パターン認識における曖昧さ・主観の定量化

NII-Electronic Library Service 　 MEMOIRS

　

eF

　

S▲GAMI IN8TITVTB 　OF 　TECHNOLOGy 　 　 Vo1

．

15

，

　No

．

1

，

1980 パ

_タ

ー ン

_{認 識}

_に

_{お け る}

_{曖 昧}

_さ

・

主 観

の

定 量 化

廣

田

薫

＊

Analytical

　

Expression

　of　

Ambiguity

　and 　

Subjectivity

　　　　　　　　　

in

　

Pattern

　

Reeognition

Kaoru

　

HIROTA

＊

　　In

　

the

　

field

　_{of　pattern　recognition}

，　

there

　exist　several　unwieldy 　problems 　which 　

have

　

been

　avoided

considering 　actively ，　such 　as

　

（

1

）ambiguity

　

of

　

objects ，

　

（2）

　

8ubjec も

ivity　

of

　

ob8ervers

．

　In　

this

　

paper these　_problems 　are 　

discussed

　_positively　

ba8ed

　on　the　

following

　way 　of　

thinking

：　

All

　

the

　things　we

ean 　

interfere

　are　expressed 　

by

　

the

　coneept 　of　probability，　and 　the　cases 　we 　cannot 　

intervene

　are　unified

by

　using 　s（》called　

Fuzzy

　concept

．

　

Moreover ，

　

the

　careful 　study 　of　

these

　

problems

　Inakes 　

it

　clear　that （

1

）so

−

called　

Fuzzy

　concepts 　can 　be　derived　from 　the　notion 　of　probability

，

（

2

）whereas 　

it

　

is

　

impossible

to　

derive

　the　concep 七〇

f

　_probability　only　

from

　a　membership 　

fu

ロction 　of　

Fuzzy

　sets

．

　

However ，

　

it

　

is

shown 　

that

_（

1

_）

the

　

Fuzzy

　concept 　

is

　_equivalent 　to　the　concept 　of　probability

，　

if

，　

in

　addition 　 to　the

皿 embership 　

function，

　a　certain 　

kind

　of　countable

−

family

　of　

functions

　

is

　

given，

（

2

）there　

is

　a　possibility

of　obtaining 　excellent 　results 　

by

　the　aPPropriate 　use　of　

this

　extended 　

Fuzzy

　expression

・

1

．

　ま え が き 　パ タ

ー

ン認識や意思 決 定 な どの 分 野で は， これまで の 自然 科 学に は み ら れ な か っ た極めて扱い に くい問題 点が い くつ か存 在する。 いわゆる曖 昧さ や主 観と呼 ば れるも のが そ れで あり， これ ら を解決 し な け れば

，

これ以 上の 研 究 進 展 が 難 しい ところまできて い るようにみ うけ られ る。 こ の種の 問題に関 し て は

，

従来の確率統計の 概念 を 漠 然と用い た り，

Fuzzy

概 念の提案が な さ れ た り

，

他に も主観 確 率

・

多 値 論理

・

量 子 論 理 な どの適 用 が 試み られ て きた。 け れ ど も認識や決 定に 固有な性 格を深く掘り下 げた緻密な考 察は殆ん ど なされて お ら ず， その結 果 本質 的な結 論は得 ら れていない 。 本 論 文で はこ の点に焦 点を あ わせ， 認識 決 定に おける主 観や曖 昧 さの考 え 方か ら定 量化ま で を述べ

，

今 後の研 究の糸 口をみつける ことを 目 的 とする。 　

2

で は， 論 点を明確にする た め

，

パ タ

ー

ン認 識の モデ ＊ 講 師　情 報工 学 科　1979 年 12 月

20

日受理 ル 化 を し， 従来避 けて通っ て ぎた問 題 点 （1）対 象の曖 昧 さ （

2

）多様 性 （

3

）個 性や主 観 （

4

）知 識の進 展 を， 積 極 的 に取 りあげる必 要 性 を 述べ _る。

3

で は， 事 象が単

一

の 場 合に 限 定し， これ らの問 題 点を考 察定量 化 する。 そこ で は ， 介 入で きる場面は 全て確率概念で説明 し

，

実 際上 の 介入が 困難ま た は無 意味 な 場 面 を， い わ ゆ る

Fuzzy

概 念で集 約 する とい う新ら しい立場が と ら れ る。 これは ， 必要以上 に複雑な量を理 論に持 ち 込 まず， 現実に と ら え うる明 確 な 量のみで ， 有用 な理論展 開を可 能にするとい う意 味で， 確 率の み或い は

Fuzzy

のみ に固 執し た狭い 考 え 方か ら脱 皮し た有用 な手法である。 4 で は

，

こ の立 場の意 義 を さ ら｝こ _明確に _するた め

，

確 率 概 念と

Fuzzy

概 念を比較 する。 まず

Fuzzy

概 念は 確率 概 念から導け るこ と を 示 し， 新 らしい 考え方とい う事を否 定 する。

一

方

Fuzzy

は役に 立たぬ とい う従来の批 判に対 して， メ ソバ

ー

シ ッ プ関 数の み で は

，

た し か に不 十分であるこ と を 示し， 確 率 概 念 以上 の論議に は， 漠 度 関数をは じ め と するモ ニ タ

ー

と呼ぶ 関 数の組 が 必 要 なこ と を理論 的に示 す。 これを拡張

Fuzzy

表 現と呼び， 観点は異な る が，

一 25 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

相 模工 業大学 紀要　 第

15

巻 　第

1

号 理 論 的に は確率 表 現と等 価 なこと を示す。

5

で は， 複 合 事 象の場合の_演算につ い て， 局 所情報を適宜取り入 れて 大 局情報を 中 心に考える とい うパ タ

ー

ン認 識の原 則に従 っ て確率表 現に よ る定 量 化 を する。 最 後に， これ を拡張

Fuzzy

表 現で と ら え る手法を述べ， 今後の

Fuzzy

研 究 の活 路 も与え る

。

2．

パ タ

ー

ン

認識

の モ デ ル化と

問

題 点

　

議 論の論 点を明 確にするため， パ タ

ー

ン認識の

一

つ の モ デル _を述べ ， そこ に存 在 する問 題 点を指 摘 する。

　

情報 科学で は_認識 を， 「扱 うべ き対象と， それ らを観 測 する認識主体が存 在し， 主 体が その対 象 を 観 測 す るこ とに よ り

，

自 己の_内部にその情 報モデル を構 築 するこ と。」 と定義 する 1） 。 こ こ で は人 間 が認識 主 体で， 手 書 ぎ 文字を観測対 象と し て

，

自分の持つ 交字の_{知 識}に基づ き

，一

つ の_情報モ デルを構成 するパ タ

ー

ソ_{認 識}の場 面 を 考察 する （図

1

参照 ）。 　構 成された情報モ デル _{が 明 確 な も}の であれ ば， 具体 的 に文 字が何か を識別できるこ と になるが， 現実に は暖 昧 な情 報モ デル の場 合で さえ も， 何 等か の手法で処 理をす るのが 普 通で あ る。 以 上の状 況で， 非 常に扱い に くいが 避 けて通 れ ない。 次の本 質的 問 題 点が存 在し て お り， こ れ ら を 理論 的に_解明 する こ と は， 研 究 進 展に極め て 大 き な効 果を 及 ぼ す もの と考え ら れ る。 旨 （1） 扱う対 象 の性質に， 真偽の 二値のみで は説明で 　 　 　 ぎぬ暖 昧さが存在 する。 　 （

2

） その_暖昧さも，

一

般 的に は多 様 性に 富ん だか な 　 　 　り複雑な もので あ る

。

　 （

3

） 認 識 主体の_側に も， 主観や個性と称 する複雑か 　 　 　つ 多 様 性に富ん だ ものが 存在し， 個 々 の主体に よ 　 　 　り構造にい くらかの_{差 違}が存 在する。 　 （

4

）　主観や個 性は， 過 去の経 験 な どに よっ て形 成 さ 対 象

6

主 体 　

− − 　　　　　ロ　

り

i

回 團

i

L

＿＿＿＿＿＿＿＿＿一

」 情 報モ デル 図

1

パ タ

ー

ン認 識の

一

モデル 　 　 　れ る が， 学習や忘却とい う時間 的変化

，

い わゆる 　 　 　知識の_進展 が み ら れ る

。

　これ らの 扱い に くい 問題点を 既 成の 手法のみで扱お う とすると

，

確 率 統 計の理 論に従 うこ とに なろ う。 こ の 観 点か ら， ベ イ ズ決定理論な どを は じ め とする統計的 手 法が， パ タ

ー

ソ認識の場面にそっ くり導入 さ れ ， 基 本 的 に _ある程度 良好な 結果 を 得て い る。

一

方で は

，

近年

LA ．

　

Zadeh

に より，　

Fuzzy

概 念 が 提案され 2） ， その応 用 も試みられてい る。 け れ ど も， い ず れ も完全 な 結 果 を 得 る 迄 に は 至 っ _{て お ら}ず

，

_そ の大 きな原 因とし て ， 認 識 とい う問題が持つ

一

連の特有な性 質を 十分に考 慮し た緻 密な考 察 が 行 なわれてい ない こ と が あ げ られる。 これ ら の問題 点を， ま えが きで述べ た 立場に よ り逐次解明し て い く。

3．



_単

一

_事

_象

_{の 評価} 　

3−1．

曖 昧 さ と主 観の定量化 　最も簡単 な 場 合 とし て， 事 象 も評 価 者 も， 共に単

一

の 場 合を考える。 例えば 図 1に おい て

，

主体 が ある

一

_人の 評価者であり， その人 が 与 え られ た 文字が a か否か を判 定 する場 面 な どを考 え れ ばよい 。

　

こ の場合

，

その 事 象が真な ら 1

，

偽な ら

0

とい う二値 定 量 化は よく行わ れ る。 けれ ども， パ タ

ー

ン認識固 有の 問 題と し て曖 昧さが あ り

，

どちら と も決め かね る場合も 多い （曖 昧情 報モ デル の確立）。 そこで

，

多様 性も考慮 し て

，

曖 昧 さの程 度 を 【

O

，

1

】 実 数 区 間で表現し， 1に 近い ほ ど真らし _く， 0に_近い ほ ど偽らしい と考 える こ と にする。 （こ の定 量 化は，

Fuzzy

のそ れと同

一

である。） 　しか し， 問 題は これで解決するほ ど単純で は な く

，

曖 昧さの程 度 を 示 す 数 値 が

一

義 的に決ま る と は 考 え に く い 。 はっ きりa と わ か る文字に対す る評 価値の

1

や， 逆 の場 合の_評価値の

0

は確 定 するか もしれ ないが， 曖昧な 場合は， 仮に

80

％ 程 度a らし い と い うことで

，0 ．

8

と 評 価 し て も， し ば ら く後で 同

一

の文字を

0 ．

7

と 評価 する こ と は よくある。 実際の アγ ヶ

一

ト調 査で は， 同

一

被験 者の同

一

対象に 関する二 回 の評価 値が

0．

8 か ら

0 ．

2

と い うように， 反 転する こ ともしば しば あ る。 従 っ て， 曖 昧さの_評価値は， 確 定 的な もので なく複雑 な 要 因で変動 する もの と考 える のが自 然であろ う

。

そ こで各 要 因ω _を パ ラ メ

ー

タ， またその全体をパ ラメ

ー

タ空 間 と呼 ん で

9

＝ ｛ω｝_と記 すこ とにす れ ば， 各パ ラメ

ー

タω に ［

0，1

】 評 価値 μ（ω）_を対 応 _{さ せ る}。

一 26 一

NII-Electronic Library Service パ _タ

ー

ン 認 識にお ける曖 昧さ

・

主 観の定量化 （廣 田　薫） 　 　 　 　y ：fl

−一

→ ［

0

， 1】 　 　 　 　w 　 　 　 w _（

1

_） 　 　 　 　ω _ト→ 　P （ω） なる写像μに よ り， 瞹 昧さを 定 量化するこ と がで きる  こ こで 各 評 価値 μ（ω）_は

，

パ ラメ

ー

タ ω が変わ る ごとに 変 化を す るラ ソ ダム変 数で あり

，

どの パ ラメ

ー

タがどの 位 頻 繁に用い ら れ る か は， 確率密 度関数

P

（ω）

　　　　　　

1

。

P

（・）

d

・

一

・_・

P

（・）_{・ ・}

　

（・） に よ り表現されるもの と す る

。

また ， 各パ ラ メ

ー

タ ω を

，

我々 の心の 中に 形 成さ れ た

．

つ の判断規 準に対応 す るもの と考えれば，

P

（ω）は

，

その判 断 規準 を どの程度 好んで用い る か とい う， 我 々 の癖を示 す 指 標 と考 え ら れ， 個性や主

観

を 反 映す る もの とい え る。 μ（ ω）は， 試 行 の た びに （例 え ば 文字が提示 されるた びに）値が変わ る ラ ソダム変 数と して とら え られる か ら

，

い くつ か の_{統 計} 量 が 定 義 され る

。

例えば， 平 均値

　　　　　　　

E

【t、】−

1

_μ（・）

P

（・）

d

・

　 　

（

3

｝ 　 　 　

●

9 ぽ

，

我々 がその事象の 曖 昧 さに 関して持つ 第

1

情報を与 え， ま た分 散

　　　　　

・

1

_・亅

一

1

。 （・（・_）

−

E ［_・・］）2P （・）

d

・ （・） は

，

我々 がその 事象を評 価 する際， どの程 度の確 信を持 っ て （或い は 再現性を持っ て） 判断し てい るか を 示す第

2

情報を与 えるもの と解 釈で きる。

　

実際に は，

9

や

P

（ω）は， 評価者の心の 中に潜 在 する ものであり

，

通 常 その_{構 造}は未 知で， 推 定も殆ん ど 不 可 能であろ う。 けれ ども

，

認識の場 面で 重 要 なのは， 仮定 された

9

や

P

（ω）の 推定で は な く， い くつ かの μ（ω） の標本値そ れ 自身， 或い はそ れ らを もと に推 定 し た平均 や分 散 な どの値であ り， これらの量 が 具 体的処理 にど う 用い ら れ るか の_{解 析}である。

　

3−

2

．

複数 評 価 者に お け る パ ラメ

ー

タ 空聞

　

議 論を や や

一

般化し て

，

評 価 者が複 数の場 合 を考え る。 具体 的に は

，

図

1

で複数の評 価 者が提示 された文字 を a で ある か否か を 判 断し

，

評 価 者集 団と して統

一

見解 を出 す 場 合などを想 定 す れ ばよい

。

↑ _{あ る} 対 象

X

上の

Fuzzy

集 合は μ：

X

→ _［

0

，

1

］なる 対 応づ けで定 義さ れ る

。

こ こ こ で は， 対 象が単

一

_な

　

の で

X

は 唯

一

つ の要 素か ら成る。 （

1

）の

9

は対 象の

　

集 合で な く

，

認 識主 体の 判 断 規 準集合で ある か ら， 　

Fuzzy

集 合 と誤っ て解釈し て は い け ない_。 　この場 合は

，

パ ラメ

ー

タ空 間 9 を， 判 断規準の集 合 θ

＝

｛θ｝ と， 評価 者 集 団

A

＝ ｛α｝の直 積 と考 え る。 　 　 　 　9

＝

θxA 　　　　　　　　　 （

5

） 各 評 価 者a は

，

判 断 規 準 集 合θ を持ち， 評価者a の規 準 θ に よ る評 価 値は ， （

1

｝の代 りに次の対応 μ（θ

，

a）で表 現さ れ るこ と に な る

。

　　　　　　

μ：

9 ＝

θ×

A −

→ ［

O

，

1

］ 　 　 　 w 

，

 w_（

6

_） 　 　 　 （θ

_，

α）「

一一

→ _μ（θ

，

α） 評 価 者αが， u 規準θ を選 好する確 率 密 度 も （2）の _代りに

　

　

　

　

　

　

1

。 ・（・

1

・）・・一 … （・

1

・）・ ・ （・） なる P （θ

ia

_）を 用い るこ とになる。 ま た

，

評価 者 集 団

A

＝ ｛α｝の中で

，

_特定の評価 者α _が選 好_され る 確 率を， 密 度 関 数の_{形 式}で

P

（α）と記せ ば，

　

　

　

　

　

　

1

！

（繭 一 … （・）・ ・

　

（・） と与え ら れ る。 （実 際は，

A

は有限集合

A

・＝｛αba2

，

… ，

a。｝で あり

，

Σ

P

。_i＝

1

，　Pai≧

0

なる総 和形式 表示できる が

，

本 論 文で は 積 分 形式で 統

…

して い る 。〉 する とθと a の_{結 合}確 率 密 度

P

（θ

，

a）は

，

　　　　　　　

」

P

（θ_，a_）

＝

」

P

（θ

1a

）

P

（α）

　　　　　

（9） で 与え ら れ ， パ ラ メ

ー

タ空 間 ρ

＝AX

θ の確 率を与 える ことが （

7

）， （

8

）より

』

P 贓

盛

；

盤

P 伽 ）

d

”

lda

＝ 1

｝

a

・・ を み たすこ とか らわ か る。 な お評 価 者 集 団A に よ り， θ なる判 断 規 準が 選好さ れ る確率 密度

P

（θ）は

，

　　　　

・（の

一

〜

・（… ）

d

・

一

〜

！

（・

1

・）・（・）面 （・・） で_与え られ， （

10

）より

　

　

　

　

　

　　

1

。 P （のd・

一

_{… （の}・・

　

（・2 ） を み たす。 さ らに 判 断規 準θを とる評価 者がα である確 率密 度

P

（α［の は ，

Bays

の定理 よ り， 　 　 　

P

（α

1

θ）＝ P （θ

，

α）！

P

（θ） で 与え られ， （

11

）よ り次 を みたす。

　

　

　

　

　

　

1

！

（・

1

のd・

一

・

，

・（・［の・・ （

13

） （14）

　

なお 以 上 の パ ラメ

ー

タ空 間 9＝ θxA の確 率の 議 論 で

，

現 実に与えられ るのは，

A

に おける

P

（α）のみ であ り， 他は 理論の便 宜上仮 定さ れ た もの で ある こ とに注 意

一 27 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

相 模工業大学 紀要　第

15

巻　第

1

号

t・

雪 を する必 要がある。 　

3−3．

モ

ー

メン ト解析 　前 節の単

一

事 象 複数評 価者の場合につ い て

，

パ ラメ

ー

タ空 間 ρ＝ θ×

A

の確率を 用 い て モ

ー

メ ソ ト解 析を す る。

　

評 価 者a のその事 象に 関 する評 価の平均 値と分 散は，

　

　

　

　

　

E

【・（・ ・）

i

−

！

。・（ ・

・

の・（

el

・）

de

（・

5

）

　　

・_［・（・ の

1

−

∫

。（・ （… ）

− E

［・（  α）］）2P （・

1

の

d

・ 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 （

16

｝ で与 え られる。 ま た， その事 象に関 する評価 者集 団

A

全 体の平 均値と分散は

　　　

E

【・

1

−

∬

。 μ伽 ）・（… ）

d

・面

　

　

　

　

　

一

s

’

E

［u（

・

・

α）】

P

（α）

d

α ・_［・

1

−

∬

。 （・伽 ）

一

・回 ）2P （e・の伽 （17） （

18

） （

19

）

　

　

　

　

一

1

。

　

v 【・（

・

・

の エ

P

（・＞

da

・

1

。

E

［・（

・

la ）

12

　 　 　 　　 xP （α）面

一

E

［μ

P

　 　 　 （

20

） で与 え られる。 　現 実の問題で は

，

知り う るのは μ（θ

，

a）の標 本 値お よ び

P

（a_）の分布だけで あ り， 標本値から

El

μ（

・

，　a）

1

，

yl

μ（

・

，a）】を推 定し， その推 定値と

P

（のをもとにす れ ば

，

（18）， （20）よ り

E

［μ】，

V

［μ】を推 定する ことがで きる。 　以 上 で は平 均 分 散のみ述べ た が，

一

般化は可 能であ り， 例 え ば

th

次モ

ー

メ ン ト

M

η_【 μ】や平 均値ま わ りの n 次モ

ー

メン _ト

Me

”【_μ

1

_は， 　 　 　 A　θ で与え られ るが， 難か し くなる。 　ところで n≧m とする と， あるこ と よ り 　　 　 　　 　 　

1

≧

M 肌

［μ】≧

Mn

［μ

1

≧0 を得る。 全 く同 様に 　　 　 　　 　 　

1

≧MoZm ［Pt】≧

Mo2n

［μ】≧0 　　 　 　　 　 　 　

1Mlo2m

＋i 【μ

11

≦

Motm

［μ］

　

　　

Mn

［・】

一

∬

。 ”・（・・　a）・（・・の

d

…

聯

】

一

∬

（・（e・ ・田 ・】＞ n_・ （… ）伽 （

21

） （22） n 大ほ ど意 味づけ や精 度の良い_{推 定}は μ（e， α）の値が 【O

，

1】に （

23

） （24） （

25

） を得る。 さ らに ％

一

→ 。。 _{と して} 　　 　 　 　　 　 　 　 1iln　Mo” ［μ】＝ 0 　　　　　　（

26

） 　 　 　 鷲

→

co がい え る

。

（24）

〜

（

26

）よ り， 次数n が大きいほどモ

ー

_メ ン ト の_値が小さ くな り， 極 限で零にな るこ とがい え た。 これ は

，

モ

ー

メ ソ ト の うちで も平 均値や分散 な どの低 次 モ

ー

メ ン トに 主要情 報が集 約し て い る こ と を 理論的に保 証するものであり， 現 実の意 味 との調 和 がと れ てい る

。

実際の場 面で は， 三 次 モ

ー

メ ン トくらい で，

一

次との比 が

10−

3 位になるこ とも多 く， 平均 値と分 散だけの議 論 で

，

大 部 分の情報が表 現さ れ ることも多い こ とが わか っ てい る。

　

こ こまでで，

2

節で述べ た四つ の問題点の うち， 最 初 の三つ の 解 答を与えた ことに なる。 残りの

一

つ

，

す な わ ち学習 忘 却に よ る知識の進 展につ い て は述べ て い な い が

，

その 場 合は さらに も う

一

つ の要 因である時 間

T

を加 え

，

パ ラメ

ー

タ空 間を，

9 ＝

θ×

A

×

T

で表 現し

， 5

節 で述べ る複合事 象の評 価に も関 連した議 論 を することに なる。 しか し複雑にな るので 省 略 する。 　

3−

4

．

対 象が複数の場 合 　これまで は， 扱 う対象が唯

一

つ の場合であっ たが， こ こで は複数の場 合を考える。 具体的には， 図

1

で多 くの 文字が提示さ れ る場 合を考えれば よ い。

　

扱う対 象を，

X ＝

｛X｝で あ らわせ ば， 各対 象X と各パ ラ メ

ー

タ ω _{ご と}に評価値が得ら れ る の で， （

1

）或い は   の代 りに

　　　　　　　

μ；

Xx9

−

→ _［

0

，

1

】 　　 　 　 　　 　 　 　ω　 　 　 　 u 　 　 　 （27 ） 　　 　 　 　　 　 　 （x，ω）

i

−

→ μ（x

，

ω） なる写 像を考え るこ とになる。 こ の関 係は図 2 （a｝の よ うに _あら わ せ る。 ま た， 各 対象X ご とに， 前節の モ

ー

メ ン ト解析が でき

，

平 均値や 分散は， 対 象X の 関数と し て， 図

2

（

b

）， ｛c）の ように与 え られ ることに なる。

　

こ こ で

，

従来の二値 論理と 比較する た め対象が X， y

，

Z 三個の場 合を考え る。 　　 　 　 　　 　 　 　　

X ＝

｛x

，

y

，

　z｝　　 　 　 　　 （

28

） こ の場 合， 二値論理 で は

，

扱 うべ き部 分 集 合は

　

φ， ｛x｝

，

｛y｝

，

｛z｝

，

｛x

，

v

｝， ｛v，　z｝， ｛x，　x｝， ｛x，　

v

，z｝

＝x

　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 （

29

） の

8

（＝ 23）個である_。 これ らは全て

X

か ら ｛

O，1

｝へ の _写 豫として_{表 現}できる。 例えば ｛X，

v

｝は 　　 　 　 　　 　 X（x）＝X_（y_｝＝

1

，　Z （z）＝

o

　　　　　　　（30） で， 対応 規則が与え られた写 像

X

一 28 一

1

曜

匪

一

NII-Electronic Library Service パ タ

ー

ン認識に お ける曖昧さ

・

主 観の 定 量 化 （廣田薫 ） （a） 評 価 値 _Cb）平 均 値 図

2

複 数 対 象 単

一

事 象の評 価 〔c）分　散 　 　 　 Z：

X −

→ _｛

0，1

_{｝　　　　　　　　　（}

31

_） と同

一

視で _ぎる。 （31｝を （27）と比較する と， パ ラメ

ー

タ空間 9 が 加 わ っ て い る こ と （個 性 や 主 観の考 慮 ）

，

｛

O，1

｝二 値が _［

0

_，

1

_】無限多 値に なっ て い る こ と （対 象 の曖 昧さ多 様 性の考慮）が わか る

。

その結 果， 扱 う対 象 が （

28

）の三個の場 合で も

，

場 合の 数 が 23＝ ＝

8

個_{か ら}

，

連 続 無 限に ふ えて し ま うこ とに なる。 　従 っ て ， 実 際の場 面で は， 曖昧 さや主 観 を 考 慮し た場 合， 扱 う対 象

X

を

，

単に 「ものの集ま り」 と み るだけで な く

，

その位 相構 造

，

代数 構 造

，

順序構 造な どに注

fi

し た解析が必 要になる。 パ タ

ー

ソ 認識に お い て は ， 特に パ タ

ー

ソ相互問の _{類似 性}い わ ゆ る位相構造が重要であり， 位 相 解析的 手法1）_が

OCR

_実用機の_有効な手法の

一一

つ で あ るこ と は 良 く知ら れて い る

。

4． 確

率 表 現と

拡

張

Fuzzy

表 現 （漠

度

関 数

　　

の提案） 　 単

一

事 象の表 現 を 終 えた ところで

，

本 論 文の 立 場 と意 義を よ り明確にする た め， 確 率統 計概 念と

Fuzzy

概 念 の両 面か ら考察して み る。 　

Zadeh

は

，

　Fuzzy なる概念を導入 し2） ， 個々 の事 象は 真 偽の いずれか に分れ るので はな く， その中間の暖 昧な 状態に あるこ とを 積 極 的に_捉えよ う とした。

Fuzzy

概 念 は _［

0，

1ユ実数値で_表現され， 本論文で は図 2 （

b

）の平均 値がそ れに対 応す るといえ る。 し か し

Fuzzy

概 念だ け で は， ［

0，1

］の中に確定し た唯

一

つ の値しか許さぬ ので

，

現 実の意 味と結びつ _きに くい

。

例えば暖昧さの程 度 は， 平均

0 ．

8

だが分 散

0 ，

1

程 度の変 動があるとい うよ うな ラ ソダム ネス を 入 れ ない と， 現 実 的意 味づけは不能 であろ う。 　

一

方

，Fuzzy

概 念の _有用 性 を認めぬ 立 場 の_{学 派}の メ丶達 は

，

従 来の確 率 概 念と 二値 論理 を 用 い る だ け で充分と 主 張 して譲 らなか っ た。 例 えば， 曖 昧 さの程 度

0 ．

8

は， 真 ；

1

の確 率 が

0 ．

8

で 偽＝

0

の確 率 が

0．

2

の 結 果で ある と考 え られるとい うもの である。 本論 文に おい ても， 各 判 断 規 準ω _{を， さ ら}に 分 割して考 えてい けば， 究 極 的に は

1

と

0

の 二値 と確 率 分 布のみで の議 論 もで きる。 こ の 意味で は， 本論 文で も

Fuzzy

概 念が従 来に なかっ た全 く新らしい 内 容の概 念とい うこ とを 否 定した こ と に な るe 　し か し， 認 識の場 面で 重 要なのは

，1

の確率

0．

8，0

の確率

0．

2

とい うよ うな 0と1の_値し か と ら ぬ評 価い _う もの ではない。 直接と ら え得る の は

，

0 ．

8，0．

75

或い は

0．

85

とい う変 動 を 伴っ た ［

0，1

】の _中間値で_ある

。

従っ て 0

，

1 の 二値に な る ま で判断 規準を 分 割 するの は無駄 で あ り， 議 論 を 複 雑にする だけで ある。 本 論 文では， こ の観 点か ら， 思 考の原 点を ［

O，

　

11

の値をとる μ とパ ラ メ

ー

タ空 間ρの確率

P

におき， 介 入で き る場 面は全て確率 概 念で

，

実 際上介入 が困 難 或い は 無 意 味な場 面だけを

，

い _{わ ゆ る}

Fuzzy

_{概 念}で集約 す る とい _{う立場を取}っ た_。 これに よ り

，

必要以上に_{複 雑}な量を 理論 体 系に持ち込 む 必 要 が な くな り

，

しか も実 験 的に捉 え うる明 確 な 量 だ け を 基 礎に し て， 有 用 な 理 論 展 開 を 可 能に し た。 こ こ に ， 確率だけに 固執 し た 世 界 か ら脱皮 し よ う と す る考え方の 芽 生え が存 在するとい えよう。 　 本 論文で は， パ ラ メ

ー

タ空間

9

の確 率

P

（ω）と

，

対 象

X

とパ ラ メ

ー

タ空 間 9 の直 積か ら ［

0，1

】へ の写像 μ（X

，

の （以 下これ を 定 義 関 数と呼ぶ）の二つ が 基 本で あ る が， その別な表 現も可能である

。

簡 単のた め， しばら くは 瓢_を

一

つ 固 定 して考 え

，

省 略し て記 すこ とに しよ う。 実 際の場 面で重 要なのは， 評 価 者が誰かとか， どの 判 断 規 準を用いたか で は な く，

0．

7

とか

0 ．

8

とい う評 価

一

₂₉

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

相 模工 業大学紀 要　 第 15 巻　 第

1

号 P（ω）

tt

．

・

．

．

も

』

層

　 　 tt 一

fitV

）

　　　　　　　　　

　 　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

tL 　 　 　 O　 　 　 　 O

，

5　 　 　 　 　1 図 3 定 義関数μ に よ る パ ラメ

ー

タ空間

9

の _［O_，11 　 　 　 表 現 値 自 身である と考え

，9

の構 造は考え ぬこ とにする と

，

（1）で_{与え ら}れ る定 義 関数μに よ りパ ラメ

ー

タ空 間

9

を 【

0

，

1

】に移して考え られる

。9

上の確率 密 度

P

（ω）は， μ に よ り 【

0

， 1］上の確率 密 度

f

（α）に移され

　　　　

　　　　

f

（・_）

d

・

一

∫

．

P

（・_）

dw

　 　 　 　　 　 　

P ＝

｛ω［α_≦μ（ω）〈or 十

da

｝　　　　　（

32

）

　　　　

1

：

f

（・）

d

・

一

∫

。P （ ・）…

＝

・_・　

f

（・）… 認 ） と与え ら れ る （図 3 参照）

。

こ の立 場 で は

，

全ての情 報 が ∫（a）で表現されるこ とになる。 またモ

ー

メ ン トも， 次式に よ り保存さ れてい る。

　

　

　

1

：

・mf （・）

d

・・

　

・

・

：

　

」

。

　

P （ ・剛 ・）

d

・ −

Mm

［_”］ こ こ で，

f

か ら p へ の変換

　

　

　

　

　

　

　

　

9 （の一

∫

：

e…

f

（・）

d

・ を考えれば， 逆変 換が存 在し て

　　

　　　

　

ノ（・）

一

（・

1

・・）

∫

二

e

−

・’・_・（

t

）

dt

（

34

｝ （35 ） （

36

） で与えられ， ノと

g

の対 応は

1

対

1

である。

一

方，

　

　

　

　

　

　

　

　

響

L

司 一 i・

Mn

［P ｝

　

（・・_） なる関 係 が， （

34

）に よ り成立 し， さ らに p（t）は常に

　

　

　

　

　

　

　

・（の一

罍

。

斎

蠅 が

　　

（

99

） と，

Taylor

展 開が 可 能になる。 また， こ こ で級数を 中 途で 打 ち 切 れ ば， 例えば n ＝ ・

2

まで で打ち切る と

　　g

（t）

＝

＝

1

十

i

五」【

Pt

］t

−

（

112

）M2 【μ】ti→

−

o（t2）

　　　

＝ （

112

）｛（

1

十

iE

［ge】t）2｛

一

（

1− V

［_μ

ltt

）｝十〇（

t2

）

　

（

39

｝ と近 似 表 現 される。 （

38

）に よ り全ての モ

ー

メ ン トを与 え れ ば， g（

t

）が 再現できるので， ∫（α｝の持つ情報と全 ての モ

ー

メ ソ トの持つ 情報 が 等 価 なこ とがい え た。

　　　　　　　　

（μ（ω_｝ ，

P

（ω）〉イ （α＞

　　　

e _｛亙_レ亅 ，

1

匠 2 回，

M3

［F］，　M4 ［Pt］，

…

｝

　　　

÷ →｛

E

［P 】 ，

　

レ 「 ［μ

1

，

　

Me3

［μ

1

，

　

Mo4

［μ】

，

　…

　　

｝

　　

　

（

40

＞ 　以上 は， 対 象 X を

一

つ 固 定した議 論だ が， 全て の対象 毎に_議論 が 成 立 する の で， 　　 　 　 　　 　（μ（x！ ω〉

，P

（ω））→

f

（x，α）

　　

H _｛

E

_［μ（x

，・

）

LM2

レ（m

，・

】

，15fa

［幽 ，

・

＞

L

…

｝ 　 　 　 （

41

） を 得て， 各 対象の毎の全て の モ

ー

メ ソ トを与え ること が 等 価な表現であるこ とが わか る （図

2

（

b

）， （c＞参照 ）

。

し か も

3−3

で述べ た よ う に

，

重 要 な 情 報は， 平均や分散 な どの_低次モ

ー

メ ン ト に_{集 約}して い るこ とが わ かっ てい る。 （

f

（m，α）は

，

各 毋 毎に α にっ い て ［

0，

1】上の確率 密度 関 数・あ・・ （

1

：

f

（・，・）

d

・一 ・

・

ノ（・… ）・ ・

Z

・

d

・

h

・ ・・…

一

・uzz牒 合 論で・， ・≦

f

（・， ・）…

1

：

f

（・， α）

d

α≦

1

とな る の で

，

こ の観点からは表 現不十 分で あ り

，

情 報 が不足 し て い る とい えよ う。） 　 以上で は， 確 率の観 点か ら各対象 X ごとのモ

ー

メ ソ ト を導出し た が， 逆に最初に適当 な 条 件の もと で

　　　　　

｛m _（x_）， mE _〈x_）

，

　M3 _（x_）

_，

　ml _（x_）

，…

_｝

　　

（42） なる ［

0，1

】の_値を とる関数の_組を与えて， 各 対象x ご とに

一

つ の確率分 布 を導出 する ことも 可 能で あ るt。 こ の立 場に 立っ たと き， （

42

）の関 数の組を モ ニ タ

ー

_と呼 び m （x）を級 格関数 （membership 　

funetion

），

　　　　　　

v_（x_）ニ M2 _（x_）

一

_（m （x_））2 （≧

0

）

　　

（43｝ を漢度関 数 （vagueness 　

function

） と呼 ぶことにする。 こ の m （x）は， Zadeh の い う

Fuzzy

集合の メ ン バ

ー

_シ ッ プ関数その ものであり， 曖 昧さ と主 観に 関 する第

一

_情 報を与 える。 しか し m （X）のみで は， 現実に有 用 な 情 報 の幾つ かを減 殺する結 果に _なり， 少 くと も第二情報の漢 度 関 数 V（X）を 積 極 的に用いぬ と有用な議論は で き ない _。 従来の

Zadeh

の理論が， 現 実を う ま く反 映で き ず， 批 判 も多 くきかえ る原 因は， こ の点に難 点が あっ たか ら と い え よ う

。

　

こ こ で （μ（X

，

ω_）

，P

_（ω_））に よ る表 現を確率表 現 ｛m （X）

，

m ！ （x）

，…

｝のモ ニ タ

ー

に よ る表 現 を， 拡 張

Fuzzy

表 現

と 呼 ぶこ と に す る

。

Zadeh の

Fuzzy

_{概 念}も

，

拡 張

Fuzzy

†

その 必 十条 件： （23）相 当 の 単調性， （

42

）に よ る 　（

38

）相当の 式 p （t

，

x）が tの 正 定 符 号 関 数， ψ（t

，

x）

　

≡

P

_（

一

励

，

X_）がtの 単 調 非 減少， の 三 条件。

NII-Electronic Library Service パ タ

ー

ン認識にお ける瞹 昧さ

・

主 観の 定 量 化 （廣田　 薫 ） 表 現に よ り修正す れば， 確 率 概 念 と 同 等 以 上の成 果 が 期 待で きる こ とを， 理 論 的に保証 し たこ とに なる。

5

．

_複合事象

の評 価 　

5−1，

判断 規 準の多様 性

一

大 局 情 報 と局 所 情 報 　これ ま で は

，

単

一

事象のみ を考え た が

，

以下では複 合 事 象の場合に拡張 し て考える。 例 え ば， 図

1

の例で ， 提 示 さ れ た文字が， ra か ま た は

b

か ？」 とか ， 「前に

b

が 提示 された こ と を知 っ て， 提示文字が a か ま た は

b

か ？」 な ど を 想起す ればよ い 。 　し か し， 事 象が複 雑に な ればな る ほ ど

，

我々 の判断 は， 二 値論 理的な単純明快な もの では な くな る

。

例え ば， ある観 点か ら｝t　a らし く， 他か らは

b

らしい とい う 両 立 しない 評 価， a よ り

b

らしく，　

b

よ りc らし く， か つ c よ りa ら しい とい う三 段論 法 （或い は推 移 律 ）の不 成 立 な ど， 例 を あ げ れば際限 が ない 。 　本 論 文で は

，

これ ら をパ ラメ

ー

タ空 間ρに よ り解決す る。 各パ ラメ

ー

タ毎に

一

つ の 判 断 規 準 が 対 応 す る と考え るこ とに よ り

，

全 体と し て非 常に多 様 な 判 断が可 能にな る。 個々 の判 断 規準問には ， 上 述の矛 盾 も生 じ う る が， 確 率 密 度 関 数 P （W_）に よ り調和が保た れ るこ とに なる

。

次に _{判断 規 準}の _{多様 性}を 考察し よ う。 　 確 率 統計手法で は， 平均 値か らの全体のずれ を最小に す る平 均自乗誤 差最小 とい う

，

平 均 値 操 作 重 視の評 価 規 準が よく用い ら れ る

。一

方

，Fuzzy

集 合 論で は， 複 合 事 象の基 本 演 算は max 　min で _あり， 各対 象ごとの最 大最 小 を 重 視 する。 　具 体 例 として， 文字パ タ

ー

ソが 二変 数 関 数

f

（X

，

y）で 表 現さ れ た とし よう。 こ の場 合， 二つ の文字パ タ

ー

ン

f

とgの間の距 離が重 要に な る。 例えば

，

　　　　

d

・（

f

・・9）一

∬

lf

（・… ）

一

・（・

・

y

）肋 （

44

）

　

　

　

d

・（

f

・

・）

一

・

∬

（

f

（… v ）

一

・（… z）） 2d ・

d

・・’f2 （45 ） な ど は， 平 均値 操 作 重 視によ る距 離であ る。 他 方 　 　 　 　 　

d

．（

f

，

9 ）

＝

max げ （x

，

　Z）

−

9（飭 z）

1

　 （

46

） は

，

  x 演 算 を 重視し て構 成さ れ た 距離尺 度で ある。 これ ら はい ず れ もよ く用い られてい るが， 各々 の尺 度に は くせ がある。 例えば，

f

と

g

の差が

一

_{様に εとい う小} さ な 値 な ら，

d。

。

で は差が εと小さい が， 必 や ゐ で は 大 きな差を生ずる。

一

方， ノと

g

が

一

_{点で大 きく異 な り} 他で は

一

致して い る場 合は，

dlS

？　

d2

で は差は零で ある が，

d．

で は 大 き な 差 が 出て事 情 が 逆になる

。

　

一

般に

，

平均値 規 準は

，

全体の意 見を

一

様に と りあげ る多数 決原理につ _なが り， 逆に各点ごとの max は， 少 数で も優れ た もの は重 視 する と い う少 数 意 見の尊重 に つ な がる。 パ タ

ー

ン認 識で は

，

多数 決 原理 は大局情報に よ る 評 価， 優れ た少数 意 見は 局所 情 報とお きか え られるQ 大 局 情 報 を 中 心に して

，

局所 情 報 も取 り入 れ る とい うこ と は

，

パ _タ

ー

_{ソ認 識の 大 原 則であり} ， 本論文の確 率を基 盤に し て

Fuzzy

概念 も 適 宜 取り 入れ る と い う方 針と

一

一

致する

。

以 下で もこの _{方 針}で解 析をする

。

　5

−

2

．

複合事象の基 本 演算

一

確 率表現 　｛0，

1

｝二値 古典 論理に おい て， 二つ 命題を 合 成 して腹 合命題 を作ろ う とする と， 論 理 的に は

16

通 り可 能で あ る。 （二命 題をベ ン図 表 現 すれ ば， 全 領 域は

22＝4

個に わかれ る。 各々 の領 域に

0

か

1

を 指定す る二とに よ り， 24＝ ・16 _{通 り可}能_{に な る}

。

）_その うち

，

AND と OR は

，

基 本 的か つ重要である。

AND

は， 両 者 と も真の と きは じめ て真とい う非 観 的 演 算，

OR

は 少 く と も

一

つ 真 な ら ば真 とい う楽 観 的演 算と し て特徴づけら れ た。 これ らの 演 算は ， ス イッ チ ソ グ 回路などで， 中心的役割をは たす と同 時に ， 論理学的にみ ても， 古 典 論理 を完備プ

ー

ル束 として特徴づける重要な演 算で あっ た。 従っ て， 曖 昧さ や主観の入っ た複 合 事象に関 し ても

，

これ らの 拡張概 念 の考察は重 要で ある

。

　 扱う対象をX ， パ ラ メ

ー

タ空間 を

P

と記せ ば

，

二つ の 事 象

A

と

B

は， （

27

） と 同様に， 次の定 義関 数 PtA（x

，

ω）

，

PtB（Xt ω）に よ り表 現さ れ る。 　 　 　 　μ且 ：

Xx9

　

− 一

→

　［

0

，

1

］　　　　　　　 （

47

） 　 　 　 　μB ：

X

×

9 −

→ _［

0，1

_{】　 　 　 　 （}

48

_） （

PtA

（x

，

ω）_，　peB_（X_， ω_），　P （ω_））を_，　A とB の_確率表 現と呼 ぶ

。

本 論文で は

，

評価規 準ω を 評 価の原 点 と考えるの で，

AND

の拡 張

A

∩B を，　 A とB の評仙の ・

J

・_さい ほ うを とる定 義 関 数 ttA∩B（x， ω）

　　　　

StA∩B（コヶ

，

ω）

＝

min ｛μA（x

，

ω）

，

　PtB（x

，

ω_）｝

　

（

49

_）

に よ り定 義 をし

，

他 方

OR

の拡 張

AUB

は

，

逆に

　　　

StA　_{UB （}x

_，

ω）

＝

max ｛μ遠（x， ω），　

PtB

（x， ω）｝ （

50

） で定義するこ と にする。

　

こ の定 義は， 各 判断 規 準 （局所 的 》ごとに評 価 を与え る ため

，

大 局 的 （モ

ー

メ ソ トやモ ニ タ

ー

）は安 定 し た演 算に な る。 ま た， 論理学 的にも， （

49

）， （

50

）は最 適な拡 張で _あり， こ れ をもとに 完 備 擬 プ

ー

ル 束が構成で きる 3_） 。

一 31 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

相 模工業 大 学紀要 　 第

15

巻 　 第

1

号 　こ の他に も

，

多値 ｛O， 1】に し て

，

は じ め て可能な演 算な ども考え られるが， これ 以 上の言 及は控える。 　

5−3．

複合 事 象の拡張

Fuzzy

表現 　単

一

事 象と 同 様， 複合事 象 の 場 合 も， 確率 表現 （μ4 （m_， ω）_{， μ}B（Xl ω）_，　

P

（ω）｝に対_する拡_張

FUZ2y

表 現が_可 能である

。

（以下で は， 二事 象の場合だけを 述べ る が， 無 限 事 象の場 合で も

，

任 意 有 限 個の組 合せ全てを 考 慮 す れ砕

t

’

よし

、

o） 　 4 節と同じ 立場に立て ば， 全て の情 報は， 各 対 象x ご とに次で 示 され る ［

O

，　

ll

　×　［

O

，

1

】上の確率密 度関数 ノ（x； α

，

β）に よ り表現される。 ・・一 ・・師 一

い

・

d

・ 　

D

。

＝

｛姻α≦μ4（Xt ω）くα＋

d

α

，

　 　 　 　 β≦μB（x

，

ω）＜β＋〔

1

β｝

1

：

1

：

／伽

・

β）蝉

一

！

。

P

（・）伽 一 ・

　　　　　

f

（x；α， β）≧

0

（

51

） （

52

） （

53

） （

54

） また

，

モ

ー

メ ン トも次に示 すよ うに保存 さ れて い る。

1

：

1

：

・・_βザ （_凧 β》岬

　

　

　

一

∫

。鯔 ・）_…B（… ）噴 ・）… 躍 ω 　 　 　 （

55

） こ の

f

（X；α

，

β） は_，

一

対

一

の対 応で次の g（X ； S_，

t

）に 変 換さ れ る。 ・｛・_・・… t）一

！

：

1

：

・xp （・（・・＋tβ））

f

（x・・・_…

P

）

d

・

dP

　 　 　 　（56 ）

　　

f

（…

，

β）

一

（・！・・_｝・

S

二

．

．

i

二

．

．

、・xp （

− i

（・s＋β

t

）） 　 　 　 ×_屮（x_；s， t＞

dsdt

　 　 　 （

57

） こ こで， p（x；8，　

t

）は 自由に微 分でき，

　

　

　

　

∂n

・

＋

號

i

鴇

…

語

・t）

L

＿

o

− i

−＋−

M

「inBm_（x_）

　

　

_（

58

） の関 係が得 られ， さ らに二変数

Taylor

展開が で きて， 　 　 P（x；s，

t

）

　

　

　

一

蕩÷

加

（

簍

）

雌

悔

脚 （59 ） の関 係 を 得る。 従っ て， 各 対 象x 毎に全て の モ

ー

メ ソ ト を与えるこ とに よ り， 全ての情報 が 表 現 され る

。

　

逆に考え て， ｛伽 鰡（X）｝究

．

m

−

o なる対 象X の関数の無 限 行 列 を与え， 　 　 　 n ≦n’ ， m ≦mt →

　　　　

1

＝

ml ｝（x_）≧？η置型｝（x）≧m 畳

km

’

（x_）≧

0　　　

（

60

） な る単 調性 と， （

59

） 相当の式が 8 と t　trこ つ き正定 符号 関 数であるこ と や， iP（X ；

一

画

一it

）が，　S，　

t

の単調非 減少 関数で ある とい う三条 件か ら

，

各 対象x ご とに ［0

，

1

］×_［

O

_，1】の_{確 率 分 布}を 構 成 す るこ と がで きる。 そこで， 無限関数行 列 ｛m ：

X

｛X_）｝凱

凋一

〇 を A とB のモ ニ タ

ー

と呼 び， これに よる表現 を

A

と

B

の複 合事 象の 拡張

Fuzzy

表 現と呼ぶ

。

また

，

主 要 関 数の うち

　　　　　

VAB _（x_）＝ mli

｝

（x）

−

mk

｝

（x）m

島

｝

（x_）





_（

61

_） を， 共漠度関 数 （co

−

vagueness 　

function

）と呼ぶ。 　 拡 張

Fuzzy

表現に よ る基 本演 算の表 現を， （

50

）の

AUB

のモ ニ タ

ー

｛m2UB （X）｝宥

一

1 の構 成 法に限 定 し て述 べ _{る。 （他の演 算}の表 現 も全 く同様に し て可 能で ある。） ｛  盟 （x_）｝：

，

m

＝

o な るモ ニ _タ

ー

か ら ， （

59

）， （

57

）に よ り ノ（X；α， β）なる分 布が得 られる。 これか ら，

AUB

の 分布

f

（x；γ）は

，0

≦r≦

1

と して， ・岡

一

1

：

・（・1・・

，

・

Pl

・_β・

∫

：

f

_・・・・ ・・

・

_…

d

・ ・

62

_・ に より構成され

，

求め るモ ニ _タ

ー

？n2uB （X）は，

　　　　　　

M ：・・（・）−

1

：

r ・

f

（x・γ_）

dr

　

_（

63

_） で_{計 算さ}れ る。

　

実際に は

，

全ての モ ニ タ

ー

か らでな く

，

級格関 数や漠 度関数な どの具体的な意味を持つ 関 数のみを 与 えて構 成 するこ とが 重要であ り， 例 を 示 して述べ る。 　 対 象

X

は_{実 数}で_あり， 事 象．

4

は 「

1

に近い数」，

B

は 「

− 1

に近い_数」を あ らわ す もの とする。

一

例 としてそ の確 率 表現が次式で与え られ た とする （図

4

（a）参 照 ）。 　 　

9

＝ ［0 ，

1

］×［0，1］∋ tO

　

＝（ξ，η），　

P

（（ξ

，

η））＝

1

（64）

　

PtA（x，

　

（ξ，η））

＝

｛

1

十（x

− 1

）2｝

一

1 ×［min （

1

，（x

− 1

） 2 ）

・

ξ

　　　　　　　　

十（

112

）max （

1，2 −

（x

− 1

）2）］

　　　

（

65

） 　 μB（x， （ξ，η））＝ ｛1十（x十1） 2 ｝

−

1x ［mi11 _（

1

_， （x÷

1

）2）

・

η 　 　 　 　＋（

1

！

2

）max （

1

，

2−

（x＋

1

） 2 ）

1

　 （

66

） 拡張

Fuzzy

表 現で は， 級格 関数は 　 　 　 enA（x）

＝

・

11

｛

1

十（x

− 1

_）2_｝（67） 　 　 　 MB ＠）

己1

！｛

1

＋（ec十

1

）2｝　 　 　 （68） で与え ら れ （図4（

b

））， 漠 度 関 数は 　 　 　 VA（x）

＝

（

1112

）［min 　_｛mA （x）

，

（

1−

MA （x_））｝｝2 _（

69

_）

　　　

VB_（x_）

＝

_（

1

！

12

）【min ｛mB （x）

，

（

1−

MB （x））｝】2 （

70

） で

，

共 漠 度 関 数は零と与えられる。 こ の とき

AUB

の

一

₃₂

一

NII-Electronic Library Service パ タ

ー

ン認 識 に お ける曖昧さ

・

主観の _定量化 （廣田　 薫 ） StA（x

，

（ξ

，

η｝）　（StB（x

，

（ξ

，

η））） o 0 0

．

5 1

．

5 （x

＝−

1） （x

＝−

1

．

5，



− O．

5

_） （x

＝

・

−

2

，

0》 　

3

　 （x

＝−

3

，

1｝

，

十cx） （∬

＝−

Q。

「一

トD。｝ 1_ξ（η》

一

3　　

−

2　　

−

1　　0　　　1　　　2　　　3 （a）

A

と

B

の定義関 数 （確率表現 ） （b）A と B の級 格 関 数 （Fuzzy 表 現） M

．

、 。B（x）

一

₃

−

₂

−

_{1　　0　　　1　　　2　　　3} VA リB（X）

一

₃

−

₂

−

₁₀₁₂₃ （C）AUB の級格関 数 図 4A

＝

「

1

に近い_数」， 　 　 　 〔

d

）

AUB

　の漠 度 関 数 B

＝

「

−

1 に 近い数 」

，

お よ び

AUB

級 格 関 数は， （

67

）， （

68

）のみ を 用い た

Zadeh

流 儀の

Fuzzy

演 算で は， 図

4

（c）  の 中央に不 自然な と が りを 有 するもの しか 得 られぬ が， （69）， （70）お よび共 漠 度 零 の_{知 識}ま で 用 い て

，

離 散 分布近似を す れ ば 同図   を得 る。 さらに， 全ての モ ニ タ

ー

或い はそれ と等 価な （

64

）

〜

（

66

）の確 率 表 現を用いれば

，

同 図  の双 峰 性の 滑 らか な 曲 線 を 得て， 「

1

また は

一1

に近い数」の第

1

情 報 と し て ふ さ わ しい _もの にな る。 また

AUB

の漠 度 関数は， 図

4

（

d

）で 与 え られ，

Fuzzy

演算   の恒 等 的 零で は ， 評 価の真の漠然度   を全 く反 映でぎぬが， 第

2

情報の漠 度 ま で を用い れば

，

  の よ うに_真の_値に_近い ものを 得る

。

この例は

Fuzzy

演算だけで は 不十分なこ と， 現 実に と ら え う る漠度関数ま で を積極 的に用 い る必 要性， 拡 張

Fuzzy

表 現 或い は確率表現が 自然であるこ と な ど を主 張 するものである

。

6．

　 む 　 す 　び 　 暖 昧さ や主 観 とい う， パ タ

ー

ン認 識 特 有の扱い に くい 問題に _{焦 点}をあて て， そ の積極 的 介入の必要 性か ら 定 量 化まで を

，

扱 える範 囲は全て確率を 用い ， 上際上介入 が 困 難または無 意 味の場 面 を，

Fuzzy

概 念で 集 約 するとい う新 らしい立 場で 述べ た。

Fuzzy

概念を確率 概 念よ り導 出し て新らし い概 念とい うこ と を 否 定は したが， 必 要 以 上の_{煩 雑}さを持ち込まずに理論展開の 見 通 しを 良 くする た め に， 併用 す れ ば 極め て有 効 な事 を 示 し た。

一

方， 本 論文の 手法を確 率と

Fuzzy

両観点か ら 考 察 し，　

Fuzzy

一 33 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

相 模 工業 大 学 紀 要 　 第

15

巻 　第

1

号 概 念に 本質的に 欠 けて い る漠 度 関 数の重 要 性 を 指摘し， モ ＝ タ

ー

に よ る拡 張

Fuzzy

表 現_の概 念_を提 案し た 。 こ れは， 従 来の

Fuzzy

批 判に

一

つ の解 決 を 与 え た もの で

，

理論 的に は確 率 表 現と拡張

Fuzzy

表 現は等価なこ と を 示し， 実 際 の場 面で は ， 意 味づけの 明 確 な 級 格 関 数 や漠 度 関数を逐次 用い て近 似を良 くする とい _う意味で， （修正 され た）

Fuzzy

手 法か ら， 確率 統 計 手 法に優る成 果 を 得る可能性がある_事を 理 論 的に_保証 し た 。 こ の 意 味 で， 確 率も古 典 論理のみ に固 執し た り，

Fuzzy

概 念の み で全て を押し通 そ うとする考え 方か ら脱 皮 し

，

現 実の場 面にふ さわ しい新ら しい考 え 方の芽 生 え を 示 唆し た こと になる。 　本 論 文で は， 基 本 思 想 を 明 確にする た め， 数 学 的厳密 さに 欠 けた表 現も

一

部に み られ る。 しか し， 主 張 を 厳 密 化 し た確 率 集 合 論や， パ タ

ー

ソ認 識

・

意 思 決 定へ の応 用 も， 現在研究 中であ り

，

そ れ ら も 逐 次発表さ れ， ま た は され てい _く予定である

。

）

1

） 2 ）

3

文 献 飯島泰蔵：

‘

‘

パ タ

ー

ン認 識” （昭

48

），

21，195，

コ ロ ナ社

．

L ．

A ．

　Zadeh ： ‘

‘

Fuzzy

　

Setg

”

Inf．

＆

Control

　

8

，

338−353

_（

1965

_）

．

KHirota

： t℃oncepts 　of　

Probabilistic

　

Sets

”

IEEE

　

77

　

CH

　

1269−

OSC

_，

1361−1336，

_（

1977

_）〔

New

Orleans

）

．

本 論 文に関 連 した著 者 関 係の 文献の

一

部 ）

4

） 5 ）

6

） 7 廣田 ：

“

確 率 集合論 の 論 理 学 的 基 礎 付 け” 電 子 通 信 学 会 論 文 誌， ，

79

／

2Vol 。

　

J62−D

　

No ．2，73−80．

貭 田；

“

単

一

確 率 集 合 の _{主 観}エ ン トロ ピ

ー

による 解 析

”

電子 通信学 会 論 文 誌t

’

_7912VoL

　

J62−D

No

．

2

，

81

−

88

．

Hirota

　et　al

．

_： ”

Advances



in



Fuzzy



Set



Theory

and 　

Applications

”

North−Holland

　

Publ．



Comp ．

201

−214

_（

1979

_）

．

Hirota

　et _α

1．

_：

“

A

　

Decision

　

Making

　

Model ”

IEEE

　

78

　

CH

　1306

−

OSMC

，

1348−1353

（

1978

＞

．

i