絡作用素と p 進簡約群の既約表現の構成 (講演スライド)

. . .. . . .

絡作用素と

p

進簡約群の既約表現の構成

成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 第２１回整数論サマースクール 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

導入：

Langlands

分類

(

大雑把な定式化

)

F：非Archimedes的局所体

G：F 上定義された連結簡約代数群 P：G の F-放物型部分群,

P = MU：P のLevi分解(M：Levi部分群) G := G(F), P := P(F), M := M(F), U := U(F)... IG P(σ)：M の既約許容表現 σ から G への放物型誘導表現 . 定理(Langlands) . . . .. . . . G の既約許容表現π に対して, M の既約許容表現σ が存在して,π は IG P(σ) の既約商(Langlands商)として実現できる. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

導入：

Langlands

分類

(

大雑把な定式化

)

F：非Archimedes的局所体

G：F 上定義された連結簡約代数群 P：G の F-放物型部分群,

P = MU：P のLevi分解(M：Levi部分群) G := G(F), P := P(F), M := M(F), U := U(F)... IG P(σ)：M の既約許容表現 σ から G への放物型誘導表現 . 定理(Langlands) . . . .. . . . G の既約許容表現π に対して, M の既約許容表現σ が存在して,π は IG P(σ) の既約商(Langlands商)として実現できる. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

導入：放物型誘導表現と既約表現の分類

(1)

rPをJacquet函手とするとそれは放物型誘導 IG_Pに対して左随伴 的,つまり G の既約許容表現π と M の既約許容表現 σ に対して HomM(rP(π), σ) ≃ HomG(π, IG_P(σ)). Langlands分類は,次を意味する. 超カスプ表現でない既約許容表現の分類 ⇒ 放物型誘導表現の既約成分(ないしは組成列)を調べればよい. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

導入：放物型誘導表現と既約表現の分類

(1)

rPをJacquet函手とするとそれは放物型誘導 IG_Pに対して左随伴 的,つまり G の既約許容表現π と M の既約許容表現 σ に対して HomM(rP(π), σ) ≃ HomG(π, IG_P(σ)). Langlands分類は,次を意味する. 超カスプ表現でない既約許容表現の分類 ⇒ 放物型誘導表現の既約成分(ないしは組成列)を調べればよい. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

導入：放物型誘導表現と既約表現の分類

(1)

rPをJacquet函手とするとそれは放物型誘導 IG_Pに対して左随伴 的,つまり G の既約許容表現π と M の既約許容表現 σ に対して HomM(rP(π), σ) ≃ HomG(π, IG_P(σ)). Langlands分類は,次を意味する. 超カスプ表現でない既約許容表現の分類 ⇒ 放物型誘導表現の既約成分(ないしは組成列)を調べればよい. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

導入：放物型誘導表現と既約表現の分類

(2)

Irr(G)：G の既約許容表現の同値類の集合 Irru(G)：G の既約ユニタリー表現の同値類の集合 Π0(G)：G の既約超カスプ表現の同値類の集合 Π2(G)：G の既約２乗可積分表現の同値類の集合 Πtemp(G)：G の既約緩増加表現の同値類の集合

Π0(G) ⊂ Π2(G)⊂ Πtemp(G)⊂ Irru(G) ⊂ Irr(G)

導入：放物型誘導表現と既約表現の分類

(2)

Irr(G)：G の既約許容表現の同値類の集合 Irru(G)：G の既約ユニタリー表現の同値類の集合 Π0(G)：G の既約超カスプ表現の同値類の集合 Π2(G)：G の既約２乗可積分表現の同値類の集合 Πtemp(G)：G の既約緩増加表現の同値類の集合

Π0(G) ⊂ Π2(G) ⊂ Πtemp(G)⊂ Irru(G) ⊂ Irr(G)

導入：分類のためのポイント

放物型誘導表現の絡作用素：解析接続と正規化. Plancherel測度µ(σ) の解析的性質：IG P(σ) の既約性,可約性の 判定に有用. Harish-Chandraの自己準同型定理と R-群：EndG(IG_P(σ)) の基 底と次元を与える. R-群は IG P(σ) の組成列を統制する群である. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(1)

X(M)：M の F-有理指標の成す群 a_M := Hom(X(M), R),a∗ M = X(M) ⊗ R HM : M → aMを以下で定義する. exp⟨χ, HM(m)⟩ = |χ(m)|F (χ ∈ X(M)) M1 := Ker HM λ ∈ a∗ M,C := a ∗ M⊗ C に対して e λ _{∈ ˆA} M := Hom(M/M1, C×) を eλ : M/M1 ∋ m 7→ exp⟨λ, HM(m)⟩ ∈ C× と定義する. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(1)

X(M)：M の F-有理指標の成す群 a_M := Hom(X(M), R),a∗ M = X(M) ⊗ R HM : M → aMを以下で定義する. exp⟨χ, HM(m)⟩ = |χ(m)|F (χ ∈ X(M)) M1 := Ker HM λ ∈ a∗ M,C := a ∗ M⊗ C に対して e λ _{∈ ˆA} M := Hom(M/M1, C×) を eλ : M/M1 ∋ m 7→ exp⟨λ, HM(m)⟩ ∈ C× と定義する. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(1)

X(M)：M の F-有理指標の成す群 a_M := Hom(X(M), R),a∗ M = X(M) ⊗ R HM : M → aMを以下で定義する. exp⟨χ, HM(m)⟩ = |χ(m)|F (χ ∈ X(M)) M1 := Ker HM λ ∈ a∗ M,C := a ∗ M⊗ C に対して e λ _{∈ ˆA} M := Hom(M/M1, C×) を eλ : M/M1 ∋ m 7→ exp⟨λ, HM(m)⟩ ∈ C× と定義する. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(1)

X(M)：M の F-有理指標の成す群 a_M := Hom(X(M), R),a∗ M = X(M) ⊗ R HM : M → aMを以下で定義する. exp⟨χ, HM(m)⟩ = |χ(m)|F (χ ∈ X(M)) M1 := Ker HM λ ∈ a∗ M,C := a ∗ M⊗ C に対して e λ _{∈ ˆA} M := Hom(M/M1, C×) を eλ : M/M1 ∋ m 7→ exp⟨λ, HM(m)⟩ ∈ C× と定義する. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(1)

X(M)：M の F-有理指標の成す群 a_M := Hom(X(M), R),a∗ M = X(M) ⊗ R HM : M → aMを以下で定義する. exp⟨χ, HM(m)⟩ = |χ(m)|F (χ ∈ X(M)) M1 := Ker HM λ ∈ a∗ M,C := a ∗ M⊗ C に対して e λ _{∈ ˆA} M := Hom(M/M1, C×) を eλ : M/M1 ∋ m 7→ exp⟨λ, HM(m)⟩ ∈ C× と定義する. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(2)

M の長さ有限の許容表現 (σ, V) に対して, IG P(V)：I G P(σ) の表現空間 (σ_λ, V_λ) := (σ ⊗ eλ, V) (λ ∈ a∗ M,C) に対して, IG P(Vλ)：I G P(σλ) の表現空間 P, P′ _{∈ P(M)：M を含む F-放物型部分群の集} 合, P′ := P′(F), P′ = M′U′ . 定義(絡作用素の形式的定義) . . . .. . . . JP′|P(σλ)ϕ(g) := ∫ U∩U′\U′ ϕ(u′_g)du′ _{( g∈ G, ϕ ∈ I}G P(Vλ)) A_M：M の中心の極大分裂トーラス, ΣM：G の AMに関するルートの集合, ΣM ⊃ ΣP：P に関して正のルート全体 K：G の「良い」極大コンパクト部分群 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(2)

M の長さ有限の許容表現 (σ, V) に対して, IG P(V)：I G P(σ) の表現空間 (σ_λ, V_λ) := (σ ⊗ eλ, V) (λ ∈ a∗ M,C) に対して, IG P(Vλ)：I G P(σλ) の表現空間 P, P′ _{∈ P(M)：M を含む F-放物型部分群の集} 合, P′ := P′(F), P′ = M′U′ . 定義(絡作用素の形式的定義) . . . .. . . . JP′|P(σλ)ϕ(g) := ∫ U∩U′\U′ ϕ(u′_g)du′ _{( g∈ G, ϕ ∈ I}G P(Vλ)) A_M：M の中心の極大分裂トーラス, ΣM：G の AMに関するルートの集合, ΣM ⊃ ΣP：P に関して正のルート全体 K：G の「良い」極大コンパクト部分群 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(2)

M の長さ有限の許容表現 (σ, V) に対して, IG P(V)：I G P(σ) の表現空間 (σ_λ, V_λ) := (σ ⊗ eλ, V) (λ ∈ a∗ M,C) に対して, IG P(Vλ)：I G P(σλ) の表現空間 P, P′ _{∈ P(M)：M を含む F-放物型部分群の集} 合, P′ := P′(F), P′ = M′U′ . 定義(絡作用素の形式的定義) . . . .. . . . JP′|P(σλ)ϕ(g) := ∫ U∩U′\U′ ϕ(u′_g)du′ _{( g∈ G, ϕ ∈ I}G P(Vλ)) A_M：M の中心の極大分裂トーラス, ΣM：G の AMに関するルートの集合, ΣM ⊃ ΣP：P に関して正のルート全体 K：G の「良い」極大コンパクト部分群 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(2)

M の長さ有限の許容表現 (σ, V) に対して, IG P(V)：I G P(σ) の表現空間 (σ_λ, V_λ) := (σ ⊗ eλ, V) (λ ∈ a∗ M,C) に対して, IG P(Vλ)：I G P(σλ) の表現空間 P, P′ _{∈ P(M)：M を含む F-放物型部分群の集} 合, P′ := P′(F), P′ = M′U′ . 定義(絡作用素の形式的定義) . . . .. . . . JP′|P(σλ)ϕ(g) := ∫ U∩U′\U′ ϕ(u′_g)du′_{( g ∈ G, ϕ ∈ I}G P(Vλ)) A_M：M の中心の極大分裂トーラス, ΣM：G の AMに関するルートの集合, ΣM ⊃ ΣP：P に関して正のルート全体 K：G の「良い」極大コンパクト部分群 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(2)

M の長さ有限の許容表現 (σ, V) に対して, IG P(V)：I G P(σ) の表現空間 (σ_λ, V_λ) := (σ ⊗ eλ, V) (λ ∈ a∗ M,C) に対して, IG P(Vλ)：I G P(σλ) の表現空間 P, P′ _{∈ P(M)：M を含む F-放物型部分群の集} 合, P′ := P′(F), P′ = M′U′ . 定義(絡作用素の形式的定義) . . . .. . . . JP′|P(σλ)ϕ(g) := ∫ U∩U′\U′ ϕ(u′_g)du′_{( g ∈ G, ϕ ∈ I}G P(Vλ)) A_M：M の中心の極大分裂トーラス, ΣM：G の AMに関するルートの集合, ΣM ⊃ ΣP：P に関して正のルート全体 K：G の「良い」極大コンパクト部分群 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(3)

. 定理(Waldspurger03, Konno03など参照) . . . .. . . . (1)ϕ ∈ IG P(Vλ) と v ∨ _{∈ V}∨_{に対して,} α∨_{(Re(λ)) >> 0, ∀α ∈ Σ} P \ ΣP′のとき ⟨JP′|P(σλ)ϕ(g), v∨⟩ := ∫ U∩U′\U′ ⟨ϕ(u′_{g), v}∨_⟩du′ は収束し,JP′|P(σλ)ϕ(g) ∈ (V∨)∨ = V. (2) ˆ AM ∋ λ 7→ JP′|P(σλ)ϕ|K は ˆAM上の indK_K∩P(V)-値有理型関数を定める. (3)その極以外では写像 IG P(Vλ)∋ ϕ 7→ JP′|P(σλ)∈ I G P′(Vλ)ϕ は HomG(IG_P(σλ), IG_P′(σλ)) の元を定める. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(3)

. 定理(Waldspurger03, Konno03など参照) . . . .. . . . (1)ϕ ∈ IG P(Vλ) と v ∨ _{∈ V}∨_{に対して,} α∨_{(Re(λ)) >> 0, ∀α ∈ Σ} P \ ΣP′のとき ⟨JP′|P(σλ)ϕ(g), v∨⟩ := ∫ U∩U′\U′ ⟨ϕ(u′_{g), v}∨_⟩du′ は収束し,JP′|P(σλ)ϕ(g) ∈ (V∨)∨ = V. (2) ˆ AM ∋ λ 7→ JP′|P(σλ)ϕ|K は ˆAM上の indK_K∩P(V)-値有理型関数を定める. (3)その極以外では写像 IG P(Vλ)∋ ϕ 7→ JP′|P(σλ)∈ I G P′(Vλ)ϕ は HomG(IG_P(σλ), IG_P′(σλ)) の元を定める. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(3)

. 定理(Waldspurger03, Konno03など参照) . . . .. . . . (1)ϕ ∈ IG P(Vλ) と v ∨ _{∈ V}∨_{に対して,} α∨_{(Re(λ)) >> 0, ∀α ∈ Σ} P \ ΣP′のとき ⟨JP′|P(σλ)ϕ(g), v∨⟩ := ∫ U∩U′\U′ ⟨ϕ(u′_{g), v}∨_⟩du′ は収束し,JP′|P(σλ)ϕ(g) ∈ (V∨)∨ = V. (2) ˆ AM ∋ λ 7→ JP′|P(σλ)ϕ|K は ˆAM上の indK_K∩P(V)-値有理型関数を定める. (3)その極以外では写像 IG P(Vλ)∋ ϕ 7→ JP′|P(σλ) ∈ I G P′(Vλ)ϕ は HomG(IG_P(σλ), IG_P′(σλ)) の元を定める. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(4)

.

命題(Waldspurger03, Konno03, Arthur89など参照) . . . .. . . . (1)任意のλ ∈ ˆAMに対しϕ ∈ IG_P(Vλ) が存在して,JP′|P(σλ)ϕ は収束 しかつ消えない. (2) (随伴公式)ϕ ∈ IG P(V), ϕ ∨ _{∈ I}G P′(V ∨_{) に対して} ⟨JP′|P(σ)ϕ, ϕ∨⟩ = ⟨ϕ, JP|P′(σ∨)ϕ∨⟩. (3)P, P′ ∈ P(M) はWeylの部屋 a+ P, a + P′ ⊂ aMに対応するものと し,d(P, P′) は a+ P, a + P′の間にある壁の枚数とする. P1, P2, P3 ∈ P(M) に対して d(P3, P1)= d(P3, P2)+ d(P2, P1) で あるとき,以下の関数等式が成り立つ. JP3|P1(σλ)= JP3|P2(σλ)◦ JP2|P1(σλ) 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(4)

.

命題(Waldspurger03, Konno03, Arthur89など参照) . . . .. . . . (1)任意のλ ∈ ˆAMに対しϕ ∈ IG_P(Vλ) が存在して,JP′|P(σλ)ϕ は収束 しかつ消えない. (2) (随伴公式)ϕ ∈ IG P(V), ϕ ∨ _{∈ I}G P′(V ∨_{) に対して} ⟨JP′|P(σ)ϕ, ϕ∨⟩ = ⟨ϕ, JP|P′(σ∨)ϕ∨⟩. (3)P, P′ ∈ P(M) はWeylの部屋 a+ P, a + P′ ⊂ aMに対応するものと し,d(P, P′) は a+ P, a + P′の間にある壁の枚数とする. P1, P2, P3 ∈ P(M) に対して d(P3, P1)= d(P3, P2)+ d(P2, P1) で あるとき,以下の関数等式が成り立つ. JP3|P1(σλ)= JP3|P2(σλ)◦ JP2|P1(σλ) 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

絡作用素

(4)

.

命題(Waldspurger03, Konno03, Arthur89など参照) . . . .. . . . (1)任意のλ ∈ ˆAMに対しϕ ∈ IG_P(Vλ) が存在して,JP′|P(σλ)ϕ は収束 しかつ消えない. (2) (随伴公式)ϕ ∈ IG P(V), ϕ ∨ _{∈ I}G P′(V ∨_{) に対して} ⟨JP′|P(σ)ϕ, ϕ∨⟩ = ⟨ϕ, JP|P′(σ∨)ϕ∨⟩. (3)P, P′ ∈ P(M) はWeylの部屋 a+ P, a + P′ ⊂ aMに対応するものと し,d(P, P′) は a+ P, a + P′の間にある壁の枚数とする. P1, P2, P3 ∈ P(M) に対して d(P3, P1)= d(P3, P2)+ d(P2, P1) で あるとき,以下の関数等式が成り立つ. JP3|P1(σλ) = JP3|P2(σλ)◦ JP2|P1(σλ) 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

Plancherel

測度１

(Waldpurger

の既約性定理

)

σ：M(F) の２乗可積分表現 ˆ AM := Hom(M/M1, C×). これはアフィン代数多様体の構造を 持つ. . 定理(Waldspurger03, Sauvageot97) . . . .. . . . ˆ AMのZariski稠密開集合ΞP(σ) で,任意の eλ ∈ ΞP(σ) に対して IG P(σλ) が既約となるものが存在する. ¯ P を P のopposite放物型部分群とする. この既約性定理とSchur の補題より eλ ∈ ΞP(σ) に対して j(σλ) := J_P¯_|P(σλ)J_{P| ¯P}(σλ) ∈ EndG(IG P(σλ)) ≃ C はスカラー値関数と見做せて ˆAM上の有理型関数に伸びる. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

Plancherel

測度１

(Waldpurger

の既約性定理

)

σ：M(F) の２乗可積分表現 ˆ AM := Hom(M/M1, C×). これはアフィン代数多様体の構造を 持つ. . 定理(Waldspurger03, Sauvageot97) . . . .. . . . ˆ AMのZariski稠密開集合ΞP(σ) で,任意の eλ ∈ ΞP(σ) に対して IG P(σλ) が既約となるものが存在する. ¯ P を P のopposite放物型部分群とする. この既約性定理とSchur の補題より eλ ∈ ΞP(σ) に対して j(σλ) := J_P¯_|P(σλ)J_{P| ¯P}(σλ) ∈ EndG(IG P(σλ)) ≃ C はスカラー値関数と見做せて ˆAM上の有理型関数に伸びる. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

Plancherel

測度１

(Waldpurger

の既約性定理

)

σ：M(F) の２乗可積分表現 ˆ AM := Hom(M/M1, C×). これはアフィン代数多様体の構造を 持つ. . 定理(Waldspurger03, Sauvageot97) . . . .. . . . ˆ AMのZariski稠密開集合ΞP(σ) で,任意の eλ ∈ ΞP(σ) に対して IG P(σλ) が既約となるものが存在する. ¯ P を P のopposite放物型部分群とする. この既約性定理とSchur の補題より eλ ∈ ΞP(σ) に対して j(σλ) := J_P¯_|P(σλ)J_{P| ¯P}(σλ) ∈ EndG(IG P(σλ)) ≃ C はスカラー値関数と見做せて ˆAM上の有理型関数に伸びる. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

Plancherel

測度２

(

定義

)

Σred P ：ΣPの中の被約ルート全体の集合 α ∈ Σred P に対してMα ⊃ M なるLevi部分群Mαで, ΣP∩Mα = {α} なるものが一意的に存在する. 定数_{γ(G/M) を γ(G/M) :=} ∫ ¯ U δP(mP( ¯u))d ¯u により定義する. δPは P のモジュラス指標で mP( ¯u) は ¯u ∈ ¯U ( ¯P = M ¯U) の G に おける P に関する岩澤分解の M 成分を表す. . 定義(Plancherel測度) . . . .. . . . σ を M の２乗可積分表現とする.λ ∈ a∗ M,Cに関する有理関数を以 下で定義する. µ(σλ) := j(σλ)−1 ∏ α∈Σred P γ(Mα/M)2 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

Plancherel

測度２

(

定義

)

Σred P ：ΣPの中の被約ルート全体の集合 α ∈ Σred P に対してMα ⊃ M なるLevi部分群Mαで, ΣP∩Mα = {α} なるものが一意的に存在する. 定数_{γ(G/M) を γ(G/M) :=} ∫ ¯ U δP(mP( ¯u))d ¯u により定義する. δPは P のモジュラス指標で mP( ¯u) は ¯u ∈ ¯U ( ¯P = M ¯U) の G に おける P に関する岩澤分解の M 成分を表す. . 定義(Plancherel測度) . . . .. . . . σ を M の２乗可積分表現とする.λ ∈ a∗ M,Cに関する有理関数を以 下で定義する. µ(σλ) := j(σλ)−1 ∏ α∈Σred P γ(Mα/M)2 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

Plancherel

測度２

(

定義

)

Σred P ：ΣPの中の被約ルート全体の集合 α ∈ Σred P に対してMα ⊃ M なるLevi部分群Mαで, ΣP∩Mα = {α} なるものが一意的に存在する. 定数_{γ(G/M) を γ(G/M) :=} ∫ ¯ U δP(mP( ¯u))d ¯u により定義する. δPは P のモジュラス指標で mP( ¯u) は ¯u ∈ ¯U ( ¯P = M ¯U) の G に おける P に関する岩澤分解の M 成分を表す. . 定義(Plancherel測度) . . . .. . . . σ を M の２乗可積分表現とする.λ ∈ a∗ M,Cに関する有理関数を以 下で定義する. µ(σλ) := j(σλ)−1 ∏ α∈Σred P γ(Mα/M)2 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

Plancherel

測度２

(

定義

)

Σred P ：ΣPの中の被約ルート全体の集合 α ∈ Σred P に対してMα ⊃ M なるLevi部分群Mαで, ΣP∩Mα = {α} なるものが一意的に存在する. 定数_{γ(G/M) を γ(G/M) :=} ∫ ¯ U δP(mP( ¯u))d ¯u により定義する. δPは P のモジュラス指標で mP( ¯u) は ¯u ∈ ¯U ( ¯P = M ¯U) の G に おける P に関する岩澤分解の M 成分を表す. . 定義(Plancherel測度) . . . .. . . . σ を M の２乗可積分表現とする.λ ∈ a∗ M,Cに関する有理関数を以 下で定義する. µ(σλ) := j(σλ)−1 ∏ α∈Σred P γ(Mα/M)2 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

Plancherel

測度３

(

いくつか注意

)

このPlacnerel測度の定義はWaldspurgerによる. Plancherel

測度のユニタリー指標の集合 ˆA1 Mへの制限は非負である.これ は G のPlancherel公式を表示する測度の密度関数に寄与する ものである. Plancherel測度はHarish-Chandraにより導入された. Harish-ChandraはEisenstein積分を導入しそれに現れる「c 関数」から, Plancherel測度を取り出している. µ(σλ) は M を含む放物型部分群 P の取り方に依らない. そし て_µ(σλ) はWeyl群 W の作用で不変である. µ(w_σ λ) = µ(σλ), ∀w ∈ W. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

Plancherel

測度３

(

いくつか注意

)

このPlacnerel測度の定義はWaldspurgerによる. Plancherel

測度のユニタリー指標の集合 ˆA1 Mへの制限は非負である.これ は G のPlancherel公式を表示する測度の密度関数に寄与する ものである. Plancherel測度はHarish-Chandraにより導入された. Harish-ChandraはEisenstein積分を導入しそれに現れる「c 関数」から, Plancherel測度を取り出している. µ(σλ) は M を含む放物型部分群 P の取り方に依らない. そし て_µ(σλ) はWeyl群 W の作用で不変である. µ(w_σ λ) = µ(σλ), ∀w ∈ W. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

Plancherel

測度３

(

いくつか注意

)

このPlacnerel測度の定義はWaldspurgerによる. Plancherel

測度のユニタリー指標の集合 ˆA1 Mへの制限は非負である.これ は G のPlancherel公式を表示する測度の密度関数に寄与する ものである. Plancherel測度はHarish-Chandraにより導入された. Harish-ChandraはEisenstein積分を導入しそれに現れる「c 関数」から, Plancherel測度を取り出している. µ(σλ) は M を含む放物型部分群 P の取り方に依らない. そし て_µ(σλ) はWeyl群 W の作用で不変である. µ(w_σ λ) = µ(σλ), ∀w ∈ W. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(1)

R-群の理論の出発点は次の結果 . 命題(Harish-Chandra, Waldspurger) . . . .. . . . 任意の_{π ∈ Πtemp}(G) に対して,G のLevi部分群M と σ ∈ Π2(M) の対 (M, σ) で次の条件を満たすものが G 共役を除いてただ一つあ る： ある_{P ∈ P(M) に対して π は I}G P(σ) の直和因子. ⇒ Πtemp(G) を記述するには IG_P(σ) (σ ∈ Π2(M)) を調べればよい. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(1)

R-群の理論の出発点は次の結果 . 命題(Harish-Chandra, Waldspurger) . . . .. . . . 任意の_{π ∈ Πtemp}(G) に対して,G のLevi部分群M と σ ∈ Π2(M) の対 (M, σ) で次の条件を満たすものが G 共役を除いてただ一つあ る： ある_{P ∈ P(M) に対して π は I}G P(σ) の直和因子. ⇒ Πtemp(G) を記述するには IG_P(σ) (σ ∈ Π2(M)) を調べればよい. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(2)

. 命題(絡作用素の正規化, Arthur89) . . . .. . . . Levi部分群M と σ ∈ Π2(M) に対して ˆAM上の有理型関数の族 {rP′_|P(σλ)}P, P′_∈P(M) ⊂ C( ˆAM)で次を満たすものがある. (1)正規化絡作用素RP′|P(σλ) := rP′|P(σλ)−1JP′|P(σλ)はλ ∈ ˆAMに 関して有理型に解析接続され,以下の関数等式を満たす. RP3|P1(σλ) = RP3|P2(σλ)◦ RP2|P1(σλ) (P1, P2, P3 ∈ P(M)) (2) (随伴公式)ϕ ∈ IG P(V), ϕ ∨ _{∈ I}G P′(V ∨_{) に対して以下が成立する.} ⟨RP′_|P(σλ), ϕ∨⟩ = ⟨ϕ, RP|P′(σ∨ λ)ϕ∨⟩ (3)RP′|P(σλ) は Re(λ) ∈ a+_P(Weylの部屋)で極も零点も持たない. (4)RP′|P(σλ) はλ ∈ ˆA1_M := {χ ∈ ˆAM | χ はユニタリー } でユニタ リー作用素. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(2)

. 命題(絡作用素の正規化, Arthur89) . . . .. . . . Levi部分群M と σ ∈ Π2(M) に対して ˆAM上の有理型関数の族 {rP′_|P(σλ)}P, P′_∈P(M) ⊂ C( ˆAM)で次を満たすものがある. (1)正規化絡作用素RP′|P(σλ) := rP′|P(σλ)−1JP′|P(σλ)はλ ∈ ˆAMに 関して有理型に解析接続され,以下の関数等式を満たす. RP3|P1(σλ) = RP3|P2(σλ)◦ RP2|P1(σλ) (P1, P2, P3 ∈ P(M)) (2) (随伴公式)ϕ ∈ IG P(V), ϕ ∨ _{∈ I}G P′(V ∨_{) に対して以下が成立する.} ⟨RP′_|P(σλ), ϕ∨⟩ = ⟨ϕ, RP|P′(σ∨ λ)ϕ∨⟩ (3)RP′|P(σλ) は Re(λ) ∈ a+_P(Weylの部屋)で極も零点も持たない. (4)RP′|P(σλ) はλ ∈ ˆA1_M := {χ ∈ ˆAM | χ はユニタリー } でユニタ リー作用素. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(2)

. 命題(絡作用素の正規化, Arthur89) . . . .. . . . Levi部分群M と σ ∈ Π2(M) に対して ˆAM上の有理型関数の族 {rP′_|P(σλ)}P, P′_∈P(M) ⊂ C( ˆAM)で次を満たすものがある. (1)正規化絡作用素RP′|P(σλ) := rP′|P(σλ)−1JP′|P(σλ)はλ ∈ ˆAMに 関して有理型に解析接続され,以下の関数等式を満たす. RP3|P1(σλ) = RP3|P2(σλ)◦ RP2|P1(σλ) (P1, P2, P3 ∈ P(M)) (2) (随伴公式)ϕ ∈ IG P(V), ϕ ∨ _{∈ I}G P′(V ∨_{) に対して以下が成立する.} ⟨RP′_|P(σ_λ), ϕ∨⟩ = ⟨ϕ, RP_|P′(σ∨ λ)ϕ∨⟩ (3)RP′|P(σλ) は Re(λ) ∈ a+_P(Weylの部屋)で極も零点も持たない. (4)RP′|P(σλ) はλ ∈ ˆA1_M := {χ ∈ ˆAM | χ はユニタリー } でユニタ リー作用素. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(2)

. 命題(絡作用素の正規化, Arthur89) . . . .. . . . Levi部分群M と σ ∈ Π2(M) に対して ˆAM上の有理型関数の族 {rP′_|P(σλ)}P, P′_∈P(M) ⊂ C( ˆAM)で次を満たすものがある. (1)正規化絡作用素RP′|P(σλ) := rP′|P(σλ)−1JP′|P(σλ)はλ ∈ ˆAMに 関して有理型に解析接続され,以下の関数等式を満たす. RP3|P1(σλ) = RP3|P2(σλ)◦ RP2|P1(σλ) (P1, P2, P3 ∈ P(M)) (2) (随伴公式)ϕ ∈ IG P(V), ϕ ∨ _{∈ I}G P′(V ∨_{) に対して以下が成立する.} ⟨RP′_|P(σ_λ), ϕ∨⟩ = ⟨ϕ, RP_|P′(σ∨ λ)ϕ∨⟩ (3)RP′|P(σλ) は Re(λ) ∈ a+_P(Weylの部屋)で極も零点も持たない. (4)RP′|P(σλ) はλ ∈ ˆA1_M := {χ ∈ ˆAM | χ はユニタリー } でユニタ リー作用素. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(2)

. 命題(絡作用素の正規化, Arthur89) . . . .. . . . Levi部分群M と σ ∈ Π2(M) に対して ˆAM上の有理型関数の族 {rP′_|P(σλ)}P, P′_∈P(M) ⊂ C( ˆAM)で次を満たすものがある. (1)正規化絡作用素RP′|P(σλ) := rP′|P(σλ)−1JP′|P(σλ)はλ ∈ ˆAMに 関して有理型に解析接続され,以下の関数等式を満たす. RP3|P1(σλ) = RP3|P2(σλ)◦ RP2|P1(σλ) (P1, P2, P3 ∈ P(M)) (2) (随伴公式)ϕ ∈ IG P(V), ϕ ∨ _{∈ I}G P′(V ∨_{) に対して以下が成立する.} ⟨RP′_|P(σ_λ), ϕ∨⟩ = ⟨ϕ, RP_|P′(σ∨ λ)ϕ∨⟩ (3)RP′|P(σλ) は Re(λ) ∈ a+_P(Weylの部屋)で極も零点も持たない. (4)RP′|P(σλ) はλ ∈ ˆA1_M := {χ ∈ ˆAM | χ はユニタリー } でユニタ リー作用素. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(3)

(σ, V)：M(F) の２乗可積分表現 W(M) := NG(M)/M, W(M)σ := {w ∈ W(M) |wσ ≃ σ} w∈ W(M)_σに対して M_w+ := ⟨M, w⟩ σ+ w：ind M+_w M σ の任意の既約成分(σ の M + wへの拡大と見做せる) δ+ P,w： P のモジュラス指標δPの M + wへの拡張 このとき絡作用素 A(σ+_w) : IG w−1P(V)∋ ϕ 7→ δ + P,w(w)σ + w(w)ϕ(w−1∗) ∈ I G P(V) を導入する.これは w ∈ W(M)_σの代表元の取り方によらない. 絡作用素 RP|P(w, σ) : IG_P(σ) → IG_P(σ) を以下で定義する. RP|P(w, σ) : IG_P(V) R_{w−1 P|P}(σ) −→ IG w−1P(V) A(σ+_w) −→ IG P(V) 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(3)

(σ, V)：M(F) の２乗可積分表現 W(M) := NG(M)/M, W(M)σ := {w ∈ W(M) |wσ ≃ σ} w∈ W(M)_σに対して M_w+ := ⟨M, w⟩ σ+ w：ind M+_w M σ の任意の既約成分(σ の M + wへの拡大と見做せる) δ+ P,w： P のモジュラス指標δPの M + wへの拡張 このとき絡作用素 A(σ+_w) : IG w−1P(V)∋ ϕ 7→ δ + P,w(w)σ + w(w)ϕ(w−1∗) ∈ I G P(V) を導入する.これは w ∈ W(M)_σの代表元の取り方によらない. 絡作用素 RP|P(w, σ) : IG_P(σ) → IG_P(σ) を以下で定義する. RP|P(w, σ) : IG_P(V) R_{w−1 P|P}(σ) −→ IG w−1P(V) A(σ+_w) −→ IG P(V) 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(3)

(σ, V)：M(F) の２乗可積分表現 W(M) := NG(M)/M, W(M)σ := {w ∈ W(M) |wσ ≃ σ} w∈ W(M)_σに対して M_w+ := ⟨M, w⟩ σ+ w：ind M+_w M σ の任意の既約成分(σ の M + wへの拡大と見做せる) δ+ P,w： P のモジュラス指標δPの M + wへの拡張 このとき絡作用素 A(σ+_w) : IG w−1P(V)∋ ϕ 7→ δ + P,w(w)σ + w(w)ϕ(w−1∗) ∈ I G P(V) を導入する.これは w ∈ W(M)_σの代表元の取り方によらない. 絡作用素 RP|P(w, σ) : IG_P(σ) → IG_P(σ) を以下で定義する. RP|P(w, σ) : IG_P(V) R_{w−1 P|P}(σ) −→ IG w−1P(V) A(σ+_w) −→ IG P(V) 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(3)

(σ, V)：M(F) の２乗可積分表現 W(M) := NG(M)/M, W(M)σ := {w ∈ W(M) |wσ ≃ σ} w∈ W(M)_σに対して M_w+ := ⟨M, w⟩ σ+ w：ind M+_w M σ の任意の既約成分(σ の M + wへの拡大と見做せる) δ+ P,w： P のモジュラス指標δPの M + wへの拡張 このとき絡作用素 A(σ+_w) : IG w−1P(V)∋ ϕ 7→ δ + P,w(w)σ + w(w)ϕ(w−1∗) ∈ I G P(V) を導入する.これは w ∈ W(M)_σの代表元の取り方によらない. 絡作用素 RP|P(w, σ) : IG_P(σ) → IG_P(σ) を以下で定義する. RP|P(w, σ) : IG_P(V) R_{w−1 P|P}(σ) −→ IG w−1P(V) A(σ+_w) −→ IG P(V) 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(4)

. 補題 . . . .. . . . W(M)0 σ := {w ∈ W(M)σ | RP|P(w, σ) がスカラー作用素 } とする.こ のとき W(M)0 σは W(M)σの部分群で W(M)σ◃ W(M)0σ. . 定義(R-群) . . . .. . . . R_σ := W(M)σ/W(M)0_σ . 定理(Harish-Chandra,自己準同型環定理) . . . .. . . . EndG(IG_P(σ)) は {RP|P(w, σ) | w ∈ W(M)σ} で張られる. . 定理(Silberger78) . . . .. . . . {RP|P(w, σ) | w ∈ Rσ} は EndG(IG_P(σ)) の基底である.つまり dim EndG(IG_P(σ)) = ♯Rσ. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(4)

. 補題 . . . .. . . . W(M)0 σ := {w ∈ W(M)σ | RP|P(w, σ) がスカラー作用素 } とする.こ のとき W(M)0 σは W(M)σの部分群で W(M)σ◃ W(M)0σ. . 定義(R-群) . . . .. . . . R_σ := W(M)σ/W(M)0_σ . 定理(Harish-Chandra,自己準同型環定理) . . . .. . . . EndG(IG_P(σ)) は {RP|P(w, σ) | w ∈ W(M)σ} で張られる. . 定理(Silberger78) . . . .. . . . {RP|P(w, σ) | w ∈ Rσ} は EndG(IG_P(σ)) の基底である.つまり dim EndG(IG_P(σ)) = ♯Rσ. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(4)

. 補題 . . . .. . . . W(M)0 σ := {w ∈ W(M)σ | RP|P(w, σ) がスカラー作用素 } とする.こ のとき W(M)0 σは W(M)σの部分群で W(M)σ◃ W(M)0σ. . 定義(R-群) . . . .. . . . R_σ := W(M)σ/W(M)0_σ . 定理(Harish-Chandra,自己準同型環定理) . . . .. . . . EndG(IG_P(σ)) は {RP|P(w, σ) | w ∈ W(M)σ} で張られる. . 定理(Silberger78) . . . .. . . . {RP|P(w, σ) | w ∈ Rσ} は EndG(IG_P(σ)) の基底である.つまり dim EndG(IG_P(σ)) = ♯Rσ. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(4)

. 補題 . . . .. . . . W(M)0 σ := {w ∈ W(M)σ | RP|P(w, σ) がスカラー作用素 } とする.こ のとき W(M)0 σは W(M)σの部分群で W(M)σ◃ W(M)0σ. . 定義(R-群) . . . .. . . . R_σ := W(M)σ/W(M)0_σ . 定理(Harish-Chandra,自己準同型環定理) . . . .. . . . EndG(IG_P(σ)) は {RP|P(w, σ) | w ∈ W(M)σ} で張られる. . 定理(Silberger78) . . . .. . . . {RP|P(w, σ) | w ∈ Rσ} は EndG(IG_P(σ)) の基底である.つまり dim EndG(IG_P(σ)) = ♯Rσ. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(5)

R_σ ∋ w1, w2に対して,適当なζ_σ ∈ C2(R_σ, C×) が存在して RP|P(w1w2, σ) = ζσ(w1, w2)RP|P(w1, σ)RP|P(w2, σ) と書ける.[ζ_σ] ∈ H2(R_σ, C×) が非自明になる場合があ る([Chao-Li]). しかし [ζσ] が生成する有限アーベル群を Zσ ⊂ H2(Rσ, C×) とし,そ れによる中心拡大 1→ Zσ → ˜Rσ → Rσ → 1 を考える.このとき膨張写像 H2(R_σ, C×) → H2( ˜R_σ, C×) によるζ_σ の像が自明であることに注意すると_{λσ ∈ C}1_{( ˜R} σ, C×) が存在して ζσ(w1, w2) = λσ ( ˜w1)λσ( ˜w2) λσ( ˜w1w˜2) ( ˜R_σ ∋ ˜wi 7→ wi ∈ Rσ, i = 1, 2). 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(5)

R_σ ∋ w1, w2に対して,適当なζ_σ ∈ C2(R_σ, C×) が存在して RP|P(w1w2, σ) = ζσ(w1, w2)RP|P(w1, σ)RP|P(w2, σ) と書ける.[ζ_σ] ∈ H2(R_σ, C×) が非自明になる場合があ る([Chao-Li]). しかし [ζσ] が生成する有限アーベル群を Zσ ⊂ H2(Rσ, C×) とし,そ れによる中心拡大 1→ Zσ → ˜Rσ → Rσ → 1 を考える. このとき膨張写像 H2_(R σ, C×) → H2( ˜Rσ, C×) によるζσ の像が自明であることに注意すると_{λσ ∈ C}1_{( ˜R} σ, C×) が存在して ζσ(w1, w2) = λσ ( ˜w1)λσ( ˜w2) λσ( ˜w1w˜2) ( ˜R_σ ∋ ˜wi 7→ wi ∈ Rσ, i = 1, 2). 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(5)

R_σ ∋ w1, w2に対して,適当なζ_σ ∈ C2(R_σ, C×) が存在して RP|P(w1w2, σ) = ζσ(w1, w2)RP|P(w1, σ)RP|P(w2, σ) と書ける.[ζ_σ] ∈ H2(R_σ, C×) が非自明になる場合があ る([Chao-Li]). しかし [ζσ] が生成する有限アーベル群を Zσ ⊂ H2(Rσ, C×) とし,そ れによる中心拡大 1→ Zσ → ˜Rσ → Rσ → 1 を考える.このとき膨張写像 H2(R_σ, C×) → H2( ˜R_σ, C×) によるζ_σ の像が自明であることに注意すると_{λσ ∈ C}1_{( ˜R} σ, C×) が存在して ζσ(w1, w2) = λσ ( ˜w1)λσ( ˜w2) λσ( ˜w1w˜2) ( ˜R_σ ∋ ˜wi 7→ wi ∈ Rσ, i = 1, 2). 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(6)

˜ R_σ ∋ ˜r 7→ ˜R(˜r, σ) := λ_σ(˜r)−1R(r, σ) ∈ AutG(IG_P(σ)). χσ := λσ|Zσは Zσの指標を定める. Π( ˜Rσ, χσ) := {ρ ∈ Irr( ˜Rσ)| ρ|Z_σ = χσ} . 定理(Arthur93) . . . .. . . . (1)R˜_σ × G の表現としての以下の既約分解が成り立つ. IG P(σ) ≃ ⊕ ρ∈Π( ˜Rσ,χσ) ρ∨ _{⊗ πρ} (2)JH(IG P(σ)) を I G P(σ) の既約成分に現れる表現の同値類とすると 次の全単射が成り立つ. Π( ˜Rσ, χσ) ≃ JH(IG_P(σ)) 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

自己準同型環定理と

R-

群

(6)

˜ R_σ ∋ ˜r 7→ ˜R(˜r, σ) := λ_σ(˜r)−1R(r, σ) ∈ AutG(IG_P(σ)). χσ := λσ|Zσは Zσの指標を定める. Π( ˜Rσ, χσ) := {ρ ∈ Irr( ˜Rσ)| ρ|Z_σ = χσ} . 定理(Arthur93) . . . .. . . . (1)R˜_σ × G の表現としての以下の既約分解が成り立つ. IG P(σ) ≃ ⊕ ρ∈Π( ˜Rσ,χσ) ρ∨ _{⊗ πρ} (2)JH(IG P(σ)) を I G P(σ) の既約成分に現れる表現の同値類とすると 次の全単射が成り立つ. Π( ˜Rσ, χσ)≃ JH(IG_P(σ)) 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール

既約表現の分類

(1)

P0：_{G の極小放物型部分群},P0 ⊃ M0：G の極小Levi部分群, Σ0 := Σ_M0 Σ0 ⊃ ∆P0：単純ルート全体 ∆P := {α0|aM | α0 ∈ ∆P0 \ ∆P0∩M} a∗,+ P := {λ ∈ a ∗ M | α ∨_{(λ) > 0 ∀α ∈ ∆} P} W：M0の極大分裂トーラス群に関する G のWeyl群 . 定理(Langlands分類) . . . .. . . . (1)(σ, V) ∈ Πtemp(M), P ∈ P(M), λ ∈ a∗,+ P に対して,以下は既約. JG P(σλ) := Im[JP¯|P(σλ) : I G P(σ) → I G ¯ P(σ)](Langlands商) (2)任意のπ ∈ Irr(G) に対して,π ≃ JG P(σλ) となる３つ組 (P, σ, λ) が W-共役を除いて,一意的に定まる. 成田 宏秋 熊本大学大学院自然科学研究科 絡作用素と既約表現の構成 第２１回整数論サマースクール