ヌース理解のための基礎数学・物理学

(1)

行列３

(2)

３次元の回転

• これらの３次元の回転をあらわす行列（３行３列、行列式が１の直交行列）は群をなす → ３次元回転群または特殊３次直交群（SO(3))という。 • 単位球面 𝑆2 _{上の点をひとつ選ぶと回転軸（回転平面）が決定→} 𝑆𝑂(2) に帰着。𝑆𝑂(3)/𝑆𝑂(2) ≃ 𝑆2 𝑥 𝑦 𝑧 𝑧軸まわりの回転＝𝑥𝑦平面における回転 𝑥軸まわりの回転＝𝑦𝑧平面における回転 𝑦軸まわりの回転＝𝑧𝑥平面における回転

(3)

３次元回転の表現(SO(3))

• ３次元空間のベクトル 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ が、第3軸まわりの角度θ回転によってベクトル 𝑥₁′ 𝑥₂′ 𝑥₃′ にうつされるとすると、その変換は、 • 𝑥₁′ 𝑥₂′ 𝑥₃′ = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ と表される。この行列を𝑇₃(𝜃) と表す。 • 同様に、第1軸まわりの角度θ回転は行列 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝑇₁(𝜃) によって、第2軸まわりの角度θ回転は行列 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟎 𝟏 𝟎 −𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝑇₂(𝜃) によって表される。 𝑥₁ 𝑥₂ はSO(2) 回転を受ける 𝑥₃は不変注） −𝐸 = −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 は 𝑆𝑂(3) の要素ではない

(4)

SO(3)の非可換性

• ある点を第１軸まわりに角度𝜃₁回転させ(𝑇₁ 𝜃₁ )、次に第2軸まわりに角度 𝜃₂回転させる(𝑇₂ 𝜃₂ )変換を考える。 • 𝑇₂ 𝜃₂ 𝑇₁ 𝜃₁ = cos 𝜃₂ 0 sin 𝜃₂ 0 1 0 −sin 𝜃₂ 0 cos 𝜃₂ 1 0 0 0 cos 𝜃₁ − sin 𝜃₁ 0 sin 𝜃₁ cos 𝜃₁ = cos 𝜃₂ sin 𝜃₁ sin 𝜃₂ cos 𝜃₁ sin 𝜃₂

0 cos 𝜃₁ − sin 𝜃₁ −sin 𝜃₂ sin 𝜃₁ cos 𝜃₂ cos 𝜃₁ cos 𝜃₂ • 一方、𝑇₁ 𝜃₁ 𝑇₂ 𝜃₂ = 1 0 0 0 cos 𝜃₁ − sin 𝜃₁ 0 sin 𝜃₁ cos 𝜃₁ cos 𝜃₂ 0 sin 𝜃₂ 0 1 0 −sin 𝜃₂ 0 cos 𝜃₂ = cos 𝜃₂ 0 sin 𝜃₂

sin 𝜃₁ sin 𝜃₂ cos 𝜃₁ − sin 𝜃₁ cos 𝜃₂ −cos 𝜃₁ sin 𝜃₂ sin 𝜃₁ cos 𝜃₁cos 𝜃₂

• これより、𝑇₂ 𝜃₂ 𝑇₁ 𝜃₁ ≠ 𝑇₁ 𝜃₁ 𝑇₂ 𝜃₂ つまり3次元の回転は一般に非可換

(5)

SO(3)の生成子

𝑱_𝟑 = 𝟎 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 , 𝐸₂ = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 とすると、 𝐽₃2 = −1 0 0 0 −1 0 0 0 0 = −𝐸₂, 𝐽₃3 = −𝐽₃, 𝐽₃4 = 𝐸₂, 𝐽₃5 = 𝐽₃, ⋯ より、 𝑒𝜃𝐽3 _{= 𝐸 + 𝜃𝐽} 3 + 𝜃2 2! 𝐽3 2 ₊ 𝜃3 3! 𝐽3 3 ₊ 𝜃4 4! 𝐽3 4 ₊ 𝜃5 5! 𝐽3 5 _{+ ⋯} = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 + cos 𝜃 𝐸₂ + sin 𝜃 𝐽₃ = cos𝜃 −sin𝜃 0 sin𝜃 cos𝜃 0 0 0 1 = 𝑇₃(𝜃) つまり、𝑱_𝟑 が 𝑻_𝟑(𝜽) の生成子となっている。同様に 𝑇₁(𝜃) の生成子は、𝐽₁ = 0 0 0 0 0 −1 0 1 0 ( 𝑒𝜃𝐽1 _{= 𝑇} 1 𝜃 ) 𝑇₂ 𝜃 の生成子は、𝐽₂ = 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 ( 𝑒𝜃𝐽2 = 𝑇 2 𝜃 )

(6)

SO(3)生成子の交換関係

SO(3)  SU(2)/Z

₂



                                             3 1 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 3 2 1 ] , [ ) 3 , 2 , 1 ( ] , [ ] , [ ] , [ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ] , [ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 0 1 0 0 0 , , ) 3 ( l l jkl k j j j l l jkl k j L i L L j iJ L J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J SO   とおくと、まとめて書くと、および同様により、の交換子積を考える。の生成子



      3 1 3 1 ] , [ ) 3 , 2 , 1 ( 2 2 ] , [ l l jkl k j j j l l jkl k j s i s s j s i       とおくと、とほぼ同じ形。換子積これはパウリ行列の交生成子の交換関係が群の構造を決定する完全反対称テンソル Z₂={1, -1} 𝑆𝑈(2)の生成子

(7)

ユニタリ行列とユニタリ群

• エルミート共役＝逆行列（𝑼† = 𝑼−𝟏または 𝑈†𝑈 = 𝐸）を満たす正方行列 𝑈 をユニタリ行列という（直交行列の複素数版）

• 𝑈†𝑈 = 𝐸 の両辺の行列式をとると、det 𝑈†det 𝑈 = 1。また、det 𝑈† = det 𝑈 ∗ より、 det 𝑈 2 _{= 1。よって、}_{|𝐝𝐞𝐭 𝑼| = 𝟏}_。 • 𝑈, 𝑉をユニタリ行列とすると、 𝑈𝑉 † = 𝑉†𝑈† = 𝑉−1𝑈−1 = 𝑈𝑉 −1 より、 𝑈𝑉もユニタリ行列となる。 • 𝑛 行 𝑛 列のユニタリ行列の集合は群をなす。これを 𝒏 次ユニタリ群 (Unitary group)といい、𝑼(𝒏) と表す。 • 𝑈(𝑛) のうち特に行列式が１となる行列の集合は再び群をなす（部分群）。これを特殊 𝒏 次ユニタリ群（Special Unitary group)といい、𝑺𝑼(𝒏)と表す。練習問題）以下の行列の中から、𝑈(2) および 𝑆𝑈(2) の元を選んで記号で答えなさい。ただし、θは実数とする。（１） 𝑒𝑖𝜃 0 0 𝑒𝑖𝜃 （２） 𝑒 𝑖𝜃 ₀ 0 𝑒−𝑖𝜃 （３） cos 𝜃 𝑖 sin 𝜃 𝑖 sin 𝜃 cos 𝜃

(8)

エルミート行列とユニタリ行列

（１） 𝐴がエルミート行列(𝐴† = 𝐴)ならば、exp 𝐴 はエルミート行列（ exp 𝐴 † _{= exp 𝐴}† _{= exp 𝐴 より）}

（２） 𝑨が反エルミート行列(𝑨† = −𝑨)ならば、𝐞𝐱𝐩 𝑨 はユニタリ行列（ exp 𝐴 † = exp 𝐴† = exp −𝐴 = exp 𝐴 −1 より）。また、𝐴 がエルミート行列ならば、𝑖𝐴 は反エルミート行列なので、exp 𝑖𝐴 はユニタリ行列である。

(9)

2 × 2ユニタリ行列の一般形

正則な2行2列複素行列を 𝑉 =

𝛼

𝛽

𝛾

𝛿

(𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 ∈ 𝑪) とおく。

𝑉

†

𝑉 = 1 より、|𝛼|

2

+ |𝛽|

2

= 1 ⋯ 1 , 𝛼

∗

𝛾 + 𝛽

∗

𝛿 = 0 ⋯ (2)

| det 𝑉| = 1 より、𝛼𝛿 − 𝛽𝛾 = 𝑒

𝑖𝜙

(𝜙 ∈ 𝑹) ⋯ (3) とおく。

2 , 3 より、

𝛿 = 𝛼

∗

𝑒

𝑖𝜙

, 𝛾 = −𝛽

∗

𝑒

𝑖𝜙

（*は複素共役を表す）

𝛼 = 𝛼′𝑒

𝑖𝜙2

および 𝛽 = 𝛽′𝑒

𝑖𝜙 2

とおくと、

𝑉 = 𝑒

𝑖𝜙2

𝛼′

𝛽′

−𝛽′

∗

𝛼′

∗

𝛼

′ 2

_{+ 𝛽}

′ 2

_{= 1}

これが𝑈(2) 行列の一般形である。位相部分 𝑈 1

と、行列部分

(𝑆𝑈 2 ) とに分かれる。𝑆𝑈(2) の一般形は 𝛼

′

, 𝛽′ を 𝛼, 𝛽 に戻して書く

と、

𝑼 =

𝜶

𝜷

−𝜷

∗

𝜶

∗

𝜶

𝟐

_{+ 𝜷}

𝟐

_{= 𝟏}

(10)

SU(2) 行列の１＋３（スカラー＋

ベクトル）分解

𝑆𝑈(2) の一般形は３つのパウリ行列と単位行列を用いて表される。

𝑈 =

𝛼

𝛽

−𝛽

∗

𝛼

∗

において、 𝛼 = 𝑥

0

+ 𝑖𝑥

3

, 𝛽 = 𝑥

2

+ 𝑖𝑥

1

(𝑥

0,1,2,3

∈ 𝑹) とおくと、

𝑼 =

𝒙

𝟎

+ 𝒊𝒙

𝟑

𝒙

𝟐

+ 𝒊𝒙

𝟏

−𝒙

_𝟐

+ 𝒊𝒙

_𝟏

𝒙

_𝟎

− 𝒊𝒙

_𝟑

= 𝒙

𝟎

𝑬 + 𝒊(𝒙

𝟏

𝝈

𝟏

+ 𝒙

𝟐

𝝈

𝟐

+ 𝒙

𝟑

𝝈

𝟑

)

ただし、𝐸 = 1 0

0

1 , 𝜎

1

=

0

1

0 , 𝜎

2

=

0 −𝑖

𝑖

0 , 𝜎

3

=

1

0

0 −1

また、|𝛼|

2

_{+ |𝛽|}

2

₌

_𝒙

𝟎 𝟐

_{+ 𝒙}

𝟏 𝟐

_{+ 𝒙}

𝟐 𝟐

_{+ 𝒙}

𝟑 𝟐

_{= 𝟏}

𝑥

₀

は変換によって不変→

スカラー

𝒙 = (𝑥

₁

, 𝑥

₂

, 𝑥

₃

) は

ベクトル

（→ 𝑆𝑂(3) によって変換）的性質を示す。

𝑥 ∙ 𝜎 ←３次元単位球面𝑆3

(11)

ＳＵ（２）の生成子

• 𝑆𝑈(2)の生成子は、

−

1 2

𝑖𝜎

𝑗

(𝑗 = 1,2,3)

である。つまり、

𝑈

_𝑗

= exp −

1 2

𝑖𝜃𝜎

𝑗

• 𝑈

_𝑗

は第 𝑗 軸まわりの回転を表す。

                                   _                        _ _  2 exp 0 0 2 exp , 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos , 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 1 exp 3 2 1                i i U U i i U i E i U_j _j _j 反エルミート行列ユニタリ行列練習問題）上の 𝑈𝑗 (𝑗 = 1,2,3) について、det 𝑈𝑗 = 1 を確かめなさい。

(12)

スピノール

• 𝑆𝑈(2) の元𝑈によって𝜓′ = 𝑈𝜓と変換される複素２成分量 𝜓 = 𝜓1 𝜓₂ をスピノールという • ２つの複素数ベクトル（スピノール）𝜓 = 𝜓1 𝜓₂ , 𝜑 = 𝜑₁ 𝜑₂ の内積 𝜓, 𝜑 ≡ 𝜓†𝜑 = 𝜓₁∗ 𝜓₂∗ _𝜑𝜑1 2 = 𝜓1 ∗_𝜑 1 + 𝜓2∗𝜑2 はユニタリ行列による変換（ユニタリ変換）により不変（スカラー）。 ∵ 𝜓′, 𝜑′ = 𝑈𝜓, 𝑈𝜑 = 𝑈𝜓 † 𝑈𝜑 = 𝜓†𝑈†𝑈𝜑 = 𝜓†𝑈−1𝑈𝜑 = 𝜓†𝜑 = 𝜓, 𝜑 • ２つのスピノール𝜓 = 𝜓1 𝜓₂ と 𝜑 = 𝜑₁ 𝜑₂ の積（テンソル積）によりつくられる２ｘ２行列 𝑀_𝛼𝛽 = 𝜓_𝑎𝜑_𝛽(𝛼, 𝛽 = 1,2) は次のように分解される。ただし、 𝜑 = 𝜖𝜑 = _−𝜑𝜑2 1 , 𝜖 = 0 1 −1 0 𝑀 = 𝜓1𝜑1 𝜓1𝜑2 𝜓₂𝜑₁ 𝜓₂𝜑₂ = 𝜓₁𝜑₂ −𝜓₁𝜑₁ 𝜓₂𝜑₂ −𝜓₂𝜑₁ = 1 2 𝑥₀ − 𝑥₃ −𝑥₁ + 𝑖 𝑥₂ −𝑥₁ − 𝑖 𝑥₂ 𝑥₀ + 𝑥₃ = 1 2 𝑥0𝐸 − 𝒙 ∙ 𝝈 • 𝑥₀ = 𝒕𝝍𝝐𝝋 = 𝜓₁𝜑₂ − 𝜓₂𝜑₁ はスカラー、𝑥_𝑖(𝑖 = 1,2,3) = 𝒕𝝍𝝐𝝈_𝒊𝝋 = (𝜓₁𝜑₁− 𝜓₂𝜑₂, 𝑖(𝜓₁𝜑₁ + 𝜓₂𝜑₂), −(𝜓₁𝜑₂+ 𝜓₂𝜑₁)) はベクトル２ｘ２＝１＋３スピノールスピノールスカラーベクトル練習問題）(1) 𝑆𝑈(2)の元を𝑈とする。 𝑡𝑈𝜖 = 𝜖𝑈† が成り立つことを示しなさい。 (2) 𝑡𝜓𝜖𝜑 (= 𝜓₁𝜑₂ − 𝜓₂𝜑₁) が𝑆𝑈(2)の元による変換によって不変であることを示しなさい

(13)

ＳＵ（２）行列によるスピノールの

変換（１）

回転を表す平面における角度および回転、平面における角度これはより、 2 Re Im 2 Im Re 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos , 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 1 exp 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1                         z z z z x y x y y x y x y x i x y x y i y x iy x iy x U z z U i i i U                    _                                                 _ _        _       _        _                                   _ _  スピノールを 𝜓 = 𝑧_𝑧1 2 = 𝑥₁ + 𝑖 𝑦₁ 𝑥₂ + 𝑖 𝑦₂ とおく Im 𝑧₁ Im 𝑧₂ Re 𝑧₁ Re 𝑧₂

(14)

ＳＵ（２）行列によるスピノールの

変換（２）

回転を表す平面における角度および回転、平面における角度これはより、 2 Im Im 2 Re Re 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos , 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 1 exp 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2                         z z z z y y y y x x x x y y i x x y y i x x iy x iy x U z z U i U                   _                        _                          _        _       _        _                           _       _ _  𝜃 2 ×

(15)

ＳＵ（２）行列によるスピノールの

変換（３）

回転を表す平面における角度および回転、平面における角度これは 2 2 2 1 exp 2 1 exp 2 1 exp 0 0 2 1 exp 2 1 exp 2 1 2 1 2 1 3 3 3         z z z i z i z z U i i i U                                                                 _ _  対角化されている

(16)

SO(3)とSU(2)の変換性

• 𝑆𝑂(3) → 𝑇

_𝑗

=

exp −𝑖𝜃𝐿

_𝑗

(𝑗 = 1,2,3) によっ

て、

_{ベクトル 𝑣 =}

𝑥

₁

𝑥

₂

𝑥

₃

を変換 (𝑣

′

= 𝑇

_𝑗

𝑣)

• 𝑆𝑈(2) → 𝑈

_𝑗

=

exp −

1

2 𝑖𝜃𝜎

𝑗

𝑗 = 1,2,3 によっ

て、

_{行列 𝑋 = 𝑥}

₁

_𝜎

₁

_{+ 𝑥}

₂

_𝜎

₂

_{+ 𝑥}

₃

_𝜎

₃

₌

𝑥

₃

𝑥

₁

− 𝑖𝑥

₂

𝑥

₁

+ 𝑖𝑥

₂

−𝑥

₃

を変換 (𝑋

′

= 𝑈

𝑗

𝑋𝑈

𝑗

†

)

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃

は同じ変換性を示す

_



 

k ki j k j i j

U

T

U



†



(17)

ＳＵ（２）によるベクトルの変換

• 行列 𝑋 のユニタリ行列 𝑈 による変換（ユニタリ変換）を𝑼𝑿𝑼†で表す。このとき、−det 𝑋 = 𝑥₁2 + 𝑥₂2 + 𝑥₃2 は不変に保たれる・𝑆𝑈(2) の３つのユニタリ行列 𝑼_𝒋 = 𝐞𝐱𝐩 −𝟏 𝟐𝒊𝜽𝝈𝒋 (𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑) を用いて、 𝑋 は次のように変換される





                                                        _        _ _  3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 3 2 1 1 3 3 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 ' ' ' ) 3 , 2 , 1 ( ' ' ' ) cos sin ( ) sin cos ( ) ( ) sin cos ( ) ( exp 2 1 exp ) ( 2 1 exp x x x x x x i x x x x x x x x x x i E x x x i x i x x x i XU U i                                  の係数を比べると、変換の前後で † 3 1 1 3 2 1 1 2             3x3行列による表現 (𝑆𝑂 3 ) この変換は、𝑥₁ 軸まわりの角度 𝜃 回転を表す。同様に、𝑈₂𝑋𝑈₂† は 𝑥₂ 軸まわりの角度 𝜃 回転を、 𝑈₃𝑋𝑈₃† は 𝑥₃ 軸まわりの角度 𝜃 回転を表す。

(18)

パウリ行列による３つの回転

第１軸回転によって第３軸回転 (𝑈 1 ) と第２軸回転 (𝑆𝑂 2 )を等化                                                                                                                                    0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 2 1 i i i i i i i i i i i   

i

1 0 =1 0 1

-i

0 −1 第２軸回転第２軸第３軸回転第３軸第１軸第２軸回転第３軸回転第１軸回転第１軸回転 −1 0 =−1