相似の概念について(II)
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(2) . 第１７巻 第２号. 北海道教育大学紀要 （第二部Ａ）. 昭和４２年３月. ） 相 似の 概 念に つい て （＝. 吉. 正. 田. 衛. 北海道教育大学札幌分校数学科教室 ｌｏｇｕｅ （ １ １ Ｍａｓａｅ ＹｏｓＨＩＤＡ： ｏｎ ｔｈｅ Ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ Ａｎａ ）. １ ）」 で相似の概念について述べ た， 本論は具体的な例を二次元 先の論文 「相似の概念について （ ュ ーク リ ツ ド空 間 尺２ に と っ て 検 討 す る． 一 般 に 本 論 に 取 り 扱 う も の の み な らず， 相 似 の 概 念 は. その具体性において興味あることは前論にも述 べておいたが， 小学教育か ら大学教育まで一貫して 考察される教育上重要な概念の一つである． い ま， Ｒ２ に お い て 発＝ 麻， アニ 毎. （た は ０ ならざる実数）. を 相 似 変 換 と い い， エゴ０ ， ｙ＝０ なる点を相似の中心という． また， この変換で移りうる図形は相. 似の位置にある， または単に相似であるという， こ れ か らこ の 変 換 に よ る 種 々 の 曲 線 の 性 質 を 調 べ て み る こ と に す る． 性質 １. ｉ Ｚ Ｚ ｉ ’＝ｙ（ Ｚ ） ） に 移 っ た と す れ ば （こ こ ） が 上 の 変 換 で Ｃ；ヌコｉ（ ）， 〕 曲 線Ｃ；エニエ（ ， ｊ＝；（. で函数はすべて一価解析函数であるとする）. となり 「Ｃ に お け る 接 ベ ク トル は Ｃ 上 の 対 応 点 に お け る 接 ベ ク トル に 移 る こ と に な る，」 また. . . ー. ３ が 俳）. ｌ ｄ２ ｙ た αが. であるから Ｃ， Ｃ の曲率半径を ｐ ， 万 とすれば. ２ ２ ず ド ｛ 窯 窯） （ ） ｝ ｛ ・十（ ・ 十 ー た よ り ｐ＝１ － ａ となる， 従って 「曲率半径の比の値は一定である．」 換言すれば 「曲率の比の値は一 （６６）.
(3) . 吉. 田. 止： 衛 、‘. 定 で あ る と い え る，. 性質 ２ 「すべての放物線は互いに相似である，」 ） に 直すことができるから， これに上の変換を施 （証明） 放物線はす べて標準形夕２＝Ｐ元 （Ｐキ０ ２ニキ を得る す 赫っち すと ヂ 考 ｘ となる． 従 って， た Ｐ とおくと ｙ ， ， ↑ エニカス ， ダニカタ. なる変換を考えれば デーＰ 曜 デー洋 となる． 逆に 於 ” 訓 まね にか なる変換を施すと ２＝Ｐ ｆ となる． 従って任意の放物線は互に相似であることがわかる， （証終） ｉ ァ しか しな が ら， 楕 円 に お い て は， も は や こ の こ と は い え な い， 特 殊 な も の 同 志 は 相 似 で あ る と い. える・ 葡 は楕円の標準形は 醍 滞 １とかけるから ’ これに上述の変換を施すと. 餅. 餅 １. となり， 長軸， 短軸を一定倍したもの同志は相似であるといえるが， 一般のものにていては相似で あるとはいえない， 双曲線についても同様である． Ａ Ａ′と して ＯＡ， ＯＡ′ つぎに， 相似な放物線 ｙ２＝キ ， 〆＝Ｐ莞（Ｐ＞０） に お い て 任 意 の 対 応 点 を ， を計算してみると. . 愈‐ 嵐・岡野 彰Ｊン・孝ゐ に で ず ｚとお 鎧 『 た， み 繍 また， Ｆｏのときｉ』，ＪＥた のとき ４ である から. 命と り萎 ／Ｆ扉諺コリ ル・ 平 岡 ≠徽 ， 従 っ て ＯＡ：ＯＡ′＝１：Ｐ で あ る，. 性質 ３ 「放物線， 楕円， 双曲線の離心率は相似変換によって不変である． 逆も成立する，」 放物線の場合は離心率は常に１であるか ら明白であるが， 楕円， 双曲線の場合は， その標準形は. 『 灘心』－込雫ご 影番・ 伝 締. ニ. ソ メ 干ｂ２ . ２【毎 ２ ／ （ ） ） 琵 Ｉ た 遥 』. Ｌｏ率 － Ｉ あるが， 相似変換を施 し た 場 合 の寓. と な り ゑ＝〃 で あ る，. ２ 逆に 淋 率が相似変換によって不変でぁるとする，すなわち ギ メ ー ギ 〆 とすれば・干 の. ２ キ倍） ょ. ２ とおくと が 者 ザ 者 となる， よって 回 ： 於 ら 『２ となり， これを 々. 影 影 は 詐 赤 １となり 終 審１と相似である ・ 性質 ４. 「双曲線の灘心率を β ， 漸近線と主軸とのなす角を β とすれば 鵬 』 ÷ である，一 （６７）.
(4) . 相似の概念について （１ １）. Ａ それは， 双曲線 部 － －・ の漸近線も ま 部－ 』 ｏ ， すなわち Ｆ . である．・ゆえに， のｓ“. メ キ メ 壱 である． よって性質３を考慮にいれると「漸近線のなす角が相等しい二つの双曲線 は互いに相似 である，」 といえる． 従 って 「す べての直角双曲線は相似である．」 文. 献. ｉ ｉ ｄｅｍ ａｎａｌｙｓ １ ９６ ０ ） ｓ １ ｓ ｏｎ ｏｆ ｍｏ ｃ Ｐｒ ｅｓ ） Ｄｉｅｕｄｏｎｎを，Ｊ ． ， Ａｃａｄｅｍｉ ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ ，Ｆｏｕｎｄａｔ ，（ ・ ｌ ｇｅｏｎ ｉｏｎｔ ｈｅ ｔ ｌ ｉ ｉ ｉ”ｅ ｔ １９４ ７ ・ ｒｙ ｕｓｅ ｏｆ ｔ ｒｅｎｔ ｔ ｔ ） ・ ａ ｅ ｅｎｓｏｒ ｃａ ｃｕｌｕｓ １ ｓ ｏｎ ｏｄ ２） Ｅｉ ｓｅｎｈａｒ ． Ｐｒ ， Ａｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔ ， Ｌ， Ｐ．（ ｉ Ｕｎ ｉ ｔｙ Ｐ１ｅｓ ｒ ｓ ｖｅ ｓ ．. （６８）.
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