後期 期末試験（ 2月 3日）類題と解答 （ kimatsu-8-1a

微積分

I (2008

年度前期)

期末試験類題

(工学部共通)

1 次の関数のn次導関数を求めよ。

《基礎・基本》

(1)√x (2) 1

x (3) e

x _{(4) log|x| (5) sin x (6) cos x} 《標準》

(7)√2x + 1 (8) 1

2x + 1 (9) e

2x _{(10) log|1 − x|}

(11) cos 2x (12) sin x cos x (13) sin2x (14) cos2x 《応用》（ライプニッツの公式を用いて求めよ） (15) xex (16) x2e2x (17) x2sin x 2 次の関数にマクローリンの公式を適用してx4の項まで求めよ。ただし剰余項はR5としてよい。 《基礎・基本》 (1) ex _{(2) sin x (3) cos x (4)} √_{1 + x (5)} 1 1 + x (6) log(1 + x) 《標準》 (7) e2x (8) ex2 (9) x2e2x (10) ex+ e−x (11) sin(2x) (12) √ 1 1− x (13) √ 1− 2x (14) x√1 + x (15) log(1− x) (16) 1 1− x 《応用》 (17) sin2x (18) cos2x (19) x 1− x2 3 次の極限を求めよ。 《基礎・基本》 (1) lim x→0 sin x x (2) n→+∞lim ( 1 + 1 n )n (3) lim x→0(1 + x) 1 x (4) lim x→0 ex− 1 x 《標準》 (5) lim x→+∞ x2 ex (6)_x→+∞lim x log x (7) limx→0 e−x− 1 x (8) limx→0 x2 e2x_{− 1 − 2x} (9) lim x→0 e−2x− 1 + 2x − 2x2 x3 (10) lim_x→0 1− cos x x2 (11) lim_x→0 1−x₂2 − cos x x4 (12) lim x→0 √ 1− 2x − 1 + x x2 (13) lim_x→0 log(1 + x)− x + x₂2 x3 (14) lim_x→+0x log x 《応用》 (15) lim x→0 x− sin x cos x x3 (16) lim_x→+0x x _{(17) lim} x→+∞ x− sin x x 4 (i) 次の関数の増減，凹凸，極大値，極小値を調べ，グラフの概形を描け。 (1) y = x3− x (2) y = x4− 5x2+ 4 (3) y = xe−x (4) y = e−x22 (5) y = x x2_{+ 1} (6) y = x √ 1 + x2 (ii) 次の関数の増減，凹凸，与えられた区間における最大値，最小値を調べ，グラフの概形を 描け。 (1) y = x log x (x > 0) (2) y = exsin x (−π 5 x 5 π) (3) y = x +√1− x2 _{(−1 5 x 5 1) (4) y = x− 2 sin x (−π 5 x 5 π)}

5 次の不定積分を求めよ。 《基礎・基本》 (1) ∫ xndx (n̸= −1) (2) ∫ 1 xdx (3) ∫ exdx (4) ∫ sin xdx (5) ∫ cos xdx (6) ∫ 1 cos2_xdx (7) ∫ 1 1 + x2dx (8) ∫ 1 √ 1− x2dx 《標準》 (9) ∫ (2x3− 3x + 3)dx (10) ∫ x√xdx (11) ∫ 1 3 √ x2dx (12) ∫ dx 2x + 1 (13) ∫ (2x + 1)10dx (14) ∫ e−2xdx (15) ∫ sinx 2dx (16) ∫ x cos(x2)dx (17) ∫ log x x dx (18) ∫ ex 1 + exdx (19) ∫ tan xdx (20) ∫ x x2_{+ 2}dx (21) ∫ dx x2_{+ 2} (22) ∫ dx x +√x (23) ∫ x sin xdx (24) ∫ log xdx (25) ∫ x log xdx (26) ∫ x− 4 x2_{+ x− 2}dx (27) ∫ x3+ 1 x2_{+ 1}dx (28) ∫ (1 + tan2x)dx 《応用》 (29) ∫ sin2xdx (30) ∫ cos2xdx (31) ∫ x2cos xdx (32) ∫ exsin xdx (33) ∫ dx 1 + ex (34) ∫ dx sin(2x) (35) ∫ dx x3− 8 (36) ∫ dx √ x2_{+ 1} (37) ∫ dx √ x2_{− 2x + 2} (38) ∫ √ 1− x2_{dx (39)} ∫ √−x2− 2xdx 6 y = xeax _{が全区間(−∞, +∞)においてy}′′_{− 2}√_2y′_{+ 2y = 0を満たすように，定数aの値を} 定めよ。 7 (1)次の不等式がx > 0で成り立つことを示せ。

(a) 2x > sin 2x (b) cos 2x > 1− 2x2 (2) 不等式 ex = 1 + x +x 2 2! + x3 3! が常に成り立つことを示せ。 8 f (x)は無限回微分可能な関数とする。 (1) f (x)をマクロ−リン展開したときのx50の係数を求めよ。 (2) x sin(2x)をマクロ−リン展開したときのx50の係数を求めよ。 (3) f (x) = x sin(2x)のときf(50)(0)の値を求めよ。 9 ２以上の自然数nに対して，In= ∫ cosnxdx とする。 (1) I2を求めよ。 (2) In= ∫ cosn−1x cos xdxと表せることと部分積分を用いて，次の漸化式が成り立つことを 示せ。 In= 1 ncos n−1_{x sin x +}n− 1 n In−2 (3) (2)の漸化式を用いて，I4を求めよ。

【 略 解 】 1 (1) 1· (−1) · (−3) · · · (−2n + 3) 2n x 1 2−n (2) (−1) n_n! xn+1 (3) e x ₍₄₎ (−1)n−1(n− 1)! xn (5) sin(x +nπ 2 ) (6) cos(x + nπ 2 ) (7) 1· (−1) · · · (−2n + 3)(2x + 1) 1 2−n (8) (−2) n_n! (2x + 1)n+1 (9) 2 n_e2x ₍₁₀₎₋(n− 1)! (1− x)n (11) 2 n_{cos(2x +} nπ 2 ) (12) 2n−1sin(2x +nπ 2 ) (13)−2 n−1_{cos(2x +}nπ 2 ) (14) 2 n−1_{cos(2x +}nπ 2 ) (15) (x + n)e x (16) 2n−2{4x2+ 4nx + n(n− 1)}e2x (17){x2− n(n − 1)} sin(x +nπ 2 )− 2nx cos(x + nπ 2 ) 2 (1) 1 + x +x 2 2 + x3 6 + x4 24+ R5 (2) x− x3 6 + R5 (3) 1− x2 2 + x4 24+ R6 (4) 1+1 2x− 1 8x 2₊ 1 16x 3₋ 5 128x 4_+R 5 (5) 1−x+x2−x3+x4+R5 (6) x− x2 2 + x3 3 − x4 4 +R5 (7) 1 + 2x + 2x2+4 3x 3₊2 3x 4_{+ R} 5 (8) 1 + x2+ 1 2x 4_{+ R} 6 (9) x2+ 2x3+ 2x4+ R5 (10) 2 + x2+x 4 12+ R6 (11) 2x− 4 3x 3_{+ R} 5 (12) 1 + x 2 + 3 8x 2₊ 5 16x 3₊ 35 128x 4_{+ R} 5 (13) 1−x−1 2x 2₋1 2x 3₋5 8x 4_+R 5 (14) x+ 1 2x 2₋1 8x 3₊ 1 16x 4_+R 5 (15)−x− x2 2 − x3 3 − x4 4 +R5 (16) 1 + x + x2+ x3+ x4+ R5 (17) x2− 1 3x 4_{+ R} 6 (18) 1−x2+ 1 3x 4_{+ R} 6 (19) x + x3+ R5 3 (1) 1 (2) e (3) e (4) 1 (5) 0 (6) +∞ (7)−1 (8) 1 2 (9)− 4 3 (10) 1 2 (11) − 1 24 (12)− 1 2 (13) 1 3 (14) 0 (15) 2 3 (16) 1 (17) 1 4 グラフは次のようになる。 (i) (1) (2) (3) -2 -1 1 2 x y -2 -1 1 2 x -9 €€€€₄ 4 y 1 x 1 €€€€ ã y (4) (5) (6) -1 1 x 1 y -1 1 x -1 €€€€₂ 1 €€€€₂ y -1 1 x -1 1 y ※ ２本の横線は漸近線

(ii) (1) (2) (3) (4) 1 €€€€ ã 1 2 x -€€€€1 ã 1 y - Π -€€€€Π 4 3Π €€€€€€€€ 4 Π x -1 1 ã3А4 €€€€€€€€€€€€€ !!!!2 y -1 1 €€€€€€€€€_!!!! 2 1x -1 1 !!!!₂ y - Π _-€€€€Π 3 Π €€€€ 3 Π x - Π - !!!!3 + Π €€€€ 3 !!!!₃ -Π €€€€ 3 Π y 5 （積分定数は省略している） (1) 1 n + 1x

n+1 _{(2) log|x| (3) e}x _{(4)− cos x (5) sin x (6) tan x (7) tan}−1_x

(8) sin−1x (9) 1 2x 4₋3 2x 2_{+ 3x (10)} 2 5x 2√_{x (11) 3}√3_{x (12)} 1 2log|2x + 1| (13) 1 22(2x + 1) 11 ₍₁₄₎₋1 2e −2x _{(15)−2 cos}x 2 (16) 1 2sin(x 2_{) (17)} (log x)2 2 (18) log(1 + ex) (19)− log | cos x| (20) 1

2log(x 2_{+ 2) (21) √}1 2tan −1(_√x 2 )

(22) 2 log(√x + 1) (23) −x cos x + sin x (24) x log x− x (25) x

2 4 (2 log x− 1) (26) 2 log|x+2|−log |x−1| (27) x 2 2 − 1 2log(x 2_{+ 1) + tan}−1_{x (28) tan x (29)} x 2− sin 2x 4 (30) x 2 + sin 2x 4 (31) (x 2_{− 2) sin x + 2x cos x (32)} ex

2(sin x− cos x) (33) x− log(1 + e

x₎ (34) 1 2log| tan x| (35) 1 12log|x − 2| − 1 24log(x 2_{+ 2x + 4)−} 1 4√3tan −1 x + 1_√ 3 (36) log(x +√x2_{+ 1) (37) log(x}− 1 +√_x2− 2x + 2) ₍₃₈₎ 1 2(x √ 1− x2_{+ sin}−1_x) (39) 1 2{(x + 1) √ −x2_{− 2x + sin}−1_{(x + 1)}} 6 a =√2 7 (1) (a) f (x) = 2x− sin 2xとおいて，x= 0でのf (x)の増減を調べよ。 (b) (a)の結果に注意せよ。 (2) exにマクローリンの公式を適用せよ。 8 (1) 1 50!f (50)_{(0) (2)} 249 49! (3) 2 50_{· 5}2 9 (1) x 2 + sin 2x 4 (3) I4= 3 8x + 3 16sin 2x + 1 4cos 3_{x sin x}