p-
進
L-
関数の構成
水沢 靖（ 早大理工 ）本稿の目標は、岩澤 [Iwa1] [Iwa2] に基づいて、久保田-Leopoldt [KL] によって発見され た p-進 L-関数とその構成法について解説し、岩澤主予想に向けて考察を行うことである． § 1. Kummer 合同式 Riemann のゼータ関数 ζ(s) の負の整数点での値は、Bernoulli 数 Bnを用いて ζ(1 − n) = −Bn n , ( 1 ≤ n ∈ Z ) (1.1) と表される．これらの値の間には、次のような p の冪による合同関係が存在する．（ a = 1 の場合に Kummer [Kum] によって与えられた合同式が発端である．） 定理１ ( Kummer 合同式 )． 奇素数 p と、m ≡ n 6≡ 0 ( mod p − 1 ) なる正の偶数 m、n に対して、ある正の整数 a で m ≡ n ( mod (p − 1)pa−1) であるならば、 (1 − pm−1)Bm m ≡ (1 − p n−1)Bn n ( mod p a) なる合同関係が成り立ち、両辺共に Zpの元である． この Kummer 合同式は、ゼータ関数の負の整数点での値を p-進位相によって比較してい るものと考えられる．このようなゼータ関数の p-進的側面を記述するのが、これから述べ る久保田-Leopoldt の p-進 L-関数である．Kummer 合同式はゼータ関数 ζ(s) の値に関す るものであるが、p-進 L-関数はより一般に ζ(s) も含めて Dirichlet L-関数の p-進的側面を 担う関数として定義される． Dirichlet 指標 χ に対して、その導手を fχとおく．一般 Bernoulli 数 Bn,χは形式的冪級数 環 Q[[T ]] における母関数 fχ X a=1 χ(a)T eaT efχT − 1 = ∞ X n=0 Bn,χ T n n! (1.2) によって定義され、Dirichlet L-関数 L(s, χ) の負の整数点での値は一般 Bernoulli 数を用 いて L(1 − n, χ) = −Bn,χ n , ( 1 ≤ n ∈ Z ) (1.3) と表される．χ が単位指標 1 である場合には f1 = 1、1(1) = 1 と定めておけば、Bernoulli 数 Bn= Bn,1の母関数が得られる． 以下では各素数 p に対して、有理数体 Q の代数閉包 Q から p-進数体 Qpの代数閉包 Qp の完備化 Cpへの埋め込みを一つ固定して考える．この埋め込みを通して、Dirichlet 指標
は必要に応じて Cpに値をとるものとし、また母関数 (1.2) も Cp[[T ]] において考える．こう
して一般 Bernoulli 数 Bn,χは Cpの元としても定義される．
各素数 p に対して q を、p 6= 2 ならば q = p、p = 2 ならば q = 4 として定め、ω をそ
のTeichm¨uller 指標とする．即ち a ∈ Z×p に対しては ω(a) ≡ a ( mod q ) なる唯一の 1 の
φ(q) 乗根 ω(a) ∈ Zpを対応させ、a ∈ pZpに対しては ω(a) = 0 とする Zpの指標である（ φ
は Euler 関数 ）．
この Teichm¨uller 指標 ω も（ Q(ζp−1) の Qpへの埋め込みを介して ）導手 q の Dirichlet 指
標とみなすことができ、χ = ωiとして母関数 (1.2) を Qp[[T ]] において考えて、一般 Bernoulli 数 Bn,ωi ∈ Qpが定義される．p-進 L-関数の性質を用いることで、Kummer 合同式だけでな く次の合同式も導かれる．（これらの合同式の証明は第 5 節で与える．） 定理２． 奇素数 p と、n 6≡ 0 ( mod p − 1 ) なる正の偶数 n に対して、 B1,ωn−1 ≡ Bn n ( mod p ) なる合同関係が成り立ち、両辺共に Zpの元である． また、Bernoulli 多項式とその母関数 Bn(X) = n X i=0 (−1)i µ n i ¶ BiXn−i, T eXT eT − 1 = ∞ X n=0 Bn(X) Tn n! (1.4) を、Bn,χの母関数 (1.2) と比較することにより、fχの任意の倍数 Fχについて Bn,χ = Fχn−1 Fχ X a=1 χ(a) Bn³ a Fχ ´ (1.5) なる等式が得られる．これを用いることで次の定理が導かれ、特に Bernoulli 数の分母は完 全に決定される．（証明は [Was] または [AIK] 等参照） 定理３（ Clausen-von Staudt の定理 ）． 正の偶数 n に対して Bn+ X p−1 | n 1 p ∈ Z である．ここに和は、p − 1 が n を割るような素数 p に関する有限和である． § 2. 久保田-Leopoldt の p-進 L-関数 | p |p = p−1と正規化された Cpの乗法付値を | |pで表す．また一般に、連結開部分集合 D ⊂ Cpを領域と呼ぶ．まず、p-進有理形関数等の定義と、それに関する命題を述べておき たい．
定義（ p-進有理形関数 ） 領域 D 上の連続関数 f : D → Cpがp-進有理形関数であるとは、 任意の α ∈ D に対して、ある α の近傍 Dαが存在し、任意の s ∈ Dα\{α} で収束する級数 によって f (s) = ∞ X n=k an(s − α)n, k ∈ Z, ak 6= 0, an ∈ Cp と表されることを言う．またこの右辺の級数を f の α におけるLaurent展開と言い、k < 0 の時は α を |k| 位の極、akをその留数と言う．さらに Laurent 展開が k ≥ 0 として取れる 時、f は α においてp-進解析的であると言う．任意の α ∈ D において p-進解析的である時、 f を領域 D 上のp-進解析関数と呼ぶ． 命題４．（ 証明等の詳細は、[Gou] Prop.4.4.2 を参照 ） 冪級数 f (s) = ∞ X n=0 ansn ∈ Cp[[s]] は、その収束領域 D 内の任意の点 α ∈ D に対して、 f (s) = ∞ X m=0 bm(s − α)m , bm = f(m)(α) = ∞ X n=m µ n m ¶ anαn−m ∈ Cp と表され、右辺の級数は D において収束し、両辺の値は一致する． 次の定理が、久保田-Leopoldt [KL] によって発見された p-進 L-関数 Lp(s, χ) の定義とそ の存在を示すものである． 定理５ ( 久保田-Leopoldt の p-進 L-関数 )． Dirichlet 指標 χ に対して、領域 D = {s ∈ Cp ¯ ¯ |s|p < qp−1/(p−1)( > 1 )} 上の p-進有理形関数（ χ 6= 1 の時は p-進解析関数 ）L p(s, χ) で、 Lp(1 − n, χ) = −(1 − χω−n(p)pn−1) Bn,χω−n n , ( 1 ≤ n ∈ Z ) (2.1) なるものが一意的に存在し、Lp(s, 1) は D\{1} 上の p-進解析関数で、s = 1 で留数 1 − p−1 の 1 位の極を持つ． p-進 L-関数が p-進有理形関数（または p-進解析的関数）であることは、領域 D = {s ∈ Cp ¯ ¯ |s|p < qp−1/(p−1)} において Lp(s, χ) = a−1 s − 1+ ∞ X n=0 an(s − 1)n, an ∈ Qp, a−1 = ( 0 : χ 6= 1 1 − p−1 : χ = 1 (2.2) と展開され、χ 6= 1 の時は任意の s ∈ D で、χ = 1 の時は任意の s ∈ D\{1} で、上記の級 数が収束することから従う．実際に命題４によって、(2.2) 式で表される p-進 L-関数が上 記の定義の p-進有理形関数（ または p-進解析関数 ）であることがわかる．特に、任意の α ∈ D\{1} に対して領域 Dα = { s ∈ Cp ¯ ¯ ¯ | s − α |p < |1 − α|p} ⊂ D\{1} において 1 s − 1 = − 1 1 − α · 1 1 −³ s − α 1 − α ´ = − 1 1 − α ∞ X i=0 ³ s − α 1 − α ´i
と Laurent 展開されるので、Lp(s, 1) は D\{1} 上の p-進解析関数である． また p-進 L-関数が p-進解析関数として一意的に定義されるのは、次の定理による（証明 は複素関数論の場合と同様である）． 定理６ ( 一致の定理 )． 領域 D ⊂ Cp上の p-進解析関数 f (s) の零点の集合が D 内に集積 点を持つならば、f (s) は恒等的に零関数である． 証明 領域 D ⊂ Cp上の p-進解析関数 f (s) の零点の集合が D 内に集積点 α を持つとする． f (s) が零関数でないとすると、α の近傍 Dα ⊂ D において f (s) = (s − α)kf (s) , ee f (s) = ∞ X n=0 an(s − α)n , k ≥ 0 , a0 6= 0 と表される．α は集積点なので、f (s) の零点から成る点列 { αn}n ⊂ Dα で、αn 6= α、 lim n→∞αn = α なるものが取れる．すると (αn− α) kf (αe n) = f (αn) = 0 ゆえ ef (αn) = 0 とな り、a0 = ef (α) = lim n→∞ e f (αn) = 0 となって矛盾．よって f(s) は恒等的に零関数である．■ 負の整数全体は領域 D = {s ∈ Cp ¯ ¯ |s|p < qp−1/(p−1)} 内に集積点を持つので、上記の一致の 定理によって (2.1) 式を充たす p-進解析関数は一意的に定まる．さらに χ が奇指標（ χ(−1) = −1 ）である場合、母関数 (1.2) から全ての n ≥ 1 に対して Bn,χω−n = 0 であることが示される ので、(2.1) 式と一致の定理から 奇指標 χ に対する p-進 L-関数 Lp(s, χ) は恒等的に零関数 となる． また (2.1) 式と (1.3) 式を比較して、n ≡ j ( mod p − 1 ), 0 ≤ j < p − 1 とすると Lp(1 − n, χ) = (1 − χω−j(p)pn−1)L(1 − n, χω−j), ( 1 ≤ n ∈ Z ) (2.3) となる．即ち p-進 L-関数 Lp(s, χ) は各整数点 1 − n において、n の p − 1 を法とした値 j によって、Dirichlet L 関数 L(s, χω−j) と結びついている．また p-進的な収束性を保つため に、Dirichlet L 関数の Euler 積表示 L(s, χω−j) = ∞ X N =1 χω−j(N) Ns = Y l:素数 (1 − χω−j(l)l−s)−1, Re(s) > 1 (2.4) において p | N なる項に寄与する Euler 因子が、補正項 1 − χω−j(p)pn−1として (2.1) およ び (2.3) 式に現れていると考えられる．ゼータ関数 ζ(s) の s = 1 での留数は 1 であったが、 Lp(s, 1) の s = 1 での留数 1 − p−1も、補正による Euler 因子と考えられる．また第５節で 見るように、前述の Kummer 合同式に現れる補正項もこの Euler 因子に他ならない． 偶指標 χ 6= 1 に対する Dirichlet L 関数の s = 1 での値は L(1, χ) = −τ (χ) fχ fχ X a=1 χ−1(a) log|1 − ζa fχ| , τ (χ) = fχ X a=1 χ(a)ζa fχ (2.5) と表され、L(1, χ) 6= 0 であることが知られている．ここに τ (χ) は Gauss 和である．この 公式は Dirichlet L 関数と円単数とを結びつける重要な意味を持つ公式であるが、p-進 L 関
数の s = 1 での値も Euler 因子の補正によって Lp(1, χ) = −(1 − χ(p)p−1) τ (χ) fχ fχ X a=1 χ−1(a) log p(1 − ζfaχ) (2.6) （ここに logpは p-進対数関数）と表され、Lp(1, χ) 6= 0 であることも知られている．この Lp(1, χ) 6= 0 であるという事実は、Leopoldt 予想および p-進解析的類数公式を通して導か れる．このことに関して簡単に述べておこう． 有限次代数体 K と素数 p に対して、p 上の各素イデアル p による完備化 Kpを考える．局所 体 Kpの局所単数群 Up = { u ∈ Kp ¯ ¯ | u |p = 1 } と主局所単数群 U1,p = { u1 ∈ Kp ¯ ¯ | u1−1 |p < 1 } が定義され、U = Y p|pUpおよび U1 = Y p|pU1,pが定まる．K の単数群 E を、diagonal に U へ埋め込む（ 即ち、各成分にコピーする ）ことによって U の部分群と見なし、E1 = E∩ U1 の U1における閉包 E1を定める．この時、U1と E1は乗法に関して Zp加群となる．K の C への実な埋め込みの個数を r1、虚な埋め込みの個数を 2 r2とすると、Dirichlet の単数定理
により E1の Z-rank は r1 + r2− 1 であるが、E1の Zp-rank についても
Leopoldt 予想 Zp-rank E1 = r1+ r2− 1 であろうと予想されている．δ = r1+ r2− 1 − ( Zp-rank E1) ≥ 0 と定めると、類体論から K の独立な Zp拡大は丁度 r2 + 1 + δ 本存在することが示される．現在、Leopoldt 予想は K が有理数体上もしくは虚２次体上のアーベル拡大である場合に成立することが知られて おり（ Ax-Brumer の定理 ）、特に実アーベル体の Zp拡大は円分 Zp拡大以外には存在し ないことがわかる． 以下では K が実アーベル体である場合を考えよう．即ち r1 = n = [K : Q]、r2 = 0 であ る．K の実数体 R への埋め込み、即ち自己同型を σ1, σ2, · · · , σnとする．p 上の K の素イ デアル p と、K ⊂ C から Kp ⊂ Cpへの埋め込みを与えておく．一般に Up = W × U1,p（ W は位数が p と素な Kp内の 1 の冪根全体 ）と分解されるので、u ∈ Upに対して u = whui、 w ∈ W 、hui ∈ U1,pと表す．K の基本単数系 ε1, ε2, · · · , εn−1に対して、与えられた埋め 込みを通してp-進単数基準 Rp(K) = det( logphε σj i i )1≤i, j≤n−1が定義される．K に対応する Dirichlet 指標群を X とすると、次の３条件が同値となる． Lp(1, χ) 6= 0 ( ∀χ ∈ X\{1} ) ⇐⇒ Rp(K) 6= 0 ⇐⇒ Zp-rank E1 = Z-rank E1 = n − 1 後者の同値関係は、一次独立性を行列式で表すことで得られる．一方、前者の同値関係は 次の公式を通して得られる．h(K) と d(K) をそれぞれ K の類数と判別式とする時（埋め 込み K → Cpの適当な取り替えによって）、 p-進解析的類数公式 2 n−1h(K)R p(K) p d(K) = Y χ∈X\{1} ( 1 − χ(p)p−1)−1Lp(1, χ) が成り立つ．この p-進解析的類数公式にも、Euler 因子 1 − χ(p)p−1が現れている．K に 対する Leopoldt 予想が肯定的であることは上記の３条件が成立することを意味し、特に
Lp(1, χ) 6= 0 が成立する．(2.6) 式からもわかるように、このように p-進 L-関数は単数群と も深く結びついている．（以上の詳細については、[Was] 等を参照．） § 3. 岩澤冪級数の構成 Dirichlet 指標 χ を取り、fχと q の最小公倍数 lcm(fχ, q) を、 lcm(fχ, q) = dqpe, e ≥ 0, (p, d) = 1 (3.1) と表す．この d について κ = 1 + dq、qn = dqpn( n ≥ 0 ) と定める．各自然数 n に対して、 自然な準同型の核 Ker ³ (Z/qpnZ)×→ (Z/qZ)× : a mod qpn7→ a mod q ´ (3.2) は位数 pn の巡回群であり、κ mod qpnで生成される．p と素な各整数 a に対して hai = ω(a)−1a ∈ Z
p と定めると、hai ≡ 1 ( mod q ) であるので hai mod qpnは (3.2) に含まれ、
生成元を用いて一意的に
hai ≡ κin(a) ( mod qpn), 0 ≤ i
n(a) < pn
(3.3)
と表される．すると次の可換図式のように対応する Galois 群およびその元が定まる．
a mod qn 7→
³
a mod d , ω(a) mod q , hai mod qpn ´
3 3 3 3 (Z/qnZ)× ' |(Z/dZ)×{z× (Z/qZ)×} × D κ mod qpnE ← − ∼ ' (Z/dqZ)× ' ← − ∼
Gal(Q(ζqn)/Q) ' Gal(Q(ζdq)/Q) × Gal(Q(ζqn)/Q(ζdq))
= = ∆ Γn ∈ ∈ ∈ σa 7→ ³ δ(a) : ζdq 7→ ζdqa , γn(a) : ζqn 7→ ζ κin(a) qn ´ 以下ではここに現れる同型を全て同一視し、直積成分は部分群と見なして
σa = δ(a)γn(a) ∈ Gal(Q(ζqn)/Q) = ∆ × Γn
(3.4) と表す．さらに χ は qn ( n ≥ e ) を法として定義された指標として考えると、対応する指標 群も分解されるので一意的に χ = θψ ∈ (Z/q\nZ)×= b∆ × bΓn, θ ∈ b∆, ψ ∈ bΓn (3.5) と分解される．θ ∈ b∆ は第一種の指標と呼ばれ、導手は d または qd である．特に Teichm¨uller 指標 ω は第一種の指標である．一方 ψ ∈ bΓnは第二種の指標と呼ばれ、導手は qpe( e ≥ 1 )
または 1 であり、対応する体は Q(ζqpe) に含まれる Q 上 pe次の実巡回拡大体 Qe（ 円分 Zp 拡大 Q∞/Q の e-th layer ）であるので常に偶指標である．以後 χ は偶指標（ 即ち第一種の 指標 θ も偶指標 ）と仮定する． さて、円分拡大 Q(ζqn)/Q における Stickelberger 元の −1 倍を ξn = − X σa∈Gal(Q(ζqn)/Q) ½ a qn ¾ σa−1 ∈ Q[Gal(Q(ζqn)/Q)] = − 1 qn X 0<a<qn, (a,qn)=1 a δ(a)−1γ n(a)−1 ∈ Q[∆ × Γn] (3.6) とおく．ここに n xoは有理数 x の小数部分、即ち [ x ] で x を超えない最大の整数を表し た時、 n x o = x − [ x ] として定まる．ここで ξn ∈ Qp[∆ × Γn] と考えて、奇指標 ωθ−1 ∈ b∆ に関する Qp[∆] の冪等元 εωθ−1 = 1 |∆| X δ∈∆ ωθ−1(δ) δ−1 ∈ Qp[∆] ⊂ Qp[∆ × Γn] (3.7) を作用させることにより、 εωθ−1ξn = ξn(θ) εωθ−1 ξn(θ) = − 1 qn X 0<a<qn, (a,qn)=1 a θω−1(a)γn(a)−1 ∈ Qp[Γn] (3.8) なる Qp[Γn] の元 ξn(θ)（ εωθ−1-固有値 ）が得られる．これを補正して計算した元 ηn(θ) = (1 − κγn(κ)−1) ξn(θ) = X 0<a<qn, (a,qn)=1 ³ κ ½ a qn ¾ − ½ aκ qn ¾´ θω−1(a)γ n(aκ)−1 ∈ Qp[Γn] (3.9) を定める． m ≥ n ≥ 0 に対して、自然な制限写像 φm,n : Γm → Γnから群環の全準同型 φm,n : Qp[Γm] → Qp[Γn], γm(a) 7→ γn(a) (3.10) が誘導される．また第一種の指標 θ が値をとる局所体 Qp(ζfθ) の整数環を O とおく．
定理７． 第一種偶指標 θ に対して、( i ) ηn(θ) ∈ 2O[Γn]、( ii ) ξn(θ) ∈ 2O[Γn], θ 6= 1、(iii) φm,n(ηm(θ)) = ηn(θ), φm,n(ξm(θ)) = ξn(θ), ( m ≥ n ≥ 0 ) が成り立つ．
証明 以下、a で表される整数は常に 0 < a < qn, (a, qn) = 1 なる条件は充たしているもの
(3.9) 式において C(a) = κ ½ a qn ¾ − ½ aκ qn ¾ ∈ Z であることから、p 6= 2 である場合に ( i ) が成立することは明らか．p = 2 として (3.9) 式から ηn(θ) を計算すると、 ηn(θ) = X a≤qn/2 C(a) θω−1(a)γ n(aκ)−1+ X a≤qn/2 C(qn− a) θω−1(qn− a)γn((qn− a)κ)−1 = X a≤qn/2 ³ C(a) − C(qn− a) ´ θω−1(a)γ n(aκ)−1 となる． ½ a qn ¾ + ½ qn− a qn ¾ = 1, ½ aκ qn ¾ + ½ (qn− a)κ qn ¾ = 1 であることに注意して計算 すると C(a) − C(qn− a) = 2C(a) − qn ∈ 2Zpであるので、p = 2 の場合にも ( i ) が成立．
γn(a) = γn(qn− a)、θω−1(qn− a) = −θω−1(a)、hqn− ai = hai − ω(a)−1qnに注意して
ξn(θ) を計算すると、 ξn(θ) = − 1 qn X a
hai θ(a)γn(a)−1
= − 1
qn
³ X
a≤qn/2
hai θ(a)γn(a)−1+
X a≤qn/2 hqn− ai θ(qn− a)γn(qn− a)−1 ´ = − 1 qn ³ 2 X a≤qn/2
hai θ(a)γn(a)−1− qn
X
a≤qn/2
ω(a)−1θ(a)γn(a)−1
´
= − 2
qn
X
a≤qn/2
hai θ(a)γn(a)−1+
X a≤qn/2 θω−1(a)γ n(a)−1 となる．ここで θ 6= 1 を仮定すると、第一項の和は X a≤qn/2
hai θ(a)γn(a)−1 =
X
b mod qn∈ Γn
³ X
a≤qn/2, hai≡b ( mod qn)
hai θ(a)γn(a)−1
´
≡ X
b mod qn∈ Γn
³ X
a≤qn/2, hai≡b ( mod qn)
b θ(a)γn(b)−1 ´ mod qnO[Γn] = X b mod qn∈ Γn ³ X
a≤qn/2, hai≡b ( mod qn)
θ(a)
´
b γn(b)−1
となり、各 b mod qn ∈ Γnに対して指標の直交性から
X
a≤qn/2, hai≡b ( mod qn)
θ(a) = 1 2 X hai≡b ( mod qn) θ(a) = 1 2 X δ ∈ ∆ θ( δ ) = 0 である．よって X a≤qn/2
hai θ(a)γn(a)−1 ≡ 0 mod qnO[Γn]、即ち −
2
qn
X
a≤qn/2
hai θ(a)γn(a)−1 ∈
2O[Γn] となる．これで p 6= 2 である場合には ( ii ) が成立することがわかるが、p = 2 とし て第二項の和を計算すると、 X a≤qn/2 θω−1(a)γ n(a)−1 = X b mod qn∈ Γn ³ X
a≤qn/2, hai≡b ( mod qn)
θω−1(a)γ n(a)−1 ´ = X b mod qn∈ Γn ³ X
a≤qn/2, hai≡b ( mod qn)
θω−1(a) ´γ n(b)−1
≡ X
b mod qn∈ Γn
³ X
a≤qn/2, hai≡b ( mod qn)
θ(a)
´
となり、第一項の計算と同様に指標の直交性から 0 mod 2O[Γn] であることがわかり、p = 2 の場合にも ( ii ) が成立する． また任意の m ≥ n ≥ 0 に対して φm,n(ξm(θ)) = − 1 qm X 0<a<qm, (a,qm)=1 a θω−1(a)γ n(a)−1 = − 1 qm X 0<b<qn, (b,qn)=1 X 0≤i<pm−n (b + iqn) θω−1(b)γn(b)−1 = − 1 qm X 0<b<qn, (b,qn)=1 θω−1(b) ³ X 0≤i<pm−n (b + iqn) ´ γn(b)−1 = − 1 qm X 0<b<qn, (b,qn)=1 θω−1(b)qm qn ³ b + qn pm−n− 1 2 ´ γn(b)−1 = ξn(θ) − p m−n− 1 2 X 0<b<qn, (b,qn)=1 θω−1(b)γn(b)−1 となって、第二項の和は X b θω−1(b)γ n(b)−1 = X b θω−1(q n− b)γn(qn− b)−1 = − X b θω−1(b)γ n(b)−1 ゆえ 0 となるので φm,n(ξm(θ)) = ξn(θ) が成立．また φm,n(1 − κγm(κ)−1) = 1 − κγn(κ)−1で あるので φm,n(ηm(θ)) = ηn(θ) も言えて、(iii) が成立する．■ (3.9) で与えられた射影系 φm,nによって、円分 Zp拡大の Galois 群 Γ = Gal(Q(ζdp∞)/Q(ζdq)) = lim ←−Γn ' κ Zp = 1 + pZ p ' Zp とその位相的生成元 γ = lim ←− γn(κ) : ζqn 7→ ζ κ qn ( ∀n ≥ 0 ) が得られるが、その完備離散付値 環 O 上の完備群環 O[[Γ]] = lim
←−O[Γn] は、O 上の一変数冪級数環 Λ = O[[T ]] と同型になる
のであった（伊藤氏の講演参照）．さらに定理７によって、 lim ←−ξn(θ) ←→ f (T, θ) , θ 6= 1 lim ←−ηn(θ) ←→ g(T, θ) 1 − κγ−1 ←→ 1 − κ(1 + T )−1 γ ←→ 1 + T 3 3 O[[Γ]] ' Λ ← ← O[Γn] ' Λ/(1 + T )p n − 1 ∈ ∈ γn(κ) ←→ 1 + T mod (1 + T )pn − 1 ηn(θ) ←→ g(T, θ) mod (1 + T )p n − 1 (3.11)
なる図式とそれぞれに対応する元が定まる．θ 6= 1 の時は Λ の元として f (T, θ) = g(T, θ) 1 − κ(1 + T )−1 (3.12) であるが、θ = 1 の時にはこの (3.12) 式を f (T, 1) の定義とする．こうして Stickelberger 元 から得られた冪級数 f (T, θ) は、岩澤冪級数と呼ばれる． また図式 (3.10) の最下段の元の対応と (3.9) 式によって、 g(T, θ) ≡ X 0<a<qn, (a,qn)=1 ³ κ ½ a qn ¾ − ½ aκ qn ¾´
θω−1(a)(1 + T )−1−in(a)
mod (1 + T )pn − 1 (3.13) なる合同式を得る． § 4. p-進 L-関数の構成 p-進対数関数は冪級数 logp(1 + X) = ∞ X n=1 (−1)n+1Xn n (4.1) で定義され、収束半径は 1 である（ ∵ pn | (−1)n+1/n | p = p vp(n) n → 1, n → ∞ ）．よって logp(1 + X) は 1 + X = κ = 1 + dq で収束し、その値は | logpκ |p = | logp(1 + dq) |p ≤ | dq |p = 1 q (4.2) と評価される．一方、p-進指数関数も冪級数 exp(X) = ∞ X n=0 Xn n! (4.3) によって定義され、 n − p p − 1 − log n log p < vp(n!) < n p − 1, p n−p p−1− log n log p < ¯ ¯ ¯ 1 n! ¯ ¯ ¯ p < p n p−1 と 評価されるので収束半径は p−1/(p−1)( < 1 ) である（詳細は [Was] または [Gou] を参照）．さ らに ¯ ¯ ¯ 1 n! ¯ ¯ ¯ p ∈ p Zであるので、p = 2 の場合には¯¯¯ 1 n! ¯ ¯ ¯ p ≤ 2 n−1であることから一般に ¯ ¯ ¯ 1 n! ¯ ¯ ¯ p ≤ q −1pp−1n +1 （ p 6= 2 の時は “ < ” ） (4.4) と評価される．(4.2) より、領域 D = {s ∈ Cp ¯ ¯ | s |p < qp−1/(p−1)} において | s logpκ |p = | s |p· | logpκ |p < qp−1/(p−1)· 1 q < p −1/(p−1) (4.5)
であるので、この領域 D 上の p-進解析関数 κs = exp( s logpκ ) = ∞ X n=0 ( logpκ )n n! s n (4.6) が定義される．特に s が整数の時の κsの値は、通常の κ を s 乗した値に一致する．ここで κs− 1 = ³1 + ∞ X n=2 ( logpκ )n−1 n! s n−1´( s log pκ ) であるが、自然数 n ≥ 2 に対して n = (p − 1) k + j , 1 ≤ j ≤ p − 1 （ p = 2 の時は n = k + 1、j = 1 とする．） と表すと、(4.4) から ¯ ¯ ¯ 1 n! ¯ ¯ ¯ p ≤ p kと表され、s ∈ D に対して ¯ ¯ ¯(logpκ) n−1 n! s n−1¯¯¯ p = ¯ ¯ ¯ 1 n! ¯ ¯ ¯ p· | logpκ | n−1 p · | s |n−1p < pk· q−n+1· qn−1p−n−1p−1 = pk· p−k− j−1 p−1 < p− j−1 p−1 ≤ 1 となる．よって n ≥ 2 に対して ¯ ¯ ¯(logpκ) n n! s n¯¯¯ p < | s logpκ |p、 および ¯ ¯ ¯ ∞ X n=2 (logpκ)n−1 n! s n−1¯¯¯ p < 1 (4.7) であり、特に s = 1 ∈ D として κsの係数( logpκ ) n n! ∈ Zpを評価すると、 ¯ ¯ ¯( logpκ ) n n! ¯ ¯ ¯ p ≤ | logpκ |p ≤ 1 q となる．よって、 κs ∈ 1 + q s Z p[[s]]、 および | κs− 1 |p = | s logpκ |p < p−1/(p−1) ( ∀s ∈ D ) (4.8) となる．ここで第二種の指標 ψ に対して、1 の p 冪乗根 ζψ = ψ(κ)−1 = χ(κ)−1 (4.9) を定め、局所体 Qp(ζψ) の素元を π = ζψ− 1、整数環を Oψとおくと、(4.6) より ζψκs− 1 ∈ πOψ[[s]] となるので、命題４を用いて s − 1 で展開することによって ζψκs− 1 = ∞ X n=0 cn(s − 1)n, cn ∈ πOψ ( ∀ n ≥ 0 ) (4.10) なる表示を得る．この右辺の冪級数も領域 D において収束することに注意する．
定理８（ 岩澤関数としての p-進 L-関数 ）． 偶指標 χ = θψ（ θ は第一種、ψ は第二種の 指標 ）に対して、θ に関する岩澤冪級数を f (T, θ) とする．この時、 Lp(s, χ) = f ( ζψκs− 1 , θ) . (4.11) （ このように ζψκs− 1 を冪級数に代入して得られる関数を、岩澤関数と呼ぶ． ） 証明 step 1（ p-進解析性 ） θ 6= 1 である時、f (T, θ) = ∞ X i=0 ziTn ∈ Λ = O[[T ]] であっ て、任意の s ∈ D に対して (4.8) から | ζψκs− 1 |p = | ζψ( κs− 1 ) + ( ζψ − 1 ) |p < 1 である．よって | ( ζψκs− 1 )i|p → 0 ( i → ∞ ) となり、f( ζψκs− 1 , θ) は領域 D において 収束する．また、 f ( ζψκs− 1 , θ) = ∞ X i=0 zi ³ X∞ n=0 cn(s − 1)n ´i = ∞ X i=0 ∞ X n=0 zi ³ X t1+t2+···+ti=n ct1ct2· · · cti ´ (s − 1)n となり、 ¯ ¯ ¯ X t1+t2+···+ti=n ct1ct2· · · cti ¯ ¯ ¯ p ≤ | π | i p → 0, ( i → ∞ ) であるので an = ∞ X i=0 zi ³ X t1+t2+···+ti=n ct1ct2· · · cti ´ は収束し、f ( ζψκs− 1 , θ) = ∞ X n=0 an(s − 1)n ∈ Qp[[s − 1]] と表される． θ = 1 である時、同様に g( ζψκs− 1 , 1) が Qp[[s − 1]] の元として表され、領域 D におい て収束することがわかる．f (T, 1) = g(T, 1) 1 − κ (1 + T )−1 であったので、 f ( ζψκs− 1 , 1) = ζψκsg( ζψκs− 1 , 1) ζψκs− κ となり、分母と分子の関数は共に D において収束する s − 1 の冪級数で表される．ここで 分母を与えている関数 1 ζψκs− κ について考えよう．ψ 6= 1 の時、ζψ 6= 1 であるので分母 は D において零点を持たない（ ∵ ζψκs− κ = 0 ⇒ κp n(s−1) = 1 ( n À 1 ) ⇒ s = 1 ）．ま た、| κ − ζψ|p = | (1 − ζψ) + dq |p = | 1 − ζψ|p ≥ | 1 − ζp|p = p−1/(p−1)と (4.8) より、s ∈ D において ¯ ¯ ¯ζψ(κ s− 1) κ − ζψ ¯ ¯ ¯ p = | κs− 1 | p | κ − ζψ|p < 1 となるので 1 ζψκs− κ = − 1 κ − ζψ · 1 1 −³ ζψ(κ s− 1) κ − ζψ ´ = −κ − ζ1 ψ · ∞ X i=0 ³ ζψ(κs− 1) κ − ζψ ´i
と展開できる．さらに (4.8) から ζψ(κ s− 1) κ − ζψ ∈ q πOψ[[s]] であって、命題４を用いて s − 1 で 展開してζψ(κ s− 1) κ − ζψ = ∞ X n=0 cn(s − 1)n, cn∈ q πOψ ( ∀ n ≥ 0 ) と表示される．よって θ 6= 1 の時と同様の議論により、 1 ζψκs− κ は s ∈ D において収束する s − 1 の冪級数に展開され る．即ち、領域 D において f ( ζψκs− 1 , 1) ∈ Qp[[s − 1]] である． 一方、ψ = 1 即ち χ = 1 の時、D\{1} において 1 ζ1κs− κ = 1 κ(s − 1)· 1 ³ κs−1− 1 s − 1 ´ = (κ logpκ) −1 s − 1 · 1 1 + ³ X∞ n=2 (logpκ)n−1 n! (s − 1) n−1´ と表される（ κsκ−1 = κs−1 および ζ1 = 1 であることに注意 ）．s − 1 ∈ D に対して (4.7) から ¯ ¯ ¯ ∞ X n=2 (logpκ)n−1 n! (s − 1) n−1¯¯¯ p < 1 であり、 1 ζ1κs− κ = (κ logpκ) −1 s − 1 · ∞ X i=0 ³ − ∞ X n=2 (logpκ)n−1 n! (s − 1) n−1´i と展開される．(4.7) 等から n ≥ 2 に対して ¯ ¯ ¯(logpκ) n−1 n! ¯ ¯ ¯ p < 1 であるので、先の場合と 同様に 1 ζ1κs− κ は D\{1} において収束する 1 s − 1Qp[[s − 1]] の元に展開される．よって、 f ( κs− 1 , 1) も領域 D\{1} 上で収束する s − 1 の Laurent 級数で表され、s = 1 で 1 位の極 をもつ． 以上により、任意の偶指標 χ に対して f ( ζψκs− 1 , θ) は f ( ζψκs− 1 , θ) = ∞ X n=−1 an(s − 1)n an∈ Qp, （ χ 6= 1 の時は a−1 = 0 ） なる領域 D 上の p-進有理形関数（ χ 6= 1 の時は p-進解析関数 ）である． step 2（ 負の整数点での値 ） n を自然数とし、0 < a < qn, (a, qn) = 1 なる各整数 a に対し て、κa = (1 + dq)a を qnで割った余りを a1、商を a2で表す．すると a2 = κ ½ a qn ¾ − ½ aκ qn ¾ であり、κin(a1) ≡ ha
1i ≡ hκai ≡ κin(a)+1 ( mod qn) 即ち in(a1) = in(a) + 1、また θω−1(a) = θω−1(a 1) であるので、(3.13) 式より、 g(T, θ) ≡ X 0<a<qn, (a,qn)=1 a2θω−1(a1)(1 + T )−in(a1) mod (1 + T )p n − 1 なる表示を得る．n は十分大きな自然数とし、これに T = ζψκ1−m− 1 ( m ∈ N ) を代入し て計算すると (1 + T )pn − 1 ¯ ¯ ¯ T =ζψκ1−m−1 = (ζψκ1−m)pn− 1 = ((1 + dq)pn)1−m− 1 ≡ 0 ( mod qn)
であるので、qnを法として g( ζψκ1−m− 1 , θ) ≡ X a a2 θω−1(a1) ζψ−in(a1) (κin(a1))m−1 ≡ X a a2 ω−1(a1) θ(a1) ψ(a1) ha1im−1 ≡ X a a2 χω−m(a1) am−11 ( mod qn) となる．一方、(κa)m = ( a1+ a2qn)m ≡ am1 + mam−11 a2qn ( mod qn2) ゆえ qn2 を法として g( ζψκ1−m− 1 , θ) m qn ≡ X a χω−m(a 1) mam−11 a2qn ≡ X a χω−m(a 1) ³ (κa)m− am 1 ´ ≡ X a χω−m(κa) (κa)m−X a1 χω−m(a 1) am1 ≡ ( χω−m(κ) κm− 1 )X a χω−m(a) am ≡ ( ζ−1 ψ κm− 1 ) X a χω−m(a) am ( mod q2 n) となるので、 g( ζψκ1−m − 1 , θ) ≡ ( ζψ−1κm− 1 ) 1 m qn X a χω−m(a) am ( mod qn m ) すると qn m → 0 ( n → ∞ ) ゆえ、この式は右辺が左辺に収束することを意味し、 f ( ζψκ1−m − 1 , θ) = g( ζψκ1−m− 1 , θ) 1 − ζ−1 ψ κm = −1 m n→∞lim 1 qn X 0<a<qn, (a,qn)=1 χω−m(a) am (4.12) となる．ここで (1.5) 式から Bm,χω−m = 1 qn qn X a=1 χω−m(a) qmn Bm³ a qn ´ (4.13) なる表示が得られるが、(1.4) 式と定理３をふまえて右辺を qn−1を法として計算すると、 Bm,χω−m = 1 qn qn X a=1 χω−m(a)³am− m 2 a m−1q n+ qn2( · · · ) ´ ≡ 1 qn qn X a=1 χω−m(a) am−m 2 qn X a=1 χω−m(a) am−1 ( mod q n−1) となることがわかる．第二項の和は qn X a=1 χω−m(a) am−1 ≡ qn X a=1 χω−m(−a) (−a)m−1 ≡ − qn X a=1 χω−m(a) am−1( mod qn)
となるので qn−1を法として 0 である．n → ∞ に関して右辺が左辺に収束するので、 ( 1 − χω−m(p)pm−1) B m,χω−m = ( 1 − χω−m(p)pm−1) lim n→∞ 1 qn qn X a=1 χω−m(a) am = lim n→∞ 1 qn qn X a=1 χω−m(a) am− χω−m(p)pm−1 lim n→∞ 1 qn−1 qXn−1 a=1 χω−m(a) am = lim n→∞ 1 qn qn X a=1 χω−m(a) am− lim n→∞ 1 qn qn−1 X a=1 χω−m(pa) (pa)m = lim n→∞ 1 qn X 0<a<qn, (a,qn)=1 χω−m(a) am となり、(4.12) 式と合わせて f ( ζψκ1−m− 1 , θ) = −( 1 − χω−m(p)pm−1) Bm,χω−m m (4.14) を得る． ここで χ = 1 と仮定する．すると d = 1、qn = qpn、ζψ = 1 であり、任意の整数 a に対 して 1(a) = 1 である．s = 1 − m、m = (p − 1)pM とおくことにより、(4.12) から lim s→1 (s − 1) f ( κ s− 1 , 1) = lim M →∞ − (p − 1)p Mf ( κ1−(p−1)pM − 1 , 1) = lim M →∞ n→∞lim 1 qpn X 0<a<qpn, (a,p)=1 1(a) a(p−1)pM = lim n→∞ 1 qpn X 0<a<qpn, (a,p)=1 lim M →∞hai (p−1)pM = lim n→∞ 1 qpn X 0<a<qpn, (a,p)=1 1 = lim n→∞ (p − 1)qpn−1 qpn = 1 − 1 p となり、f ( κs− 1 , 1) の s = 1 での留数は 1 − p−1である． 以上のことと一致の定理から、p-進解析関数 f ( ζψκs− 1 , θ) は定理５で述べた p-進 L-関 数に他ならず、定理８および定理５と (2.2) 式の表示が同時に証明された．■ § 5. Kummer 合同式の証明 岩澤関数として構成された p-進 L-関数の解析的な性質から、Kummer 合同式等が簡潔に 導かれる．以下、 p は奇素数 とする．
定理１の証明 m ≡ n 6≡ 0 ( mod p − 1 )、m ≡ n ( mod (p − 1)pa−1) なる正の偶数 m、n と
自然数 a に対して、(4.8) より κs∈ 1 + p s Zp[[s]] であったので、
である．岩澤冪級数 f (T, ωm) の係数は p-進整数なので定理５と定理８から (1 − pm−1)Bm m = −Lp(1 − m, ωm) = −f ( κ1−m− 1 , ωm) ≡ −f ( κ1−n− 1 , ωn) = −L p(1 − n, ωn) = (1 − pn−1) Bn n ( mod p a) となり、両辺共に Zpの元である．これで Kummer 合同式が証明された．■ 定理２の証明 n 6≡ 0 ( mod p − 1 ) なる正の偶数 n に対して、κs∈ 1 + p s Zp[[s]] であるこ とから κ1−n− 1 ≡ 0 ( mod p ) である．岩澤冪級数 f(T, ωn) の係数は p-進整数なので定理 ５と定理８から B1,ωn−1 = ( 1 − ωn−1(p) ) B1,ωn−1 = −Lp(0, ωn) = −f (0, ωn) ≡ −f ( κ1−n− 1 , ωn) = −L p(1 − n, ωn) = (1 − pn−1) Bn,1 n ≡ Bn n ( mod p ) となり、両辺共に Zpの元である．■ § 6. 岩澤主予想に向けて 解析的類数公式から見られるように、Dirichlet L-関数は Bernoulli 数だけでなく、アー ベル体の類数および単数群と深く関係していた（木村氏の講演参照）．一方、岩澤冪級数、 即ち p-進 L-関数を構成している Stickelberger 元は、イデアル類群の Galois 加群としての annihilator であった（Stickelberger の定理、山本氏の講演参照）．このことから、p-進 L-関数がイデアル類群の構造とも深く関わってくることが見て取れる．さらに (2.6) 式から は、円単数とも関係してくることが示唆される（実際に、p-進 L-関数は円単数からも構成 される．都地氏の講演参照）．実はこれらの関係を記述するのが岩澤主予想であり、その 主張は解析的類数公式、Stickelberger の定理、Herbrand-Ribet の定理などの精密化と考え られる．p-進 L-関数はまさに、Dirichlet L-関数が持っていた数論的情報の p-進的側面をよ り精密に記述する関数であると言えるだろう． 以下では上述の p-進 L-関数の構成方法に基づき、p-分体の場合における岩澤主予想を考 察する．より詳しい解説および一般的な定式化等は、尾崎氏の稿を参照されたい．以下、 p は奇素数 であると仮定する． 0 ≤ i < p − 1 なる整数 i に対して、Teichm¨uller 指標の冪 χ = θ = ω1−iは第一種の指標 であり、ωθ−1 = ωiである．i 6= 1 ならば f ω1−i = p であるので、対応して p-分体の円分 Zp 拡大 Q(ζp∞)/Q(ζp) を考え、Galois 群
∆ = Gal(Q(ζp)/Q)、 Γ = Gal(Q(ζp∞)/Q(ζp))、 Γn = Gal(Q(ζpn+1)/Q(ζp))
が定まる．κ = 1 + p であり、Γ の位相的生成元 γ : ζpn+1 7→ ζpκn+1 ( ∀n ≥ 0 ) を固定する．ま た、eΛ = Zp[∆][[Γ]] とおき、∆ に関する冪等元を εi = 1 p − 1 X δ∈∆ ωi(δ) δ−1 ∈ Z p[∆] ⊂ eΛ
とおく．各 i に対して、これらを作用させて得られる eΛ の ωi-成分を、次の同型によって一 変数冪級数環 Λ = Zp[[T ]] と同一視する． γ εi ↔ γ ↔ 1 + T 3 3 3 εiΛe = Zp[[Γ]]εi ' Z(i)p [[Γ]] ' Z(i)p [[T ]] = Λ ∈ ∈ ∈ lim ←−ξn(ω 1−i) ε i ↔ lim ←−ξn(ω 1−i) ↔ f (T, ω1−i) ( i 6= 1 が奇数の時 ) (6.1) （ 位相群として Z(i)p = Zpだが、Z(i)p には δ ∈ ∆ が ωi(δ)-倍写像として作用する．） さらに 1 でない奇数 i に対して ω1−iは第一種偶指標であり、Stickelberger 元 ξnの εi-固有値
ξn(ω1−i) に対応して、岩澤冪級数 f(T, ω1−i) が定まるのであった．この岩澤冪級数 f(T, ω1−i)
を用いて p-進 L-関数は Lp(s, ω1−i) = f ( κs− 1 , ω1−i) (6.2) と表される． 一方、円分 Zp拡大 Q(ζp∞)/Q(ζp) の n-th layer Q(ζpn+1) のイデアル類群の p-Sylow 部分 群を Anとし、その ωi-成分を A(i)n = εiAnで表す．するとノルム写像による射影極限によっ て岩澤加群 X = lim ←−An = p−2 M i=0
X(i) 、 X(i) = εiX = lim
←−A
(i)
n
が定まる．上記の同一視 (6.1) によって、これらは有限生成 torsion Λ-加群の構造を持つの であった（藤井氏の講演参照）．
上記の岩澤冪級数 f (T, ω1−i) と有限生成 torsion Λ-加群 X(i)に対して、p-分体の場合の
岩澤主予想は次のように定式化される．
岩澤主予想（ Mazur-Wiles の定理 ） 1 < i < p − 1 なる奇数 i に対して、 charΛX(i) = f (T, ω1−i) Λ
(6.3) が成立する． ここに charΛX(i)は、Λ-加群の構造定理の完全系列 0 −→ ( finite ) −→ X(i) −→ M k Λ/g(i)k Λ −→ ( finite ) −→ 0 (6.4) （ g(i)k は p の冪または既約 distinguished 多項式の冪であり、 M k は有限直和 ）によって定 まる特性イデアル charΛX(i) = Y k gk(i)Λ である（伊藤氏の講演参照）．
以下では岩澤主予想を仮定せずに、その主張の意味を考察する．また特に断らない限り、
i は 1 < i < p − 1 なる奇数を表すものとする．Weierstrass の準備定理により、(6.3) の両
辺は、それぞれある distinguished 多項式 Pialg、Pianaによって
charΛX(i) = pµ alg i Palg i Λ , pµ alg i Palg i = Y k
g(i)k , λalgi = degPialg
f (T, ω1−i) Λ = pµana i Pana
i Λ , λanai = degPiana
(6.5)
と表される．ここに現れる多項式の次数 λalgi 、λanai と p-冪の指数 µalgi 、µanai が、それぞれ
の岩澤 λ-, µ-不変量であった．この不変量に関して、岩澤主予想を仮定せずに岩澤冪級数の 性質および解析的類数公式から次の事実が示される．（これらの定理に代表されるように、 岩澤主予想が証明される以前からも岩澤不変量の計算と研究が進められてきた．福田氏の 講演、田谷氏の講演、および [Was] を参照）ここに、和は 1 < i < p − 1 なる奇数 i を渡る． 定理９． X i λalgi = X i λana i 、 X i µalgi = X i µana i
定理１０（ Ferrero-Washington の定理 ）． µalgi = µanai = 0
さらに CM 体の理論から X(i)は非自明な有限 Λ 部分加群を持たないことが知られており （詳細は [Was] 等を参照）、よって Zp-加群として X(i) ' Zλalgi p 、 Λ/f (T, ω1−i)Λ ' Zλ ana i p (6.6) であることがわかる．以下ではこれらの主張を認めることにする． ここで２つの Qp上の線型空間 Vialg = X(i)⊗ Q p ' M k Qp[T ]/( g(i)k ) , dimQ pV alg i = λalgi Vana
i = Λ/f (T, ω1−i)Λ ⊗ Qp ' Qp[T ]/(Piana) , dimQpV ana
i = λanai
を定め、T 倍線型作用素 T : x 7→ T x を考える．単因子論および線型代数から、Vialgに関
する固有値の積の p 冪部分と固有多項式は
p-det( T | Vialg) = | X(i)/T X(i)| = | A(i)
0 | = pvp(A (i) 0 ) char( T | Vialg) = Y k gk(i) = Pialg (6.7)
である．一方、f (0, ω1−i) = Lp(0, ω1−i) = −B1,ω−iであるので、Vianaに関する固有値の積
の p 冪部分と固有多項式は p-det( T | Vana i ) = | Λ/( T, f (T, ω1−i) ) | = | Zp/f (0, ω1−i)Zp| = | Zp/(−B1,ω−i)Zp| = pvp(B1,ω−i) char( T | Vana i ) = Piana (6.8)
となる．ここで、解析的類数公式から得られる等式 h−(Q(ζ p)) = 2 p Y 1≤i<p−1 , 奇数 ³ − 1 2B1,ω−i ´ (6.9) によって、f (0, ω1−i) 6= 0、即ち T と f(T, ω1−i) は互いに素であることに注意しておく．(6.7) と (6.8) を比較すると、 Vialg Vana i
p-det( T | Vialg) = pvp(A(i)0 )
char( T | Vialg) = Pialg
p-det( T | Vana i ) = pvp(B1,ω−i) char( T | Vana i ) = Piana (6.10) となる．この両者の固有多項式を、 定理１１（ Stickelberger の定理 ）． p と素な整数 c に対して (c − σc) ξn∈ Z[Γn] であり、 (c − σc) ξnAn = 0 となる．（山本氏の講演参照） を用いて比較してみよう．σc= δ(c)γn(c) であって、1 ≤ i < p − 1 なる奇数 i に対して (c − ωi(c)γ n(c)) ξn(ω1−i)A(i)n = εi( (c − σc) ξnAn) = 0 (6.11) である．特に 1 でない i に対しては、c として p を法とした原始根をとっておけば lim ←− (c − ω i(c)γ n(c)) = c − ωi(c)(1 + T )i∞(c) ∈ Λ×, c − ωi(c)γn(c) ∈ Zp[Γn]× であるので、
f (T, ω1−i)X(i) = lim
←− ξn(ω 1−i)A(i) n = 0 (6.12) となる．完全列 (6.4) に岩澤冪級数 f (T, ω1−i) を作用させると f(T, ω1−i) ³ M k Λ/gk(i)Λ ´ は 有限 Λ 加群となるが、 M k Λ/gk(i)Λ は非自明な有限 Λ 部分加群を持たないので f (T, ω1−i)³ M k Λ/g(i)k Λ ´ = 0 (6.13) となる．このことから、次の系が導かれる． 系１２． ( f (T, ω1−i) ) ⊂ \ k ( g(i)k ) 即ち、Pana i は Pialgの任意の因子 g(i)k で割り切れる． さらに、(6.10) の両者をそれぞれ張り合わせた空間 M i Vialg、 M i Vana i （ 1 < i < p − 1 なる奇数 i についての直和 ）を考える．すると (1.5) から B1,ω−1 = 1 p p−1 X a=1 a ω−1(a) ≡ p − 1 p mod Zp
であること、および A(1)0 = 0（ ∵ (6.11) において i = 1、c = κ = 1 + p とすれば pB1,ω−1A(1)0 = 0 ）であることをふまえると、(6.9) 式によって p-det( T |M i Vialg) = Y i pvp(A(i)0 ) = Y i pvp(B1,ω−i) = p-det( T |M i Vana i ) となっている．さらに固有多項式については、定理９から deg ³ char( T |M i Vialg) ´ = deg³Y i Pialg ´ = deg³Y i Pana i ´ = deg ³ char( T |M i Vana i ) ´ となり、特に両者の Qp上の線型空間としての次元は等しい． このように張り合わせた空間を比較すると、両者はいくらか類似しているように見える． 岩澤主予想の主張は (6.10) の両者が一致することに他ならず、張り合わせた空間全体とし てだけでなく、指標 ωiによる固有空間分解の各成分について両者が等しいことを主張する ものである．特に固有値の積の p-冪部分に関しては、 定理１３（ Herbrand-Ribet の定理 ）． 1 < i < p − 1 なる奇数 i について、 A(i)0 = 0 ⇔ p 6 | Bp−i と定理２から vp(A(i)0 ) = 0 ⇔ vp(B1,ω−i) = 0 (6.14) なる対応が導かれる．実際にこの定理の証明が、Mazur-Wiles の証明の原型となっている （栗原氏の講演参照）．以上のような観点から、岩澤主予想は各種の定理の “ 精密化 ”であ ると言えるだろう． では、ここから岩澤主予想へと続く道において遭遇する困難は何であろうか？ ここで 次の条件を仮定しよう．
仮定 A． 1 < i < p − 1 なる奇数 i に対して、“ k1 6= k2 ⇒ ( gk(i)1 , g(i)k2 ) = 1 ”
すると上で見たように、各 i に対して Pianaは Pialgで割り切れる．さらに deg
³Y i Pialg ´ = deg³Y i Pana i ´ であるので、各 i についても次数が一致しなければならず、Pialg = Piana、 即ち岩澤主予想が成立する．実は上記の仮定 A は非常に強いことを主張しており、例えば Pialg が重根を持たない場合もしくは X(i)が Λ 加群として巡回的である場合には成立する が、岩澤主予想が証明された現在でも常に成り立つかどうかは知られていない．この仮定 が必ずしも成立しない状況における困難を克服することによって、岩澤主予想は証明され るのである（青木氏の講演および栗原氏の講演参照）．
参考文献
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水沢 靖（ Yasushi Mizusawa ）早稲田大学大学院 理工学研究科 数理科学専攻 〒 169-8555 東京都新宿区大久保 3-4-1 e-mail : mizusawa@akane.waseda.jp
