球 状 食品の熱伝 導
長
尾
慶
子
1.は じ め に 我 々 人 類 の 生 活 が ま ず 第 一 に 食生 活 に 依 存 して い る こ とは い うま で も な い。 そ して 食 品 を安 全 且 つ 美 味 な可 食状 態 に す るた め に 古 来 加 熱 操 作 が い ろ い ろ と工 夫 され て きた 。 焼 く, 蒸 す,煮 る,炒 め る,揚 げ る等 の種 々 の加 熱 操 作 は それ ぞ れ特 有 の 利 点 を持 ち,そ れ ら に 応 じて 場 合 場 合 に よ り使 い分 け られ て い る。 これ らの 加 熱 操 作 を研 究 して い くた め に は, 伝 熱 学 的考 慮 が 必要 に な る が.特 に熱 伝 導 に 関 す る考 察 が 必 要 で あ る。 す な わ ち,あ る特 定 の形 状 の 食 品 をあ る状 態 で加 熱 す る場 合 の 熱 の伝 わ り方 を調 べ る必 要 が 生 じる。 こ の場 合,形 状 をい ろ い ろ に 設 定 で き,加 熱 条 件 も種 々 設 定 で き るが,そ の 中 で 最 も基 本 的 な場 合 と して,球 状 食 品 を まわ りか ら あ る一 定 の 熱伝 達 率 で加 熱 す る場 合 が考 え られ る。 い わ ゆ る球 状 物 体 の 熱伝 導,特 に冷 却 の 場 合 につ い て は,い くつ か め 文 献 等 が み られ る。 しか し,加 熱 され る場 合 に つ い て は文 献 が 乏 し く,そ の ま ま で は使 え な い場 合 が 多 い 。 Heisler線 図1)やGurney線 図2)にお い て も利 用 した い領 域 は 線 図 の 端 部 に あ り,精 度 よ い 値 を求 め る に は 甚 だ 不 十 分 で あ る こ と を,先 報3)の伝 熱 パ ラ メー ター の 算 出 の 際 に 痛 感 し た。 ・ そ こ で,本 稿 で は,あ る一 定 温度 の 媒 体 中 に 置 か れ た球 状 食 品 が あ る一 定 の 熱伝 達 率 で 加 熱 さ れ る場 合 の理 論 解 を求 め,そ れ に数 値 を代 入 して 線 図 に表 し,実 用 に供 した い と考 え た 。 な お解 を導 くに 当 た っ て は,文 献(4) を参 考 に した。 2.理 論 的 解 析 周 囲 温 度%の 媒 体 中 に初 期 温 度0の 球 状 食 品 が 置 か れ,熱 伝 達 率 αで加 熱 さ れ る 場 合 を考 え る(Fig.1)。 球(半 径R)の 中 心 に 原 点 0を と り,こ の ま わ りに極 座 標 系 を と る。 Fig.IConductionofheatinasphereatinitial temperatureOputintoamediumatconstant temperature7bwithheattransfercoe`ficientαat thesurface 球 の 内部 の任 意 点 プ(球 対 称)で の任 意 時 刻 'に お け る温 度 をTと す る。 球 の 熱 伝 導 率 λ。, 熱 拡 散 率(温 度伝 導 率)を α とす る 。 この と き7の み に 関 与 す る1次 元極 座 標 系 の 熱 伝 導 の 方 程 式5)は 誓 一 α(∂2T2∂T∂72+7∂7).(・)齟 と な る 。 ま た,境 界 条 件 は γ=Rに お い て ∂7「(2)=α(7b-7「) λs ∂ 7 初 期 条 件 は 渉=0に お い て 7「=0 で あ る 。 こ こ で π=T・ γ (3)「 1とお い て 変 数 変 換 す れ ば,
幾
聯(o≦
・<R)
7=0に て%=07-Rに て 警 一伽・+か
'=0に て π=0(0≦;γ<R) を 得 る 。 た だ し, 乃=α μ 。 (4) (5) (6) (7) (8) とお い た。 こ れ らの 式 を変 数分 離 法 を用 い て 解 く こ と にす る。 z4=F(γ)G(')(9) とお け ば, 警+F(の0(の(10・a) 警 一飾)G(の(…b) 券 一 尸(7)・(の(・ …) で あ る 。 こ こ で'に よ る 微 分 を ・(ド ッ ト)で 表 し,γ に よ る 微 分 を'(プ ラ イ ム)で 表 す 。 "は7に よ る2回 微 分 で あ る 。 こ れ ら を(4)式 に 代 入 す れ ば F(7)G(の ま αF"(7)G(≠) まなは嬲
一畷
ぢ
厄(・・)
を得 る6こ こ で,ヒこ の 式 の 左 辺 は'の み の 関 数 で あ り,右 辺 は プの み の 関 数 で あ る。 これ ら の 関数 が 等 しい た め に は,こ れ らの 式 は 定 数 に等 し くな け れ ば な らな い 。 そ し て,そ の 値 が プ ラ ス な らば0(の は発 散 す る の で,マ イ ナ ス ま た は0で あ る。そ こで,こ の 値 を一 ∂と 置 く。 す な わ ち,鰡
一棚
一。'(・2)
と な る 。 こ の 式 を解 く た や に,ま ず ろ ≠0と す れ ば,左 辺 を 積 分 し て 0(彡)=Co%s'× ε一6孟.(13) を得 る 。 ま た 中 辺=右 辺 か ら 2 F(r)==A・ ・s(〉男7)+B・in(〉 悟7)(・4) を 得 る 。 こ こ でA,Bは 任 意 の 定 数 で あ る 。 ま たb=0な ら ばF"(r)==Oだ か ら, F(r)=C十1)r(15) を 得 る 。 こ こ で の わ は ま っ た く任 意 で あ る の で,bの 代 わ り にb。(n==O,1,2,… …) な ど の 無 数 の 定 数 を 用 い て も よ い 。 さ ら に, そ れ ら の 解 の 和 も 解 で あ る 。 し た が っ て,い ま 解 の 形 をU一 Σe『bt{.A.COS(一r) n=O +Bn・in悟)}+・+Dr(16) と仮 定 し,こ の 解 が 境 界 条 件(5),(6)お よ び 初 期 条 件(7)を 満 た す よ う に 定tWbn,An, Bn,C,Dな ど を 決 め る こ と を 考 え る。 (5),(6),(7)式 よ り, 21e-bt・Ah+C=0(17) 写 げ 尻[An{一 〉写in(∼ 傷R)+(h-k) ・・S(〉写R)}+Bn{疹 ・・S(〉写R) . +(h-k)・in(VIIIiR)}】 一hu・ 一D一(乃 一 妻)(C+Dr) .(18) Σ ε 一δ
π
亡{んcos(一7)+B。sin(一)+C 十1)7}=q(19) を得 る 。 こ れ ら を 満 足 す る よ う に 定 数 を き め る と, Aπ=0,,C=0,D=πo/R=7b(20) 擦 一乃 ∫(2・) と お き, γゐcotγπ十(丿泌∼一 ユ)=0(22) を 満 た す よ う な γ.を求 め る と,(17),(18)式 は 満 た さ れ る 。 さ ら に,(19)式 を 書 き 直 す と, ΣB"sin(γ π7μ∼)十7bプ=0 .(23)を得 る。こ れ を満 た す よ うにB。 を きめ れ ば よ い 。 (22)式 を考 慮 す れ ば, ∫ 、in(γ・7∼)・in(γ嵯)〃 一・(圃 (24) ∫ 、i噸)〃 一書(1+駅 ヨ1。ib・γ.γπ) (25) な の で(23>式 に ・in(γ・看)を か1ナ て,区 間 [0,R]で 積 分 す る こ と に よ り,(23)式 の Σ の η 項 は 第 η項 の み 炉 残 る 。. 島 咢(1+熱in・γ γπ π)+偏 黔in物 一・ ∴B一 諸 糴 瀞 伽'(26) こ れ ら を(16)式 に代 入 す れ ば,
%一ハ7唱 ♂㌦ 鷺 嚮 簫 叛
×・in(7γ・7乏)(2め を 得 る 。 た だ し, τ==Ol癌 ∼2 ..(28) と お い た 。 さ ら に, 乃1∼=α 石∼ンク18〒Bゴ 、.1(29) と お く と,莠 一1一誓1タ ㍗ 腕
×が辛臘1覊
㌫(36)
と 表 す こ と が で き る「。 こ こ に τは フ ー リエ 数, 捌 は ビ オ 数 で あ る 。 中 心 温 度 偽 は こ こ で7→ 0と す れ ば 得 ら れ る 。暑 一・
一2曝
㌦
≠(紲 鑑i㎡伽
(31) γηは γπcotγ η一1-13ゴー1=0(32) を 満 た す す べ て の γ。(>0)を と る 。 3.数 値 計 算 例 数 値 計 算 を 行 う に あ た っ て,γ.を 求 め る の が 重 要 で あ る 。 γ。は 式(32)の 解 で 与 え ら れ る 。 こ れ を 書 き 直 す と, γπ=(1-Bのtanγ π .(33) と な る 。こ の 解 はFig.2に 示 す よ う に,無 数 に あ る 。 つ ま ワ, μ=灘 ,ンー(1ヲ のtan灘 の グ ラ フ の 交 点 で 与 え ら れ る 。 解 と し て は プ ラ ス どマ イナ ス 殖 が あ るヵ㍉ こ こで は プ ラ ス の値 の み とれ ば よい 。 Fig.2(}raphofY=tanXandYニX/(1-Bi) incaseofO〈Bi〈1 (i)1一 βゴ>0(0熾 く1)の 場 合1ま, 伽 一(π 一 壱)π 一 翻 ・(34) と表 せ ば,こ れ を式(33)に 代 入 す る と, @一 壱)π+(・ 一Bの ・・s確(1=蹴 ∴ 驫 窪去{(1η一7)π 一@一 去)・π・一4(・ 一Bの}(35) (ρ・《 号 な り で ・ づ・さ い 解 を と る ・) %》1の 場 合 は ㌍(占 殤 π . .「(36) 一3一(ii)1『 旅0(Bゴ>1)暢 創 ざF碆3の よ う に な る の で, とお くこ とが で き る。 これ を 式($2)に 代 入 し て, @一 告)π+翻 一(1一.Bの(一cosδ π) ≡≧(Bガ ー1)/δπ を得 る 。 こ れ を解 く と, 驫 一去{一(η 一去)π
+(%一
麹+4(β
司
を 得 る 。%》1の と き は 驫 一(Bガ ー1π 「1/2)π ・・(38) (39) (40) と な る 。こ の よ う に し て 御,吻(=i/Bの を与 え て γ.を求 め,式(30),式(31)な お を 計 算 す る 'こ と が で き るゐ' Fig.4∼Fig.1エ に 中 心 温 度 五 の 時 間'に 対 す る 変 化 を 示 す 。く7b/7bあ ラ ー り 工 数 τ(at/ R2)対 す る 変 化 と し て 当 て ら れ て い る。)Fig。4A。 。x。mp16・ 。fth。th6。retical。u,v。 。fth,t。mp。,at。,eatthecent。, ofasphere
Fig.5 An.exampleQfthetheor￠ticalchrve.Qfthe.temperatufeat.the、c6nter.
ofasphere
Fig.6 Anexampleofthetheoreticalcurve・ofthe・ よempera頓fe・atthecenter ofasphere
Fig.7 Ane琴ampleofthetheoreticalcurveofthetemp6ratureatthecenter ofasphere
Fig.8 Anexampleofthetheoreticalcurvatureof.thetemperatur6a七the centerofasphere
.Fig .9.Anexampleofthetheoreticalcurvatufeoft取e.temperatureatthe centerofasphere Fig。10 Anexampleofthetheoreticalcurveofthetemperatureatthecenter ofasphere 一7_
Fig.凵 冷ne琴 ・mpl・ ・ft葺 ・t与 …eti・a廴 ・μ・v・ ・fth・t・mp← ・at・・e・tth・e・nt・ ・ of.a$phere
自g・i2A・6x・ 伽1・ ・f・thε・・eticalth・ ・m・ldi・t・1わ ・tiφ
Fig.13 ChangesofBiotNo..aiongwithtime -97
Tablel』Calculationofthermaldiffusivityandshapefactorforeachsample Sample
