こまの運動に関する一考察

(1)

こまの運動に関する一考察

A Note on Top Spin

森下悦生

_*

Etsuo Morishita

We sometimes have difficulties to understand the reason why an ideal top never topples. Physicist might explain that angular momentum conserves. Students could not imagine the fact that a top spins continuously because angular momentum is constant. A pole stands still when pulled radially by many ropes, and no one doubts this. This is also the case for a top spin. Centrifugal and centripetal forces appear instead of the rope tension. In this short note, we first would like to introduce this pole-rope analogy for a spinning top. Secondary, we show that precession can be explained by several concepts. One is Eulerian and another is Feymanian. The last one is Newtonian. Euler’s and Feyman’s interpretations both base on the conservation of angular momentum. Newtonian approach shows that actually Coriolis’ force play an important role for mischievous gyro moment.

Keywords : rigid body, Euler equation, spin, top

1. はじめに

本稿は、芝浦工業大学デザイン工学科の機械力学_[1] の講義項目である剛体の運動に関連するもので、こまの運動について、従来の教科書_{[2],[3]の記述や、著者の考} えを交えて解釈してみたものである。理想的なこまが倒れない理由は、力学的には角運動量の保存則で説明される。初学者にとってはかなり抽象的な表現であり、物理的な理解に達するのは容易とは言えない。本稿では、棒を紐で周囲から均等に引っ張れば倒れないことが、こまのアナロジーになり得ることを紹介する。こまの運動で不思議なものの他の一つは、水平面内の歳差運動_{(precession)であり、オイラーによって角運動量} の保存から説明されている。ここでは、ファイマン_[3] によっても紹介されている、より直感的な解釈と、こまの微小部分に作用するコリオリ力を利用したニュートン的な解釈を併せて示す。こまの運動の理解の一つの試みであり、教育において活用できるもとと考える。

2. こまが倒れない理由

図_{1は、直立回転する眠りごまが倒れない理由を理解} するいくつかのパターンを示したものである。 (a) こま (b) 質点系のこま (c) こまのアナロジー図１回転するこまは倒れない

Fig.1 Top Spin Analogy

力学的には、摩擦が無いものとすると、図１_(a)の場合、

L I



ω

(1) なる角運動量ベクトル

L

が保存されるという説明になる。

I

は慣性モーメントの大きさ、ωは角速度ベクトルである。図１（ｂ）は、こまを質点系でモデル化して、回転に伴ってこまの各部分に作用する向心力の反作用としての遠心力が、中心軸を四方八方から引っ張っているので倒れないという理解の仕方を表している。図１（ｃ）は、ちょうど皆がひも引っ張って棒が倒れないようにしたいる状態で、こまとの類似性（アナロジー）による理解である。著者はこの説明の仕方が分かり易いと考える。

(2)

3. 水平面内定常歳差運動の理解法

図２はこまの支点０が動かないものとした場合の運動のようすを表している。ここで、gは重力加速度の大きさ、

l

は重心までの距離、

m

はこまの質量、



はz軸とこまの回転軸のなす角度、は定常歳差運動の角速度、

である。

図２（ａ）の場合は、直立して回転している場合で、眠りごまと呼ばれる。回転数が高い場合この状態に近い。図２（ｂ）は，首振り運動、いわゆる定常歳差運動 (precession)[2]を表していて、歳差運動の回転の向きは上から見たこまの回転方向と一致している。図２（ｃ）は、定常歳差運動の特別な場合で、こまは水平面内で運動する









/2



。

3.1 オイラー的な解釈

図２（ｃ）の場合、こまの軸回りの角運動量の大きさ

L 

I



の単位時間あたりの変化の大きさは図３のように

 

I



となり、この値が重力により０点回りに生ずるモーメントの大きさに等しくなることから、

 

Iω  mgl (2) これより、



I

mgl





(3) オイラーの式を用いると、ｚ軸周りの慣性モーメントをJとして、 (a)眠りごま (b)歳差運動 (c)歳差運動







/2 図２こまの運動

Fig.2 Spin Mode z 0



I 

 

I  図３水平面内定常歳差運動のオイラー的理解 Fig.3 Eulerian Mechanics

N

L

Ω

L

*







dt

d

₍₄₎ ここで、tは時間、

   

i k L I



 J (5) k Ω  (6)

 

j N mgl (7) であり、i, ,jkはこまに固定した、角速度の回転座標における単位ベクトル、*はこまに固定した回転座標における微分である。回転座標系では、

0 L

*



dt

d

(8)

 



j



N

L

Ω





I







mgl

(9) であるから、やはり（２）式の結果が得られる。

3.2 ファイマン的な解釈

次に、歳差運動をもう少し現象的に理解してみよう。似たような解釈はファイマンの力学の教科書[2]にも見られる。図４は、水平なｘｙ面内で歳差運動を行うこまを、ｚ軸上方より見た状態を表している。最初こまの先端を保持し、ついで静かに手放したものとする。その直後重力の作用で先端は僅かに下がることが予想される。こまの軸先端が下がると、こまは上から見て図４のように楕円形に見えるはずである。この状態では、こまの紙面から出る方向に回転している部分は右方に、紙面に入り込むように回転している部分は左方に移動することになる。すなわち、こまは図４のｘｙ水平面内で、ｚ軸周りに、時計回りの捩り、すなわちモーメントを受けた状態となる。しかし、支点０は回転自由であるため、こまは反動で、逆に反時計回りに歳差運動を行うことになる。そもそもｚ軸周りに外部から加わったモーメントは存在しない、すなわちｚ軸回りの角運動量が保存されたということになる。こまの特定点_{Pは、図４点線のような螺旋状} の運動を行う。 0

x

y Ω

ω

P(t) P(0) 図４水平面内定常歳差運動のファイマン的理解 Fig.4 Feymanian Mechanics

ω _ω z mg  Ω z ω Ω mg l l 0 0 0

(3)

3.3 ニュートン的な解釈

角運動量を用いたオイラー的な説明は、数学的にも物理的にも洗練されたものであるが、ニュートン的な立場、すなわち、どのような力が作用して歳差運動が生じているのか調べてみるのは興味深いことである。質点の相対運動による理解について考える。図５のような、原点０から測って

r

₀にある、こまの微小部分の質量



m

について、定常歳差運動の角速度 で回転する座標系ｘｙｚにおける運動方程式は_[2]、







k 2w Ω Ω r Ω r Ω



w 0 0 *            m g dt d m

(10) r r li e r l r0    (11)



ksin cos j e_r   (12) r e は、こまの重心から半径方向rに向かう単位ベクトル、



は水平面から測った角度である。こまは円板とみなし、図５こまの重心_{C.G.から測って}rにおける、回転座標系内におけるこまの相対速度

w

は、









jsin kcos r ω w      r (13) また、_{xyz回転座標系において、} r r dt dw 2_e * 



(14) （１４）式は、r方向の遠心力であるが、周方向に均一のため、こま全体については相殺する。（１０）式の右辺括弧内第２項、すなわちコリオリの力がこまが重力に対抗できる要因となることを示そう。（１０）式の両辺にr₀をかけて、こま全体について積分すれば、左辺については、こま各部の遠心力による原点周りのモーメントも相殺するので、

0 w

r

0





*





m

d

_dt

(15)





ω

r



w





 

w Ω 2m 

mg

l



ω

z x y 0 C.G. Coriolis' force r

 

w Ω 2m  図５水平面内定常歳差運動のニュートン的理解 Fig. 5 Newtonian Mechanics

z 0

ω

 C.G. Coriolis' force x y mg l mgl  w Ω 2m    I gravity moment (clockwise) Coriolis' moment (counter‐clockwise) 図６重力に対抗するコリオリ力 Fig.6 Gravity vs. Coriolis’ Force

（１０）式右辺括弧内第１項の重力によるモーメントは、（４）式の

N

に対応して、

 

k

j

r

0





mg





mgl



(16) （１０）式右辺括弧内第２項のコリオリ力は





i sin 2 k cos k sin j 2 Ω 2









         r r w (17) （１７）式から、コリオリ力は図５にも示されるように、こまの上半分では手前に、下半分ではｘ軸の正方向に作用し、こまを重力によるモーメントに対抗して、引き起こそうという作用になり、大きさは（１７）式から、図６のように、

r

sin



に比例する。すなわち、その大きさは、こまの重心を通りｙ軸に平行な直線（図６点線）と、こま各部の距離に比例する。コリオリ力による原点周りのモーメントは、























sin j cos k sin 2 i sin k cos j -sin 2 Ω w 2 r 2 2 0               mr r m m (18) こまが、厚さ

h

、半径

a

の円板であれば、その密度を



、微小体積を



V

として、



r

 

r h V m     





(19) こま全体では、







 





 

j



Ω

L



2

1 j

2 j

sin

2 j

sin

2 j

sin

j

cos

k

sin

2

2 4 2 2 0 0 3 2 2 0 2 0 2 2 0































































































  

























    

I

ma

a

h

d

dr

r

h

r

h

r

mr

a a r (20)

(4)

x



mg

l



ω

z x y 0 C.G. 0 r



r Ω



Ω 0 m r 図７こまに作用する遠心力 Fig.7 Centrifugal Force

ここで、（１５）、（２０）式において、 2

2 1 ma

I 

(21) は円板の慣性モーメントである。図６のように、時計回りの重力によるモメント

mgl

と、反時計回りのコリオリ力によってこまが引き起こされるモーメントI



が釣り合って、こまの回転軸は水平面内に維持され、結局（２）式、あるいは（９）式と同じ関係が得られる。確認のために、遠心力に対応する（１０）式左辺括弧内第３項は













i cos j k sin k cos j i Ω r0



            r l r l (22)



 







2 0 j cos i k i cos j Ω r Ω           



r l r l (23) 図７に遠心力の様子を示す。（２３）式から、重心に作用する遠心力ml2は残り、支点０の反力で対抗する。原点周りのモーメントは





















i sin cos j sin j cos i sin k cos j i Ω r Ω r 2 2 2 2 2 0 0



               r lr r l r l (24) となり、こま全体については相殺する項となる。第４項は













i cos j k sin k cos j i k e i Ω r0                     



r l r l r l r (25) （２５）式はに伴う外力相当になり、図８にその様子を示す。 x



mg

l



ω

z x y 0 C.G. Ω r0 m 0 r Ω r 図８ による加速度 Fig.8 Unsteady Acceleration

原点周りのモーメントは、

















j sin cos i sin k cos k i cos j sin k cos j i Ω r r 2 2 2 2 0 0



                           r rl r l r l r l (26) 今の設定は0であるので、この項は影響しない。 0   の場合には、_{z 軸周りのモーメントが発生するこ} とになるが、定常歳差運動には対応しない。このように、コリオリ力による引き起こしのモーメントであるというような理解も可能である。静止座標系で記述しても、当然同じ結果が得られる。

4. こまの実験観察

こまの運動は数式で扱うと抽象的すぎて初学者にとって理解が困難であるが、実際に観察すれば現象は容易に把握できる。厚紙と楊枝を利用して、図９のような直径が１０ｃｍ程度の円板状のこまを製作する。図１０のように、こまが上からみて反時計回転の場合、歳差運動も反時計回転であり、自転と歳差運動の回転方向は同じである。水平面内の歳差運動を模擬するため、図１１のように軸に糸を巻きつけて、こまを手放すと、落下し始めて後、しばらくして歳差運動を観察できる。糸を巻き付けた側からみたこまの自転が時計周りであれば、こまは上から観測して反時計周りに回りながら螺旋状に降下する。

(5)

図９厚紙と楊枝によるこまの模型 Fig.9 Paper and Stick Top

Ω

ω

図１０こま模型の歳差運動 Fig.10 Top Precession

ω

Ω

図１１こまに糸を巻きつけて手放す実験 Fig.11 Spin and Precession of Falling Top

5. むすび

こまの運動は、剛体の運動として最も興味深く、また数式的に優美に表されるテーマの一つである。本稿では、まず、摩擦の無い直立したこまが倒れない理由を、周囲から均等にひもで引っ張った棒に例えるアナロジーで説明する試みについて述べた。また、こまの不思議な挙動として歳差運動が挙げられるが、この現象を理解するために、３つの考え方を紹介した。ここでは、特に水平面内の歳差運動に限ったものである。一つは、剛体の運動方程式を導いたオイラー自身の考えのように、角運動量の時間変化は、外部から加えられたモーメントに等しいことから説明するもので、物理の正攻法的な解釈である。二つ目は、ファイマンの有名な教科書にも記載があるように、回転軸が水平なこまの軸先端を静かに手放した場合、僅かに先端が下に下がることから、水平面内に本来０であるはずの回転成分の余弦分が現れ、角運動量の増減が無いはずなので、歳差運動が生じるという説明である。三つ目は、ニュートンの立場に戻り、こまの微小部分に作用する力を、歳差運動の角速度で回転する回転座標系から観測すると、重力で倒れようとするこまを引き起こしているのは、コリオリ力によるモーメントであることが説明でき、値はもちろんオイラーの方法によるものと同じである。本稿では、こまの運動について、従来あまり触れられていない考え方について紹介した。こまの運動を、ファイマン流に考えたりニュートンの立場に戻って調べるのもかなり興味深い。

参考文献

[1] 森下悦生, 「機械力学講義メモ」,芝浦工業大学シェアホルダ₍₂₀₁₅₎ [2] 東京大学応用物理学教室編, 『力学』, 東京大学出版会 (1966) [3] ファイマン他, 『ファイマン物理学 I 力学』坪井忠二訳, 岩波書店 (1979)

付録：こまの運動方程式とその解[2]

z z '   y ' y x  x ' x "  _  0 mg 付図１座標の回転 Fig.A1 Eulerian Angle

(6)

A. _{運動方程式}

付図１のような座標系について考える。今の場合、 xyzは静止座標系で、こまの回転軸はz

 



である。z 軸を



だけ回転し、xx,yyに移行し、y軸を



だけ回転させて、xx,zz

 





としたx yz 座標系がこまに付随している。こまはさらに



軸まわりに



だけ相対回転して、



座標系に移行する。こまの角速度

ω

は、



Ω k



k j k ω



 







   



  _（A1） z y x   座標系の角速度Ωは（歳差と章動に相当）、 j k   



_



 _（A2）幾何学的に、



i

sin

cos

k









（A3）であるので、



cos



k j i sin ω























  （_A4） k cos j i sin      















（_A5）こまの角運動量Lは、



cos



k j i sin cos sin 0 0 0 0 0 0 ω I L                                





















        I J J I J J （A6）ここで、Iは慣性モーメントテンソル、I はこまの回転軸周りの慣性モーメント、Jは回転軸に直交する軸周りの、原点０基準の慣性モーメントである。原点周りの重力によるモーメントNは、 j Nmgl  （A7）オイラーの方程式は、

N

L

Ω

L

*







dt

d

（A8）（_{A6）～（A8）式より、}



cos



0 cos 2 sin

























 J I   J （A9）



















_J 2cos sin _I cos sin _mglsin

J        （_A10）



cos



0 *I













dt d _（A11）本文で扱っている水平面内の定常歳差運動では、 0 , , 0 , , 0 , 0 , 2 /           



















         t t であるので、モーメントの釣り合いは、付図

x

軸周り 0 0 （_A12）付図y軸周り I



mgl （_A13）付図z軸周り _*I



₀ dt d _（_A14）で本文中に現れるものと同等である。ただし、座標の表現は異なっていることに留意されたい。

B. 定常歳差運動とその微小擾乱

0 0 0,



,





   の定常歳差運動では、（_{A10）式より、} mgl I J     2 ₀ ₀ ₀ 0cos





（A15）ここで、こまの回転軸周りの角速度



は、









ωk cos   （A16）添え字０で表される定常歳差運動からの微小擾乱





_,_, は、





₀





（A17）













₀





_（A18） 0 0



   （（A11）式より）（A19）（_{A9）、(A10)式から、微小擾乱方程式は}



_Jsin



₀



 



_I



₀2_J₀cos



₀





0_（A20）







sin sin2



0 cos 2 cos cos 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0                      J I mgl J I J  （_A21）（_{A20）式を積分して、}





  _   0 0 0 0 sin cos 2 JJ I _（A22）ここでは、微小擾乱の周期平均を０と仮定する。また、





00, の場合については文献[2]pp.178~179を参照されたい。_{(A21)式は、（A15）、（A22）式より、} 0 cos sin 2 0 2 2 0 0 0 2 _ __                        J mgl   （_A23）











Acos t （A24） 0 2 1 2 2 0 0 0 2 _cos sin                    J mgl





（A25）ここで、Aは振幅、



は位相であり、（_A24）式は章動_(nutation)



の擾乱に対応する。

C. こまの運動の厳密解

こまのエネルギー保存と角運動量保存は（_A9） ~(A11)から[2]、a ,,b cを定数として、順に、 2 2 2 2 2 2 1 cos 2 1 2 1 sin 2 1_J

_

_

_

_ _J

_

_ _ _I

_

__mgl

_

__c_ _I

_

（エネルギー）_（A26） a I

J



_sin2







cos



 _{（ｚ軸周り）} _（_A27）

b I 



（回転軸周り）（A28）（_{A26）～(A28)式より、}





₂ sincos J b a    （A29）

(7)







2 2 2 2 2 2 sin 2 sin cos 2 cos sin cJ mglJ b a J      （A30）









sin cos ___  z z （A31）とすると（_{A30）式は、}

 























0 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2                                         z z z z z z mglJ c z b z a z mglJ mglJ a cJ z mglJ ab z mglJ b cJ z mglJ z b a z z mgl c J z J z f  （A32）ここで、

a ,

,

b

c

は上式内で定義された定数、

z

₁

,

z

₂

,

z

₃ は３次方程式

f

 

z



0

の根であり、特に本稿では以下の解析解を利用する_[A1]。 3 3 cos 2 p a z 



 3 3 2 cos 2 p  a 





3 3 4 cos 2 p  a 





3

2

b

a

p

        

2

3

c

b

a

q































1 cos 3     p q



（A33）

解について、次の性質が知られている。

3 2 1 1 1z z  z  （A34）従って、章動



の範囲は、 1 2 2 1

z



z













z

（A35）（_{A32）式より、}











2 1 3 2 1

2 _z

_z

J

mgl

z

    （_A36）









_

_

_

_



_

_



z z

z

d

mgl

J

t

1 1 2 3

2

（A37）以下の定義を行う。



z z



w z z 2 1 2 1  sin  （A38） 1 1 3 1 2 2 _    z z z z k （A39）（_{A37）式の被積分関数では、}zはzに、

w

は

w

に対応しており、（_{A38）、（A39）式を用いて、}



_  _   w w k w d mglJ z z t 0 2 2 1 3 1 sin 2 1 _（A40）





_t J z z mgl w k w d w



     0 1 3 2 2_sin 2 1 （A41）

w

とzは、振幅関数_{amとヤコビ楕円関数snにより[A1]}





        _  t J z z mgl w 2 am 3 1 _（A42）













                t J z z mgl z z z w z z z z 2 sn sin 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 （_A43）



0 /

2 

2 1











z

w

z

が半周期

T

/

2

になるので、（_{A40）式より、}K

 

k を第１種の楕円積分として_[A1]、





mgl



z z

  

K k J w k dw z z mgl J T 1 3 2 0 2 2 1 3 2 2 sin 1 2 2     



 （A44）

．

D. 解の検討

D.1 厳密解厳密な定常振動解を適用する手順は、まず、こまの

m

,

l

,

I

,

J

や、回転数



などを与える。



が極値となる



0の条件を課して、







_*を与えると、（A10）式で



0の場合、



_*



₂

 



_min 、



0で



max



1 *



 であり、a ,,b cおよびa ,,b c、（A29）式より *  





 が定まる。３次方程式の解析解zを（A33）式によって計算し、z₁,z₂,z₃に対応させる。これより、（A39）式によって、kの値が定まり、従ってK

 

k と（A44）式より周期Tが定まる[A2]。各時刻におけるz が（A43）式より定まり、



も定まる。（A32）式から、 2 z が得られ、正負に留意してzが計算できる。これより



も定まる。（A29）式より、



が計算できる。



の値は（A29）の解析積分でも求まるが[2]、ここではこの値のみ数値的に求積した。 D.2 線形解線形解である微小擾乱解を解析解に対応させるのに、（A17）式において。



₀を解析解の



₁,



₂ から、 2 2 1 0



  （_A45）と仮定する。（_{A15）式より、}₀は初期条件で定まる大小２値あって_[2]、

 

0 0 2 0 0 0 ₂ _cos cos 4





J mgl J I I     （A46）ここでは、厳密解の条件に対応させた、小さい方の値を比較に用いた。（_A25）式で



が定まり、初期条件

 

0 cos





0



A  、





 

0 A



sin



より、

 





cos 0  0  A ,

_{ }

 

















 0 1

0

1 tan









(A47)

(8)

5 5.5 6 0 0.05 0.1 0.15 theta_theory theta_linear theta_numerical

t [s]



[de

g.

]

0 10 20 30 40 0 0.05 0.1 0.15 fai_theory fai_linear fai_numerical

t [s]



[d

eg

.]





0 s,

120 .

0 ,

6 ,

50rps

rad/s

314 ,

gcm

127 ,

25 cm,

3 ,

g

13

2 z * 2





















_T

J

I

l

m

付図_{2 解の検証}

Fig.A2 Theoretical, Linear and Numerical Solutions

で（_{A17）式が計算できる。（A18）、 (A22)式より}















    A t J J I _cos sin cos 2 0 0 0 0 0  （_A48）

















    A t J J I t sin sin cos 2 0 0 0 0 0 （A49） D.3 数値解常微分方程式（A9）～(A11)は、数値解も可能であり、４次精度のルンゲ・クッタ法を用いた。 D.4 計算例付図２に同図中のこまの厳密解と数値解、線形解の比較検証を示す。軸の質量は無視している。厳密解と数値解は概ね一致しており、線形解も良好であるが、振幅の小さい場合に限られるのは言うまでもない。付図３は、付図２のこまの重心の軌跡で、_{z方向変位} を拡大している。 max 2 z z



  の符号に対応した固有の軌跡が観測される_{[2]pp.181~182。この例では、振動振幅} は微小であり、実質円軌道である。

付録参考文献

[A1] 日本機械学会, 『機械工学便覧基礎編 A2 数学』(1986) [A2] http://keisan.casio.jp/exec/system/1169780990 0 max  z





 

0 5 max   z





 

0 5 max   z



 付図３こま重心の軌跡 Fig.A3 Trajectory of Top Center of Gravity

註：図６、付図３は_{ttp://www.rinearn.com/graph3d/にて作成。} (2015年9月9日受付) 2cm 1cm 3cm = 1g/cm^3 50rps