博 士 （ 工 学 ） 金 川 哲 也
学位論文題名
A Unified Theory for Derivation of Nonlinear Wave Equationsln Bubbly Liquids
（気泡流中における圧力波の非線形波動方程式の統一的導出方法）
学位論文内容の要旨
多数の微細気泡を含む液体（以後，気泡流とよぶ）中における圧力波の伝播は，たとえば，マイクロ バプルを用いた血管造影診断，衝撃波による結石破砕，腫瘍の加熱凝固治療極どの医療技術の基礎と して重要を物理現象である．近年とくに，造影診断の解像度向上のためにマイクロバプルからのエ コ‐信号に含まれる高調波成分を利用する技術や，加熱凝固の効率向上のために集束超音波の焦点 領域の発熱現象を利用する技術の開発に精カが注がれている．これにとも教って，上記の技術開発の 基盤と誼る非線形波動現象に対する深い理解が強く求められている．
気泡流中における非線形性の弱い圧力波（弱非線形波）は，波長に比べて十分に長い距離の伝播を 経て，波の非線形性が波の散逸性および波の分散性と競合する場（ここでは，これを遠方場とよぶ）
を形成することがある．そこでは，非線形，散逸，分散の3つの効果がバランスして，たとえばソリト ンとよばれる安定教非線形波動を生じさせる．ソリトンのよう誼顕著橡特徴をもつ波動は，それに固 有の非線形波動方程式[KdV (Korteweg‑de Vries)方程式］の解である．このことは，応用技術開発の 基盤と教るべき理論を発展させるという観点から極めて重要教事実である．社ぜをら，多数の気泡の 存在による気泡流の複雑ぬ振る舞いの中から，非線形波動方程式をとおして，顕著教特徴をもつ応用 上重要教波動現象を抽出できるからである．気泡流の遠方場には，ソリトン以外にも様々款非線形波 動の存在が知られている．それらの各々がそれぞれ固有の非線形波動方程式に支配される．本論文の 目的は，これらの非線形波動方程式群を統一的かつ系統的に導出する方法を提案し，実際にいくつか の 顕 著 顔 特 徴 を 示 す 波 動 を 支 配 す る 非 線 形 波 動 方 程 式 を 導 出 す る こ と で あ る ． これまで，各研究者は，自身が注目する波動現象に限定して個別に採用した基礎方程式系を出発点 とし，各研究者どとに独自の数学的手法を用いて非線形波動方程式を導出してきた．結果として，異 趣る基礎方程式系から得られる類似の非線形波動方程式の相互関係が不明確のままと誼っている，
さらに，得られた結果が選ばれた基礎方程式系に依存するのか，気泡流にー般的に成立するのか，極 ども不明のままである．このようを現状を打破し，気泡流中の非線形波動の研究に新しい展開をもた らすためには，基礎方程式系に依存しをい数学的手法であって，かつ，広い範囲の波動現象に適用可 能を統一的かつ系統的方法を提出することが不可欠である．
気泡流 中の非 線形波 動方程 式の統 一的か つ系統的導出方法を構築するための基盤とをる考え方 は。個々の波動に特有の特徴を，気泡流において重要ないくつかの物理パラメータの大きさの間の関 係式として表現するところにある．たとえば平面進行波を考える誼らぱ。注目する波の伝播速度と単 相液体 中の音 速の比 ，波長と代表的誼気泡径の比，波の周波数と気泡の固有振動数の比という3つ
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の物理パラメータの大きさを，波の無次元振幅を基準として関係づける（パラメータスケーリング）
ことによって、注目する波動の特徴をあますところ誼く解析の中に取り込むことができるのである，
速度，波長，周波数教どの大きさを波の無次元振幅を基準として関係づけることは，非線形，散逸，分 散の効果の相対的教 大きさを指定することに社 り，多重尺度法とよばれる摂動展開法を用いること で，てれらの3つの 効果が競合する遠方場におけ る波の挙動を支配する方程 式を気泡流の基礎方程 式系から抽出することが可能とをる．このようをパラメータスケーリングは，過去の研究者達も暗黙 のうちに使っていたものであるがっ本研究では，これを基礎方程式系に依存し教い形で整理し，様々 教波動現象に適用可能であるように一般化した．これによって，気泡流中の非線形波動の支配方程式 を 導 出 す る 方 法 を ， 統 一 的 か つ 系 統 的 款 も の に 完 成 さ せ る こ と が で き た と い え る ， 上述のように，本導出方法は，さまざま顔気泡流の基礎方程式系に適用可能である．本論文では二 流体モデルおよび混 合体モデルとよぱれる2種類 の基礎方程式系を用いる． 同じパラメータスケー リングのもとで，二 流体・混合体の両モデルか ら導かれる非線形波動方程式は本質的には同じ形を しており，その違いは，非線形項・散逸項・分散項の係数のみに集約されることが明らかにされる．
両モデルから導かれる係数の定量的かつ定性的差異，および，過去の研究によって得られた非線形波 動 方 程 式 の 係 数 と の 差 異 を 調 ベ ， 本 論 文 で 導 い た 非 線 形 波 動 方程 式の 特徴 を 明確 にす る．
まず，一様に気泡を含む液体中の平面進行波の遠方場を記述する非線形波動方程式群が導かれる．
気泡の固有振動数に 比べて低周波数の長波，お よび，気泡の固有振動数程度の周波数の短波に適応 するパラメータスケ ーリングを導入し，KdVB (KdV―Burgers）方程式，および，非線形Schr6dinger
（NLS）方程式がそれぞれ導かれる，
っぎに，非一様に 気泡を含む液体中に置かれ た大口径の円形ピストンから放射される超音波ピー ムの遠方場における非線形波動方程式が導かれる．この問題では，遠方場とは，非線形性・散逸性・
分散性だけで教く，気泡分布の非一様性，および，波の回折性も競合する場を指す，非一様性として は，気泡数密度の弱い空間非一様性を考慮し，回折性としては，準平面進行波としての弱い回折（集 束あるいは拡散）の 効果を考慮する．後者については，波長と音源の大きさの比を表す第4の物理パ ラメータとして導入し，前述の平面進行波のパラメータスケーリングを拡張する，結果として，長波 に対しては非一様場におけるKZK（Khokhlov−・Zabolotskりa一K二uZnetS0v）方程式が，短波に対しては 非一様顔回折場におけるNLS方程式が導かれる．
本導出手法は，本論文で扱ってい顔い周波数帯，たとえば気泡の固有振動数よりも非常に高い周波 数の波にも適用でき，さらに多様を非線形波動方程式を導出可能である．また，より複雑放波動現象，
たとえば初期に小さを流速を有するよう橡問題にも拡張可能である．したがって。本導出方法を用い て気泡流中の非線形 波動の研究を展開すること によって，応用の確固とした基盤と顔りうる気泡流 中の非線形波動の理論体系を完成させることができるものと期待される，
本 論 文の構成は以下の通りである ．第1章は序論である．第2章では気泡流中の非線形波動 方程 式の 統 ー的 導出 方法 を提 示 する ，第3章 と第4章 では ，そ れぞ れ ，KdVB方 程式 とNLS方程式 を導 出 す る ， 第5章 では 非一 様場 に おけ るKZK方 程式 と回 折を 伴 うNLS方 程式 を導 く， 第6章は 結論 である．
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学位論文審査の要旨 主査 准教授 渡部正夫 副査 教授 藤川重雄 副査 教授 大島伸行
副査 教授 矢野 猛（大阪大学大学院 工学研究科）
学位論文題名
A Unified Theory for Derivation of Nonlinear Wave Equations in Bubbly Liquids
（気泡流中における圧力波の非線形波動方程式の統一的導出方法）
多数の微細気泡を含む液体の流れは気泡流とよぱれる，気泡流中における圧力波の非線形波動伝 播は，たとえば，マイクロ′ヾブルを用いた血管造影診断，衝撃波による結石破砕，腫瘍の加熱凝固治 療顔どの医療技術の基礎として重要社物理現象であり．マイクロバブルからのエコー信号に含まれ る高調波成分や，集束超音波の焦点領域の発熱現象が利用されている．そのため，これらの技術開発 の基盤とをる非線形波動現象に対する深い理解が求められている．
気泡流中における非線形性の弱い圧力波，す教わち弱非線形波は，適切抵条件が満たされた場合に は，非線形，散逸，分散の3つの効果がつり合うことによって，たとえばソリトンとよぱれる安定教 非線形波動が生じる．このよう顔極めて特徴的誼非線形波動を解析することは．応用技術開発の基盤 と教るべき理論を発展させるという観点から極めて重要である，をぜをら，多数の気泡の存在による 気泡流の複雑を振る舞いの中から，非線形波動方程式をとおして，顕著顔特徴をもつ応用上重要を波 動現象を抽出できるからである．気泡流中には，ソリトン以外にも様々誼非線形波動の存在が知られ ており，それらの各々がそれぞれ固有の非線形波動方程式に支配される，本研究の最も特筆するべき 点は，これらの非線形波動方程式群を統一的かつ系統的に導出する方法を提案し，実際にいくつかの 顕 著 教 特 徴 を 示 す 波 動 を 支 配 す る 非 線 形 波 動 方 程 式 の 導 出 に 成 功 し た こ と に あ る ． 本研究ではまず，個々の波動に特有の特徴を，気泡流において重要教いくっかの物理パラメータの 大きさの間の関係式を提案し，パラメータスケーリングを行った．この関係式を導出することが，気 泡流中の非線形波動方程式の統ー的かつ系統的導出方法を構築するための基盤と誼る．対象として いる波の非線形，散逸，分散の効果を詳細に検討することにより，これらの3つの効果が競合する遠 方場における波の挙動を支配する方程式を気泡流の基礎方程式系から抽出することが可能と教る．
本研究では，気泡流中を伝播する波の解析にパラメータスケーリングを用いるにあたって，基礎方程 式系に依存しをい形で整理し，様々誼波動現象に適用可能であるように一般化した．さらに，摂動展 開法のひとつの手法である多重尺度法を用いることで，気泡流中の非線形波動の支配方程式の統一
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的かつ系統的汝導 出法の構築に成功した．
次に，構築され た導出法を具体的教方程式 系に適用し，気泡流中の非線形波動支配方程式を求め た．本研究では二 流体モデルおよび混合体モ デルとよぱれる2種類の基礎方程式系に適用した．ま ず，一様に気泡を含む液体中の平面進行波の遠方場を記述する非線形波動方程式群を導いた．気泡の 固有振動数に比べて低周波数の長波，および，気泡の固有振動数程度の周波数の短波に適応するパラ メータスケーリン グを導入し，KdVB方程式，およぴ，NLS方程式をそれぞれ導いた．続いて，非一様 に気泡を含む液体 中に置かれた大口径の円形 ピストンから放射される超音波ビームの遠方場におけ る非線形波動方程式を導いた．回折性の効果を考慮するために，新たに波長と音源の大きさの比を表 す物理パラメータ として導入し，既に得られ た平面進行波のパラメータスケーリングの拡張を行っ た．この場合に獄 ，長波に対しては非一様場 におけるKZK方程式が，短波に対しては非一様を回折 場におけるNLS方 程式が導かれた，
得られた方程式を検討することにより，同じパラメータスケーリングのもとで，二流体・混合体の 両モデルから導かれる非線形波動方程式は本質的には同じ形をしており，その違いは，非線形項・散 逸項・分散項の係数のみに集約されることを明らかにした．また，両モデルから導かれる係数の定量 的かつ定性的差異，および，過去の研究によって得られた非線形波動方程式の係数との差異を調ベ，
本研究で導いた非 線形波動方程式の特徴を明 確にした．
これを要するに ，著者は気泡流中の非線形 波動方程式群を統一的かつ系統的に導出するために，
(1)個々の波動に 特有の特徴を，気泡流において重要をいくつかの物理パラメータの大きさの間の関 係式を提案した．(2)気泡流中を伝播する波の 解析にパラメータスケーリングと多重尺度法を用い ることで，広い範囲の波動現象に適用可能教，気泡流中の非線形波動の支配方程式の統一的かつ系統 的教導出法を構築 した．(3)構築された導出法を具体的款方程式系に適用し，気泡流中の非線形波動 支配方程式を求め，導かれた非線形波動方程式の特徴を明確にした．これらの本研究の成果は，気泡 を含む流れにかかわる流体工学に対して貢献するところ大数るものがある．よって，著者は，北海道 大学博士（工学） の学位を授与される資格が 有るものと認める．
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