Architectural Institute of Japan
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【論 文
1
UDC ：624．042 日本 建 築 学 会構 造 系論 文 報 告 集 第 379 号・昭 和 62 年 9 月荷
重
・耐 力係数決定
法
私
案
正 会 員 田 中 尚＊ 1．ま えがき 建築学 会は鋼 構 造 荷重 ・耐力 係 数 設計 法 試 案1）（以 下 試案と 呼ぶ） を 発 表 した．国 際的に も構 造設 計体系は次 ・ 第に荷 重 ・耐 力 係 数 設 計 法に移行しつ つ あうi）3， と 考え ら れ， 鋼構造 分 科 会の努 力に敬意 を表す． 荷重 ・耐 力 係 数 決 定の手 続は次の よ うに要約され る． 安 全 性の余 裕 をM ，耐 力 をX。，荷重をXiと し たとき（確 率変数は大文字で書くことにす る），M は バ M ＝X。一Σ X，・・……・・…r・…………一 ・ …（1．1） ii1 で現さ れ， 安全 指 標 βを指 定し，標準正 規 確 率 分 布 関 数を φ と し たと き P7（M ≧0）； Φ（β）…・………・・…・・…・………（1．2） と な る よ う に X。＝＝X。，X、＝X‘ （i＝1，2，…， n）・………（1．3 ＞ を定め，偽，飭 に基づい て，これ を係数の形で表 現し 荷 重・耐 力係数を求め る手 続を と る． 式 （Ll ）の 中の X‘ （i＝O，L2 …，n）は試 案 1］に あ るよ うに確 率 変 数の積で現さ れ m X‘＝π US」 （i＝1，2，…冗〉・・………・……（1．4） j＝1 とな る が，砺 の中に は平 均 値や標 準偏差の与え ら れて い る変 数の ほ か，荷重 を構 造 要 素に生ずる 力 な どに関 連 づ け る変 換係数の ように，設 計 者が計 算して求める た め， 構 造要 素の部 位によっ て平 均 値や標 準偏差が異なる変 数 も含ま れ てい る．し たがっ て式 （1．3）の値を求める に 必要な X‘の確 率 分 布 関 数は明確に は定ま らず， む しろ 式（L4 ）に含 まれて いる 砺 の確 率 分布関 数 を定める（ま たは推定する〉方が容 易であ る． こ の論 文は式 （1．1）（1．4 ）が成 立する場 合の荷重 ・ 耐 力係 数の定め方につ い て私 見 を述べ るもの であ る． 2．荷重 ・耐 力 の各項に要 求さ れる大き さ 以 下の議 論は X‘（i＝0， 1，2，…，n）， U“ （‘＝ 0，1，2， …n ：ノ三1，2，…，m ）が互い に独立な確 率変数である とい う仮 定の も とに進め る． まずX 、の確 率分布 関 数を 凡 （Xt）と し， F、、（Xi）＝φ（yt｝ （i
＝o，1，2，…n）・…・……（2．1） と お く と，標 準正 規 分 布 Ysで Xt を現すこと が で き る． 上 式 は一般に成 立する が，X‘が 正規分布の と きには Xl＝σ，、 yi＋di、・・…・…・…・………7・・…・・……（2．2） と なる．上 式 中 σXt，あ‘は それぞれ Xtの標 準 偏差，平 均値で ある． 以下しばらくX‘が正 規 分 布と して議 論を進め る． 式 （2．2）の変 換 を式 （1．1｝に施す と ＝ M ／σ。一β嵩α。y厂 Σ α 、Y，…・……・…・……（2．3） t＝1 章 千 葉 大学 教 授 ・工博 （昭和 62 年 1 月 21 日原 稿 受理） とな る．上式 中 n σN＝［Σ］σ隻‘］1／2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 一・… ∴… 一（2．4a ） i；0 α t＝σx‘／σM （i＝0，1，2，… n） ・・・・・・・・・・… （2．4b ） βニ（m。一Σ了‘）／σH・…………・…・……・…・（2．4c ） 1＝1 で ある．式 （2．3＞におい て M。，y‘は標 準 正 規 分 布であ り， 式 （2，4a， b） より れ Σ：】a葦＝1・・・・・・… tt・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 一・… （2．5） t＝e で あるか ら，式 （2．3）の左辺 は標 準 正 規 分 布で あ る． し たがっ て Pr（M ≧0）＝1− ¢（一β）＝ φ（β）………・…・…（2．6） と な り， βは安 全 指 標であ る． 安 全 指 標 β を 定 める と式 （2，4c ）よ り n th。一Σ」、＝ S？σ。………・・…・………一 （2． 7） t＝1 で あ り，式 （Z．4a， b） より n σ 。＝Σ σ 。、α、・・…・…・………一 ・……（2．8） 6＝o が成 立す る か ら，式 （2．7）よ り rt di。一α 。βσ 。。＝Σ （tc‘＋ a、Ba
，、） ’・………・……（2．9） 1；1 とな り，鷺
：
蠍
（、。1，。．，n，1
・… 1・） と お く と式 （2．9＞は dピo＝Σ］」むボ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 一・（2．11） li1 一 34 一 N工 工一Eleotronio LibraryArchitectural Institute of Japan
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とな る． 式 （2，8）に用い たα iは式 （2．4b ）に示す定 義に従っ てい る が，必 ずしもこ の定 義に従 う必 要は ない ．式（2．8） が成立 して い る限り，式 （2．9）の よ う な項 別分離は可 能で ある．α i は，安 全 指 標 β を各 項に分離す る役 割を して いる か ら，分 離 係 数で，こ こ で は特に項 別 分 離 係 数 と呼んでお く． こ こで非 正 規 分 布に対す る一般 化 を試み る．式 （2．2） を Xo＝σx。雪〇十 房 o t−tt…（2噛12） X、＝σ認 、＋冨t （i＝ 1，2，…，n） と書 き，式 （2．1 と比 較す る と， 雪。＝一α調，盈‘＝α‘β （i三1，2，…，n）…（2．13） である．式 （2．1）は非正規分 布に対して は式 （2．2）の 線形変 換は成立 しないが，式 （2．13）の値に対し て成 立 す ること で 1次近似を す る と F物（x。）＝φ（一α 。β） ・・・・… （2．14） FXs（Xi）＝ Φ（ α ‘β〉 （i＝ 1，2，…n） で X。，亀 を求める こ と がで き る． ま え が きに述べ た よ うに， 式 （2．14）の確率 分 布 関 数 Fx。，凡 は必ずしも 明 確で はない ．し た がっ て，次 項に おいて 飭，訊 ‘＝1，2，…）の近似解を求め る方 法 を示 す． 3．各 項の構 成 要 素に要求さ れ る大 き さ 式 （2．14）か ら判るよう に， 荷 重と耐力に関 連 する項 の 差は項 別 分 離 係 数 a‘の符号の みであ る か ら，以 下 荷 重に関 連す る項につ い て説 明す る． Ut」の確 率 分 布 関 数が Fv，（UtJ）で あるとき
za
U，J＝ Wtj・・・……・…・……・・…………・……（3，1） の変 換 を行う とFVu（Uw）＝ FVw（exp WiJ）＝Fw，（Ww ）・・・・… …（3．2） に よっ て 呪丿の確 率 分 布 関 数 FwtS（Ww ）が求ま る．さ らに FWw（ωt」）＝Φ（2‘丿）……一 ……・………・……（3．3） と す る と，Ww を標 準 正 規 分 布に変 換で き る．以上の変 換は u‘J＞0の範 囲で一般に成 立す る が， 以下し ば ら く U“ が対 数 正規分 布で あ る とし て議 論 を進め る． U． が 対 数 正規 分 布の場 合に は， 式 （3．3）の 変 換は Wu ＝ζ』丿2w 十 λμ・一・・t−・−tS・・・… t・・一・・・・・・・… t−・（3．4） と な る．上 式 中λw，蜘 は E ［…］で期 待 値 を 現すと ん，＝E ［tn Uw］ ・一・・・・・・・・・・・・・・・・・… （3、5） ζ
i
丿＝E ［（lnu“一λ‘，） 1 ］ で あ る． 一方 式 （1．4） より m 傷X‘＝ Σ ら 砺 …・・……・……・…・…・…一・・（3．6） J一1 が 得 ら れ， 式 （3．1） を 用い ると らX‘＝ΣWt」…………・・…・…・……・・…・…（3．7） JiL となる．式 （3．4 ）を代入 すると nt m （姦Xt一Σ］λ‘∫）／ζヒ＝Σユξご丿Zw … 一・一・・・・・・・… （3．9） 丿昌匚 」＝1 上式 中 m ζ』＝［Σ］ζ！」臺，ξ≧，竺ζ訟，／ζ≧・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （3，10 ） ∫＝1 であ る．式 （3，9）におい て Zt，は標 準 正 規 分 布であ る． m し た がっ て 瓦 は ln X‘の平 均 値が Σ細 で， 標 準偏差が 1＝］9
，の対数正規 分 布で ある．ゆえに X‘が X，を 超え ない 確 率が aβで あ る値亀 は m （傷 缶‘一Σ λ‘J）／ζ≧＝atfi ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （3，11） j＝1 で求まる．式 （3．10 ＞よ り 9，＝Σ9
，ノ6
プ ………・・…一 …（3．12） J＝1 であ る か ら，式 （3．12）は th ln Xt＝ Σ （α‘βξ1，ζ」，十 λw）…・……・……・…（3．13） j±1 と なる．働 は 1つ の項 内の各 要 素に を 分 離 す る役 割 を す る か ら，項 内 分 離 係 数と呼ん で お く， 式 （3． 13 ）の右辺を式 （3．4）と比較する と 功‘丿＝ ζ≧丿2‘∫十 λ‘丿・・・・・… 一一・・・・・・・・・・・・・… 一・（3．14a ） 2w＝a‘BetJ
………・…・………・（3．14b
） と な り，式 （3．13 ）は m らあ 尸 Σ 勿‘丿…………・・…・…・・…・………（3．15） d＝1 とな る．式 （3．1）を用い る と m ln dii＝Σza
a‘， 」＝1 で， jh‘＝ll毫乙‘ゴ・・・・・・・・・… 一・一・・一・… 4−・・… 一・・… （3，16） ノ；1 であ る． こ こ で一般 化を試み る，式 （3．3） （3，14） を比 較 する と F脚 （勿fノ｝＝ φ（α‘βξの『…・…・・・… ………・・…（3．17） であ り，さ らに式 （3．2 ）より F吻（itt丿）＝ φ（α‘βξ≧∫）・『・……・…………P・・…（3．18＞ であ る か ら，上式を満足 す る atJを求め ると， 式 （3，16） よ りXtが求ま る． 次に項 内 分 離 係 数 彰 の一般 化を行う．式 （3．5＞に 示す 褐， 蜘 は一般に は求め難い し，また求める に し て も面 倒であるので， 次の線形 近似を行う 4 ）． ωv＝1，，U」・．・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （3．19） と すると式 （3．5＞よ り煽一
∫
葱
ん （V，、）伽 ・……・…・……（・．… ） 一35
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ζ
t
−f
：
（・・一・鵡 （… ）d吻・……・…（・．・・b） で あ り， ωv を平均 値aw の近 傍で展 開して線 形 項を と る と， w‘，；UI
‘丿＋（u‘，一π‘，）／万”・・………・・……（3．21） であ る．上 式 を式 （3．20）に代入 す る と λg丿≒ επ万‘丿・・4−… ？・・・・・・・・・・・・・… 一・・・・… 一一幽・（3，22a ） ζ」丿≒σ Wi ／a‘’＝VvaJ’’”…呷’’’’’’’’’”°…’’”・（3．22 b） 上式 中 ％、は 砺 の変 動 係 数で あ る． 式 （3． 10 ＞（3．22 ）より m9
，≒ y．、＝［Σ y 義，｝ ノ！…・………・・…・…・（3．23a ） ’＝1 ξσ≒ VUI’／Vx‘ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 一・・・・・・… （3．23 b） 式 （3．18＞よ り 砺 を求め る と き， 変 換 係 数の よ う な 計 算で 求め る係 数を含む項に対 して は，分 布 関 数 FUtJ（Ut」）が定ま ら ない．し か し な が ら，計 算で定め る Ut」は通 常 正 規 分 布ま た は対 数正規 分布と仮 定で き る 場 合が多く，そ の場 合に は 砺 の平均値をa” と し た と き （a）正 規 分 布に対し 銑丿＝iw（1十 asB
ξw Vu，，）・・………・・・・… …（3．24 a） （b） 対 数 正 規 分 布に対し 軛”＝万 wexp （a‘S
ξ” V，‘，）・・……・……・…（3．24 b） であるか ら， 平 均 値 を未 知 数と し た ま ま 砺 を求め るこ と が で きる． また it“ を求める例とし て， 荷 重 分 布に多い極 値1型 分布につ い て述べて お く．極 値 1型 分 布の確 率 分 布 関 数 F吻 ，（砺 ）・は次式で現 され る SLFu“（Utf）＝ exp ［−exp
1
− a（UtJ−u ）｝］・…・・（3，25） 上式 中u は モード，a は形状パ ラメータである．なお 1／a＝
V
冨 a瑰ノπ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （3．26） u＝π、厂 褥 γσ 。、ノπ の関係が あ る．γは オイラーの定 数で γ＝O．5772156で あ る．この分布に は標準化さ れ た分 布 関 数がある，すな わ ち Z＝（Ut，一秘）α・凾一一… 一・… 一… 一一凸・・・・・・・・… （3．27） と おいた と きの 分布関数 FA2）が数 表に なっ て い る． F氛2）；Φ（05βξま∫）……・……・…・………・…・（3．28） と な る 2 を選ぶ と，式 （3．27）よ り 励u ＝ 2／a十 駕… 7・・・・・・・・・・・・・・・・… 一一・・… 一・・（3．29） よ り， 砺 が求まる．もし，平 均 値と変 動 係 数で現す 必 要があれば，上 式に式 （3．26）を代入 す れ ば よい． 4．荷 重， 耐 力 係 数の求め方 前 述の結 果か ら荷重 ・耐力 係 数 は 次の順 序で求まる， （1） φ（β）を参照 し て， 安 全 指 標 β を定 める。 （2） 各 項 を構 成する UtJの変 動 係 数 Vu、i を定め る． （3 ）各 項 X， （i＝O，1，2，…）の 変勲係 数 VXtを 式 （3．23a ）に よっ て求める． （4） 式 （3．23b ） より項 内 分 離 係 数9
，，を求める． 一36
一 （5＞ 各項 X‘の平 均 値を求め る．i項の平 均値誠 は nt 房‘≡u 豆‘丿・………… ’＝1 ・一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （491 ） で あ る．上 式中a“ は U“ の 平均 値で， − SJ の 中に は変 換係数などの変数 も含まれ てい る． （6） axl＝蓄蔭‘Vx‘・・−t・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 〔4．2） に よっ て， X‘の標 準 偏差 差 を求め る． （7） 式 （2．4a ＞よ りσ制 を求め る． （8） 式 （2．8）を満 足す る よ う に，項 別 分離係数α ‘ を定め る． （9） 式 （3． 18 ＞よ り 砺 を求め る。 （10） 式 （3．16）よ りX，を求め る m （11） 奮‘＝（n a．）rtニXt 7t 丿＝1 ・・・・・・・・・・… （4．3） nXe＝〔ll IOJ）φ＝Xoφ J＝1 と す る と， 7，， φはそれぞれ平均 値に対する荷 重・耐 力 係数であ る． 以 上 述べ たこ との中で （8）一（11 ）につ いては， も う 少し詳 し く述べ て お く 必要が あ る． まず式 （2．4a）（4．2）よ り m σ 財＝ （Σ］あ…V 急 ‘） v2 ・… 『・幽・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… r・（4．4） ‘iO 式 （2．8）は ゆ m
（Σbe：
Vl
、）1
＝Σ 1、 v、、・、・…・・…・…………（4．5） t＝O l一〇 とな る． P＝万“／房、h
，＝di‘／1， （irl ，2、…n） と お く と， 式 （4．5＞は （P2y も＋ v隻，＋Σ雇 v｝i） 1／： ‘＝2 ・・・・・・・… 一… （4呷6 ） ＝pv ．。 a。＋ VXI a、＋Σk
、 VSiα、 ’………・・（4．7） 1＝・i と な る．p， k，が与え られた と き， a。，α lv…，an を定め る方 法は，いろい ろ考え ら れ る が，代 表的な考え方 を示 して お く．まず α。に一定 値（例えばa。＝o．5） s） を与え る． 次に ． α、，αt．…an ．、に一定 値を与え る か，ま た は α t， a2， …，an に一定の比 率 を与え る と， at は すべ て求ま る． 次に設 計 式は式 （4．6 ）を 用い て現 すと φP＝rL＋Σ 殖‘………・………・・（4．8＞ t＝1 であ る， まず k‘を 固定 し， p に第 1近 似 値を与え る と，さ き に述べ た よう な仮 定の もとに α ‘が定ま り， （8）T （11） の過 程に よっ て φ，7sが求ま る．こ れ を 式 （4．8＞に代 入 す る とp の第2近 似 値を得る．以下繰り返 しに よっ て φ，γを求 める． ksをパ ラ メータ と し て φ， 7，が求まる と， k‘の 変化 N工 工一Eleotronio LibraryArchitectural Institute of Japan
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に対して， φ， 7tが安 定7 たあた り に， 設計用の荷重 ・ 耐 力 係 数 を定める． 3．む すび 以 上の よ うに試 案1）の発 表に刺戦さ れ て，文献調 査も 不 十 分 な ま ま， 荷 重 ・耐 力係数の決定法にっ いて，独断 的な私 案 を 述べ た．ご批 判 頂け れ ば幸で あ る． 参考文 献 1） 日本建築 学会：鋼 構 造 荷 重 ・耐 力 係 数設計法 試案，日本 建 築 学会 構 造 委 員 会 鋼 構 造 分科 会， 昭 和61年3月． 2） 神田 順：耐風 ・耐 雪 設 計の國 際 性， 建 築 技 術，No．425， 昭 和62年1月 3） 小 谷 俊 介 ：各國の規 準，建 築技術，No．425，昭 和 62年 1月． 4｝A．H−S． Ang， W ． H， Tang （伊 藤 学， ． 亀 田 弘 行 訳 ｝：土 木建築の た めの確 率統 計の基礎，丸 善，pp．］94−195， 昭 和52 年6月． 5）G．1．Schueller （小西一郎，高岡宣 善，石川 浩訳）：構 造 物の安 定性と信 頼 性，丸 善，pp．37，38，昭和 59年 11月． 6） 文 献 （1），p．70． 7）同上，pp．71，72の図一L 1 ， 図一1．2．
SYNOPSIS
UDC ：624．042APROPOSAL FOR THE DETERMINATION OF LOAD ・RESISTANCE FACTORS
by D【， HISASHl TANAKA ， Pmf ． o｛Chiba University，
Membe 【of A．1．J．
工nthis paper， the author proposes a process to determine load anCl resisistance factors， especially for the case
that safety margin consists of the terms each of which is composed of seve 【al random variables ．
一
