第４回資料

(1)

構造設計Ⅲ

第４回・第５回

(2)

減衰があるから建物の振動は収まる

変位応答時間 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1  0.2  0.3  0.4  0.5  0 1 2 3 ₄ 5 6 7 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1  0.2  0.3  0.4  0.5  0 1 2 3 ₄ 5 6 7

(3)

減衰力によって地震に耐える

• 摩擦力による減衰

(4)

制震構造は建物にダンパーを設置

ダンパー

バイクのダンパー

自動車のダンパー

振動が早く収まる．

骨組への損傷が軽減される．

(5)

モデル化

x

k

c

m

x

c

k

m

,

k c

x

(6)

自由振動方程式

0 mx cx

kx



 



減衰力は速度に比例する

0 mx



cx



kx



自由振動方程式

2 2

0 d x

dx

m

c

kx

dt



dt





x

c

k

m

(7)

自由振動方程式の解き方

2 2

0 d x

dx

m

c

kx

dt



dt





この形の方程式の解はexp関数

e

t

x



A



A

,



は定数

振動方程式に代入すると

2

e

t

e

t

e

t

0 m





A





c





A



 

k A





2

0 m





c



 

k

(8)

2

0 m





c



 

k

2 2 2 2

4

2

4

2

4

2

2 c

c

mk

m

c

mk

m

c

k

m





 



 







 



_

_







2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

0

2

4

2

4

2 ax

bx

c

b

a x

x

c

a

b

a x

a

c

a

b

c

x

a

b

ac

a

b

ac

x

a

b

ac

x

a



 



_



_{ }











_



_





_{ }



















_



_





_

























_



_{ }









 





次方程式の解の導出

2 1 2 2

2

2 c

c

k

m

c

k

m







 



_

_











 



_

_







(9)

減衰自由振動の解

1 2

e

t

e

t

x



A





B



A B は任意定数

,

2 2 1 2 2 2

2

2 c

c

k

c

k

c

i

m

c

k

c

k

c

i

m











 



_

_



 





_

_

















 



_

_



 



_

_









2 2 2 2 2

e

k c k c c i t i t t _m _m _m _m m

x

A

B

 _ _   _ _   _  _  _  _  _ _ _ _                











_



_









1 i  

虚数単位

(10)

e

i



cos





i

sin



より

2 2 2 2 2

e

x

A

B

 _ _   _ _   _  _  _  _  _ _ _ _                











_



_













2





2 2

e

cos

sin

2

c t m

k

c

k

c

x

A

B

t

i A

B

t

m

_     



_

_

_

_

_

_

_

_













_

_

_

_

_

_

_

_









_

_





_

_





_



_





_





_



_



_







_



_







2 2 2

e

cos

sin

2

c t m

k

c

k

c

x

A

t

B

t

m

_     





_

_





_

_







_

_

_

_

_

_

_

_







_

_





_

_





_



_

_



_







_

_



















A

B

,

A B は任意定数

減衰自由振動を表す式

(11)

2 2 2 2 2

e

x

A

B

 _ _   _ _   _  _  _  _  _ _ _ _                











_



_









2

0

2 k

c

m







_

_







のとき

2 2 2 2 2

e

k c k c c t t t _m _m _m _m m

x

A

B

 _ _   _ _         _  _ _ _ _                











_



_









振動は生じない

2

2 k

c

m





 

_



_

:バネよりも減衰が大きい

2

c c

c

k

c

m



_{ }









:臨界減衰

2 c



mk

(12)

減衰定数

2

c

h

c

_mk



減衰



臨界減衰

無次元量

k

m





2

2 c

c

mh

k

m





2 c



mh



(13)

減衰自由振動解

2 2 2

e

cos

sin

2

c t m

k

c

k

c

x

A

t

B

t

m

_     





_

_





_

_







_

_

_

_

_

_

_

_







_

_





_

_





_



_

_



_







_

_



















,

2 k

c

mh

m









2





2



e

h t

cos

1 sin

1 x



 





A

_





h



t

_





B

_





h



t



_

















(14)

初期条件

 

0

,

 

0

x



d

x



v

未定係数A,Bは初期条件を与えることによって決まる

2 ₀

₀

2

0 ₂

e

cos 1

sin 1

1 h t

v

h d

x

d

h

t

h

t

h



_



_













_







_







(15)

固有周期

2

1 

h



T





2 

より

2 2

1

2

1

1 T

T

h





 







h が小さい場合は，

T



T

2 ₀ ₀ 2 0 ₂

e

cos 1

sin 1

1

h t

v

h d

x

d

h

t

h

t

h



_



_













_







_







(16)

減衰振動のグラフ

 