解答例 ２次数学セレクション

‹電送数学舎 2006 −−

１ [東北大・理] 領域' _{[ −[+\+≦ [+\≦より}

_{[− +\≦ \≦−[+}

領域 ' を図示すると右図の網点部となる。ただし境

界は領域に含む。

また曲線_{[ +\ −D[−\+D =に対して}

_{[−D + \− = ………＊}

すると方程式＊は中心D 半径の円を表す。

右図より実数 D が最大となるのは円＊が領域 '

の境界線[+\−=に接するときなので

₊ =

− +

D

= −

D

D＞よりDの最大値はD=+ である。

また実数 D が最小となるのは円＊が領域 ' の境

界線_{[−+\ =に接するときなので}

_{D− + = + D− =} D＜よりDの最小値はD=− である。

［解 説］

領域と最大・最小を組み合わせた問題です。円と直線円と円が接する条件の処理

がポイントです。

[ \

2

[ \

‹電送数学舎 2006 −−

２ [名古屋大・理]

ピッタリ直線 O は線分$$′の垂直二等分線より

$ 3

3$= ′となり

S− + T− = S−W +T

S+ − T+ =− SW+W

−

まとめると_{W −SW+S+T−=………①}

ピッタリ直線が 本存在するのは点$′W がつ存在するときでこのとき

①は≦W≦に異なるつの実数解をもつ。

ここで _{IW=W −SW+S+T−=W−S −S+S+T−とおくと} ＜S＜………② _{−S +S+T−＜………③}

= S+ T− ≧

I ………④ I=−S+T+≧………⑤

③より_T＜S−+

_{S− +}

T＜ ……… ③′

④よりT≧−S+……… ④′⑤よりT≧S−……… ⑤′

さて領域 ③′の境界線

_{− +} = S

T に対して T′=S−となる。

すると S=のときT′=− S=のときT′=から領域 ③′と領域 ④′の境界 線領域 ③′と領域 ⑤′の境界線はそれぞれ接する。

したがって② ③′④′ ⑤′より点3S Tの存在

範囲は右図の網点部となる。ただし実線の境界線

は含み破線の放物線上の境界線は含まない。

① の 異 な る つ の 実 数 解 をW=W W と お き

$′ W $′W とする。 $

$ ′ = W − − $$′ =W− −

本のピッタリ直線が直交することより $$′ ⋅$$′ =となり

W − W − + = WW −W+W+=………⑥

ここで①に対して解と係数の関係を用いると

S W

W+ = WW =S+T− ⑥に代入して S+T−−S+ =

よってT=となり点3S Tは[軸上に存在し

の結論と合わせて図示すると右図の太線部となる。

［解 説］

線対称を題材にした問題です。文系の類題にひとひねりが加えられています。

$ 3 $

_[ \

2 W

%

[

\

2 $

% [ \

2

−

‹電送数学舎 2006 −−

３ [北海道大・理] 条件より[≦\≦]≦……①[+\+] =……②に対して

②から] =−[−\+となり①に代入すると \

[≦ ……③ \≦−[−\+……④

− + ≦

− [ \ ……⑤ すると④より\≦−[+⑤より

₋ − [

\≧ となる。

③④の境界線の交点を$とすると [ =−[+から =

[ \=

④⑤の境界線の交点を%とすると −[+=−[−から [ =− \= ③⑤の境界線の交点を&とすると [ =−[−から

− =

[ \=−

よって③④⑤を満たす領域は右図の網点部となり

[の最大値は点$の[座標から \の最小値は点&の \座標より−である。

3 =[−\+]とおくと②より

− − − + = − + = [ \ [ \ [ \

3

これより \=[+−3となり傾き

_の直線群

を表す。

よって点%を通るとき3は最小となり最小値は

− + =− −

=

3

また点&を通るとき3は最大となり最大値は

_{+ + =} −

=

3

以上より−≦[−\+]≦である。

［解 説］

の問題文で示唆されているように]を消去すれば領域と最大・最小の典型題と なります。

2 $ %

‹電送数学舎 2006 −−

４ [神戸大・文] 3[ \を通る直線_{OW\=W[−W……①がただつである条件は①をWの方程}

式としてみたときただつの解をもつことに対応する。

①より_{W−[W+\=となり}

_=[−\=

'

よって点3の軌跡の方程式は _{\=[……②である。} ①と②の共有点は_{W[−W =[より}

_{[−W = [=W}

これより直線①は放物線②の点_{W Wにおける}

接線である。

そこでWが W ≧すなわちW≦−≦Wの範囲を動 くとき①において O\=[− O−\=−[−で

あることを利用すると直線OWの通過領域は右図の網

点部となる。ただし境界は領域に含む。

［解 説］

直線①は放物線②の点_{W Wにおける接線です。このためのヒントがの役割}

でしょうが気付きにくい部分です。もっともこの点を無視しても直線②の通過領

域は有名な実数解条件として求めることができます。

[ \

2

−

‹電送数学舎 2006 −−

５ [千葉大・理] _{& [+\−−W[+\−D=より}

_{[−W + \−W = W−DW+ ………①}

①が円を表す条件_{W−DW+＞がすべてのWに対して成立するためには}

_{− ＜} =D

' − ＜D＜

D=のとき& [+\−−W[+\−=………②

WがW＞の範囲を動くとき&が通過する領域は②をWの方程式としてみたとき

W＞の解をもつ条件として表される。

まず [+\−=……③のときW＞ の解をもつのは [+\−=……④

の場合だけである。ここで③④を連立することにより

[ \ = となり& はこの点を通過する。

次に [+\−≠のときは

− + − + = [_[ \_\

W となり

＞ − + − + \ [ \ [ _{[+\−[+\−＞}

よって&が通過する領域は右図の網点部となる。ただ

し点 以外の境界は含まない。

D=のとき& [+\−−W[+\−=………⑤

⑤が円を表す条件は より_{W−W+＞すなわちW−W−＞であり}

＞

W と合わせて ＜W＜＜W……＊となる。

まず [+\−=……⑥のときW＞ の解をもつのは [+\−=……⑦ の場合だけである。ここで⑥より\=−[+となり⑦に代入すると

_{+ −[+ − =} [ _[−[+=

しかし ' =−より実数解をもたず不適である。

次に [+\−≠のときは

− + − + = [_[ \_\

W となり

＊より

＜[_[++\_\−− ＜ ……⑧ − + − + \ [ \ [ ＜ ……⑨

⑧の左側の不等式は

_{[+\− [+\− ＞ ………⑩}

不等式⑩を図示すると右上図の網点部となる。ただし境界は含まない。

⑧の右側の不等式は_{[+\−[+\−＜[+\− [+\− [+\− − [− \+ ＜}

{

}

_{[+\− [− + \− ＜ ………⑪}

‹電送数学舎 2006 −−

すると_{[− +\−≧から不等式⑪は}

[ \ ≠ かつ [+\−＜

よって図示すると右図の網点部となる。ただし

境界は含まない。

まとめると不等式⑧は不等式⑩と⑪を連立したも

のであるのでその共通部分を領域として図示すると

右下図の網点部となる。ただし境界および点 は含

まない。

さらに⑨を変形すると

[ +\ − [+ \− ＞ [+ \−

_{[+\− [+\− − [− \+ ＞}

{

}

_{[+\− [− + \− ＞ ………⑫} すると_{[− +\−≧から不等式⑫は}

[ \ ≠ かつ [+\−＞

したがって不等式⑨は直線[+\−=の上側か

ら点 を除いた領域を表す。

以上より& が通過する領域は不等式⑧または⑨で表

されるので図示すると右図の網点部となる。

ただし境界線および点 は含まない。

［解 説］

記述量が多い問題です。ステップを つずつ踏んで図示していくだけですがかな

りの計算力と忍耐力が要求されます。

2 _[

\

2 [

\

−

−

2 _[

\

−

−

© 電送数学舎 2007 －7－

［北海道大・文］

(1) 0C : x2y24y2 , 2x2(y2)2

こ , 円C 中心(0, 2), 半径r 2 。

さ , 中 心





2

 , A( 2, 0), )O(0, 0

通 円 C1 す , 半径

2 2 1 

r あ 。

す , C C₁ 中心間距離 ,



1

d





2 _

 2

2 3 2 9 _



ま , 半径 和 , 2

2 3 2

2 2

1   

r r

, d1 rr1 , 2円C C₁ 外接す 。

次 , 中心





2

 , 2点A, O 通 円 C2 す , 半径



2

r





2 _

 2

2 3



す , C C2 中心間距離

2 2 2

d , 半径 差

2 2 2 2 2 3

2r  

r

, d2 r2r , 円C 円C₂ 接す 。

(2) C C1, C C2 接点 T , ₁ T₂ く , こ 接点以外 , C 点P 円C₁

外部, 円C₂ 部 あ ,

O AT APO

O

AT2   1

 ≦ ≦

O AT cos APO cos O AT

cos 1 ≦  ≦  2

さ , AO C₁ 直径 AT₁O90 , 0cosAT₁O

ま , C2 中心 B く , ABO

2 1 O AT2  

 ,

3 2 2 2 2 3 2 2 O AT cos

2

2   

 _r

, cosAPO 最小値 0, 最大値 3

2 2

あ 。

［解 説］

(1) 巧 誘 , (2) 形的 解くこ ます。こ 設問 , 誘 無

視し 押し通 う す , 計算 海 溺 しまいます。

C C2

C1

2 2 

2

 A O

T1

T2

2 P

© 電送数学舎 2007 －8－

［名古屋大・理］

(1) 2 接 点 T1(s1, t1), )T2(s2, t2 く , 接 線

方程式 ,

1 1 1xt y

s , 1s2xt2y

点P(x0, y0) 通 こ ,

1 0 1 0

1x t y 

s …… , 1s2x0t2y0  ……

こ こ , 方 程 式x0xy0y1… … 直 線 表 し, )

, (

T1 s1 t1 , T2(s2, t2) 通 過 す こ わ

。す わ , 直線T1T2 表す。

さ , 直線T1T2 法線ベクトル , OP(x0, y0) , 2 直線 OP, T1T2 直

交す 。言い換え , 2点T1, T2 中点Q 2直線OP, T1T2 交点 あ 。

ここ , 直線OP , k 実数 し , )

, ( ) ,

(x y k x0 y0 , 0y0xx0y ………

, ₂

0 2 0 0 y x x x 

 , ₂

0 2 0 0 y x y y 

 ,





0 2 0 0 2 0 2 0 0 _, Q y x y y x x   2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 ) ( ) ( OQ OP y x y y x x y x        ₂ 0 2 0 2 0 2 0 1 y x y x   

 1

(2) Q(x1, y1) , ₂ 0 2 0 0 1 y x x x 

 , ₂

0 2 0 0 1 y x y y   ………

(1) OPOQ1 , 1(x₀2y₀2)(x₁2y₁2) , ,

2 1 2 1 1 2 0 2 0 1

0 ( )

y x x y x x x   

 , ₂

1 2 1 1 2 0 2 0 1

0 ( )

y x y y x y y     ………

さ , 条件 , 2x0y0  , 2

2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 _  

 x y

y y x x 0 2

2 12 1 1 2

1  y x y 

x , )(x1, y1)(0, 0

す ,



 



8 1 4 1 4 1 2 1 2

1  y  

x , 点 Q 軌跡 円



 



8 1 4 1 4

1 2 2

  

 y

x

あ 。 し, 原点 除く。

［解 説］

有名 頻出問題 す。 , 点Q 2直線OP, T1T₂ 交点 あ こ 対称性

明 す , ここ 二等辺 角形 頂点 底辺 引い 垂線 足 , 底辺

中点 あ こ 用い います。

© 電送数学舎 2007 －9－

［東京大・理］

(1) )P(p, p2 , )Q(q, q2 , 線分 PQ 1: 2

分す 点R 動く範 D 点(a, b) 属す こ ,

3 2p q

a   ……… ,

3 2p2 q2

b  ………

, q3a2p…… , 代入す ,

, 2p2 (3a2p)2 3b

2 2 2

2 _{4 3 2( )}

2p ap a p a a

b     

こ ,

2 2 ) ( 2 )

(p  pa a

f , 1≦p≦1… … , 1≦q≦1… …

, )f(p 得 値 範 求 。

, 1≦3a2p≦1 ,

2 1 3 2

1

3a _p a

≦

≦ ………

さ , ap 平面 示す , 右 網点部

。

こ こ , 11≦a≦ , )f(p 最 小 値

2 ) (a a f

, ま 最大値 候補 し , )

1 (

f 3a2 4a2, )f(1 3a2 4a2





f

2 1 2

3 2 _{ }

 a a ,





2 1 3a f

2 1 2

3 2_{ }

 a a

こ , a 値 場合分け し , )f(p 得 値 範 求 ,

(i)

3 1

1 

 ≦a≦

) 1 ( ) ( )

( f f 

f a ≦ p ≦ , 3 4 2

2 2 _{b a  a}

a ≦ ≦

(ii) 0 3

1 ≦ ≦a







( )

(a f p f a

f ≦ ≦ ,

2 1 2

3 2 2 _{b a a}

a ≦ ≦

(iii)

3 1 0≦a≦





( )

(a f p f a

f ≦ ≦ ,

2 1 2

3 2 2 _{b a a}

a ≦ ≦

(iv) 1 3 1 ≦ ≦a ) 1 ( ) ( )

( f f

f a ≦ p ≦ , 3 4 2

2 2 _{b a  a}

a ≦ ≦

(2) 1a＜ , 1＜a , 右 , 満 すp 存在し い。

, (1) , D 表す不等式 ,

2 4 3 2 2 _{y x  x}

x ≦ ≦





3 1

1 

 ≦x≦

© 電送数学舎 2007 －10－

2 1 2

3 2 2 _{y x x}

x ≦ ≦





3 1

≦ ≦x



2 1 2

3 2 2 _{y x x}

x ≦ ≦





3 1 0≦x≦

2 4 3 2 2 _{y x  x}

x ≦ ≦





3 1

≦ ≦x

以 , D 右 網点部 う 。

し, 境界 領域 含 。

［解 説］

東 大 頻 出 す タ イ プ 問 題 す 。(1) 誘 く 完 答 う し い

こ す。 , (1) , い 考え方 整理す , ap 平面 方針 確

認し います。

3 2  _31

3 1

3 2 1

1

 x

y 1

‹電送数学舎 −−

９ ［一橋大］

不等式[≦\≦[_{……①の定める領域は右図の網点部である。} さて _{≦[−D+\≦より}

_{− + − − +}

− [ D ≦\≦ [ D ………②

すると②で表される領域は _{\=−[−D+ ……③と}

_{− +} −

= [ D

\ ……④のグラフに挟まれた領域である。

ここで③と_{\=[を連立して}

_{=− [−D +}

[ _[−D[+D−=

すると③のグラフが_{\=[に接するのは}

(

)

_{=D− D− =}

'

D＞から D=となる。

また④のグラフが原点を通るのは

_=−D+

D＞から D= となる。

よって領域①が領域②に含まれるDの値の範囲は

≦D≦

［解 説］

図を見ながら必要な計算をしていきます。ただ つの放物線の頂点の \ 座標はそ

れぞれ固定されておりしかも [ 座標は等しくなっています。このためD の値の変

化に伴うつの放物線の動きは複雑ではありません。

2 _[

\

2 _[

\

‹電送数学舎 −−

10 ［金沢大・理］

_{& [+\ =……①とO \=D[+……②の交点は}

_{+ D[+ =}

[ _D+[+D[=

≠

[ の解は

₊ − = D D [

②より

+ + − = + + − = DD D D \

よって

(

)

3 + + − + − DD

D D となり点3における円

①の接線Pの方程式は

₊ +− ₊+ = − \ DD [ D D _{+ = +} − +

− D[ D \ D ………③ ②において \=−とすると[=−_Dから4

(

)

③において \=−とすると

D D

[₌ −_から

₍

₎

5 − −

D

D

ここで相加平均と相乗平均の関係を用いると

(

)

45= − + = + = + ≧ D⋅_D =

ここで等号が成立するのは D= _D D= のときである。

よって線分45の長さは D= のとき最小値 をとる。 D= のとき②より直線$4 [−\+=

また 5 −から直線$5 [=

すると 4$5∠ の二等分線は直線$4$5から等距離にあることより [ \ [ = + + − [−\+=±[ 4$5

∠ の二等分線の傾きは正より \=+ [+

［解 説］

では線分45を$4$5の比に内分する点を求め内角の二等分線の定理を利

用しても2.です。

‹電送数学舎 −−

11 ［神戸大・理］

$ %− を中心とする半径Uのつの円

が接するのは外接する場合のみなので

U= U=

& に対し $&=より &を中心とする半径

の円は$を中心とする半径の円に接する。

同様に %&=より & を中心とする半径 の円は

%を中心とする半径の円に接する。

点$%&を中心とする半径Vのつの円をそれぞれ円$%&とする。

さて より V=のとき 円$%&は互いに外接し 円に接する接線は存

在しない。またV＞のときは 円$%&は互いに交わり 円に接する接線は 存在しない。またこれより円に接する直線OはV＜のときに存在する。 L 円$%の共通外接線に円&が接するとき

円$%の共通外接線は[軸に平行になり O \=V とおくことができ直線Oと円&が接することより

V V= −

V=

するとO \= である。

LL 円$%の共通内接線に円&が接するとき

まず円$%の共通内接線は原点を通る。

ここで[軸の正の部分とのなす角をθ とすると

V =

θ

VLQ

WDQ

V V − =

θ

直線 O は [

V V \

− ±

= すなわち±V[− −V\=

とおくことができ直線Oと円&が接することより V

V V

V

= − +

⋅ − −

_−V=V

=

V

するとO \=± [である。

［解 説］

では共通接線Oが本存在しますが対称性を考えると明らかでしょう。

2 [

\

−

$ %

&

[ \

−

$ %

&

[ \

−

$ %

‹電送数学舎 −−

12 ［東京大・文］

$ %− & −に対し 3[ \と

おくと

3$= −[ −\ 3%=−−[ −\

3&= −[ − −\ %3&

$3&=∠

∠ より FRV∠$3&=FRV∠%3&となり

3& 3%3% 3& 3&

3$3$ 3&

⋅ =

⋅

(

)

(

)

_{[+\−[+\ [+\+ [+ = [+\+[+\ [+\− [+}

_{[+\−[+\ [+\+[+\ ≧ ……①のもとで}

_{[+\−[+\ [+\+ [+ = [+\+[+\ [+\− [+} ここで_{X=[+\とおくと}

_{X−[+\ X+ [+ = X+[+\ X− [+ ………②} ②の左辺=

{

}{

}

②の右辺=

{

}{

}

これから②をまとめると −[X+\X++[

{

}

_{−X+\X−\+[+\ =}

[

_\ [

X= + より [\[+\−=

=

[ \= [+\ =………③

①より

{(

) (

)

}{(

) (

)

}

以上より 3≠$ % &に注意して①′かつ③を図示す

ると点 3 の軌跡は右図の太線部となりこれを表す方程

式は

=

[ \≠−

=

\ [＜− ＜[

_{+\ =}

[ \＞

［解 説］

条件を満たす点 3 の軌跡の一部が\ 軸上や原点中心の単位円周上にあることは

問題の設定からわかります。これをもとに計算を押し進めました。

\

[ 2

3

$ %

&

−

−

\

[

2 $

%

&

−

−

‹電送数学舎 −−

13 ［金沢大・文］ まず ∠$(3=θより∠453=π −θ

また ∠$3(=θ

$34₌π

∠ より

θ π π θ

π− − = −

= ∠

435

よって ∠453=∠435から△345 は辺 35 を

底辺とする二等辺三角形である。

さらに二等辺三角形 345 が正三角形になるのは

453=π

∠ の場合より

θ π

π _{− =}

π θ =

まず△345の頂点のつが原点であるのは点4が原点の場合である。

さてから_{θ =}π _{のとき π}

($3=

∠ となり3[ \とおくと U

D U

D

[ = + FRVπ = − \ U U

VLQ =

= π

すると点3における円_{& [−D+\ =Uの接線の方程式は}

(

)

_{U D [ D U\ U}

D− − − + = −[+ \=−D+U

この接線の \ 軸との交点 4 が原点に一致することより−D+U=すなわち求

める関係式はD=Uである。

条件より正三角形345の外接円の半径はUなので正弦定理を用いると

U VLQ

35 ₌

π 35=U⋅ = U………①

さてからθ =π のとき3から\軸に下ろした垂線の足を+とおくと

FRV 35

3+₌ π ₃₅

₌ − U

D ………②

①②より D−U=Uすなわち求める関係式はD=Uである。

［解 説］

円と接線および三角形の位置関係についての標準的な問題です。いろいろな解法 が考えられますが角に着目したのが上の解です。

2 4 + 5

$ (

D 3

U D+

[ \

‹電送数学舎 −−

14 ［金沢大・理］ $′[ \ %′[ \ ∠$′2%=θ とおくと

UW U

[ =− WDQθ =− \ =U

=

[ \=−WDQθ =−W

よって $′−UW U %′ −W

$$′=−UW− Uより直線$$′の法線ベクトルの

成分をU UW+ %%′= −U−Wより直線%%′

の法線ベクトルの成分をU+W とすることができ

る。これより直線$$′ %% ′の方程式は $

$ ′ U [− + UW+ \= U[+UW+\=U………①

%

% ′ U+W [+ \− U = U+W[+\=U………②

直線$$′と%%′の交点が0[ \より①②から U

\ UW

U[+ + = ………③U+W[+\ =U………④

③④より−U−W[+UW+\ = U+W[ =UW+\となり

+ + =_UWU W

[\

まず辺$%の中点を&とすると& Uとなり _{$&= +U から}

WDQ

$& 2

& ′= θ =W +U

また $%=− −Uより直線 $% の法線ベクトルの成分をU とするこ

とができ

2 & 2& 2

2 ′= + ′

_{U UW U W}

U U W

U = + +

+ ⋅ + +

=

これより2′UW+ U+Wとなり直線22′の方程式は [ UWU W

\

+ +

= である。

よって から直線22′上に 直線$$′と%%′の交点0[ \が存在する

ことになる。すなわち直線$$′ %% ′ 22 ′は点で交わる。

［解 説］

座標平面上の図形を題材とした頻出題です。ベクトルの利用によって計算量を減 らすことがポイントです。

2

U

[ \

$ %

& $′

‹電送数学舎 −−

15 ［京都大・文］

ORJ ORJ ORJ

ORJ[ \+ \[＞ + [ \ [＞ [≠ \＞ \≠より

\ \

\

[ [ [

[

[ _ORJ ORJ _ORJORJ ORJ + ＞ + ⋅

L ORJ[ \＞[＞ \＞または＜[＜ ＜\＜のとき

_{ORJ ORJ}

ORJ

[ \ + ＞ [ \+ [ ORJ[ \−−ORJ[＞より

ORJ ORJ ORJ ORJ

[ \− − [ [ \− + [ ＞ ORJ

ORJ[ \_[⋅ [ _[\＞

LL ORJ[ \_[＞かつORJ[ _[\＞のとき

[＞では \_[＞かつ_[\＞より \＞[ \＞[

＜[＜では ＜\_[＜かつ＜_[\＜より＜\＜[＜\＜[ LLL ORJ[ \_[＜かつORJ[ _[\＜のとき

[＞では＜\_[＜かつ＜_[\＜より ＜\＜[ ＜\＜[ ＜[＜では \_[＞かつ_[\＞より \＞[ \＞[

LL ORJ[ \＜[＞ ＜\＜または＜[＜ \＞のとき

_{ORJ ORJ}

ORJ

[ \ + ＜ [ \+ [ より ORJ[ \_[⋅ORJ[ _[\＜ LLL ORJ[ \_[＞かつORJ[ _[\＜のとき

[＞では \_[＞かつ＜_[\＜より \＞[＜\＜[ ＜[＜では ＜\_[＜かつ_[\＞より ＜\＜[ \＞[ LLLL ORJ[ \_[＜かつORJ[ _[\＞のとき

[＞では＜\_[＜かつ_[\＞より ＜\＜[ \＞[ ＜[＜では \_[＞かつ＜_[\＜より

[

\＞ ＜\＜[

以上より[ \の満たす範囲は右図の網点部となる。 ただし境界は領域に含まない。

［解 説］

頻出タイプの問題です。丁寧に場合分けをして記述しました。

2 _[

\

‹電送数学舎 −−

16 ［一橋大］ 不等式−≦[FRVθ +\VLQθ≦\+……①に対して

L [ =\=のとき ①は−≦≦となり任意θに対して成立する。

LL [ ≠または\≠のとき

ϕを

VLQ \ [ [ + = ϕ FRV \ [ \ + =

ϕ と決めると①より

VLQ

_{+ + +}

− ≦ [ \ θ ϕ ≦\

任意のθ に対して成立する条件は

− [ +\

− ≦ ………② [+\≦\+………③

②より _{[+\ ≦ [+\≦………④}

③より \+≧のもとで [+\≦\+

_\+

[ ≦ _{\≧[−………⑤}

さて領域④と⑤の境界線のつの交点$%は

_{\+ +\ = \−\+=} − ≧

\ から\=となり [=± である。

LLLより求める領域は右図の網点部である。

ただし境界は領域に含む。

さて直線2$の方程式が\ [

= で 2$と\軸の

なす角がπ _{より網点部の面積を6とすると}

(

)

³

+ ⋅ ⋅ × =

[ [ G[

6 π

[

]

不等式_−≦[FRV_α+\VLQ_{β≦……⑥に対し独立に値をとる任意のα β で}

は −≦FRVα≦ −≦VLQβ≦なので⑥より

L \≧のとき \ [ − −

−≦ ………⑦ [+\≦………⑧

⑦⑧より _\≦−[+ LL \＜のとき

\ [ + −

−≦ ………⑨ [−\≦………⑩

⑨⑩より _\≧[−

LLLより求める領域は右図の網点部である。

ただし境界は領域に含む。

‹電送数学舎 −−

そこで網点部の面積を6とすると

³

³

=

[ G[ [ [ G[

6 ₌₊₌

［解 説］

三角不等式の問題です。では任意のθ でとりうる最大値・最小値 では任意の β

‹電送数学舎 −−

17 ［広島大・理］ △$%&が二等辺三角形であるとき点&[ \の存在範囲は\＞において

L $&=%&のとき

点&は線分$%の垂直二等分線[=上にある。 LL $%=$&のとき

点 & は点 $ を中心とする半径 の円

_{+\ =}

[ 上にある。 LLL%&=%$のとき

点 & は点 % を中心とする半径 の円

_{[− +\ = 上にある。}

LLLLLLより点&は右上図の円または直線上にある。 △$%&が鋭角三角形である条件は

∠&$%＜π _{………①∠$%&＜}

π _{………②∠%&$＜}

π _………③

\＞において①②③がすべて成立する点&[ \の存在範囲を求める。

①より点&は\軸の右側すなわち領域[＞にある。

②より点&は直線[=の左側すなわち領域[＜にあ

る。

③より点 & は $% を直径とする円の外部すなわち領 域

(

)

①②③より点 & は右図の網点部に存在する。ただし

境界は領域に含まない。

まずα =∠&$%＜π β =∠$%&＜π γ =∠%&$＜π より点 & はの領

域内に存在する。

ここで条件からα≦β≦γ なので三角形の角と辺の大小関係を用いると

%&≦$&≦$%

すると %&≦$& から の結果を利用すると点

&は領域[≧にある。

また $&≦$%から の結果を利用すると点&

は領域_{[+\≦にある。}

以上より点&は右図の網点部に存在する。ただし

破線の境界は領域に含まない。

_[

\

2

$ %

−

[

\

2

$ %

_[

\

2

$ %

−

‹電送数学舎 −−

まず点3

(

)

また $% を直径とする円周上に点 4 をとると

$4%₌π

∠ である。

すると点&が右図の網点部に存在するとき線分

$% を弦とする円弧を考え γ =∠%&$ のとりうる値

を求めると右図より π_≦γ＜π_である。

［解 説］

巧みな誘導がついている平面図形と領域の総合問題です。式だけで攻めるのではな く図形的に解くとスッキリした解になります。

_[

\

2 $ _%

3

‹電送数学舎 2010

−−

18 [東北大・文] _{& \=[に対して \′=[}

これから点3_{D Dにおける & の接線の方向ベ}

クトルの成分を Dとおくことができるので接

線に直交する直線Oの方程式は

_{[−D + D \−D = [+D\−D−D=}

点$D のOに関する対称点を%E Fとおくと

$%=N D 2%=2$+N D

よってE F=D +N D=D+N DN………①

また線分$%の中点

(

)

+ ⋅ − − = +E _D F _{D D}

D _{E+DF−D−D =………②}

①②より _{D+N+DN−D−D =}

+ =

DD

N

よって

(

)

+ +

+ =

DD DD

D F

E となり

(

)

3%

− +

= − + −

+ +

= D D

DD D

DD D DD

D

≠

D のとき点3%を通る直線Pの方程式は

_{[ D}

D D D

\− = − − \=D_D−[+

Dの値によらず直線Pが通る定点)の座標はより )

(

)

［解 説］

図形と方程式についての基本題です。ただ については定点が 点以上存在す

る可能性はないので点を見つけて終了としています。

2 [

\

$ % O

3

‹電送数学舎 2010

−−

19 [千葉大・理]

(

)

3 4

(

)

とおくと WDQ

S =

α WDQ

TD =

β となる。

条件よりα＜ なのでβ WDQα＜WDQβ

TD

S ＜

_{T ＞}

DS − ………①

さて△234の面積を6とすると①より

_{DS T}

ST T

DS ST T

S T D S

6 = ⋅ − ⋅ = − = −

条件より _DS−T=

ST DS−T =ST………②

ここで ∠324=θとおくとθ =β−αから

D T S

T DS S TD

S TD

+ − = ⋅ +

− = +

− =

−

=

WDQ

WDQ WDQ WDQ

WDQ WDQ

α β

α β

α β

θ

②を代入すると

D D STD

ST D T S

ST

WDQ =

+ = +

= ≦

θ

等号は ST= _STD すなわちST= Dのときに成立する。

よって WDQθの最大値は

D

_となり

₌

D から D=である。

［解 説］

相加平均と相乗平均の関係を用いる最大・最小問題です。置き換えて微分法の利

用という手もありますがおすすめは前者です。なお等号の成立するST の値が存

在することは明らかなので記述を省いています。

$

2 [

\

3 4

‹電送数学舎 2010

−−

20 [名古屋大・文] まず条件DFから頂点の\座標は$が最大&が最小である。

さて条件Eより直線 $% の$%と同じ向きの方向ベ

クトルの成分は− −とおくことができ

$%= D× − − =− D

ここで $S Tとすると

2%= S T − D = S− D T− D

次に辺%&は$%と垂直なので直線%&の%&と同じ

向きの方向ベクトルの成分は −とおくことができ

%&= E× − = E −

すると %S−D T−Dより

2&= S− D T− D + E − = S− D+ E T− D− E

条件Dから&は$と原点対称なので

S E D

S− + =− ………① T−D−E=−T………②

①②より S=D−ET=D+Eとなり

$ D− E D+E &−D+E −D−E

また S−D=−D−E T−D=−D+Eであり'は%と原点対称なので

% −D− E − D+E 'D+E D−E

( とおくと (は辺$' %&の垂直二等分線\=[の上側辺$% '&の

垂直二等分線\=−[の上側にあることより

(& (%

($＜ ＜ ($＜('＜(&

よって長方形$%&'が領域_{[+\−≦……③に含まれる条件は点&}

が領域③に含まれる条件に等しく_{−D+E+−D−E−≦}

_{−D+ E + − D−E − − D−E + ≦}

_{D+ E+ D+ E− ≦}

_{D+ + E+ ≦}

よってD＞E＞と合わせてDEに対する条件

を DE 平面上に図示すると右図の網点部となる。た

だし両軸以外の境界線は領域に含む。

［解 説］

図形の配置が指定されているため単位ベクトルを利用した解で記しています。

‹電送数学舎 2011

−−

21 [名古屋大・文] 2 $ に対し 23 $3 Dを満たす点3 [ \ は $3D23

$3 D 23 より

[ \ D [ \ _{D[\ [ ………①} L Dのとき

①より [ となり点3の軌跡は直線[である。

LL Dvのとき

①より

[ \ [

D D

となり点3の軌跡は円であり

D

[ \

D D

より 23 $3 Dを満たす点 3 の軌跡はD＞ から中心

D

半径

D

D の円である。また 2 % に対し 23 %3 Eを満たす

点3の軌跡は

E

半径EE の円である。

よって 23 $3 %3 D Eを満たす点3が存在するための条件は

D E D E

D E ≦ D E ≦D E

D E E D ≦ D E ≦D E E D

D＞＞E＞……②のもとでこの不等式を変形していくと

\

^

\

^

D E ≦ DE E D ………④

③より_{DE ED DE DE ≦}

E D DE≦ _{DEDE≧D E ≧ ………⑤}

④より_{DE ED DE DE ≧}

E D DE≧ _DEDE≦

D E ≦ ………⑥

以上より求める条件は②⑤⑥でありこれを DE

平面上に図示すると右図の網点部となる。ただし

破線の境界線および白丸は領域に含まない。

［解 説］

アポロニウスの円を題材としてさらに 円が共有点をもつ条件が味付けされてい

ます。計算に工夫が必要な問題です。

D E

2

‹電送数学舎 2011

−−

22 [東京大]

点_{4 α α 5 β βを結ぶ線分の中点を 0 とする}

と 0 αβ αβ

45 JJJG βα β α

30JJJG αβ α β

α β α β

さて△345が45を底辺とする二等辺三角形である条件は 45 30? から

45 30JJJG JJJG¸ βααβ βααβ

αvβから _{αβ αβαβ}

αβα β ………①

ここで△345の重心を* ; <とおくと

; α β ………②

< α β ………③

②よりα β ;……④③より

<

α β ……⑤

④⑤を①に代入すると

; < ; <

よって

<

;

………⑥

ところでα βは④⑤を満たす異なる実数であり

\

^

\

^

; <

αβ αβ α β ………⑦

④⑦よりα βを解とするWに関する次方程式は

\

^

W ; W ; <

この方程式が異なる実数解をもつことより

\

^

' ; ; < ; < ＞

よって< ＞ ;

<＞ ; ………⑧

⑥⑧より△345の重心*の軌跡は

\ [

………⑥a

\＞ [ ………_⑧a

さらに曲線_⑥a_と領域⑧a_{の境界線の交点は}

3 4

5 0

\

[ 2

α β

‹電送数学舎 2011

−−

[

[

[ [

\

^

[ [ [

この方程式の実数解は[ であるので重心

* の軌跡を図示すると右図の実線部となる。ただし

点

［解 説］

少し前になりますが

このときは題材が正三角形でしたが本年は二等辺三角形です。ただ点 3 が固定

されている本年の方が方針は定まりやすかったと思います。

[

\

‹電送数学舎 2011

−−

23 [筑波大]

線分2$の垂直二等分線の方程式は中点が W

W [ W \ _{W[\ W ………①}

①をWについてまとめると_{W[W\ ………②}

すると W≧のとき直線①が通過する点 [ \ は

が W ≧に少なくともつの実数解をもつ [ \ の条件として求められる。

ここで _{I W W [W\ W [[\とおくと}

L [ ≧[≦ ≦ のとき[

求める条件は _{I [ [\ ≦ より}

\≧ [

LL [ ＜ ＜ ＜ のとき[

求 め る 条 件 は I [\ ≦ ま た は

[\ ≦

I より

\≧ [ または\ [≧

LLLより求める領域は右図の網点部となる。

ただし境界は領域に含む。

［解 説］

直線の通過領域を求める頻出問題です。 次方程式の実数解の条件として処理をし

ています。

\

[

2

‹電送数学舎 2011

−−

24 [東北大・理]

不等式_{\≦D[ D Dの表す領域に点 S T が存在しているので}

T≦ DS D D _{DSD T ≦ ………＊}

こ こ で _{I D DSD T と お く と}

＊はI D ≦ となる。

さ て ≦ ≦ を 満 た す す べ て のD D に 対 し

D ≦

I である条件は

S T ≦

I

S T ≦

I

よって点 S T の範囲を図示すると右図の網点

部となる。ただし境界は領域に含む。

と同様に ≦ ≦ を満たすいずれかのD Dに対し I D ≦ である条件は

L S≦S≦のとき S T ≦

I

LL ≦S ≦ ≦ ≦ のときS

D

I が実数解をもつことより

' S T ≧ _T≦S

LLL S ≧ S≧ のとき

S T ≦

I

L∼LLより点 S T の範囲は右図の網点部となる。

ただし境界は領域に含む。

［解 説］

次不等式と領域の融合問題です。基本的な内容ですが時間はかかります。

S T

2

S T

2