100%

2

(あ み だく

じ) 公平 az% 引 く人 に よ っ て確 率 が 違 う。 線 の 書 き 方 に よ っ て 違 う。

(く じ び き) 公平 ^{76% 最 初 の3人} で 当 た っ て し 吉 う こ と が あ る か ら。 後 の 方 が 不 利 だ か ら。

最 後 が 自動 的 に 決 っ て し ま う か ら。

引 く人 に よ っ て 確 率 が 違 つ が ら。

絶 対 に1回 で 決 ま る か ら 最 初 に 引 い て し ま え ば 不 利 。 最 後 の 方 の 人 が 確 率 が 高 くな る 。

(サ イ コ ロ) 不公平 31%

(2i くじ矧 く 確率

何番で も同じ

60% 1番 、6番 、3番 、4番(多 い 順 に)

o

(3) くじを引く

確率 6翻 24% 何 番 で も 同 じ 、3番 、1番 、2番

3

z

59% 一^1111./2一 一 一/〇‑

36525

4 基本韻

CJa)

5

3426

6

と解 ^5%

O/

/U 25%、75%、50%

7

と解 .)rc>'J:o 2% 25%、75%、50%、5%

8

5.小 テ ス トに 基 づ い た 授 業

1.確 率の趨

(1}麟 考 える時 大事 な ・ とは.そ れ ぞれ の 輔 が 「同 じ糧 度1・起 ・ りや す4・か ど うか・ の 糊 鵬 る ・ そ酬1。iが ま 一磯 焦 顯 こ贈 。な燃(例 と して、 気 圧 膿.矧 ・…)が あ り・1匝純 に燃 る か ・融 ない か の どち らか と は ちが っ てい れif得 られ る 数値 は何 の 意 味 も もた な い.

言擬,識 雛 織 雛 ・,L、鯛 .

(2}6人 の,。,必 ず誰酬 ・になる・ ・の脚 論 ・ ÷ ・・るの ・ ・,1:しい・・

'f

・闘 の蜥 の 狐 特定 のノ・個の 轍 嘘 る確串は 丁 と定継 れ る・

2.公 平な決め方

〈ア ミダ ク ジ>16

人 が それ ぞれ1ケ 所選 び、 あ る場所 が班 艮 と な るの だ か ら確 摩 は 一 で公 平 で あ る。

G

⇒ .隈

縦

⇒

FBDCF.

顧

ア ミダク ジは、 ひ もの ク ジを 何 回 も交 差 させ て作 っ た ク ジ と同 じで あ る.

〈ク ジ引 き〉

酬 く顯 澁 によ っ て有 利 、 不 利 が あ るの か ど うか考 えて み よ う.

・1番 目 ・2番 目

皿li裏 灘C4bd

帽ら♪に1ffl9‑

‑nズ レ6

G

目'・・

番,

6ゲお..

・匹三り㌘

6躍菖のλは、前に引い丘5A金 艮甜 ずれた崎,畷長となL6 t

こ〜しも一一一の禧奪となご, G

何 播 に 引い て も、 班kと な る確 串 は 全 く同 じ であ り、 公 甲 な 決 め方 であ る.よ く考 えて み れ ば.ク ジ引 きも1人1人 が す

ぐtf'11i1を見 な い で、6人 同町 に結 果 を 見れ ば 〈ア ミダク ジ〉 と 同 じ.

〈サ イ コロ〉

この 鰐合 の 条 件 は.「 最 初 に1の 目 を臨 した人 がFJ[C1に な るこ と.結 論 は、 この 条 件 の も と で は公sitでな く、 先 に サ イ コ ロを 帳 った 人 が班 畏に な りや す い 方 法 で あ る.

な ぜ そ うなる の か 考 えて 見 よ う.

この 方法 は誰 か がqの1ヨ 」 を 出 し た ら決定.6人 全員 がr1の 目」 を出 さな けれ ば 、2巡 目と な りいつ 決 定 され るか 分 か らな い.

・1番 口

皿

膳瞬rDを 畠桝.

・2番 目

これ題⊥ 粥

6覧,;ll /1:

/ i

G

・'ε 番 目 昌

〈ケジ引妻〉の属と比鴨して為ると、く,ジ引匙〉"毘う55等分さ紅ていた5 (サイコロ)腫残り66aS}されてい6,と いうこと毬21

AのA吐、1よ り郵 蝿 孝となZ,

‑X‑n‑liNで51G の

66Aarljを 毘†確蓼,

響i"娯 ・

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†確蓼,

1}

已 (1)

1 飼蓄目でも霞」り⑰ 一 となつて

G 齢 肘 仁 叫 節 たAは.暇紘 號 くい,

ヒ11

)・ τ

・この 方 法 は 公 平で は な い方 法.た だ しサ イ コ ロが 公平 で な いの では な く.こ の 条 件 で は公 畢 で ない とい うこ とで あ る.

3.班 長または副班長になる確率

i

6本 の くじの うち.班 及 が1本 、 副 班 長 が2本 入 っ て い る.6本 の うちか ら3本 当 りとな る の で 一=一 と な る.

GL12

又 、班 長、 副FJF艮に な る確 率 は それ ぞれ 一 一 で あ る.6人 が1本 ず っ くじ を引 くの で.当 然 どち らか に しか な か ら、 GG

班長または副班長になる確事は

‑十監23 一 冨 GGG

'一 冨 一1 と も 考 え る こ と が で き る.2

[ゴli凸 編 磯 麟 、.] 躍 こ洗 雛 鉛器 鰹 諭 撮 こ翻,が戒り立つ

4.1班 の班長が男子である確率

6人 全 員が 男 子 な の だか ら、 班 艮 が 男 子 と な るの は、6

=1と な る。G

l謝 蕩 詑 魏 認 在率慧掩!薯 銑 強就 ぞ瀧b難 艇麟 蓼 テ鵬 知とは解 、娼 劉 オ、9器る。

5.1班 の班長が女子である確率

4と5か ら.ど のよ うな事柄の確串 も

脚=ム ・≦P(A)・]

O

l班 に は女 子 が1人 も い ない の だ か ら一=0と なる。

6

こ の よ うに 、 「絶 対起 こ らな い 確 〜審はOjで あ る。 よ っ て、 確 率 が0よ り小 さ くな る こ と も ない 、 0以 上1以 下 と な る。(0≦ 確 率 ≦1)

6.全 ての班長が男子

各班 ご とにF)fを 決 め 、5人 を選 ぶ 。 それ ぞれ の 確 率 は、 各 班 のJt子 の 人 数 が 異 な るの で、 そ の結 果 は 右 の 図 の通 り。

それ ぞ れ の班 の 確 率 は 、 他の 班 とは 全 く

鷺 難 誘艦 齢 盤 識 驚轟馨1麟う・

か け 合 わせ た もの で あ る。

式 .6×‑4.3、 ×3.×2。 ‑i‑.

(iG6GG18

舞§§ 臨 ^www_{自 魯}

菖昔θ菖阻

9蓉9凸暮音§糠8

9舞8∩暮暑∩冒皿 慧憲音○誉帽 含慧昔自菖顕

r)E全 員 が 男子 とな る の は約5。6%で あ り、 確 準的 に は約18回 に1回 程 度 起 こ る こ と であ る。

7.女 子の班長が少なくとも1人選ばれる

,撫 謙 雛 糀 天腱 高灘 脇. 鹸 鹸 譲蕊 晶亀 鵡

右 図 で 表 し て み る と 、 好 の職融̀o人 女Fの班長がL人 好o)班 励̀2人 好 の班働̀3人 好 の瑳働̀4人

意 轟 認2な く とも1人 」 とい うこ と ≪,こ の場 合 「好 が1人 で も・2人 で も・3人 で も・4人 で もよ … 」 と 同 じ 図 よ り、 この 確 串 は右 の 部 分 で あ る。 そ して 、

な押 雛 罐 繍 妄轍 礫 轟 擁 辮 裁 差甑 女子の班艮・・る確靴

式 117

1‑一 一=(約94.1%) 1818

女 子 の班 長が 選 ばれ るの は 約94.q%で あ り、 ほ とん どの 場 合 女 子が1人 以 上選 出 され る。

「辮 鱗 鎧蜘1

8.鵬 値

女 子 の班 艮 は.何 人 位 で あ る こ とが 期 待 さ れ るの か を考 えて み よ う。

その 方r1,は右 の図 の 通 り。

なム器 孚搬 騨4人 と

最 も多 い の は2人 で504通 り で あ る。(計 算 は略)

それ ぞれ の 確 串 は 何 通 り 12Jf で 計算 す る こ と が で きる 。

「女 子 の班 長」 の 期 待植 は、

そ れ ぞれ の 「人数 ×確4玉」 の和 であ る。

式 1171

4x一+3×+2× 一+1× 一+0×

is‑i184

⊃1i均す ると 、2人 程 度 女 了」のjJEIiがい る こ とが 川符 され る。

i =2 is

1班 に;cf一 は い な い の で 最 大.1人 で あ る 。

①女子の旺勘:q人 の囎 様 に

5縦 の琉働̀3人 のG含

〜324遁 り fの班長が2人 の娼倉

04遵 り

2確 子の 確長 が1人 の嶋 合

慧

za過 り 子の艦昆が0人 の6合

2過 り

⑤ の9J1は1296i1り

2x3x3x4室72遁 りノ

6.研 究 の 成 果

以Fの 成 果 を 得 た 。

(1}学 校 生 活 と い う身 近 な 題 材 か ら物 語 を 作 り、 一 っ の 流 れ の 巾 で 確 率 を 大 局 的 に 説 明 す る こ と が で きた 。

(2)イ ラ ス ト化 し た教 材 は 、 生 徒 の 興 味 ・関 心 を ひ き 、 確 率 の 内 容 を 把 握 させ る 上 で 有 効 で あ った 。

(3)生 徒 は、 学 校 生 活 と い う身 近 な と こ ろ に も数 学 の題 材 が あ る こ と を 発 見 した 。

(4)「 場 合 の数 」 に触 れ ず に確 率 を 指 導 した た め 、 前段 階 の 知 識 が 不f一分 な 生 徒 で も取 り組 む こ とが で き た 。

(5)教 材 を 読 ん だ 後 で 内 容 の 説 明 を せ ず に小 テ ス トを 行 った が 、 生 徒 は、 解 答 を 自 ら考 え 、 ア測 す る な ど積 極 的 に取 り組 ん で い た 。

7.ま と め と今 後 の 課 題

(1)今 回 の 研 究 は 、 「数 学 の 学 習 を あ き らめ て しま う」 生 徒 に 対 し、 ど の よ う に ア プ ロ ー チ す れ ば よ い の か 、 と い う問 い に 対 す る 一つ の解 答 で あ る。

(2)「 身 近 な 題 材 」 、 「教 材 の イ ラ ス ト化 」 、 「平 易 な 解 説 」 を ね ら い の3本 の 柱 と して 研 究 に 取 り組 ん だ が 、 当 初 の 目的 は あ る程 度 達 成 で き た と考 え て い る。

(3}今 回 の 研 究 で は 、 「場 合 の 数 」 に は 触 れ ず に 授 業 実 践 を 行 っ たが 、 年 間 の 指 導 計 画 を 立 案 す る際 に は 、 こ の よ う な指 導 の 流 れ も一一っ の 案 と して 考 え られ る。

(4)一 っ の 題 材 を も と に した確 率 の 学 習 は 、 確 率 的 な 考 え方 を 大 局 的 に理 解 す る た め に は有 効 で あ る が 、 個 々 の 単 元 の応 用 力 を育 成 す る上 で は 不 十 分 な 点 もあ る。 他 の 題 材 の 問 題 演 習 を 行 うな ど の 補 充 指 導 が 必 要 で あ る。

(5}今 回 は 、 実 験 を 取 り入 れ る こ とが で き な か った が 、 生 徒 が 自 ら考 え 、 実 験 し、 解 決 して い く過 程 が 大 切 で あ り、 実 験 は 、 確 率 の 意 味 を理 解 す る上 で 重 要 で あ る 。

(6}今 回 の研 究 の 成 果 を 他 の領 域 の 指 導 に も生 か し、 生 徒 の 数 学 に対 す る 、'キ手 意 識 を 少 しで もや わ らげ て い く こ と が 今 後 の 課 題 で あ る。

II動 的 な 視 点 か ら 直 観 力 を 高 め 、 論 理 的 な 力 を 養 う 平 面 機 何 の 指 導 一 合同変換(回転移動)を 通して一

1.は じめ に

中学 校 ま で の 図 形 の 学 習 を通 して 、 図 形 が 嫌 い に な る生 徒 が 多 数 見 受 け られ る 。 一・方 、 計 算 や 関 数 は 苦 予 で あ るが 、 図 形 な ら得 意 で あ る と い う生 徒 も い る。 こ の よ う な 状 況 の 中 で 、 平 成6年 度 か ら実 施 され る新 学 習 指 導 要 領 で は、 「数 学A」 で 新 た に 「'ド面 幾 何 」 が 取 り上 げ られ て お り、 こ の機 会 に 、 図 形 指 導 の 在 り方 を 改 め て 考 え る 必 要 が あ る 。 本 研 究 で は、 図 形 の学 習 が 、 直 観 力 を 高 め 、 論 理 的 お よ び 創 造 的 な 思 考 を 育 て る上 で 有 益 で あ る点 に着 目 し、

高 等 学 校 に お け る 図 形 指 導 に つ い て 新 しい 見 方 を 通 して 考 察 す る。

2.研 究 の ね ら い

1っ の 問 題 を 視 点 を 変 え て 解 く こ と に よ り、 い ろ い ろ な 見 方 や 考 え 方 が 身 に付 き 数 学 に対 す る理 解 が 深 ま る と と もに 、 興 味 ・関 心 や 学 習 意 欲 が 高 ま る と考 え て い る。 この よ う な 観 点 に 立 って 、 本 研 究 で は 、 合 同 変 換 、 特 に 、 図 形 の 回 転 移 動 を取 り上 げ 、 授 業 実 践 を 試 み る こ と に した。 こ の学 習 を 通 して 、 生 徒 が 、 い ま ま で の よ う に 図 形 を 「静 的 に 見 る」 だ け で な く

「動 的 にJVる 」 こ と が 可 能 に な り、 直 観 を 働 か せ や す くな る と と も に、 論 理 的 に考 え る こ と が 容 易 に な る の で は な い か 、 と考 え た か らで あ る。 しか しな が ら、 図 形 の 性 質 は 、 回 転 移 動 だ け で す べ て が 説 明 で き る も の で は な い 。 本 研 究 で は 、 図 形 の 回 転 移 動 に よ る 「動 的 な 見方 」 の 指 導 に 限 定 した が 、 こ こで の 研 究 を も と に 、 生 徒 が 図 形 を 動 的 に 見 る こ との よ さを 味 わ い、

自 ら進 ん で 図 形 の性 質 を 考察 し、 数 学 を 活 用 す る態 度 を 養 う ヒで 必 要 な 指 導 内容 ・方 法 に っ い て さ らに 研 究 し、 授 業 の 中 で 実 践 して い きた い と考 え て い る。

本 研 究 で は以 ドに示 す4っ の こ とを 具 体 的 な ね らい と した 。

(1)1年 生 を 対 象 に 、 中学 校 で 学 習 した 図 形 の 基 本 的 な 知 識 、 特 に 、 回 転 移 動 に関 す る知 識 及 び図 形 に 関 す る 意 識 を 調 査 し、 実 態 を 把 握 す る。

(2)新 学 習 指 導 要領 の 「数 学A」 で 新 し く取 り1=げ られ る 平面 幾 何 の ね らい 及 び 中 学 校 で は 取 り扱 わ な い図 形 の 見 方 と そ の よ さ に っ い て 考 察 す る 。

(3}1・1転 移 動 に よ って 図 形 の 性 質 が 見 い だ せ る証1リ1問題 を 分 析 し、 あ らか じめ必 要 な 学 習 内 容 を 調 べ 、 指 導 過 程 を 示 す 。

3.研 究 の 方 法

まず 、 中 学 校 の 新 教 育課 程 に お け る平 面 幾 何 が ど の よ うに 取 り扱 わ れ て い るか を 調 べ 、 そ のLで 次 の よ う に 研 究 を進 め た 。

(1)事 前 ア ン ケ ー ト調 査(予 備 テ ス ト)

都 立 高 校5校 の1年 生313名 を 対 象 に 、 事 前 ア ンケ ー ト調 査 を 実 施 した 。 ア ンケ ー

ト調 査 の 問 題 は、 平 成3年 度 の 開 発 委 員 会 の 資 料 を 参 考 に して 作 成 した 。 開 発 委 員 会 の 資 料 で は、 生 徒 が 理 解 の 度 合 い を5段 階 で 評 価 す る も の で あ っ た が 、 今 回 の研 究 で は 生 徒 に 問 題 を 解 か せ 、 正解 、 誤 答 、 無 答 の3っ の 区 分 で 集 計 を 行 っ た 。 特 に 、 今 回 の テ ー マ で あ る合 同 変 換 にっ い て は、 問 題 を 精 選 し出 題 し た。

(2)授 業 実 践

手旨導 言十画 平 面 上 の 変 換 1合 同 変 換

(1)平 行 移 動 (2)対 称 移 動 (3)回 転 移 動 及 び

合1司変 換 の ま と め

2相 似 変 換

1時 間 1時 間

2時 間 (本 時) 2時 間

'1え面 土 の 変 換 は、 新 学 習 指 導 要 領 の 「数 学A」 で 新 し く取 りLげ られ た 領 域 な の で 、 学 習 指 導 要 領 及 び 「数 学A」 の 教 科 書 を 参 考 に して 指 導 計 画 を立 案 し た。

指 導 に 当 た っ て は、 授 業 用 プ リ ン トを 作 成 し、 指 導 案 に 基 づ いて5校 で 授 業 実 践 を 行 った 。 マ グ ネ ッ ト付 きの カ ラー の

夢 、

板 目紙 を 川 い て 一,;:に回 転 させ 、 生 徒 の 注[を 引 くよ う教 具 を 一L夫した 。 作 図 、 合 同 条 絆 を 川 い た 証 明 、 回 転 移 動 の 性 質 、<1 回 転 移 動 を 川 い た 証 明 、 問 題 演 習 、 生 徒

に よ る 問 題 作 り の 順 で 指 導 を 展 開 した 。 (3)̀ド 後 ア ンケ ー ト

0 た0 0

今 後 の 研 究 に 生 か す こ と に した。

嶽 異 艦

し

{z)A蕉 弔D ぐ3)よ ρ酔 澱 鱒

/鍛ヤ

灘 藝羅鍮

〜

← 一 嘱

回 転 移 動 に っ い て 理 解 で き た か ど うか を 、 具 体 的 な 問 題 を解 か せ る こ と に よ り確 認 し

回 転 移 動 に つ い て の 興 味 ・関 心 、 理 解 に関 す る ア ンケ ー トを と り、 分 析 す る と と も に

4.事 前 ア ン ケ ー ト調 査(予 備 テ ス ト)

この 予備 テ ス トは.み な さん が 中 学 校 で学習 して き た こと を 、 で参 考 にす る ため に伜 られ た もの です 、

iF:wと コンパ スをmい て、纏 分Au の 農直̀=等 分壕 を作図 世よ

どの糧 度 理解 してい る の か を知 り.こ れ か ら平 而図 形 の 学習 を進 め てい く上

建 焼 とコ ンパ スをμiいて 、∠noa の二等 分織 を作 園 せよ

‑/

OD

5〕 次の 園 は画 じ大 鯉さの颪 角 二等辺 三 ⑥ 直線且とmが}凹 了であ る 角形 を4つ な らべ た もの であ る. ∠.じの 人 暫 さを求め よ 対称 鴇 勒す る とアに 重ね る ことが で

さる三 角形 は どれ か

＼

sn・ 1

《

T＼ ^a _m

.,郊 ＼＼

匹

次の 図は 同 じ大愈 さの 直 角二簿 の 三 角 彫 をaつ ならべ たもの であ る.

平行移 軌す るとア に重ね る ことが で 脅る三 角形 はどれ か

̀9}△()ABと △OCDが 合同で ある ことを雁 明す るの に必璽 な条 仲 を 書 け

mの 図 は4ili●i111F:の対辺 の中 点 ど う しを緒び.対 角纏 をひ いた もの で あ る.回 転 移動 す る とアに 重ね るこ と がで 曹る三 角形 は どれか

,レ ダ キ＼ ク

一皿 〒}『 、

⑩mの 二等 迎 三角彫 の∠ 隊 の人rさ を求め よ

x no・ _ノ

/

JD△ABDと △ACBが 椥 似 であ るこ とを旺 明す るの に用 いる条件 を答 えよ

C

nn.ACの 中点 をそれ ぞれM,Y とす る との..τ の個 を求 めよ

△Ancの 重心 をGと す るとt uM:MC=c

M

⑬ 次 の園 で∠sのlifsNめ よ

x

︒0

40

⑬ △ABCs△ADEで 、△nsscの 面積 が2で あ るとさ.△ADEの 面 積 を求め よ

㍉∠̲

D

21.r;の 園 は 、口 じ大 迎さの 直角 二等遡 三角 形 を6つ な らべた もの でめ る.

次の間 いに 警 えよ

〔D聯 行移動 す ると アに 重ね るこ とがで きる三 角形 は どれ か

〔亀1回 転路動 す ると ウに 重ね るこ とがで きる三 角形 は どれ か

(11鋭 誓捗動 する とエ に 重ね る ことが で のる三 消形 は ど」しか

ア

工 イ オ

【「茎̀前ア ン ケ ー ト調 査 にっ い て の 考 察 】 平 成3年 度 の 開 発 委 員 会 の 資 料 に よ る と、

証 明 問 題 に つ い て は 苫 手意 識 を 持 っ 生 徒 が 比 較 的 多 い とな って い るが 、 こ こ で は 、 設 問 の仕 方 を 多 少 変 え た た め に 、 ① 〜 ⑳ に つ

いて は次 の よ う な結 果 を 得 た 。 (1}正 解 の 多 か った もの

⑥ 平 行 線 と角 ⑩ 二等 辺 三角 形 の 底 角

⑬ 巾 点 連 結 定 理 (2>f解 の 少 な か った もの

⑧ 多 角 形 の 外 角 の 和 ⑪ 相 似 条 件

⑮ 相 似 比 と 面 積 比 (3)誤 答 の 多 か っ た も の

⑮ 相 似 比 と面 積 比 ⑧ 多 角 形 の外 角 の 和

⑭ 重 心 の 性 質

(4)誤 答 の 少 な か っ た もの

⑥'r行 線 と角 ⑬ 中 点 連 結 定 理

⑳ 接 弦 定 理

(5)無 答 の 多 か っ た もの

⑪ 相 似 条 件 ⑧ 多 角 形 の 外 角 の 和

② 角 の 二 等 分 線 の 作 図 (6)予 想 に反 して よ くで き た もの

⑫ 相 似 な 図 形 の 対 応 す る辺 の 長 さ (7)予 想 に反 して で きな か っ た もの

⑧ 多 角 形 の 外 角 の和 ⑭ 重 心 の 性 質 (8)21に っ い て

平 行 移 動:

回 転 移 動:

事 前 ア ン ケ ー ト集 計 結 果

番号 正解 誤答 無答

0 器 針 (1論 捺 (4113.1%

② (71%) (1愚 捺 (156%)

0

&餓 染

④ 855%) (1撒 染 (橘 許

⑤ &鵡 許 (109%) (輸 ぐ

⑥ 溜 躍 ^{(32%)一 (。.針}

⑦ 器 謝 (1設射 (蜜 針

⑧ (351%) 13蜜鍬 (266

0 柵 ♂ (112%) (150%)一

⑩ (as%) ^{(錨 資 (2.鮒}

⑪ 〜355%) (2￡趾 耀 計

⑫ 837%) (1♂鍬 (19」̀6.1%

⑬ 磁 鰍 ^{(温 資 (怨 盗}

⑭ &2鍬 (2鍋 染 (137%)

⑮ (361%)^(15649.8% (1撚 染

⑯

&￡射

⑰ 82%) (105%) (書 針

⑱ ろ愚 捺 (1餓 捺 (1￡針

⑲ 緬 謝 (7%) (1諭 斉

Yi/U

&ξ躍

番号 正解 ^{そ の 他}

zlOi

(46.39K) 〜,￡鮒

210 (贔 染 齪 厨

213Q (2器 捺 紹 鍬

⑮相似比 と面積比 ⑯ 三平方の定理

横 方 向 の 移 動 は 見 っ け や す い が 、 斜 め 方 向 の 移 動 は 見 っ け に く い。

回 転 の 中心 が 共 有 す る頂 点 に な って い る もの は見 っ け や す い が 、 回 転 の 中 心 が2っ の 図 形 か ら離 れ て い た り、 共 有 す る辺 上 に あ る もの は 見 つ け に くい 。 対 称 移 動:左 右 の 移 動 は見 っ け や す い が 、 上 下 の 移 動 は見 っ け に くい。

5.授 業 実 践

学 習 指 導 案

実 施 科 目;数 学A(新 教 育課 程 ・選 択 科 目)NO.1 単 元;平 面 幾 何 ・平 面 上の 変換(合 同変 換)

,,行 移 動 →1時 間,対 称移動→1時 間,回 転移動 …ウ2時 間(本 時はその1時 間目)

本 時 の 目標:中 学 狡 で 学 習 した図 形 の 静 的 な 見方 に 対 して 、 図形 を動 的に み る 見方 が あ る こ とを 学 習 す る。 動 的 な 見方 の 1例 と して 回転 移 動 を と りあ げ、 回 転 移動 のf'1.質を理 解 す る。

t

鯉 時問 内 容

皿 一・‑ 「

i

1

30 分

ii

ii

i

プ リ ン ト〈 そ の1>

線 分ABヒ の1点 をCと し 、 辺AC,CBを そ れ ぞ れ1辺 と す る 正 三 角 形 ACDと 正 三 角 形CBE を 伺 じ側 に 作 り 、 点Dと B,点EとAを そ れ ぞ れ 直 線 で 結 ぶ 。

D

Pe oλ配

(1 (2 (3 (4

(5

ACB

[ 15 分

「

紐 を つ け た2つ の 正 三 角 形(マ グネッ1付 き板 目 紙)

を 提 示 す る 。 ,{

証 明 の も とに な った2つ の 合 同 な三 角 形 に 別 に用 意 した 色 付 き板 目紙 を あ て 、 ど の よ う に移 動 した ら重 な る か 、 これ ら2つ の 三 角形 の 位 置 関 係 を考 え る。

対 応点 を表 す 記 号 の導 入 性 質 を ま とめ る。

b' B

,・

交1職♂

A'

a

＼ 回転

lil

を と

記 号 点0 でA OO さ ら On る角 ま と C1 [2

一 一

ま と め

[

5 分

A

本 時 の ま とめ 図 形

回 転 回転

一.

学 習 活 動

(1)作 図 す る 。

(2)辺DBとAEの 長 さ の 計 量 と そ の 関 係 を 考 え る。

(3)辺DBとAEの な す 角 の 計 量 と そ の 関 係 を 考 え る 。 (4)合 同 条 件 を 用 い た(2)の 証

明eDCBt△A伍PFいz

礁郵鐸

(5)三 角 形の 内 角 の和 を 用 いた (3}の 証明

会島よ継 彿 。繍:

(獲隷

D

評 価 の 観 点 及 び 留 意 点

(1)条 件 に あ っ た 作 図 を 定 規 と コ ン パ ス を 用 い て 正 し く 書 く こ と が で き る 。

(数 学 的 な 表 現 ・処 理)

(2),(3)で き あ が っ た 図 を 興 味 を も っ て 観 察 し、 一 定 の 関 係 が あ る こ と を 見 っ け よ う と す る 。(数 学 へ の 関 心 ・意 欲 ・態 度)

(4)合 同 な 三 角 形 を み っ け 、 正 し い 証 明 が で き る 。(数 学 的 な 表 現 ・処 理)

(5)三 角 形 の 内角 の 和 に着 目 し正 しい 証明 が で き る。(数 学 的 な表 現 ・処 理)

・着 目 す る 三 角 形 を 発 見 で き な い 生 徒 に は 、 ヒ ン トを 与 え る 。

コ

回 転 す る板 目紙 をみ なが ら、

・回転 の中 心 は ど こか 。

・回 転角 が 何 度か 。

・ど の点 が ど の点 に対 応 す るか 。 を と らえ る。

記 号A→D,E.H

点0を 中 心 と す る 回 転 角 α の 回 転 でA→Aと す る 。

①OA=OA,② ∠AOA=a B→Bと す る と

③AB=AB,④ABとABの 作

る 角(交 角)は α に 等 しい 。 ま と め る と 、

【1】 線 分 の 長 さ は 変 わ ら な い こ と を 理 解 す る 。

2】 交 角 は 回 転 角 に 等 し い こ と を 理 解 す る 。

図 形 の 動 的 な 見 方 の1つ と して 、 回 転 移 動 が あ る こ と 。

回 転 移 動 の 性 質 と して 、 【1】 と

・合 同 な 三角 形 △ACEと △DCBに 、 ピン ク色の 板 目紙 と、 青 色の 板 目紙 を あ て る。

「合 同 な三 角 形 」 とい う静的 な見 方 か ら

「回 転 して重 な る三 角 形 」 と い う,動 的 な見 方 へ視 点 を 変 え て と らえ る こ とが で き る。(数 学 的 な 考 え方)

(数学Aで 実 施 の場 合 は既 習)

回 転移 動 の性 質 を予 想 し、 発 見 しよ うと す る。(数 学 へ の関 心 ・意 欲 ・態 度)

回転 移 動 の性 質 の意 味 が 分 か る 。(図 形 にっ い て の知 識 ・理 解)

⊥

学 習 指 導 案

実 施 科 目:数 学A(新 教 育課 程 ・選択 科 目)NO.2 単 元:平 面幾 何 ・平 面 上の 変 換(合 同 変換)

平 行移 動 →1時 間,対 称移 動 →1時 間,回 転移 動  ラ2時 間(本 時 はそ の2時 間 目)

本 時 の 目標:回 転 移 動 の 考え 方 を 用 い て 、図 形 を動 的 に 見 る ことの よ さを味 わ い 、 見方 を 活用 で き る よ うに す る。

一. 1‑'

項 目 時間 内

前 時 の 導

入 5

分1

1

プ リ ン

展 ^{a 題 を 「}

開 分 を 用 い

u

容

プ リン トく その1>の 問 題 を 「回 転 移 動 の性 質 」 を 用 い て証 明 す る。

8 5}

一.一.一 一 一一

プ リン ト活 動 タ イプ 【1】:

与 え られ た図 形 の 中で 、 i回 転 して 重 な る図 形 を 見 っ け 、図 形の 動 的 な 見方 に 慣 れ る。

展開皿まと

に

8 n

E

し

8タ イプ 【2】:

分 与 え られ た図 形 の もっ性 質 を 、図 形 を 動 的 にみ る こ とに よ って と らえ 、 そ れ らを証 明 す る。

8タ イプ 【3】:

分 与 え られ た図 を も とに、

問 題 を作 りそ れ を証 明 す る。

8タ イ プi9】:

分 回転 の 考 え を用 いて 、 問 題 を作 り、 それ を 解 く。

合 同変 換 と して の ま とめ 5

分

学 習 活 動

前時 に学 習 した 「回転 移 動 」 につ い て 、 【1】 線 分 の 長 さは 変 わ ら な い こ と、 【2】 交角 は回 転 角 に 等 しい こ と、 を確 認 す る。

回転 移 動 の性 質 を 用 いた 証 明:

Cを;心 と る60の 回 転 を 考 え る 。B→E,D→Aよ りBDは

EAに 移 る 。 回 転 移 動 の 性 質 よ り BD;EA,か つ,BDとEAは sO。 の 角 を っ く る 。

【1】(】)回 転 し て 重 な る 図 形 は 何 と 何 か を 考 え る 。

(2)回 転 の 中 心 は 何 か 。 (3)回 転 の 角 度 は 。 (4)対 応 す る 点 は ど れ と

ど れ か 。

評 価 の 観 点 及 び 留 意 点 回 転移 動 の性 質 の意 味 が 分 か る。(図 形 に っ いて の 知 識 ・理 解)

A

B

E

・回転 移 動 の性 質 を 用 いた 証 明 を理 解 さ せ る と と もに 、 この 証 明 法 の よ さ を確 認 す る。

回転 移 動 の性 質 を整 理 し、 体 系 的 に考 え るこ とが で きる。(数 学 的 な 考 え 方)

・プ リン トは生 徒の 様 子に 合 わ せ な が ら 進 め て い く。

図 形の 性 質 や関 係 を 予 想 し、 発 見 しよ う とす る。(数 学 へ の 関 心 ・意 欲 ・態度)

AF;CEを 証 明 し、AFとCE簡 単 な推 論 に っ いて 表 現 す る こ とが で き の なす 角 を求 め る。 る。(数 学 的 な 表現 ・処 理)

1▲f^C

与え られ た図 形 を なが あ 、 そ の図 形の もっ性 質 を と らえ る。

それ を もと に して 、証 明 問題 を作 り、 それ を証 明 す る0

証 明や 定 理 の意 味 が 分 か る。(理 解) 回転 の 性 質 と図 形 の 動 的 な 見 方 を積 極 的 に 用 いて 作問 で き る。(興 味 ・関心 ・意 欲 ・知 識 ・理 解)

結 果を 演 繹 的 に確 か め る こ とが で きる。

(数学 的 な考 え 方

回 転 の 考え を 用 い た問 題 を作 る。 ・問 題 の 説明 を し

そ れ を 解 く。 る ため に 宿題 にす

す るよ うに指 示 す 回 転 移 動の 考 え 方 を用 い て図 形 を ・合 同 変 換の ま と 動 的 に 見 る見 方 を学 習 した こ と。 通 して 行 う。 そ の 形 や 大 きさを 変 え な い図形 の 移 動 せ 、 活 用 す る 。 を合 同 変換 とい い、 合 同変 換 には

他 に① 平行 移 動,② 対 称移 動 が あ る こ と。 これ らを通 して見 方 を 変 え て 図形 を 調 べ る こ とがで き る。

・問 題 の 説明 を して 、 十 分 な 時 間 を与 え る ため に 宿題 にす る。 で きた 時 点 で提 出

・合 同 変 換の ま とめ は 、 具 体 的 な もの を 通 して 行 う。 そ の 際 、 生 徒 に例 を発 表 さ