Alternating Linkの符号数について

Alternating Linkの符号数について

著者

上村井 英子

2009年度 修士論文要旨

Alternating Link

の符号数について

Alternating linkとは,その各成分を一周するとき, overcrossing とundercrossing が交互に出現するような

alternating link diagramをもつようなlink と同じlink typeであるlinkである. Matrix-Tree Theoremを用 いて Alternating linkの符号数の性質として以下の補題と定理が成り立つことが分かった.

補題１ Lをalternating link , D(L)をL のalternating link diagram とする．次の図のようなlink L, L0,

L0 の link diagramを D(L), D(L0), D(L0) とし, いずれも連結であるとする. L および L0 のGoeritz 行列

をG(L), G(L0) とするとき, σ(G(L)) = σ(G(L0))が成り立つ． ⇒ ⇐ D(L0) D(L) W0 W1 (²(P ) = 1) D(L0) W0= W1 W0 W1 ⇐ ⇒ D(L0) D(L) W0 W1 (²(P ) =−1) D(L0) W0= W1 W0 W1

定理２ L を oriented alternating link，D(L) をその alternating link diagram とする．D(L) の任意の

crossingP において，次の図のような変形をするとき, D(L), D(L0), D(L0) が連結なら, σ(L) = σ(L0)− ²(P )

が成り立つ. ここで, D(L0) は 補題１で与えられたlink diagramで, L0 はunoriented link とする.

⇒

D(L) D(L0)

²(P ) = 1

⇒

D(L) D(L0)

²(P ) =−1

定理３ Lをoriented alternating link，D(L)をそのalternating link diagramとする．D(L)から次の図のよ うな変形をして得られるlinkをL0 およびL0 とする. D(L)，D(L0)およびD(L0)が連結なら, σ(L) = σ(L0) が成り立つ. ⇒ ⇐ D(L0) D(L) D(L0) ⇒ ⇐ D(L0) D(L) D(L0) これらの応用として，2-bridge linkの符号数の性質を２つの標準形を用いて調べた. まず，Schubert の標準形に対して Goeritz 行列を求め，その符号数を調べることによってpが奇数である 場合におけるType (p, 1)の2-bridge link の符号数はK を2-bridge link of Type (p, 1) (pは奇数)とすると,

σ(K) =−(p − 1) が成り立つことが分かった．

次に，Conwayの標準形C(a1, a2,· · · , a2k+1)に対して, ai (i = 1, 2,· · · , 2k +1)がすべて偶数かつai> 0で

あるoriented 2-bridge linkとすると, C(a1, a2,· · · , a2k+1)は成分が2のalternating link diagramを与える．そ

のalternating link diagramに対して定理１，定理２を用いることで, σ(C(a1, a2,· · · , a2k+1)) = 2link(K1, K2)