アイソスピン対称性とカイラル対称性
著者名(日)
手塚 洋一
雑誌名
東洋大学紀要. 自然科学篇
号
48
ページ
19-73
発行年
2004-03
URL
http://id.nii.ac.jp/1060/00002487/
Creative Commons : 表示 - 非営利 - 改変禁止 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja手 塚 洋 一
Isospin Symmetry and Chiral Symmetry
Hirokazu TEZUKA
abstract We discuss stability of the system under isospin transformation and chiral transfor－ Illation． The systeln collsists of fermions and scalar and vector bosons， We丘rst discuss right．left symmetry and global phase t，ransformations in U（1）space． The discussion is extended illto SU（2）space with isospin degree of freedoln． Pseudoscalar interactions and axialvector interactions are introduced to make the system isospill symmetry and chiral symmetry． Next chiral symmetry breaking term and isospin mixing terms are added to the system． Applying mean丘eld approximation to bosons， the constallts introduced in the theory are related to the experilnental masses and pion decay collstallt．1 Right－Left対称性（カイラリティ）
この論文では大域的な位相変換に対する系の安定性を議論する。まずアイソスピン自由 度を考えないU（1）空間でのR一変換、L一変換ならびにR－Lの連動した位相変換に対する 対称性を検討する。ベクトル型の変換と軸性ベクトル型の変換を定義し、理論の不変性を 調べる。理論が軸性ベクトル型変換に対して不変となるためには、スカラー相互作用だけ ではなく、擬スカラー相互作用が必要であることがわかる。 次に、アイソスピン自由度を持つSU（2）空間に議論を拡張する。まず、ベクトル型の変 換と軸性ベクトル型変換に対する対称性を検討し、これらの変換に対し対称となる理論を 作り、平均場近似を適用する。これらの変換はアイソスピン対称性、カイラル対称性とし て知られており、強い相互作用の基本的な対称性と考えられている。さらに、対称性を破 る項を導入し、理論に使われた定数と、実験で決められる粒子の質量、パイ中間子の崩壊 定数などとがどのように関連付けられるか平均場近似を使って検討する。 まず最初に、U（1）空間（アイソスピン自由度を考えない空間）でベクトル相互作用とス ＊東洋大学自然科学研究室 〒351－8510埼玉県朝霞市岡2－11－10 Natural Science Laboratory， Toyo University，11－10，0ka 2， Asaka－shi， Saitama 351－8510， JAPANカラー相互作用をするフェルミ粒子のLagrangian密度を考える。 L＝ψ｛わμ∂μ一ty Pt Vp－（M－S）｝ψ （1・1） ψは質量Mを持つフェルミオン場であり、Vp、 Sはフェルミオンと相互作用するベクト ル場、およびスカラー場である。ザはDiracの7行列である。 フェルミオンの運動方程式であるDirac方程式は ｛的μ∂μ一ty pa Vp－（M－5）｝ψ＝0 （1・2） となる。これに左から75＝的碑1乃午3をかけると ｛itystyμ∂ゾ午57μ玲一（M－S）or5｝ψ＝0 となるが｛tyμ，ty5｝＝7μ笛＋t＞・5・Yit＝0を使って整理すると ｛的μ∂μ一〇rμ Vp十（M－S）｝（午5ψ）＝0 （1．3） となる。（1．2）と（1．3）を比較すると、スカラー部分の符号だけが異なっており、質量がな く（M＝0）、スカラー相互作用がない（S＝0）ならばψも（75ψ）も同じ固有値方程式 を満たす固有関数になることがわかる。 ここで 1 ψR＝豆（1＋75）ψ （1・4） 1 ψL＝豆（1－ty5）ψ （1・5） を定義すれば 1＿ ＿ 1＿ ψR＝豆ψ（1＋N5）＝至ψ（1－ty5） （1・6） 1＿ ＿ 1＿ ψL＝ラψ（1一可s）＝至ψ（1＋ty5） （1・7） となる。さらに7ξ＝1、｛午5・午μ｝＝Oを使って ψ＝ψR＋ψL 75ψ＝ψ況一ψL tysthR＝ψR また ψRψR＝0
輌一ψ1芸5ψ
万醜一訪・。1三午‘ψ ψR午μψL＝0 などの性質から ψψ＝ψLψ冗＋ψRψL ψ＝ψR＋ψL ψ75＝ψL一ψR ’〉’5thL＝一ψL ψ乙ψL＝O訪。ψ…1
|㍉
v…、ψ醜。1
f5ψ
ψゾγμψR＝0 （1．8）ψ75ψ＝ψLψ∫～一ψRψL （1．9） ψ午μψ＝ψR7μψR＋thL’〉’μ’iPL （1・10） ψ午μ午5ψ＝ψR7μψR一ψL午μψL （1ユ1） ψっ・57μψ＝ψガγμψL一ψR7μψR （1・12） が求まる。 Lagrangian密度（1．1）をψR、ψLで書き直すと L＝ψRtyμ（i∂μ一v”）ψR＋ψL7μ（i∂μ一Vp）ψL 一ψR（M－S）ψL一ψL（M－S）ψR （1．13） となるから、これに対するDirac方程式は itYPt∂μψR－．＞IA・ Vi↓V）、R－（M－S）ψL＝0 （1．14） わ・μ防、ψL－7μ㌦ψL－（M－S）ψR＝0 （1．15） である。すぐわかるように、R工の混合は質量およびスカラー相互作用のために起こる。
2 大域的U（1）カイラル対称性
アイソスピンを考えない空間でのR－L対称性を考える。 2．1 U（1）R×U（1）Lカイラル群 i）ベクトル部分のみを考えた場合 R－Lを混合するのはスカラー部分だけであるから、まずこの項を除いて、混合のない場 合を考えてみる。Lagrangian密度は Lv＝ψ㌢μ（i∂μ一Vu）ψ ＝ψRty’ll（i∂μ一Vp）ψR＋ψL7μ（i∂μ一Vll）ψL （2・1） となる。これに対し、独立な2つの位相変換 R一変換 ψ∬t－一→ψ5＝exp（iθR）ψR （2．2） L一変換 ψL－→ψt＝expσθL）ψL （2．3） を考える。θR、θLは定数である。わ5＝め5、有＝一的を考えると ア・一訪（1デ5）・xp（一・θ・）一万。・xp（一・θR） （…） 万・一ψ（L’Vitys）・xp（一・θ・）－V…xp（一・θ・） （…）％一一 iψR＝一ψR助μ‘ψR＝ψ舖μψR δ（∂μψR） L一変換に関するカレント（L－current） 」．”＝ψL午μψL を定義すると、対応するDirac方程式 7μi∂μψR－ty P］VI， zb R＝0 －i∂μψR7μ一VpψR7μ＝0 7μτ∂μψL一㌢μηψL＝0 －i∂μψガγμ一巧、ψL午μ＝0 を使って ＿ ＿ 1 ＿ ＿ 1 ∂・．71A－（∂・ψ・）tyμthR＋ψ・午μ∂・ψ・一一7Wぴψ・＋ψ吟慨ψ・一゜ ∂μ批一〇 となり、個別にカレントが保存することを示せる。 である。この変換に対してLvは Lv－→∠㌘v＝ψ’7μ（司κt－Vps）ψ’ ＝ψ’R7μ（乞∂μ一Vp）ψ6＋ψ’ガγμ（渇μ一Vl，）ψt ＝zbR exp（－iθR）7μ（i∂μ一VPt）exp（乞θJZ）ψR 十ψLexp（－iθL）・yps（i∂μ一V』）exp（iθL）ψL ＝ψR午μ（i∂μ一Vp）ψR＋ibL’rμ（i∂μ一咋）ψL ＝Lv と不変である。変換（2．2）、（23）に対して理論が不変となることをカイラル不変であると 言う。 カレントの定義より、R一変換に関するカレント（R－current） δ乙 ＿ ＿ （2．6） ii）スカラー部分も含めた場合 L＝ψ㌢μσ∂μ一Vll）ψ一（λ∫－s）ψψ ＝ψ∫～午μ（i∂μ一Vu）ψR＋ψL寸μ（ias，－MJψL－（M－s）（ψRψL＋ψLψR） （2．7） （2．8） （2．9） （2．10） を考える。ベクトル部分は変換に対して不変であるが、スカラー部分が独立な変換に対し て不変にならないことはすでに示した。そこで、R－Lが連動した変換を考える。 まずベクトル型変換として θR＝θL＝θじ となる場合を考えると ぽ一輌）ψ一｛exp（iθ1・）ψRexp（iθのψL｝ （2．11） （2．12）
訪一万一」 exp（－iev）一｛謡二膓：；｝ に対して、独立には不変とならなかったスカラー部分が ψRψL＋ψLψR－→ψRψL＋ψLψR と変化しないことが示せる。カレントは 畔＝ψR午μψR＋ψL午μψL＝ψ7μψ となるので、この変換はベクトル型と呼ばれる。 軸性ベクトル型変換注）として θR＝一θL＝θA ととると ψ一㎡一exp（・e・’・・s）・・b－｛㌶㍑｝ ψ一アーψ綱㈲一｛ψRexp（－iθAψLexp（iθA））｝ となる。この変換に対して質量項は ψRψL＋ψLψR－→ψRexp（－2iθA）ψL＋ψL exp（2iθA）ψR となり、保存しないことがわかる。この変換に対応するカレントは ㍗＝ψR午μψR一ψL7μψL＝thtyμtys th となり、軸性ベクトル（擬ベクトル）カレントと呼ばれる。 実際に計算すると ∂μ畔＝（∂μψR）tyμV，R＋thRtyμ∂μψR＋（∂μψL）7μψL＋zt」L・〉・μ∂μψL＝0 ∂μ、アζ＝（∂μψR）7μψR＋万R7μ∂μψ」～一（∂μ」，）7μu，L一元万L㌢μ∂μψL ＝2i（A4－S）（ψLψR一ψRψL）＝2i（M－S）ψ午5ψ≠0 （2．13） （2．14） （2．15） （2．16） （2．17） （2．18） （2，19） （220） （2．21） となり、ベクトルカレントは保存するが、スカラー部分が0でなければ、軸性ベクトルカ レントは保存しないことが示せる。 注） ・x晒・）一・＋iθ…一；θ2－i…；θ3＋・
2．2 ＝cosθ＋的5 sinθ であるから ψ一→ψ’＝exp（iθA’r5）ψ 一（…θ・璃・…e・）1芸5ψ cosθA十i75 sinθA士午5 cosθA士isinθA ψ 2 －｛…（士・A）＋i…（±・A）｝苧ψ 一｛exp（iθA）ψRexp（－ieA）ψL｝ となる。ベクトル型の変換 ψ一→ψ’＝exp（iθV）ψ に対し、軸性ベクトル型の変換は ψ一→ψ’＝exp（XθA75）ψ と書ける。この変換はカイラル変換とも呼ばれる。 2 （COSθA士iSinθA）士ty5（COSθA土iSinθA） ψ U（1）カイラル対称性 スカラー項が存在する場合の軸性ベクトル変換（カイラル変換）についてもうすこし議 論しよう。Lagrangian密度 £＝ψ午μ（i∂μ一Vp）ψ一（M－s）ψψ に対し、大域的カイラル変換（軸性ベクトル変換） ψ（x）一→ψ’（x）＝exp（わ5θ／2）ψ＠） を考える。（θは定数） θ θ ・・p（iry・θ／2）＝…ラ＋ity・・i・i であるから exp（itysθ／2）午μexp（乞午5θ／2）＝午μ となり、Lagrangian密度は L－→ψexp（わ5θ／2）午μ（i∂μ一V”）exp（dツsθ／2）ψ 一（M－S）ψexp（的5θ／2）exp（irysθ／2）ψ （2．22） （223） （2．24） （2．25）
＝ψ午μ（i∂μ一㌦）ψ一ψexp（ity5θ）（M－S）ψ （2・26） と変換される。第1項は不変だが第2項の質量、スカラー相互作用の項が変化する。 このスカラーの項を処理するために、保存しない部分のLagrangian密度を Ls－一（M－S）」v・ 一・£・s－一・V…p（かφ）ψ （2・27） と書き変えてみる。φは擬スカラー場、g、 fπは定数とする。この項は大域的カイラル変 換（2．23）に対し ∠・PS－一・－9ψ7 exp（詰・φ’）ψ／ 一一《（ θη5乏）exp（かりexp（，・・1）ψ 一一《｛i75（・＋ξ）｝ψ と変換するので φ’＝φ一fπθ ととれば、この項は不変になることがわかる。
exp（ピφ）一弓＋《撒
であるから、ボソン場としてS－・…撒1スカラー場
P－…弓・擬スカラー場
とおくと L・・一一・T・・xp（かφ）ψ ＝一ψ（s＋itγsp）ψ となり、この項はカイラル変換 ψ（x）一→tht（x）＝exp（的5θ／2）ψ（x） φ一一→φ’＝φ一fπθ に対して不変となる。この変換はボソン場に対しては・一一s’一・弓一酬撒一・）
一・…ピ・＋・・弓曲・
（2．28） （2．29） （2．30） （2、31） （232） （2．33） （2．34） （235）＝8cosθ十・P sinθ （2．36） 同じく P－→ P’＝」Pcosθ一Ssinθ （2．37） となる。カイラル変換はスカラーと擬スカラーを混合する変換である。また S2 ＋・P2－S’2＋P’2－92 （2．38） を満たす変換なので、カイラル回転とも言われる。スカラー場に対し、対応する擬スカ ラー場を導入することにより理論をカイラル変換に対し不変にすることができる。 スカラー場をスカラー粒子と考え、さらに擬スカラー粒子とその相互作用を導入する。 Pを擬スカラー粒子の場として L＝ψ午μ（ψμ一Vp）ψ一ψ（M－S）ψ＋ψη5・Pψ ＋1・，S∂・S－lmきS2＋1・．P・・P－lm；P2 （・・39） を考える。ms、 mPはそれぞれスカラー粒子の質量、擬スカラー粒子の質量である。 Dirac 方程式は 吟μ∂μψ一7μVpsth－（M－S）ψ＋わ5・Pψ＝0 （2・40） であり、ボソン場の運動方程式（Klein－Gordon方程式）は
∂。∂μ5＋頑S一ψψ （2．41）
∂μ∂μP＋m7p＝碗午5ψ （2．42） となる。カイラル変換 th（x）一→ψ’（x）＝exp（itysθ／2）ψ（x） （2．43） ψ＠）一→ψ’（x）＝ψ＠）exp（的5θ／2） （2．44） に対し、軸性ベクトルカレントは δL 1 1＿㍗＝一・（∂。ψ）’…ラψ＝ラ酬・ψ ㈱
となるから ・。鵠｛（∂μ’e・）tyμtys V，＋thtyμfr5∂μψ｝ ＝ψ斯5（M－S）ψ＋ψPψ （2．46） である。さらに、スカラー場、擬スカラー場を混合する変換 S－一＞Scosθ十．P sinθ （2．47） P－一→Pcosθ一Ssinθ （2．48）を考えると、軸性ベクトルカレントは δL 1 δL δL 批＝一δ（∂。ψ）呼一・（・。・）P－・（・。P）s 1＿ ＝豆ψ7μ75ψ一（∂μS）P＋k（∂μP）S と変更されるから 1 ＿ ＿ ∂曝一i｛（∂・ψ池・ψ＋th’r’‘’＞t・∂・ψ｝一（∂・∂”s）P＋∂μ5∂・P ＋（∂μ∂μP）s－∂μP∂，β ＝i万わ5ルfψ＋（η弓一m2P）SP と質量項のみ残ることがわかる。 またベクトル型の変換 ip（x）一→th’（x）＝exp（iθ／2）ψ＠） th（x）一→ψ’（x）＝ψ（コc）exp（iθ／2） （2．49） （2．50） （2．51） （252） に対しては
擁一
f）ξψ一；働
（2．53） であるから ・。擁一；｛（・。砺・ψ研∂。ψ｝ 一；｛thtyμ v， th＋ψ（凡f－s）ψ一碗・・Pψ 一ψ午μ玲ψ一ψ（M－s）ψ＋ψ的5Pψ｝ ＝0 （2．54） （2．55） となり、ベクトルカレントは保存する。このカレントに対しスカラー、擬スカラーの変換 を考慮する必要はない。 以上、ベクトル相互作用は存在していてもカイラル変換に対する対称性を破ることはな い。スカラー相互作用は擬スカラー相互作用を導入することによって対称性を回復でき、 保存しないのは質量項のみである。もし、フェルミオンの質量がなくスカラーと擬スカラー の質量が等しい場合は、ベクトルカレントも軸性ベクトルカレントもともに保存する。3 SU（2）大域的位相変換
SU（2）空間でのアイソスピン自由度を持つ粒子の位相変換を議論する。3．1 SU（2）R×SU（2）Lカイラル群 フェルミオンをアイソスピン空間でのスピノール、すなわち、2つの自由度を持つと考 え ψ一
早j一ψ 九一（＃z）＋㈲
（3．1） とし、ベクトル場、スカラー場としてそれぞれアイソスカラー（自由度1）の玲、Sと アイソベクトル（自由度3）のVμ、Sを考える。以下、太字はアイソスピン空間でのベ クトルを表すものとする。Lagrangian密度は L＝ψ｛7μ（i∂μ一Vu－vμ・τ）一（M－s－s・τ）｝ψ 一；｛ψR的μ（∂μψR）＋（・。」・）（一・’r・）ψ・ ＋訪L的μ（∂μψL）＋（∂μ元万L）（一的μ）ψL｝ 一ψR午μ（v、＋vμ・ア）ψR－thLt）・μ（Vu＋vμ・r）ψL －｛ψR（M－S－S・ア）ψL＋ψL（1しf－S－S・τ）ψR｝ （32） である。ただし、τはアイソスピンPauli行列であり、フェルミオンの質量Mはアイソ スピン空間の対角行列 である。Dirac方程式はo妬
嶋o
（
＝M
わμ∂μψR一午μ（V”＋yμ・ア）ψR－（M－S－S・ア）ψL＝0 －i∂μψR7μ一zbRtyμ（VPt＋yμ・ア）一ψL（ルf－S－S・ア）＝0 けμ∂μψ乙一7μ（Vt、＋vμ・τ）ψL－（M『－S－8・τ）ψR＝0 －i∂μψ乙7μ一ψL7μ（Vp＋Vμ・τ）一ψR（M－S－8・1－）＝0 となる。 （22）、（2。3）に対応するSU（2）空間でのR－L位相変換 θR・7 ψR－→ψ～～＝exp（i ）ψR 2 θL・r ψL－→ψt＝expG ）ψL 2 に対するカレントは δL τ ＿ T ＿ ア プ‘＝一・（・。ψ市ψ・＝一ψ・’咋ψ・＝ψ・ちψ・ 5乞一v・・y・iiv・L （3．3） （3．4） （3．5） （3．6） （3．7） （3．8） （3．9） （3．10） （3．11）であるが e，…k一嚥）・・；ψ・＋砺・・5・幽 － T T ＝iψR7μ（yμ’丁亘一5γμ’T）ψR － T －
7
＋乞ψL（M－S－S’τ）ラψR－iψR百（M－S－S’T）ψL （3・12） ここで α・7b・ア＝a・b十iτ・α×b＝α・b十ia・b×ア＝α・b十ib・τ×α （3．13） を使って整理すると ∂μごア£＝一ψR7μτ×vμψR － T － ア ＋τψL（M－S－S’r）ラψR－iψRZ（M－S－S’r）ψL （3・14） となる。アイソベクトル相互作用と質量、スカラー項のため、独立には保存しないことが わかる。同様に ∂μ」「靴＝一ψL午μア×VμψL － ア － ア ＋乞ψR（M－S－S’T）百ψL一乞ψLラ（M－S－S’τ）ψR （3・15） である。 3．2 ベクトルカレント ベクトル型の変換 θR＝θL＝θv に関するカレントとして プc一プ芸・プ靴一Try・；ψ すなわち、変換 ψ一ψ一・・p（．θv・丁τ 2）ψ一・・p（・θ号ア）ψ・＋・xp（・・θ2！’s－［！・7）ψ・ T－・万一」・・p（一・θ1；ア）－IZ」。・・p（一・θ1；ア）・IJ。・・p（一・θv；τ） に対するカレントを定義すると ・・5c－（∂μψR）・・μ li v’ R＋玩’争ψ・＋嘱）・μ鋭・砲μ；・…bL ＝一ψぴア×vμψR一ψL午μτ×yμψL － T ア ＋iψL｛（M－s s’τ）元「m互（ル∬－s－s’τ）｝ψR ＋妬｛（M－s－s・τ）i－；（M－s－s・r）｝ψ・ （3ユ6） （3．17） （3，18） （3．19）－ － T T ＿ ＝－zbYT×γ・ψ＋τψ（M5－5M）ψ＋ψ・・sψ となる。ただし［S，τ］＝0を仮定した。また
［A，・…1］一（㌘の（？6）一問（㌢、：）
一（！v、．9Mp Mp 6 Mn）［1…，…］・一（㍑乳）（1訪一（1訪（㌣正）
一し㌦）z（鵬一ルち0））
陶一（A4poOrVfn．）（；』1）一（6P，）（㌣L）一・
（320） となるから、Mp＝MnならMとアは交換し、質量部分は消える。しかしながら、アイ ソベクトル相互作用（Vμ、S）が存在すればベクトルカレントは保存しない。これを解消 するにはアイソベクトル粒子に付随するカレントもきちんと考慮する必要がある。 ボソン場を質量をもつ粒子と考え、新たなLagrangian密度 ∠二＝ψ（ityμ∂μ一M）ψ＋ψ（9SIS＋9S2ア・S）ψ一ψ’γμ（9V1 Vt，＋9V2τ・yμ）ψ ＋；（・．S）2 一 1・き，S2 ＋ 1（・。S）2－；頑・S2恥・Fμ〃＋；嚇γ・－IF．プ蜘；碕・V、， ・・V・ （・・21）
を考える。ただし9S1，9S2，9Vl，9V2は相互作用の強さを決める定数であり、MS1，ms2，ML・1，MV2 はボソンの質量である。また 砺一∂ルー∂・Vi、 Fμ。＝∂μv。一∂“γμ である。 運動方程式は、Dirac方程式として わμ∂μψ一MW＋（9SIS＋9s2τ・S）ψ一午μ（9v1陥十9v2T・γμ）ψ＝0 一τ∂μψnyμ一th AI＋ψ（9s1S＋9s2τ・S）一ψ午μ（9vエレP＋9γ2τ・Vμ）＝0 スカラー系のボソンに対するKlein－Gordon方程式は ∂〃∂Us＋m3，s＝ψ951ψ ∂u∂us＋mξ，8一万9s2γψ ベクトル系のボソンに対するProca方程式は ∂。Fμレ＋励γレー∂。∂”vv－∂。∂”γμ＋m↓1γレーVgV17レψ （3．22） （3．23） （3．24） （3．25） （3．26）∂μFμv＋ηル2Vレ＝∂μ∂μV”一∂μ∂UVμ＋m↓2γレ＝ψ9V27”丁ψ となる。ボソン場も含めたベクトル型の変換 ψ一ザ・・p（ieE’iis1t－r）ψ V－・輌・xp（ ．θレゲーz 2）
s＿→s’＝s
s－→s’＝s一θv×s （Si－→Sl＝Srε、ゴ★θVj S★） v、，．一一吻一η vμ一一→vQ＝vμ一ev×vμ （v”i－一→v”z＝VPti－Ei」’kθvj Vpk） を考え、対応するカレントを定義すると プ／、（δL∂μψ）ξψ＋、（蒜）E・j・s）＋蒜）E・jkVuJ － T ＝ψ7μラψ＋s×∂μ5－vリ×Fμレ となるが、運動方程式を使って整理すれば ・…Te・一一（・・砺・；ψ酬；・・ψ＋（…）・∂μs・8・∂・∂μs －（∂μvの×Fμu－v。×∂μFμレ － 7 ＝乞ψ［M，三Σ］ψ が交換し消える。 も呼ばれる。 3．3 軸性ベクトルカレント 軸性ベクトル型変換 eR＝－eL＝θ．4 に対し、カレント ＿ 7 ・li4一プ‘一プ乞一e，一） ” ty，s 5 V’ を考える。すなわち変換 ・1・ 一・・ht－・X・（．θA・7－？ 2 午5）・一・xp（已ア輌＋・xp（芦・・）ψ・ 一・xp（．θ．4・τ1 2）・…X・（一・θ4；丁）viiL （3．27） （3．28） （3．29） （3．30） （331） （3．32） （3．33） （3．34） （3．35） （3．36） となり、フェルミオンの質量項以外はなくなる。この質量項はMp＝MnならばMとア この変換ではすべてのスカラーとベクトルが独立に変換することに注意する。また、ア イソベクトル粒子に対し、異なるアイソスピン状態を混合させるのでアイソスピン回転と （3．37） （3．38） （3．39）』アー訪・xp（・θA；τ・・）一砺・xp（・θA；τ唾・xp（－i？’”「） を定義すると、（3．14）、（3．15）を使って ・・」賃一（・・iZJ・）o・・liψR＋w・i・・ψr（・・万・）・・；ψ・一ψ…；・・ψ・ 一縮・・v・ψ緬・｛（M－s）；＋9（M－・）－s｝ψ （3．40） （3．41） となることが示せる。スカラー部分、アイソベクトル相互作用部分が保存しないが、これ らの保存しない部分を処理するため、ベクトルとスカラーを個別に取り扱う。 i）ベクトル部分 ベクトル相互作用のアイソベクトル部分を消去するため軸性ベクトル相互作用を導入し、 それぞれの場を質量をもつベクトルボソンVPi yμと軸性ベクトルボソンAμ、 Aμであ ると考える。スカラー部分は一時的に考慮しない。Lagrangian密度は L＝ψ（的μ∂μ一ル∬）ψ一ψ午μ（9VIVPt＋9V2r・Vμ）ψ 一ψ・γ5午μ（9．・iiAt，＋9A2τ・Aμ）ψ
事〃F・〃＋；輌γ・－2F．・F・u＋；沸・v。・y・
一 iG。・G・v＋；楓A・－IGμ・Gコぷ。・A・（・・42）
である。ただし9VI，9L・’2，9A1，9A2は相互作用の強さを決める定数であり、Mγ1，mv2，mA1，mA2 はベクトルボソン、軸性ベクトルボソンの質量である。また Fpau＝∂μレレー∂v Vp Gμレ＝∂μん一∂レ・4μ Fμレ＝∂μγ“一∂μvμ Gμ。一∂μん一∂。Aμ である。 Dirac方程式は わμ∂μψ一Mψ一午μ（9γ1咋＋9V27－・Vμ）ψ 一tySl’μ（9AIAge＋9．42ア・Au）ψ＝O －71∂μψ7μ一ψλ∫一ψ7μ（9L・1 V”＋9v2r・γμ） －dity50rμ（9AIAI，＋9A2τ’Aμ）＝O Proca方程式は ∂μFgeu＋ηル1γ”＝∂μ∂μγ”一∂μ∂”γμ＋M…n VU＝万9v1㍗ψ ∂。Fμ＋・碕2VレーぴぴVレー∂，∂UV”・ ＋ m2v2VU一万9γみτψ OI、Gt‘U＋’rrtZtlAV＝∂μ∂μAU－∂μ∂UAμ＋η亀1．4レ＝万9A 1午5午レψ ∂。Gμレ＋m12A”一∂。∂μAU－∂。∂レAμ＋鳩2A〃一ψ9A2午5午”アψ となる。 （3．43） （3．44） （3．45） （3．46） （3．47） （3．48）ボソン場も含めた軸性ベクトル型変換 ψ一砺一・xp（dy・e6’堰I7）ψ IZ；一・アーψ・xp（i’y・el’i！7） v。一→VJ＝v。
v。－v2一γ。＋θA・A。
Aμ一→AL ＝・AμAμ一→AL＝Aμ＋eA×Vμ
（w－・琉一v、，i＋鰍θ・ゴA。k） （A。i－A2，－A。汁ぴθAフ㌦A，） （3．49） （3．50） （3．51） （3．52） （3．53） （3．54） を考える。この変換はアイソベクトルボソンを混合する変換となっている。この変換に対 するカレントは δL τ δL δL ・IA＝一δ（∂。ψ）嘱ψ一δ（∂。v。、）c・j・A・j－・（∂両）E・j・ Vu・一酬・；ψ＋ん×F”v ＋・V〃×Gμレ （・・55）
である。 ・・Sl－（∂μψ）・…；ψ緬…9・・ψ ＋（∂μん）×Fμ＋ん×∂μFμ＋（砂γ“）×G”v＋v。×∂μGμレ ー輌・（M：＋｛i M）ψ＋（m3・－mZ・）y・×A・ ＋ψ（9v2－9A2）75tyμτ×Vμψ一ψ（9v2－9A2）7μア×Aμψ （3．56） となり、アイソベクトルボソンの結合定数が等しければ（9V2＝9A2）、質量項のみ残るこ とがわかる。さらに、アイソベクトルボソンの質量が等しければ（mv2＝MA2）、フェル ミオンの質量項のみが残る。すなわち、保存しないのはアイソベクトルボソンとフェルミ オンの質量項であり、アイソスカラーボソンの相互作用結合定数、質量はどのようにとっ ても理論の対称性を保存する。 ii）スカラー部分 次にスカラー項を考える。ベクトル項は一時除いておき、擬スカラーボソンP、Pを 導入する。 L＝tt）（io’μ∂μ一M）ψ＋ψ（．9SIS＋．9s2 7 ・ S）ψ＋ψけ5（9Plp ＋ 9P2T・P）ψ ＋；（・，S）2－1・mg，s2 ＋ 3（・。S）2－1・9・S2・；（・，P）2－1唖・P2＋；（・。P）2一諸P2 （・・57）
ただし9S1，9S2，9p］，9p2は相互作用の強さを決める定数であり、 M51、mS2、Tn．p1、．MP2は スカラーボソン、擬スカラーボソンの質量である。 Dirac方程式は 的μ∂μψ一Mψ＋（9SIS＋9s2τ・8）ψ＋門5（9PIP＋9p2τ・P）ψ＝0 （3．58）一‘∂μψ午μ一V）AI＋ψ（9SIS＋9s2ア・S）＋ψ（9Plp＋9P2ア・P）的5＝O KIeil1－Gordon方程式は ∂u∂VS＋m318＝元万9Slth ∂レ∂US＋m62S＝≡万9S2τψ ∂y∂レP＋m｝，lp＝i万τ9P175ψ ∂“∂Up＋γ弓2P＝碗9P2午5アψ となる。 ボソン場も含めた無限小カイラル変換（eAは非常に小さい） ψ一ψ’一・・p（…e・’V！r）ψ ψ一・万一ψ・・p（ eA・τZty5 2） S－→5”＝Scos eA 十P・εsinθA eS十P・θA P－→P’＝P cos eA－sesinθA x P－seA S－→S’＝Sc・sθ．4 ＋pesin eA fu s＋peA P－・P’＝Pc・sθA－S・esil・θA ・・ P－S・θA θA θA （3．59） （3．60） （3．61） （3．62） （3．63） （3．64） （3．65） （3．66） （3．67） （3．68） （3．69） を考える。ただし、ε＝一である。この変換はスカラー・アイソスカラーと擬スカラー・ アイソベクトルを、また、スカラー・アイソベクトルと擬スカラー・アイソスカラーを混 合する変換である。この変換に対するカレントは プ賃一一、（δL∂μψ）的・；ψ一、（莞，）P－、（器）（－s） δL δL 一δ（∂。s）P一δ（∂。P）←s） 一酬・；ψ一∂・・P＋・・P・・一∂・SP＋・・PS （・…） であり ・…f4－（軌鍋・；ψ・訪デ↓…；・・ψ 一∂μ∂μSP－∂μS∂μP十∂μ∂μPS十∂t，P∂μS －∂μ∂μ8P－∂μ8∂μP＋∂μ∂μP5＋∂μP∂μ8 －・輌弓＋；M）・・（m3？・1－m弗2）SP十（rr～｝2－・M・？）1）SP 一ゼψ（9Sl一σP2）・γ5τSψ一ψ（9S2－9Pl）アPψ 一iψ（9s2－9Pl h5Sψ一ti，（9s1－9P2）Pψ （3．71） となる。結台定数が9Sl二9p2，9S2＝9p1の関係を満たせば質量項以外はなくなる。
3．4 SU（2）カイラル対称性 アイソスピン自由度がある場合の大域的位相変換についてまとめておく。 Lagrangian密度 £＝ψ（わμ∂u－M）ψ＋ψ（9s1S＋9s2ア・S）ψ＋4吟5（9PIP＋9P2τ・P）ψ 一thtyμ（9V1㌦＋9V2T ・ Vll）ψ一ψ勺5午μ（9AIAμ＋9A2T ・ Al、）ψ ＋1（・。・）2－lmg，s・＋i（・。S）2－lmZ・S・ ＋；（al・P）2－；m多1P2＋；（・、P）2－1頑・P・ 一しFμ＋；・・硫γ・－iF、，・ ・ F・v＋；碕・v。・v・ 一 tG。・G・・y＋；・嚥孟・－iG、，・ ・ G・u＋；頑・A。・A・ に対し i）ベクトル型の変換
∋
れ卑
ユ2傷パ皿略輪
（この変換はすべての粒子に関し独立な変換である）に対するベクトルカレントは ・・f，一砺・9・¢ ．s・∂・・－v・×Fμレ＋P・∂・P一ん×Gμ” となり a，，・・”V一輌；］ψ であるから、Mp＝Mnならベクトルカレントは保存する。 ii）軸性ベクトル変換θA・τ
ψ一一〉ψ’＝expσ75 ）ψ2
（3．72） （3．73） （3．74） （3．75） （3．76） （3．77） （3．78） （3．79） （3．80） （3．81） （3．82） （3．83） （3．84） （3．85）』万一万・・p（ θA・τ2・75 2） S－→S’＝S cos eA十P・Esin eA re S十P・θA P－→P’－Pc・sθA－sesin oA fe P－ SθA S－→S’＝S COS eA＋PεsinθA駕8＋PθA P－→P’－P COS eA－51・Esin e．4 Fs p－s・ eA η一・vE一η・ vμ一→vl、＝vμ＋θA×Aμ ・4，－AL－A。 ・4μ一→A’P＝Aμ＋θA×Vμ ただしε＿璽 θA 軸性ベクトルカレントは ∬賃一酬・；ψ一∂μSP・∂μP・一∂PtSP＋∂”p・ 十Av×Fμu十Vv×Gμu となり o・・ 」T’h’一靭・（M ii＋9ハのψ 2 2 2 2 2 2 一鋤（9Sl－9P2）午5アSψ一ψ（9S2－9Pl）アPψ 一｛ψ（9s2－9P1）75 Sth一ψ（9Sl－9P2）Pψ ＋（π↓51－mp2）SP＋（ms2－7了↓P1）SP＋（7ηv2－mA2）Vμ×Aμ ＋ψ（9V2－9A2）rys tyPtτ×yμψ一ψ（9レ2－9A2）tyPtτ×Aμψ ） 6 8
3 33
（ （ （ ） ） ） ）78Q立0
只）8QO9
003
（
（ ） 1 9 3 （ ） 2 9 3 （ ） ）34
0ゾ0立33
（ （ （3．95） （3．96） となる。 9S1＝9P2 9S2＝9Pl gV2＝9A2 n7・sl ＝7γIP2 MS2 ＝MPI MV2 ＝7n・A2 M＝0 を満たせば、軸性ベクトルカレントは保存する。この変換ではスカラー系（スカラー＋擬 スカラー）とベクトル系（ベクトル＋軸性ベクトル）は独立に変換する。それぞれ S2十P2－→（5cosθA十P・Esin eA）2十（PcosθA－SεsillθA）2＝S2十P2 （3．97） S2十P2－一→（ScosθA十・PξsillθA）2十（PcosθA－S・EsinθA）2＝S2－十P2 （3．98） vZ＋AZ－（V。＋eA・A，）2＋（A，＋θ．4・V，）2－VL2＋A？， （3・99） を満たし、カイラル円の円周上の回転に相当する。4 スカラー＋擬スカラー二重カイラル回転モデル
スカラー部分とベクトル部分がベクトル型変換でも軸性ベクトル型の変換でも独立に変 換されることがわかったから、ここではまずスカラー部分だけを取り上げて議論する。対応する粒子としてはフェルミオンとしては核子（陽子と中性子）を想定し、ボソンと しては以下の中間子 粒子 種類 アイソスピン自由度 質量
σαηπ
fo（600）？ αo（980） スカラー アイソスカラー スカラー アイソベクトル 擬スカラー アイソスカラー 擬スカラー アイソベクトル 77τσ＝550八、felノ ？ Ma＝984．7Mel！’ 7γ喜η：＝：547．3MeV mπ＝139．6MeV 荷電π± mπo＝135．OMeγ 中性πo を考える。 4．1 対称的SU（2）モデル 質量をもたない粒子からなるLagrangian密度 L一卿ψ＋・1万（σ十’フ5ア）’・・’＋；（・、σ）2＋；（・．π）2－ci2（・2＋π2－Al）2 ＋・・万（7・a十z㌢5η）ψ・1（・。・）2＋；（・。・）2－C；（・2＋η2 －A・）2 （・・1） を考える。91，g2，Cl、Al，C2，A2は定数である。 Cl． C2の項は中間子一中間子相互作用を 表す項で、展開すると中間子の質量に対応する項も表われる。 運動方程式としては、核子に対してのDirac方程式は めμ∂μψ十91（σ十iτ・π午5）ψ十92（τ・a十i75’n）ψ＝O －i∂μψ㌢μ十ψ91（σ十け・π75）十ψ92（T・α斗吟5η）＝0 中間子に対するKlein－Gordon方程式は ∂。∂μσ一91石ψ一40～（σ2＋π2－Al）σ a、、∂μπ一9、砺5τψ一40～（σ2＋π2－Al）π ∂。∂μa－92ψアψ一4C日（a2＋η2－A2）α ∂。∂μη一92碗5ψ一40日（α2＋η2－A、）η となる。 （4．2） （4．3） （44） （4．5） （4．6） （4．7） 4．2 アイソスピン回転（ベクトル型変換） 無限小アイソスピン回転（θvは非常に小さい） ・一・ dlt－…ぴθし；τ）・ トぱ一・・xp（一・θ1；ア） ノ σ一一→σ ＝σ （4．8） （4．9） （4．10）π一π’＝π一θγ×π α一α’＝α一θv×α ノ η一→η＝η （4．11） （4．12） （4．13） に対するカレントはすでに議論してきたように、核子（フェルミオン）の質量がないので あるから中間子一中間子相互作用以外の部分が保存するのは自明である。中間子一中間 子相互作用部分も σ2＋π2－一σ2＋（π一θV・π）2一σ2＋π2 α2十η2－一→ （α一θV×α）2十η2＝α2十η2 と不変であるから、Lagrangian（4．1）はアイソスピン回転に対して不変である。 ベクトルカレントは となり である。 ∬c－th，，gth＋・・∂μπ＋・・∂μa ∂。蹄一〇 （4．14） （4．15） 4．3 カイラル回転（軸性ベクトル型変換） 無限小カイラル変換（θAは非常に小さい） th・一・V’一・xp（ θA・τZty5 2）ψ ψ一アーψ・・p（η・2．［！1－！T） σ一→σ’＝σC・SθA＋π・εsinθA完σ＋π・θA π一→Tt＝πcosθ．4一σEsinθA reπ一σeA α一一＞at＝aCOS eA十ηe sinθA nyα十ηθA η一一→η’＝ηCOSθA一α・EsillθA reη一a・θA
ただしe＿互
θA （4．16） （4．17） （4．18） （4．19） （4．20） （421） に対しては前章の（3．71）で質量がすべてなく結合定数が9Sl＝9p2＝g1，9s2＝9p1＝g2 となっている場合に対応しているから、新しく加えられた中間子一中間子相互作用以外の 部分が保存するのは自明である。また（3．97）、（3．98）で示したように σ2＋π2－（σ…θA＋π・ε・il・θA）2＋（π…θ．4一σε・il・・eA）2 ＝σ2十π2 α2＋η2－（a…θA＋ηε・i・θA）2＋（η…θA－a・ε・i・θA）2 ＝α2十η2であるから、Lagrangian（4．1）は上記カイラル変換に対しても不変である。 実際に計算すれば、軸性ベクトルカレントは プ2一酬・9ψ一π∂μσ＋・∂”π一・∂μα＋・∂μ・ となり ∂，s賃一〇 であることが示せる。 （422） （4．23） 4．4 平均場近似I Lagrangian密度（4．1）で表される系はベクトル型変換に対しても軸性ベクトル型変換 に対しても不変である。この系のボソンに対し平均場近似を適用し、その性質を調べる。 核子との相互作用を除いたKlein－Gordon方程式 ∂。∂μσ・＝－401（σ2＋π2 一 Al）σ ∂。∂”π・＝－40ぞ（σ2＋π2－A1）π ∂。∂”a・一一40日（α2＋η2ユ2）α ∂。∂・η一一40日（α2＋η2 一 A2）η に対し、時間空間一様な平均場近似を適用する。 （〈σ＞2＋＜π＞2－A1）〈σ〉－0 （〈σ＞2＋＜π＞2－Al）〈π〉－0 （＜α＞2十＜η＞2－A2）〈α〉＝0 （＜α＞2十〈η＞2－A2）〈η〉＝0 パリティの保存から擬スカラー中間子の平均場は存在しないと考えられるから 〈π〉＝0 〈η〉＝0 （4．24） （425） （4．26） （4．27） （4．28） （4．29） （430） （4．31） （4．32） （433） となり、（4．29）と（4．31）は自動的に成り立つ。また、電荷の保存から荷電中間子の平均 場は存在しない。すなわち ＜αi＞＝O i＝1．2 （4．34） 故に〈σ〉≠0、＜αo＞≠0と仮定すると 〈σ＞2十〈π＞2＝Al （4．35） 〈α＞2十＜η＞2＝A2 （4．36） となる。スカラー中間子と擬スカラー中間子が対となり、その平均場がカイラル円の円周 上にあることがわかる。（4．32）、（4．33）、（4．34）を考慮すると
＜σ＞2－A1⇒〈σ〉＝士ゾ万 （4、37）
〈・。＞2－A2⇒〈・。〉一土㎡工 （4．38）
が求まる。このように中間子場の平均場が0でなくなることを、自発対称性の破れと言う。 元の中間子場を平均場と量子的揺らぎの場を使って σ一一→〈σ〉十∂ （439）π一元
（4．40） η ＿＿→ η （4．41） α 一一〉〈αo＞δ？3－La （4．42） とおく。δ、3はアイソスピンの第3成分の平均場だけが残ることを意味する。Lagrangian （4．1）は L＝ψけμ∂μψ＋ψ（91〈σ〉＋92乃＜ao＞）ψ ・・1万画・・…）ψ・；（・。・）2＋；（・，・）2 －C～（∂2十2〈σ〉～テ十元2）2 …ψ（τ・a＋り5η）ψ＋；（・。a）2＋1（・、f＞）2 －C；（a2 ＋2〈・。＞a。＋η2）2 ＝ψわμ∂μψ＋ψ（91〈σ〉＋92ア3〈α0＞）ψ ＋・1万⇔…元）ψ＋；（・、・・）2＋；ぴ一；・・1・・＞2・2 －ol（a4＋4〈σ〉∂3 ＋4〈σ＞ait2＋202ft2＋it4） ＋・・ψ（丁・a＋itysfi）ψ＋；（・，・）2＋；（・。η）2－；・・9…＞2 al －C日（a4＋4＜・。＞a。a2＋4〈・。〉輌2＋2碕2＋η4） と書き直される。核子の質量に対応する項として M＝91〈σ〉 （4．43） （4．44） が求まり、質量はシグマ中間子の平均場から創生されることがわかる。核子間の質量差は △λ∫＝2g2＜αo＞ （4．45） とαo中間子の平均場で与えられる。実験値』膓＝938．3MeV、 M，、＝939．6A／eVから ハ∫＝g1〈σ〉二938．9MeV （4．46） △M＝292＜αo＞＝－1．3A・1’eV〈O （4．47） となる。ただし、A／p、 M，、の質量差の大部分は電磁相互作用の結果であると考えられて おり、平均場〈αo＞からの効果はもっと小さいものと考えられる。 中間子の質量としては σ：mn｝？＝soi2〈σ＞2＝8C？Ai （4．48）π：7nll＝O （4．49）
α：mh2＝0
（4．50） ・。・m．Z。－80≧〈・。＞2－80拓 （4．51）η・η・；0 （4．52）
が求まり、シグマ中間子の質量を出すことは可能であるが、パイ中間子、荷電a，中間子、 エータ中間子などの質量は0となる。これらの中間子の質量が0となるのは、σ、αoの平 均値を0でないとした自発対称性の破れに付随するNambu－Goldstoneボソンの表われで ある。Lagrangian（443）の第3行目、第5行目はそれぞれ中間子同士の相互作用を表す 項である。 中間子の質量を出すためにLagrangianに中間子の質量項を加え L一醐ψ＋・1ψ（・＋Z’〉，…π）ψ＋；（・。σ）2＋；（・。π）2 －；ml（・2・π2）一・～（・2＋π2－Al）2 ＋痂・＋・・”r・・）ψ＋；（・。α）2＋；（・1‘・）2 －lml（α2＋η2）一・日（・2＋772 一・A2）・ （4．53） を考える。σ2、π2、α2、η2はアイソスピン回転（ベクトル型変換）に対しては独立に保 存するが、カイラル回転（軸性ベクトル型変換）に関しては独立には保存せず、σ2＋π2、 α2＋η2の形で保存するから、質量項もその形で導入された。m1、7712は定数である。こ のLagrangianはアイソスピン回転に対してもカイラル回転に対しても不変である。 Klein－Gordon方程式は ∂μ∂μσ＋m子σ＝91ψψ一40i2（σ2＋π2－．41）σ Olt∂μπ＋・n｝π一91碗5アψ一4C～（σ2＋π2－Al）π ∂。∂μα＋プα一92石τψ一40日（α2＋η2－A2）α ∂。∂μη＋吻一92碗5ψ一402（α2＋η2－A、）η となるから、核子を除いて平均場近似を行うと m子〈σ〉＝－4C～（〈σ＞2十＜π＞2－A1）〈σ＞ 1’氏@？〈π〉＝－4C～（＜σ＞2十＜π＞2－Al）〈π〉 ・・；〈α〉一一40；（〈α＞2＋＜η＞2一ん）＜α＞ ml〈η〉一一40≧（＜α＞2＋〈η＞2－A2）〈η〉 （4．54） （4．55） （4．56） （4．57） （4．58） （4．・”g） （4．60） （4．61） である。ここで 〈π〉＝0 〈η〉＝0 〈ai＞＝O i＝1，2 （4．62） （4，63） （4．64）とすると
（・・〉・－Al＋碁）・・〉一・⇒・・〉一±・／Ai一碁 （・・65）
（…〉・－A・＋霧）…〉一・⇒・a・・一±・・A・一づ（・・66）
となる。Lagrangian（4．53）は、 Lagrangian（4．1）に対しカイラル円の半径を小さくした ものに相当する。実際、整理するとLagrangian（453）は L一砺・∂。ψ＋91万（・＋…7s…）ψ＋；（・。σ）2＋i（・。π）2 －・1｛（a・ ＋・・）一（Ai－12）｝2－¢（・A・一曇） ＋・・紘（・・α助・η）ψ＋；（・。・）2＋；（・。η）2一鍔｛（・・＋・…）一（A2一農）｝2一孚（・A・⇒（467）
と書き換えられる。ここで σ＿＿→〈σ〉十∂ （4．68） π 一一〉テt （4．69） η ＿一→ η （4．70） α ＿＿〉〈αo＞δ」3十ぼ （4．71） とおくと、Lagrangianは L＝ψ的μ∂μψ＋ψ（91〈σ〉＋92T3〈α0＞）ψ ＋9・V（δ＋z午5ア・元）ψ＋1（e、・a）2＋；（・。・・）2－1・・～・・＞2・2 －C～（∂4十4〈σ〉δ3十4〈σ〉∂元2十2∂2元2十元4） ＋・・万（ア・a＋り5η）ψ＋1（・t・a）2＋；（・。・1）2－1・・9…＞2 ・9 －0』（♂＋4〈・。＞a。a2＋4＜・。＞a。ij2＋2a2η2＋η4）－ll／m？（Al一轟）－ll・3（A・一轟） （・・72）
となり、（443）に対し定数項がついただけで、質量などの物理量は変化しないことがわ かる。 4．5 平均場近似II 中間子の一次の項の平均場だけではなく、二次の項でスカラー的に見える項の平均場 も考慮の対象とする。擬スカラー粒子や荷電粒子も二粒子状態では中性となり、パリティ＋i｛（∂・η）2＋（▽・）2｝・・＞2（α2＋η2－A・）2 である。これに対し、時間空間一様な平均場近似を考える。ただし 〈σ〉 ＜π2＞一〈π？〉＋〈π≧〉＋〈π言〉 ＜η2＞ 〈α2＞一＜・1＞＋〈・1＞＋＜・。＞2 〈α〉＝＜αo ＞δ↓o とする。 核子の自由度を除くと、Hamiltonianの期待値は ＜n＞－0ぞ（＜σ＞2＋〈π2＞－Al）2＋C≧（＜α2＞＋＜η2＞－A2）2 となるから、各平均場について変分をとり ；…誓≧一・・～・・〉（・・〉・＋…〉－Al）一・
㌶…一・ci2（・・〉・・…〉－A1）一・
㌶：一・・日（…〉＋〈・・〉－A・）一・ ∂＜H＞ ＝40鍵 ＜αo＞ （〈a2＞斗＜η2＞一ノ42）＝0 ∂〈ao＞ ∂＜H＞ －2C≧（〈α2＞＋＜η2＞－A2）－0 ∂＜η2＞ となる。（4．80）は（4．28）と、（4．83）は（4．30）とそれぞれ対応する条件である。 （4．80）と（4．81）から ＜σ＞2＋〈π2＞－Al や電荷の保存する平均場成分が存在する可能性がある。平均場を決定する条件として、 Harniltonianの期待値（エネルギー）を最小にするように決めることを考える。 Lagrangian（4．1）に対応するHamiltonian密度は n－一・°°・＋、（∂L∂oψ）e・v，・鋼蒜） ∂L ∂L ∂L ∂L ∂oσ十 ∂0π十 ∂oα十 ∂oη 十 ∂（∂oα） ∂（∂oσ） ∂（∂oπ） ∂（∂oη） 一砺・▽ψ一91万（・＋・dy・7・π）ψ＋；｛（a・・）2＋（▽・）2｝ ＋；｛（…）2＋（V・）2｝＋・～（・・＋・2－Al）・ 一・・訪（…＋…η）ψ＋；｛（…）2＋（V・）2｝ 1 －．、 （4．73） （4．74） （4．75） （4．76） （4．77） （4．78） （4．79） （4．80） （4．81） （4．82） （4．83） （4．84） （4．85）となり、（4．82）、（4．83）、（4．84）から くα2＞十＜η2＞＝A2 （4．86） となる。これは（4．35）、（436）に対応し、カイラル円の円周上を回転する可能性を許して いる。 σ一→〈σ〉十σ π＿→ft π2＿。＜π2＞＋ft2 η一→li η2－→＜η2＞＋li2 α 一一→＜ α0 ＞ δi3十a α2－一＜・。＞2＋＜・1＞＋＜・1＞＋2〈・。＞d。＋ a2 ＝＜α2＞十2＜αo＞∂o十∂2 とおいて、Lagrangian（4．1）を書き直すと L＝ψけμ∂μψ＋ψ（91〈σ〉＋92 T3〈ao＞）ψ ＋・1ψ（・＋dy・…）ψ・1（・．・）2・1（・。・・）2－1・・1・・＞2・2 －C？（δ4十4＜σ＞b3→－4〈σ〉δ元2十2∂2元2十元4） …」（・・a＋醐）ψ＋；（・．a）2＋；（・。η）2－；・cg…＞2 ・1 － C＞2（a4＋4〈・。＞a。a2＋4〈・。＞a。η2＋2a2η2＋η4） となり、平均場近似1の（4。43）と同じ結果になる。 （4．87） （4．88） （4．89） （4．90） （491） （4．92）
5 ベクトル＋軸性ベクトルニ重カイラル回転モデル
次に、スカラー部分を除き、ベクトル部分だけを取り上げて議論する。ベクトル系のボ ソンとしては以下の中間子 粒子 種類 アイソスピン自由度 質量 ω ： ω（782） ρ ： ρ（770） h ： i～1（1170） b ： ～）1（1235） ベクトル ベクトル 軸性ベクトル 軸性ベクトル アイソスカラー アイソベクトル アイソスカラー アイソベクトル m」，＝782．6ハleV mρ＝771．IMeV η～、h ＝1170MeVMb＝1229．5MeV
を考える。 5．1 対称的SU（2）モデル まずLagrangian密度 L一ψ吟μ軌≠ρ3ψ午μ（ア・ρ、－75ア・b。）ψ一9ωψ7μω。ψ一螂75㌢μゐμψ一IFμ・F弓GμジGμ一窃（・。…＋b、，・・ b・－A・）2 － i・F、・・F・u－iG、・uGpt”－c2（・。ω・＋w一ん）2 を考える。ただしg3，g山gノ、，03，．43，04，．44は定数であり、また Fii，V＝∂μωレー∂fノωμ F，ル＝∂μρレー∂〃ρμ Gμ。一∂μh’U－∂uhll Gμ・＝OI、 b。 一∂，・bμ である。 このLagrangian密度に対応するDirac方程式は 的μ∂μψ一93Yt（ず・ρ1‘－7sτ・bμ）ψ一9ジγμωμψ一9hry5tyμ’h，μ・e，＝0 －i∂μψ午μ一ψ93㌢μ（r「・ρμ一tysr・bμ）一ψ9ω7μωμ一ψ9九午5㌢μ九μ＝0 ベクトル中間子の運動方程式（Proca方程式）は ∂。F”iノー∂，∂μω㌧∂。∂VwPt一砺〆ψ＋402＠。ωμ＋h、，h，iL A4）♂ ∂。FμLv－∂、∂”ρ”一∂、∂uρ’t一万9・“・”τV’＋40≧（ρ。・ρμ＋b、・bμ・－A・）〆 ∂。Gμノー∂。∂μ∫・v－∂。∂Uhge一碗眺W＋402＠。ωμ＋九〃Lん）hv Oi、 GI‘’ノ＝∂it∂Ptb”一∂μ∂Ubμ＝ψ93午5午”アψ＋40鍵（ρμ・ρμ＋bμ・bμ一・43）bU となる。 （5．1） （J’．2） （J’．3） （5．4） （5．5） （5．6） （5．7） 5．2 アイソスピン回転（ベクトル型変換） 無限小アイソスピン回転（θvは非常に小さい） ev・T ψ一→ψ’＝exp（i ）ψ （5．8） 2 』アーψ・xp（ ．θv・τ一z 2） （・・9）
ωμ一一ωh一ω、 （5ユ0）
ρ。一・ρL＝ρ、一θ・×ρ，、 （5ユ1）1・μ一・～hL ＝h， （5・12）
b。 一 bL－b。一θ・・b、 （5・13） に対し、核子の質量がないのであるから中間子一中間子相互作用以外の部分は不変である。 さらに中間子一中間子相互作用も ρ、、 ’ ptt＋b，・b”一・（ρ、－ev×ρ。）2＋（b，一θ・×b，）2 Nρμ’ρμ十bμ’bμ （5．14） ωμωμ一トhμ，hpt－一→ωμωμ一トhμhμ （5．15）と不変となるから、Lagrangian（5．1）はアイソスピン回転に対して不変であることがわ かる。 ベクトルカレントは 5告一砺・；ψ一ρu×Fμレー・〃×G”・u （・・16） となり ∂μ∬C＝0 （5．17） と保存する。 5．3 カイラル回転（軸性ベクトル型変換） 無限小カイラル変換（θAは非常に小さい） θA・τ ψ一一→ψ’＝exp（i75 ）ψ （5・18） 2
万一・輌・・p（dy・e4’i！7） （・・19）
ω。一・叫一ω。 （5・20）
ρ、一・ρk一ρ。＋θA・b。 （5・21）h。一→hL－h。 （5・22）
b。一・尻一b、＋θA・ρ。 （5・23）
に対し、（3．56）で質量がすべてなく、結合定数が9v2＝9A2＝g3となっているからこの Lagrangianが中間子一中間子相互作用以外の部分は不変であり、カレントが保存するの は自明である。さらに ρパρ・＋b。・・b”・一（ρ。＋θA・b。）2＋（b。＋θA・ρ。）2 Nρμ・ρμ十2ρμ・θA×bμ十bμ・bμ十2bμ・eA×ρμ ＝ ρμ・ρμ十bμ・bμ ωi、ωμ ＋ hμhμ一・ωμωμ＋t～μ，hti と不変になるから、Lagrangian（5．1）はカイラル変換に対しても不変である。 実際に軸性ベクトルカレントは プ2一酬・9ψ＋bu×Fμレ＋・・×G”u となり ∂。∬1▲o が簡単に示せる。 （5．24） （5．25） （5．26） （5．27）5．4 平均場近似1 フェルミオン場を除いたProca方程式 ∂、F”－u－∂。∂々一∂。∂uωPt ・・ 40，2（ω。ωμ＋h，h’t－A4）ωv ∂。Fμレー∂。∂μ〆一∂，∂uρμ 一 4c32（ρ，・ρμ＋b。・・b”－A・）〆 ∂。Gμ一∂。∂PthV－∂，∂Vhμ 一 4C42（ω。ωμ＋h，。九μ一ん）hレ ∂。Cμ”一∂。∂μbレー∂。∂”b”－40鍵（ρ。・ρμ＋b。・bPt・一・A・）bU に対し、時間空間一様な平均場近似を適用する。 （＜ω。＞2＋＜妬＞2一ん）〈ωレ〉－0 （＜ρ。＞2＋＜b。＞2－A・）〈〆〉－0 （＜ω。＞2＋〈ん。＞2－A、）〈力”〉－0 （＜ρ。＞2＋＜b。＞2－A・）〈ガ〉－0 （5．28） （5．29） （5，30） （5．31） （5．32） （5．33） （5．34） （5．35） パリティの保存から、軸性ベクトル中間子の平均場は存在しないと考えられるから 〈んμ〉＝0 〈bμ〉＝0 であり、また、電荷の保存から荷電中間子の平均場は存在しない。 （5．36） （5．37） 〈ρzμ〉＝O i＝1，2 （5．38） 故に〈ωμ〉≠0、〈ρOt、〉≠0と仮定すると ＜ω。＞2＋＜ん。＞2－A4 （5．39） ＜ρ。＞2＋＜b。＞2＝A・ （5・40） となり、アイソスカラー中間子、アイソベクトル中間子の平均場がそれぞれカイラル円の 円周上にあることがわかる。さらにここで、（5．36）、（5．37）、（5．38）を使うと ＜ω。＞2－A4⇒〈ω、〉一土∨冗 （5．41） 〈ρ。。＞2－・A、⇒〈ρ。，〉一±”9 （5．42） が求まる。 中間子場を ωμ→〈ωμ〉＋ωμ ρμ 一→〈ρ0μ〉δi3十ρμ んμ一→1zμ bμ一→bμ （5．43） （5．44） （5．45） （5．46）
と置き直すと（δi：3はρ中間子の平均場として中性のアイソスピン第3成分だけが残るこ とを意味する）、Lagrangian（5．1）は L＝ψημ∂μψ一93ψ午μ丁3〈ρOμ〉ψ一93ψ午μ（7－・PU一㌢5ア・bμ）ψ 一9ωψ午μ〈ωμ〉ψ一9ωψ7μoμψ一9hψつ・5午μんμψ 一？。u ・・FPLu－iG．・・c”u－・鍵（b？，＋・…。＞P9＋6；）2 － ）yτ・・－1δ。・δμ一蠕＠；・…，訓万…）2 ＝ψημ∂μψ一ψ午μ（93T3〈ρoμ〉＋9ω〈ωμ〉）ψ 一93柏〃（ア・P。－75τ ・ bl・）ψ一9・物μoμψ一鋤，噺μん、ψ 一 tP”〃・Fμ”－ tCgeu・Gμ一v－ tρレ云μレー t（ラll，u（rtl，l／ 一；・・鍵（…μ＞P6）2－；・・2（・・。〉・・）2 －Cξ｛（ρμρμ）2＋4・，。。〉ρ6’ pZ・＋4・ρ。，〉ρ儒・2ρ冠＋（6。らμ）2｝ －C42｛ρ。め2＋4＜ω。＞diμdiZ＋4〈ω。〉の鴫＋2ぼ溺＋（h。万μ）2｝（5．47） となる。第2項はエネルギーの底上げである。 4行目の項はベクトル場の二乗の形であるが、例えば 一；・曙（・・。〉。・）2－－1・・呈（…＞di°一Σ…刈2 ゼ ー一；・・2｛…＞2ρ゜）2＋Σ・・1＞2（の2 ～ －2Σ〈ω・〉〈ω’ 〉・di°cZ）、＋2Σ＜ωi＞〈・j＞西元｝ z ごゴ ≠一；・己｛一・・nst・（c）lt）2＋・・…・｝ と質量項の形式にまとめることはできないので、この項がベクトル中間子ωの質量を表 すとは考えにくい。同じことはρ中間子にも言える。また、荷電状態の中間子、軸性ベク トル中間子の質量は0である。 これらの中間子の質量を出すためにLagrangianに中間子の質量項を加え c一ψわμ∂。ψ一93ψtypt（τ・ρ。－ty5r…b。）ψ一9・ψημω。ψ一9’・ψり・午μ力，4， 一 iF、、U ・ F…－iGμ’ぴ〃＋1・ng（ρ；＋b；） －oξ（ρ，・・Pμ ＋b、・b’t 一・A・）2
一払〃F弓G，〃G・・＋鵬1ω…＋lmg…1
－0］＠、μμ＋ノ1．、，hll 一 A、）2 （5．48） と直すと、Proca方程式は ∂，Fμ＋7n42、LV ii一万9のレψ＋4C鍵＠。ω・＋々’Lん）ω’ノ （5．49）∂、Fμレ＋m§〆一万9・背ψ＋40ξ（ρ。・〆＋bl，…b’‘・・一・A・）〆 ∂μGpu＋M弓2hU＝ψgパγ5㌢”ψ＋402（ωμωμ＋んμんμ一A4）hU O。C””＋MZ3 bU＝ψ9・ty・fr・”τ’¢’＋40鍵（ρ。・ρμ＋b。・bμ・－A・）bU となる。フェルミオンを除いて平均場近似を行うと 碕〈ωレ〉－402（〈ω。＞2＋＜h。＞2一ん）＜ωレ＞ m§〈ρ”〉－4C鍵（＜ρ，＞2＋＜b。＞2－A・）〈〆〉 ・・LZ，〈hu〉＝402（〈ω，＞2＋＜ん。＞2一ん）〈九レ〉 ・…1〈bU〉－4Cξ（〈ρ。＞2＋＜b。＞2－A・）〈bり〉 （5．50） （5．51） （5．52） （5．53） （5．54） （5．55） （5．56） である。 ここで 〈九μ〉＝0 〈bμ〉＝0 〈ρ乞μ〉＝O ゼ＝1，2 （5，57） （5，58） （5．59） とすると
（…〉・＋錫
（・…＞2＋轟
）・・u＞一・ ）・・8＞一・⇒〈ω、〉一±ん＋互
（5．60） ⇒…μ〉一土A・＋｛箒（・・61） となり、Lagrangianは、カイラル円の半径を大きくしたものに相当する。実際、 Lagrangian （5．1）は i＝ψわμ∂μψ一93ψ7μ（T・ρμ一75ア・bμ）ψ一9ωψημωμψ一9hψ757μんμψ 1 1 －tF・・U ’ F’‘u一互G・・’Gμy 一れ・F－｛G。・Gμ・＋；（mil、一・嚇 一cl｛（・；・・Z）一（A・＋晴）｝2・撃（・A・葡 一鍔｛（・7・ ＋ hZ）一（鍋璃）｝2＋碧（・A4＋纏） と書き換えることができる。 ここで ωμ一→〈ωμ〉＋ωμ． ρμ 一一→〈ρ0μ〉δ乞3十ρμ （5．62） （5．63） （5．64）hμ一→んμ bμ一→bμ とおくと、Lagrangianは L＝ψ的μ∂μψ一ψッμ（9373，〈ρOμ〉＋9、v〈ωμ〉）ψ 一93吻μ（τ・P。－or5T・b。）ψ一9・ψ7μω。ψ一9九ψ噺μん。ψ 一 iF。・・k〃v－ic，・プGPtV－1ん酔三c。・6μ ＋；（ 2 2M42 ｝M’41）hZ －C，1（bZ・＋・・…＞P9・51）2・誓（・A・＋竃） 一鋤・…ぷ万…）噂（ 2・A4＋舞） となり、新しく質量として
ん・城一唖一唖
（5．65） （5．66） （5．67） （5．68） が求まるが、他のベクトル中間子の質量は決まらない。他には定数項だけが変化する。 5．5 平均場近似II Hamiltonian density｝ま n－－9°°L・、（∂£∂oψ）・・th＋・・V、（箒） ∂L ∂L ∂L ∂L ＋∂（・。ρ。）∂°ρ・＋・（・。b。）∂・b・＋∂（∂。。。）∂°ω・＋∂（∂。・。）∂・九・ － づ － － ＿ ＝thi7－’▽ψ＋93 thtyμ（τ・ρμ一75τ・bμ）ψ＋9ωψ7μωμψ＋9九ψ757μんμψ 一；（・・ρジ∂°ρ・＋V・u・▽・u）一；（・・bプ∂°bu＋▽・y， ・ Vbu） ＋c≧（ρZ＋bZ－A・）2 －1（…。∂°・・＋●・t…V・・）－1（・・h・，∂・h・P ＋・Vh、・㊥ ＋c2（ω…＋陥一A・）2 となるから、これに対し時間空間一様な平均場近似を行う。ただし 〈ωμ〉 〈hZ＞ 〈b葺〉 〈ρZ＞ 〈ρ，〉一〈ρ・〉δi・ を考える。 フェルミオン部分は除いて 〈κ〉－0鍵（〈ρZ＞＋〈bZ＞－A・）2＋C42（＜ω。＞2＋＜hZ＞－A4）2 （5．69） （5．70） （5．71） （5．72）であるから、変分をとると
