衝突振動に関する研究
―衝突時間を考慮した場合と考慮せずゼロとした
場合の解析結果の比較―
渡辺武
前澤成一郎
（昭和48年8月31日受理）Studies on Impact Vibration
-Comparison between the results of analysis taking and those
not taking the duration of collision into
account-TakeshiWATANABE SeiichiroMAEZAWA
Synopsis Many papers have been published analysing steady impact vibrations in mechanical systems． However， in all of them， the duration of coUision is assumed to be nil， or a prescribed constant， and the velocities after collision are determined from those before collision by utilizing the coe伍cient of restitution， taken to be constant． Actua］ly， the phenomena of collision depend on both the elastic and plastic behavior of colliding bodies and the duration of collision is not zero， but of a finite， though very short length． In this paper， some numerical results from the theory， in which the duration of col・ 1ision is assumed to be nil， are compared with those from the theory， in which the duration of collision is not zero， but depends on the elastic and plastic behaviors or col・ 1iding bodies． Also， these numerical results from both theories are compared with experimentaI results obtained for a mechanical model． The results from the theory taking the duration of collision into account coincide more closely than those from the theory neglecting it， with the results from mechanical model experiment， especially when the duration of collision occupies a considerable frac− tion， perhaps over than 1／50，0f the period of the impact vibration．1．緒
言 衝突振動に関する研究は，振動利用の面1）でもまた 振動防止の面でも工業上重要であるので，数が多 く2） ’一 5），著者らもこれに関する理論的ならびに実験的 研究をおこなっている6）−t2）。 しかし，これら数多くの研究では著者らのもの を8｝一”1°）除けぽほとんどが13｝衝突時間をゼロと仮定し， 反発係数を一定と定め，これを利用して解析をおこな っている。 一方，現実の衝突現象は，衝突物体の弾性的ならび に塑性的な特性に依存し，衝突時間はゼロではなく， ある有限な値を持つものであり，反発係数も物体の衝 突速度によって変化することが，多くの実験結果で示B 1・ ・・s ・t
A−「「一
図一1 力学的モデル （’● バ b ）＼ （ 反発 κ2 力 κ3 ） 0 C d π一eo X3−eo κm、心eo x−e。（変形量） 図一2（a）反発力特性 （三角形の場合） b ＝ κ2 ご ） a 、 （反 K1 発 K3 力 ＼ン 0 C d δo エーθ。（変 κ3−eo κmax−eo 、 図一2（b）反発力特性（四角形の場合） されている14）。 そこで著者らは，これらのことを考慮するために， フーリエ級数解法15）を用い，図一1に示すような1自由 度系について，「履歴特性を持つ物体の定常衝突振動 の解析」（第一報8），第二報9））と題して，第一報では 反発力特性が図一2（a）のように三角形で示される履歴特 性を持つ場合（このときには反発係数は後でのべるよ うに速度に関係なく一・定となる）を，また第二報では 反発力特性が図一2（b）のように四角形で示される履歴特 性を持つ場合で，反発係数が衝突速度に依存して変化 する場合について，衝突時間がゼロでない有限なもの として定常衝突振動の解析をおこなった。 すなわち，定常衝突振動の周期解を求め，共振曲線 等の計算をすると共に，アナログ計算機解との比較を おこない理論値との良好な一致を得た1°）。さらに別 報11）においては機械モデルによる実験をおこない，フ ーリェ級数解法による理論値と実験値との2，3の比 較もし，良好な結果を得た。 本報では，1自由度系の定常衝突振動について，反 発係数を一定として，衝突時間をゼロとした場合の解 析結果（以後デルタ関数法による解析結果という）と 衝突現象が衝突物体の弾性的ならびに塑性的特性に依 存して，衝突時間がゼロでないとした場合の解析結 果8）（以後フーリェ級数解法による解析結果という） との比較をおこなう。そしてさらに機械モデルによる 実験結果との比較もおこない，衝突時間を考慮する場 合と考慮しない場合の解析結果が現実の衝突振動とど の程度異っているか定量的に明らかにする。 2． 衝突振動系の解析 2．1運動方程式 取扱う系は図一1に示すような力学的モデルの一自由 度系で，固定天井Bにばねkを介してつるされた質量 m，その平衡位置から間隔eoを隔てて置かれた基礎 台（被衝突物A）とから構成されており，質量〃2には 振幅q，円振動数ωの調和加振力4cosω’が作用す る。その運動方程式は，澆＋kx＋F（の一q…ω・ （・）
ここにF（のは反発力である。 過渡状態が過ぎれぽ振動は定常周期振動となり，こ の定常の周期振動はいくつかの種類や型に分類される が（すなわち起る衝突振動の周期の加振力の周期との 関係によって調和応答，分数調和応答に分かれ，また 振動の1周期中に衝突が何回起るかによって第1型， 第n型等に），ここでは実用上最も重要と考えられる ところの一周期の間に被衝突物とただ一回の衝突をす る場合の調和応答について論ずる。 さて，振動が定常周期振動になり，後から決定する 位相遅れ角をαとして，位相角θを θ＝ωX一α （2） と定義し，独立変数をtからθに変換すれぽ，F（t） も周期2πのθの周期関数g（のとして表わすことが でき， まず反発係数を一定として， 衝突時間を考慮せず，ゼロと考えれぽ，（4）式における g（θ）はデルタ関数で表現され，つぎのように表わさ れる6）。 〔なお文献（6）では完全弾1生衝突の場合のみ扱ってお り反発係数が1より小さいものは取扱っていない。ま た文献（7）では反発係数が1より小さいものを取扱って いるが，2自由度の場合で1自由度ではない。〕・（θ）一晋［丁＋慧・…θ］ （・）
F（t）≡≡9（θ） （3） となるので，運動方式（1）は，つぎのようになる。 m・…纂＋le・・一・・q…（θ＋α）−9（θ） （・） 2．2衝突時間をゼロとした場合の解析 運動方程式（4）の解は，ここに1は衝突時の衝撃の力積（Impulse）の大き さを表わす。したがって運動方程式（4）は， 勿罐＋le・−q…（θ＋α）
当去＋慧…nθ］
となり（6）式の解は，丁一趨㊤（θ＋α）
rr．一一θ cos 1ω01 、2 keo 2 ω。＝、／k／m， 一一方衝突の条件 θ＝0， x＝eo により 絵一2・an晋（q／ke。 cosα一11−92） ウ Sin−10− 2一ω／ω。 （6） （7） （8） （9） ao） さらに定数であると定めた反発係数をεとすれぽ， dr［，．。 ll！czkg｝・i・α＋告☆ ・＝一1，．、。＝＝，i／lee。． ∫ω。1 a’） Slnα一一一一 1−92 幼 keo ⑩および⑪式により，位相遅れ角αは， （1−92 q／ke。 ）（！6’a2）・an旦 丁｛」言・・n㌃｝A したように（第一報）8），フーリェ級数解法による解 析が可能である。すなわち，その解析結果の概要をの べれぽつぎのようになる。 g（θ）をフーリェ級数展開して， ・（θ）号＋恩（an…nθ＋bn・i・nθ） （14 とおき運動方程式（4）の解がつぎのように求められる。i−f｛…θ÷雇拠・・snθ
一曇、M・・n（・i・’・θ ・i・θ）｝ （15） ここに， 払r「蕊・（n−1・ ・・……） （16） そして，Xo， Xn， Ynは無次元のフーリェ係数で， Xo・＝・・ao／feT， Xn−an／kT， Y。＝＝bn／leT， （n＝1，2，……） qカ また］は基本波のcosine部分の振幅で， 9−／le ）2as） α＝tan −i τ＝／（☆＋Xl）2＋（☆肩獅
さらに位相遅れ角αは， 隠｛1一ε π9 tan万｝2±（1＋・）A （12） （0≦α≦π））］一
ここに， A−・V／（・棚｛1・i］5L’ ・・nS a3） したがって反発係数を一定とし て，衝突時間をゼロと仮定した場合 のデルタ関数法による運動方程式（4） の解である（7）式が決定される。 2．3 衝突時間を考慮した場合の 解析 また衝突物体の弾性的ならびに塑 性的特性を考慮して，F（t）≡ゾ（x， めが図一2（a）のように三角形と考えれ ぽ，反発係数は一定となるが衝突時 間はゼロではない。 この場合には，著老らが前に解析 ｝2｛・一（嘉）2］ 6．0 ⑲ なお，Xo， Xn， Y，tを決定する手法については文献（8） にあるので本報では省略する。 最後に図一2（a）のような反発力特性の場合の反発係数 についてのべる。 図一2（a）でK2， K3がそれぞれ被衝突物の往および 復の変形に対する反発力の変化の割合（ばね定数）を 示しκm。。は衝突中の質量mの最大変位を表わすの lil，s’° 遥叫o 記3．0 理 照2・0 1．0 0 0．6 振動数比Ω 図一3デルタ関数法とフーリエ級数解法による共振曲線（実線がフーリ エ級数解法，K2／k ・120， K3／k＝240，ε＝㎡K2／K3＝0．707，破 線、がデルタ関数法，ε＝0．707） 「 ］ ＿フーリェ級数解法による理論値（衝突時間がゼロでない） @ （κ2／ん＝120，κ3／ん；240， ε；輌『；0．707） f…’fルタ関数法による理論値（衝突時聞がゼロ） @ （ε；0．707） q厄。 ＝1・5＼ ＝1．0 ＼ @ ＝0，5＼ 分枝の境界点 ● 印は衝突を伴う場合の分枝と伴なわない場合の ’ C’” C’” ，”” ，” C’” f ’ @’ @’ @’ @’’ 、 、 一 D←一一．三＿ ．．一一−・一≡ ，．・・．’．’ 黶@，．’．’一・一 ．，’．・”． fこ＝：：二： ，一．・一・” C，’．’”． 黶C．一≡’ ：：：：：：：： E’一’’”F ’2”“ C●” 黶Dφ’”一 ’ @，’h ， C一’” C，，’’’” 竪ン叶 一． s．’ 線形振動 線形振動 二一 一 6 0．8 1．0 1．2 1．4、 1．6 1．8 ＝1．0 ＝0，55．0
一一
テルタ田数法による理、涌直 一一《一≡一 〔衝突時間かセロ｝ κパ＝300Kぴ 100G 4．O 彫／んe。＝0．5 ﾃ＝0．548 ／ 一・一κ、／仁3 κ㍑＝］0 i衝突 摘／かビロでなし、｝ ｝ ●1 3．0 o印は衝突を仁1一■
､場合の分枝と 鵠 ’ 伴わない場合の分枝の境界・1、1、 1江田 ∈．2．0 ’ 蝶 ，／’ ’ ． @一一’一一’ f ， ， ” 一 一 一 ’ ﾓ 一 ”一 ’ C〆一ノ’ ’一 一一 ，一’一’一’ ＿一，”“ 1．0 ≡一一 ?`振動 一＿一∋●一 z／線形振動 0．0 ・0．6 0．8 1．0 1．2 1．4 1．6 振動数比Ω 図一4 デルタ関数法とフーリエ級数解法による共振曲線（ε＝0．548， q／keり＝0．5，実線がK2／fe ＝・ 300， K 3／k ＝＝ 1000，一・点鎖線が K2／k＝3， K3／々＝10の場合フーリエ級数解法による結果， 破線がデルタ関数法の結果） で，自由衝突の前後の速度をv1， v2とすれぽ・図一2（a） より，÷唖一丁（芸）弓唖一丁ざ際一
であるから反発係数εは， ε≡竺2−−VX、／Xg Vl となり，K2， K3自身の大小には直接関係なくその比 によって決まり，一定となる。 2．4 数値計算結果の比較と考察 以上のべた方法で得られた周期解により，数値計算 をおこない，デルタ関数法およびフーリェ級数解法に よる共振曲線，変位波形を求めたので，その結果を示 す。図一3に反発係数ε一〇．707，q／ke。−0．5，1．0，1．5 の共振曲線を示す。実線がフーリェ級数解法による結 果（衝突時間がゼ・でない）でK・／k−120・K・／le・＝＝ 240，（ε一UK2／K、−0．707）の場合であり〔文献⑪で 機械モデルによる実験値とこの場合について比較し た〕，破線がデルタ関数法による結果（衝突時間がゼ ⇒である。また図一4には共に，ε＝∼／3／10−O． 548， q／lleo＝0．5の場合であるが，実線が， K 2／ll＝300・ K3／≠1000（一周期の所要時間丁にしめる衝突時間dTの割合dT／Tがこの場合共振点付近で］T／T
≒1／30），一点鎖線がK2／〃＝3， K3／丘＝10（この場合 は共振点付近でAT／T≒1／5）に対するフーリェ級数解 法による結果（衝突時間がゼロでない）を，破線がデ ルタ関数法による結果（衝突時間がゼロ）を示してい る。なお図一3， 4で塑些一κmπが1より小の部分で 2eo フーリエ 級数解法 耐直9
一1．0 一2．0 3．0 一4。0 ．0 ．0 ．0 、 ’ 、、、 、 ’ ．0 0 、、 π ／’ 2π 、 ．0 、、 ！ 、 ！ @ 、、∼一’！ 0 0 0 κぴ＝3，κぴ＝正0の場合のフ 一一一一 fルタ関数法による結果 （Ω＝121350 q／keo＝05） 図一5（a）デルタ関数法とフーリエ級数解法による変 位波形（9＝1．2315，ε＝0．548，q／ゐθo＝0．5 の場合で実線がK2／k＝・3， K3／ん＝10のフ ーリエ級数解法による結果，破線がデルタ 関数法による結果） ミ1・0 2．0 ．0 ”・、、 γ 、、 、 ℃ 、 ’ 、 ’ ’ ’ ’ ’ ．0 0 π ，’ 2π ’ γ 、 、 、 0 、、 、 、 、 、 、 、 ’ 、 ノ 、 ’ 0 、 ’、、＿，’ κ、／k＝300，K、／と100⑪の場合の フーリエ級数解法によ騨1果 一一＝一一 fルタ関数法による結果 （Ω＝1．4q／X・。＝05） 図一5（b）デルタ関数法とフーリェ級数解法による変 位波形 （9＝1．4，ε ＝O．548，g／fee。＝0．5 の場合で実線がK2／k＝300， K3／為＝1000 のフーリエ級数解法による結果，破線がデ ルタ関数法による結果） 両老が一致しているのは衝突を伴なわない単なる線形 振動をする分枝だからである。さらに，図一5（a），（b）に 図一4の共振曲線に対する変位波形を示す。図一3，図一4， 図一5より，反発係数は等しくも衝突時間をゼロとせず 有限な値として解析したフーリェ級数解法による結果 と衝突時間をゼロとして解析したデルタ関数法による 結果は大きく異なることがわかる。そしてさらに，図 一4よりフーリェ級数解法による場合はK2／kとK，／le の比は等しくても（反発係数εは等しくても）K2／k， K，／k自身の大小により衝突時間も大きく異なり共振 曲線が非常に違っていることもわかる。図一6（a）実験装置本体の写真 図一6（b）実験装置全体の写真
表1実験条件
＼1記号陣（単位）1備
考 振動体m（質 量m）の重量ばね定数
W＝mg
k 456（9重） 1．00（kg／cm） 振動体の単体の実測重 量（310g），ピックア ップ重量（30g）に換 算ばね重量を考慮した 場合 コイルばねと板ばねと を取付状態で実測した 値 ⑧ SJ Σ ○往路i則定点 ●復路測定点固搬⇒鋤一㎡⇒456（・pm）1実zalJ値
加振力の最大 振幅 振動体と被衝 突物Aとの間 隔 9 eo 318（9重） 4．00（mm） カムの偏心量（実測値） にコイルばね定数（実 測値）を乗じた値 9／為eo＝0．8 0 02 0．4 0．6 変形量（cm） 図一7（a）反発力特性の静的測定結果 （最高荷重5kgの場合） 3．20（mm） 9／keo＝1．0 結局，K2／ゐ， K，／leの大きい場合，すなわち，被衝 突物がばね〃に比較して非常に硬い場合は，一周期の 所要時間丁にしめる衝突時間dTの割合（以後比衝突 時間という）AT／Tが小さくなり，フーリェ級数解法 とデルタ関数法との結果は似てくるが，K2／le， K 3／le の小さい場合は比衝突時間が大きくなり，両者の結果 はいちじるしく異っており，これは衝突時間を考慮し た場合と考慮せずti pとした場合の違いによるもので あることがわかる。 3．デルタ関数法およびフーリエ級数解法による理論 値と実験値の比較と考察 3．1実験装置および実験方法 実験装置および実験方法については，文献（iDとほと んど同様であるが，ただ，実験装置について，文献⑪ では実験機本体のフレーム上に置かれカム軸に直結 10．0 ⑧ 50 0 C往路測定点 ●↑夏u各i貝‖定，己〔 ／ ／ 0 02 04 0．6 変形量（cm） 図一7（b）反発力特性の静的測定結果 （最高荷重10kgの場合） 0．8されていた駆動用モータを図一6（a），（b）の写真に見るよ うに，今回は分離してカム軸とモータ軸はそれぞれの プーリを介してVベルトによって結合する方法をと り，モータによる振動の影響を除くようにしたこと， また機械本体フレームおよびモータ台を基礎コソクリ 一トにボルト締めして固定したこ との2点だけが異っている。実験
条件は表一1に示すとおりであ
る。 3．2 被衝突物の反発力特性 今回の実験では，被衝突物とし てシリコンゴムを使用し，その反 発力特性は被衝突物と衝突物（質 量m）を実験時と同様な取付状態 でばね試験機を用い，静的に測定 した。図一7（a），（b）が測定結果で負 荷増加径路（loading）と負荷除 去径路（unloading）とではその 径路が一致せず，はっきりと履歴 があることがわかる。図一7（a）が最 高負荷5kgの場合で，図一7（b）が 最高負荷10kgの場合である。そ してこのような履歴のある反発力 特性を後でのぺるような理論値と の比較のために図一2（a）のように三 角形の履歴特性を持つ反発力とし て近似する。すなわち，負荷増加 径路で被衝突物を変形させるに要 6．0 5．0 ξ4．o I漏 ㌧3・o 『 理2．0 1．0 した仕事量を，こう配K2のぼねで同じ変形量まで変 形させた場合の仕事量に等しいと置き，これよりK2 を求める。またK，は，同様に負荷除去径路で被衝突 物が最大負荷点（最大変形点）から負荷がゼロになる までになした仕事量から求める。そして．図一7（a），（b） ε＝0．858：調亘颪一爾がゼロ）
Ii O● り三験値 4ノ輪 は衝突を伴 ＝0．8 う場合の分枝と伴なわ o ∼ ｝ 一 ← ない場合の分枝の境界∫∴1、 @ 1 1 1 1 o σ o o 「一一 線形振動…一 0．6 0．8 1．0 1．2 1．4 1．6 1．8 2．0 振動数比Ω 図一8（a）デルタ関数法による理論値（実線）と実験値（○印）の共振曲線 （ε＝0．858， g／keo＝0．8） ’6．0 5．0 ξ三〇誤。
蓮2。 蝋． 1．0 0 0．6 0．8 1．O L2 1．4 1．6 1．8 ’2．0 振動数比Ω 図一8（b）デルタ関数法による理論値（実線）と実験値（○印）の共振曲線 （ε：＝0．858， q／keo＝1．0） 一デルタ関数法による理論値（衝突時間がゼロ） @ ε＝0．858 O実験値￠々。＝ro 怦 は衝突を伴う場合の分枝と衝突を伴わない 場合の分枝の境界点 o o o o o 線形振動 ．10．0 9．0 8．0 誤：： il：： 3．0 2．0 1．0 O O．6 0．8 ，（κ2／ξ＝14．0， κ3ノと＝19．0） ε＝0．858 O実験値￠／輪＝0・8 怐@印は衝突を伴う場合の分枝と衝突を伴わない 一フー「戊工級数解法による理論値（衝突時間がゼロでない） 場合の分枝の境界点 ’ o o 線形振動 1．0 1．2 1．4 振動数比Ω 1．6 図一9（a）フーリエ級数解法による理論値（実線）と 実験値（○印）の共振曲線（K2／k＝ 14， K3／k＝：19， ε＝0．858， g／keo ＝＝ O．8） 11．0 10．0 9．0 8．0寵：1
嚢1： 3．0 2．0 1．0 〆0 0、6 0．⑧ リエ級数解法による理論値（衝突時間がゼロでない）’ ＿フー @ κ、』14．0，K講＝19，0）・＝0・858 O実験値￠侮。＝LO 怐@ ない場合の分枝の境界点印は衝突を伴なう場合の分枝と衝突を伴わ o o o 線形振動 1．O L2 1．4 振動数比’Ω 1．6 図一S（b）フーリエ級数解法による理論値（実線）と 実験値（○印）の共振曲線（K2／k＝14， K，／k＝19， ε ＝O．858， q／keo＝＝1．0によっておのおの求められたK2， K3の平均がK2− 14kg／cm， K3 ＝19 kg／cmとなったので，これを実 験より静的に求められた図一2（a）に対するK2， K3と決 めた。したがって機械モデルK2／k， K 3／leのはそれ ぞれ，K2／k ・一 14， K 3／le−19となる。またこの場合 反発係数εはつぎのようになる。 ε＝N／π27瓦；a／1互71ζi＝o．858 3．3理論値と実験値の比較 実験ではq／leeo ＝・ O．8，1．0について各振動数比、Ωに ついて，振動計と接続されているオッシログラフに記 録された変位波形により振幅を求めた。 図一8（a），（b）がデルタ関数法による理論値（実線）と 実験値（○印）の共振曲線である。図一8（a）がε一〇．858 q／〃e・−0．8，図一8（b）が・−0．858，q／〃、。−1．0の場合 を示す。 図一9（a），（b）がフーリェ級数解法による理論値（実線） と実験値（○印）の共振曲線である。図一9（a）がK2伍 一14，K3／le ・一 19，ε＝0．858， q／keo＝0．8，図一9（b）が K2／〃＝14， K3／k ・一 19，ε・・O．858， q／keo ＝＝ 1．0の場合 である。なお，図一8，9の共振曲線で線形振動の部分 は衝突を伴なわないために，線形理論により求められ た理論値で当然ながら実験値とよく一致している。 図一8，図一9より明らかなように衝突時間を考慮した フーリェ級数解法による解析結果の方が，衝突時間を 考慮せず，ti pとしたデルタ関数法による解析結果よ り，よく実験値と合うことがわかる。したがって，実 験がK，／fe， K 3／leの値の小さい場合，すなわち比衝突 時間が大きい場合を扱ったためもあろうが，衝突時間 をゼロとした場合は理論値と実験値の差が非常に大き く，また前章の結果（図一4，図一5）からもわかるよう に，K2／ゐ一300， K 3／le−1000の場合でも衝突時間を考 慮したフーリェ級数解法の結果と衝突時間をゼロとし たデルタ関数法の結果とでは振幅の差が共振点付近で は相当大きく，このことを考えれぽ，共振点付近では K2／k， K3／kがかなり大きい場合でもデルタ関数法の 結果と実験値とは大きな差があるものと予想される。 なお，本実験では反発力特性を静的にしか測定して いないが，衝突速度Vlが小さいので（最大0．73 m／ sec程度）反発力特性を動的に測定した場合でも結果 に大きな差がないものと思われる。この点については また別の機会に報告したい。そして反発係数が衝突速 度に依存して変る場合のフーリェ級数解法による解析 結果9）10）と実験結果の比較についてもあわせて論ずる 予定である。
4．結
言 以上，一自由度系の定常衝突振動についてのワーリ ェ級数解法とデルタ関数法による数値計算結果の比較 考察およびこれら数値計算結果と実験結果との比較考 察をおこなったが，まとめるとつぎのようになる。 1） 被衝突物が非常に硬く，K2／le， K 3／kの極端に 大きい場合（たとえぽK2／le，1（3伍がIO4以上の場 合）は一周期の所要時間Tにしめる衝突時間dTの割 合（dT／T）が小さくなるので（dT／Tが約1／50より 小），衝突時間を考慮したフーリェ級数解法の結果と 衝突時間をゼロとしたデルタ関数法との結果は比較的 似ているが， 2） K2／le， K，／leの小さい場合（たとえばK2／le， K，／ゐが103以下の場合）すなわち比衝突時間4T／T が大きくなる場合（∠T／Tが約1／50以上）は両者の 結果は非常に異なる。 3）そして，機械モデルによる実験結果とフーリェ 級数解法の結果は良好な一致をするが，デルタ関数法 の結果は実験結果と大きな相異がある。 4）結局反発係数は一定としても，衝突時間を考慮 した場合は衝突物が被衝突物と接して運動する時間が あるわけで，このような時間をゼロとした場合とは結 果に大きな違いがあり（特に共振点の振動数と振幅に 大きな相違がある），衝突時間を考慮して解析をおこ なうことが実験結果と合うか合わないかの大きなポイ ソトであり，実際問題については特に必要である。 最後に日頃御指導をたまわっている東京大学柴田碧 教授に深謝すると共に，日本機械学会第2回シンポジ ウム「非線形振動16）」の際，有益な御討論をいただい た東京大学亘理厚教授，実験装置の面で常に便宜を与 えられ，また適切な助言をいただいた本学沢登健助教 授に厚くお礼申上げます。なお数値計算では村田一 正，実験では中村孝夫，佐々木良幸，図面の製作では 橘田昇の諸氏にお世話になりました。 なお本研究の一部は山梨工業会研究助成資金による ものであることを付記して関係各位に感謝します。 文 献 1） 1．GuTMAN：Industrial Use of Mechanical Vibra・ tions，1968， Business Books Limited， London 2）W．H． PARK：Trans． ASME J． of Eng． for In− dustry（NOV．1967），P．587 3） A．E． KOBRINsKII：Dynamics of mechanisms with elastic connections and impact systems，（露原著 から英訳），1969，11iffe Books Ltd． 4） 川井良次，小寺忠：機械学会論文集，35巻274号（昭和 44・6），P．12335） 6） 7） 8） 9） 10） 入江敏博，深谷健一：機械学会論文集，37巻299号 （昭和46−7），P．1287 Maezawa， S． and others：Proceedings of the 20th Japan National Congress for ApPlied Me・ chanics，1970（1971），P．133 Maezawa， S． and others：Nonlinear Vibration Problems 13，（1972）P．21 Maezawa， S． and T． Watanabe：Proceedings of the 21 st Japan National Congress for Applied Mechanics，1971（1973）， P．61 前澤成一郎，渡辺武：機械学会論文集（投稿中）（昭和 49年2月号掲載予定） 「前澤成一郎，渡辺武：機械学会総会講演会講演論文集 No．720−3（昭和47−4）， P．93 Maezawa， S． and T． Watanabe：：Nonlinear Vi・ bration problems 14，1973， P．473 （Proc．6th International conference on Nonlinear Oscilla・ 11） 12） 13） 14） 15） 16） tions， PozNAN，1972−9） 渡辺武，他3名：山梨大学工学部研究報告，No．23， （1972−12），P．67 前澤成．一郎，渡辺武：機械学会全国大会講演論文集， No．730−14， P．69 わずかに次のものがある。 Arnold， R． N．：Response of an Impact Vibra・ tion absorber to Forced Vibration，9th Int。 congr． of Appl． Mech． Brussel 1956， P．407 たとえば， W．Goldsmith：Impact，1960， EDwARD ARNoLD LTD． London 前澤成一郎：機械学会論文集，26巻167号（昭和35−7）， P．884 日本機械学会講演論文集，No 700−10付録討論集，（昭 禾045−8），P．16
