一点コンパクト化上の距離について
yamyamtopo
本稿では、一点コンパクト化上の距離について次を示す。 定理. X = (X, d)を、コンパクトでない局所コンパクトな可分距離空間とする。このと き、X の一点コンパクト化X+ = X∪ {∞}上の位相に合致した距離d+ であって、任意 のx, y ∈ Xに対してd+(x, y)≦ d(x, y)となるものが存在する。 証明. まず、Xは可分距離空間だから第二可算である。 これはよく知られている事実であるが、念のため復習しておこう。Xは可分なので、可算な稠密集合 {xn| n = 1, 2, . . .} が存在する。このとき、開球体の族{Bd(xn, 1/m)| n, m = 1, 2, . . .}がXの可 算開基を与えることがすぐに分かる。 さて、X は局所コンパクトかつ第二可算であるから、可算開基{Ui| i = 1, 2, . . .} で、 各iに対して閉包Ui がコンパクトなものが存在する。これを用いて、 ∪∞ n=1Kn = X を 満たすX のコンパクト集合の列(Kn)∞n=1 で、各nに対してKn⊂ Int Kn+1となるもの が存在すると分かる。ここで、Intは内部を表す記号である。 この列は帰納的に構成できる。まず、K1= U1とする。Kn が構成できたとする。Knのコンパクト 性から、正の整数の有限集合Fnが存在して、Kn⊂∪i∈FnUiである。そこで、 Kn+1= Un+1∪ ∪ i∈Fn Ui とおく。こうして得られる列(Kn)∞n=1が求める条件を満たすことはすぐに分かる。 この段階で、賢明な読者はX+が少なくとも距離化可能であることに気づかれるかもしれない。実際、 X+はコンパクトHausdorff空間だから正則空間であり、集合族 {Ui| i = 1, 2, . . .} ∪ {X+\ Kn| n = 1, 2, . . .} はX+の可算開基を与えることが分かるので、Urysohnの距離化定理によりX+は距離化可能であ る。しかし、これにより存在する距離が定理の条件を満たすかは不明なので、以下ではもう少し丁寧に X+の距離を構成する。 任意の x, y ∈ X+ = X ∪ {∞}に対して、ρ(x, y) ≧ 0 を以下で定める。まず、x = y のときは ρ(x, y) = 0 とし、x, y ∈ X のときは ρ(x, y) = d(x, y) とする。さらに、 x∈ Kn\ Kn−1（ただし、K0 =∅）であるとき ρ(x,∞) = ρ(∞, x) = 2−n+1と定義する。ρは三角不等式を満たすとは限らない。そこで、x, y ∈ X+ に対して d+(x, y) = inf { k ∑ i=1 ρ(xi−1, xi) xi ∈ X+(i = 1, . . . , k), x0 = x, xk = y } とすると、定義からd+ は三角不等式およびd+(x, y) = d+(y, x) (x, y∈ X+)を満たし、 x, y∈ X のときはd+(x, y)≦ d(x, y)である。 d+ がX+ 上の位相に合致した距離であることを示すには、各x ∈ X+ に対して、d+ に関する開球体の族{Bd+(x, ε)| ε > 0} がxのX+における基本近傍系であることを示 せばよい（このことで、条件d+(x, y) = 0 =⇒ x = y も同時に示されることに注意す る）。そのため、いくつかの主張を示そう。以下では δn = min{2−n, d(Kn, X\ Kn+1)} (n = 1, 2, . . .) とおく。 主張 1. x∈ Knのとき、任意のy∈ X に対してρ(x, y) + ρ(y,∞) ≧ δnである。 主張1の証明. m ≧ 1 を y ∈ Km \ Km−1 となるようにとる。m ≦ n + 1 のときは、 ρ(y,∞) = 2−m+1 ≧ 2−n ≧ δn から結論が成り立つ。一方、m ≧ n + 2 のときは、 y /∈ Kn+1 となるのでρ(x, y) = d(x, y)≧ d(Kn, X\ Kn+1)≧ δnから結論を得る。 主張 2. x∈ Knのとき、d+(x,∞) ≧ δnである。 主張2の証明. X+ 内の有限列x 0, x1, . . . , xk でx0 = x, xk =∞となるものを任意に与 える。このとき、∑ki=1ρ(xi−1, xi) ≧ δn を示そう。0 ≦ i < kのとき常にxi ̸= ∞ であ るときに示せば十分である。ところが、このとき主張1により k ∑ i=1 ρ(xi−1, xi) = k−1 ∑ i=1 d(xi−1, xi) + ρ(xk−1,∞) ≧ d(x0, xk−1) + ρ(xk−1,∞) = ρ(x0, xk−1) + ρ(xk−1,∞) ≧ δn である。 主張 3. x ∈ Knのとき、任意のy ∈ X に対してmin{δn, d(x, y)} ≦ d+(x, y)≦ d(x, y) である。 主張3の証明. d+(x, y) ≦ d(x, y) は常に成り立っているのでもう一つの不等号を示す。 X+内の有限列x = x0, x1, . . . , xk = y を任意に与え、S = ∑k i=1ρ(xi−1, xi)とするとき S ≧ d(x, y)またはS ≧ δnとなることを示せばよい。すべてのiに対してxi ̸= ∞なら、 S = ∑ki=1d(xi−1, xi) ≧ d(x, y) である。あるj に対してxj = ∞であるときは、その ようなj で最小のものをとれば、主張2により、S ≧ ∑ji=1ρ(xi−1, xi)≧ d+(x0, xj) = d+(x,∞) ≧ δnである。
主張2, 3により、x ∈ Kn, 0 < ε≦ δnのとき常にBd(x, ε) = Bd+(x, ε)である。よっ て、任意のx ∈ X に対して{Bd+(x, ε)| ε > 0} はxのX+ における基本近傍系である。 また、x∈ X \ Knのとき、 Bd+(∞, δn)⊂ X+\ Kn⊂ Bd+(∞, 2−n+1) である。実際、主張2から直ちに左の包含関係が得られる。また、x∈ Km\ Km−1 とな るようにm > nをとればd+(x,∞) ≦ ρ(x, ∞) = 2−m+1 < 2−n+1 であるから右側の包 含関係も得られる。よって、{Bd+(∞, ε) | ε > 0}が∞ のX+ における基本近傍系であ る。これで、d+が求めるX+上の距離となっていることが示された。 X = (X, d)が固有な距離空間である場合、つまりdに関する任意の有界閉集合がコン パクトである場合は、より構成的な証明ができる。実際、一点0∈ X を固定し、Knを閉 球体Bd(0, n)とすればよい。もちろんこれで問題ないが、その場合、証明中の ρ(x,∞) の値が離散的（2−n の形）になるのは少し不自然である。そこで、固有距離空間の場合は この証明のρの定義のうち、無限遠点∞に関する部分を修正して ρ(x,∞) = ρ(∞, x) = e−d(x,0) とした方がよいかもしれない（指数関数の底をeにしたことの理由は、あとで説明する）。 このρをもとにd+ を同様に定義しよう。このとき、主張1に対応して次が成立する。 主張1′. x∈ Xのとき、任意のy∈ X に対してρ(x, y) + ρ(y,∞) ≧ e−d(x,0) である。 この主張が成り立つのは、任意のs, t ≧ 0に対してe−s ≦ e−(s+t)+ tであることによ る。この不等式が成立するような指数関数の底で最大のものはeである。これが、eを底 に選んだ一応の理由である。 主張 1′から、主張 2の証明と同様の議論で、x∈ X に対してd+(x,∞) ≧ e−d(x,0) を 得る。しかし、d+(x,∞) ≦ ρ(x, ∞) = e−d(x,0) なのであるから、 主張2′. x∈ Xのとき、d+(x,∞) = e−d(x,0) である。 さらに、主張3の証明とまったく同様にして、 主張3′. x, y∈ X に対してmin{e−d(x,0), d(x, y)} ≦ d+(x, y)≦ d(x, y)である。 主張2′, 3′ から、次が得られる（固有距離空間は自動的に局所コンパクトかつ可分であ ることに注意する）。 定理. X = (X, d)を、コンパクトでない固有距離空間とし、0 ∈ Xを任意に固定された点 とする。このとき、Xの一点コンパクト化X+ = X ∪ {∞}上の位相に合致した距離d+ で、次の条件をすべて満たすものを構成できる。ただし、以下でlogは自然対数を表す。 • 任意のx, y∈ X に対してd+(x, y)≦ d(x, y) • 任意のx∈ X, 0 < ε ≦ e−d(x,0)に対してBd+(x, ε) = Bd(x, ε) • 任意の0 < r ≦ 1に対して Bd+(∞, r) = X+\ Bd(0,− log r), r > 1 に対して Bd+(∞, r) = X+
