解答例 ２次数学セレクション

‹電送数学舎 −−

１ ［98 東北大・文］ 点4の[座標をNとし 4 N の直線

$%に関する対称点を5 D Eとおく。

直線$%の方程式は[ \+ =……①なので 法線ベクトルは

(

)

= となる。

25 24= +O = N O+ O 線分45の中点が①上にあるので

⋅N N O+ + +⋅O = O= − N………②

∠23%= ∠43$より点5は直線23 \ P[= 上にあるので O P N O= + −P O PN = ………③

②③より −P − N PN= P+N− −P= N= _P−P

+

［解 説］

最近超頻出の反射の問題です。昨年も北大・文や東大・理で出ています。受験の 対策をするとき最新の入試傾向を研究したかどうかではっきり差が現れます。上の 解は反射の取り扱いの常套手段である折り返しを用いたものでこの方法が最も簡明 です。他には正接の加法定理を用いることも可能ですが計算が複雑になりしか も点4 が点 2に一致するときや直線34が \軸に平行になる場合のチェックのた めに記述量が倍程度にふくらみます。

2

$ %

3

4 5

．[ ．\

‹電送数学舎 −−

２ ［98 千葉大］ 3− D 4 Eとする。

34= E D− から直線34の法線ベクトルを Q=D E− とおくことができる。

直線34の方程式は

D E [− ++\ D− = D E [− +\−D E− =

直線34が円[₊\ _{=に接するので} − −

− + =

D E D E

から − − = − + D E D E

両辺乗して _{D E+ =D E− + D E D E+ + − D E D E+ − + =} D D +E=

DEは整数よりDはの約数となり D= ± ±

D=のときD+E=からE=となる。よって 3− 4 D= −のときD+E= −から E= −となる。よって 3− − 4 − D=のときD+E=からE= −となる。よって 3− 4 − D= −のときD+E= −から E=となる。よって 3− − 4

［解 説］

円と直線が接する条件を整理すると約数・倍数の関係の使える数式がすんなりと 導けました。意外なくらい簡単に34の座標が求まってしまいます。

3

4

．[

．\

‹電送数学舎 −−

３ ［98 北海道大・理］ [ \− ＜………①

[ \+ ＜………② D[ E\+ ＜………③

①かつ②の表す領域は右図の網点部。

③に [ \ = を代入するとつねに成立す ることより③の表す領域は直線D[ E\+ =……④ を境界とし原点を含む側である。

ここで直線[ \− =と④との交点は D E [+ = [ = _{D E} D E

+ ≠ −

また直線[ \+ =と④との交点は D[ E [ [ E

D E D E + − = = −

− ≠ 以上より①②③が三角形の内部を表す条件は

D E+ ＜ ……⑤かつ −

− E

D E ＜ ……⑥ ⑤より D E+ ＜ E＜−D………⑦

⑥より _{− E D E − ＜ D E−}

D E D E− − − + E＞ D E D E− + −＞ ⑦からD E+ − ＜ なので D E− ＜ E D＞ ………⑦ ⑥⑦よりD E＜ ＜−D

点 D Eの集合を図示すると右図の網点部となる。 ただし境界線は含まない。

［解 説］

③の領域については直線④を境界とし原点を含むか否かで決定しました。また 直線④と直線\ [= および\= − +[ との交点の範囲をもとにして三角形の形成条件 を導きました。

2

．[

．\

．D ．E

2

‹電送数学舎

−−

４ ［99 東京大・文］ 放物線$と$と線対称な放物線%に対称軸

\ [ F= − に平行な直線を引き放物線$との接点

を3放物線%との接点を4としたとき線分 3 4 は対称軸と直交する。

すると線分34の長さの最小値は線分3 4 の

長さとなる。

ここで放物線$ \ [ = ……①と対称軸に平行

な直線\ [ N= + ……②が接するとき①②より [ [ N

− − = ………③ 判別式' = + N=より N= −

このとき接点は③から[ =

①から\ = よって 3

(

)

点3と点4は対称軸\ [ F= − に関して対称なので線分 34 の長さの最小値 3 4 は点3

(

)

と対称軸[ \ F− − =との距離の倍となるので

(

)

3 4

= ⋅

− −

+ = − = − F

F F

［解 説］

本問は直観に依存した解にしました。

[ \

2

F 3

4 $

%

‹電送数学舎

−−

５ ［99 大阪大・文］

(

)

ORJ [ _+ORJ [ ₊ ORJ \−ORJ _≦ [＞かつ\＞で

ORJ ORJ ORJ

ORJ

[ ₊ − [ ₊ \_≦

[ [ \ − + ≦

(

)

\≦−[ +[ = − [− +

求める点 [ \の存在する領域は右図の網点部

となる。ただし[軸以外の境界線は含む。

X=VLQ

(

°×[ \+

)

− FRV

(

°×[ \+

)

=VLQ

(

°×[ \+ − °

)

[ \ Y+ = とおくと \= − +[ Y……①となり①との領域が共有点をもつ Y の

範囲を求める。

①との領域の境界線\= −[ +[……②が接するとき

①②から −[ +[ = − +[ Y [ −[ Y+ = ' = − Y= Y=

の図より ＜ ≦Y

このときX=VLQ°× −Y °から −°＜°× −Y °≦°なので VLQ−°＜ ≦X VLQ°

よって − ＜ ≦X

［解 説］

の要点は[ D₌ ORJD[だけです。この式は_{[ D} D [

=ORJ と対等な関係式です。とこ

ろが数Ⅱにおいては後者の関係式と比べると前者は冷遇されているとしか思えま

せん。

2 [

\

‹電送数学舎

−−

６ ［99 東北大・理］ \ [= より \′ =[

点 D D_{での接線は \=D [ D − +D =D[ D−} よって線分34は \=D[ D− D−≦ ≦[ D+………① D が−≦ ≦D の範囲を動くとき線分 34 の通過領域は明

らかに\軸対称となる。

さて①において[ W= W≧上での通過領域を考えると \ =DW D− = −D W− +WW−≦ ≦D W+………②

そこで②式を\ =I D とおきD が−≦ ≦D とW−≦ ≦D W+との共通範囲を動

くとき\の値のとりうる範囲を求める。

ここで \=I D のグラフの軸がD W= なのでWの値で場合分けをする。 L W＞のとき

−≦ ≦D とW−≦ ≦D W+との共通範囲は存在しない。 LL ＜W≦のとき

−≦ ≦D とW−≦ ≦D W+との共通範囲はW−≦ ≦ となる。この範囲にはD \=I D の軸は存在しないので I D は単調増加となる。

IW−≦ ≦\ I よりW −≦ ≦\ W− LLL ≦W≦のとき

−≦ ≦D とW−≦ ≦D W+と の 共 通 範 囲 はW−≦ ≦ と な る 。 こ の 範 囲 にD \=I D の軸は存在ししかもW− W− + W

＜ ≦ ≦ なので

IW−≦ ≦\ I W よりW −≦ ≦\ W

LLLLLLより[≧ で線分 34 の通過領域を図示すると右図の ようになる。

求める面積を6とおくと

{

}

{

}

6 _{[ [ G[ [ [ G[}

=

³

− − +

³

− − −

=

³

G[+

³

−[+ [ G[

= よって6 =

［解 説］

[を固定して丁寧に線分の通過領域を求めました。しかし本問では点34だけ の軌跡を求めて直観的に考えることも可能です。

2 3

4

D _[

\

2 [

\

© 電送数学舎 2000

－7－

［2000 神戸大・文］

(1) 点( ,1 0) 通 傾 4 直線 , y 4(x1)………

yx2 4x…… 共有点 ,

4(x1)x2 4x, x2  4 0, x  2 x 2 , y  4 , 共有点( ,2 4)

x  2 , y 12 , 共有点(2 12 , )

(2) , y(x2)2 4 , 2 x 2 範 グ ラ フ

書く , 右 曲線 う 。

ま , yk x( a) 点( ,a 0) 通 傾 k 直線 表し,

k 4 , a1 , (1) ( ,2 4), (2 12, ) 交 わ 。

, a1 , 右 , k 値 対 し

2 x 2 範 少 く 1 共有点 。

ま , y 2x4 , x 0 y  4 原 点

け 接 線 y 4x 。 そ し , a0 ,

k 値 対し 原点 共有点 。

さ , a＜0, 1＜a , k 4 す 2 x 2 範

共有点 い。

さ , 0＜a＜1 , k 4 a＜x＜2 , k 4 2＜x＜a 少

く 1 共有点 。

以 , k 値 対し 2 x 2 範 少 く 1 共有点

条件 , 0 a 1 あ 。

［解 説］

(2) 最初, y 消去し 方程式 解 配置 考えまし 。し し, 複雑

, 方針 変更し グラフ 書く , (1) 大 ヒント い こ わ ま

し 。

2 O

12

y

x

4

© 電送数学舎 2000

－8－

［2000 大阪大・理］

Q(x₁, y₁), R(x₂, y₂) く , Q, R け 接線 ,

x x₁ y y₁ a2, x x₂ y y₂ a2

こ 接線 , 点( ,b c) 通 ,

bx₁ cy₁ a2…… , bx cy a

2 2 2

  ……

こ こ , 方 程 式bxcya

2

… … 考 え , こ 直線

表し, 点 Q 通 , 点 R 通 こ わ 。

す わ , 直線QR 表す。

さ , 点



b, a b



2_ 2

け 接線 ,

bx a2b y2 a2

x軸 交点 , x

a

b y

 2 , 0 , 点P





a b

2

0

, 。

そ こ , ( ,x y)



,



a b

 2 0 代 入 す , 成 立 す こ わ ,

直線QR 点P 通 。

［解 説］

毎年 う 出題さ 有名問題 す。そし , 記 解 そ 有名 解法

す。

Q

R P

y

x Ｏ

© 電送数学舎 2000

－9－

［2000 東北大・文］

(1) 条件 , O P( )t (1t)OAtOB ( a(1t), bt)

OQ( )t  (1 t)OBtOC(at, b(1t) ) O R( )t  (1 t)O P ( )t tOQ( )t

 (1 t)(a(1t), bt)t at( , b(1t) ) ( (a 2t1), 2bt(1t) )

点R ( )t 座標 ( ,x y) す , x a(2t1)…… , y 2bt(1t)……

t x a

a

 

2 , こ 代入し ,





y b x a

a

x a a

b

a x a a x

b

a x a

2          

2 1 2 2 2 2 2

2 2

( )( ) ( )………

, 0 t 1 , a x a あ 。

(2) P( )t Q( )t (ata(1t), b(1 t) bt)( ,a b(12t) ) ,





l t y bt b t

a x a t

( ) :   (12 )  (1 )

ま , y

b t

a x b t t

 (12 )  (1 2 2 2)………

,  b 

a x a

2 2

2 2

( )  b  t   

a x b t t

( )

( )

1 2

1 2 2 2

x2 2a(12t x) a2(12t)2 0,



xa(12t)



2 0………

こ , 重解x a(2t1) , 点R ( )t 接す 。

(3) 直線l t( ) 通過す 領域 , (1)(2) , 直線 AB, BC

側 , 放物線 側 あ , 右 網点部 。

し, 境界 領域 含 。

そ 面積S ,

S a b b

a x a dx

a a

     





1

2 2 2 2

2 2

( )

ab b

 

 

a a a

2

1 6

2

3

( )  1 3ab

［解 説］

昨年, 東北大・理系 類題 出 い 線分 通過領域 問題 す。(2) 形的 考

え こ う 誘 あ ます。

A C

B

a b

O x y

a

P( )t

Q( )t

R( )t

A C

B

a b

O x

a

© 電送数学舎 2000

－10－

10 ［2000 東京大・文］

P  1 axbyaxy , ま y 値 固定し, yt

(1 t 1) い , P 最小値 求 。

P 1 ax bt axt a(1t x)  1 bt

1 t 1 , 1t 0 ,

(i) a 0 (a 0) , x  1 P 最小 。

こ , P a(1   t) 1 bt (ab t)  a 1

(i-i) ab 0 (b a) , t 1 最小値P  (ab)   a 1 b 1

, 条件 , b1＞0

(i-ii) ab＜0 (b＞a) , t1 最 小 値P (ab)  a 1 2a b 1

, 条件 , 2a b 1＞0

(ii) a＜0 (a＞0) , x 1 P 最小 。

こ , P  a(1    t) 1 bt (ab t)  a 1

(ii-i) ab 0 (b a) , t1 最 小 値P  (ab)     a 1 2a b 1

, 条件 , 2a b 1＞0

(ii-ii) ab＜0 (b＜a) , t 1 最小値P (ab)   a 1 b 1

, 条件 , b1＞0

(i)(ii) ま ,

a 0 b a , b＞1

a 0 b＞a , b＜2a1

a＞0 b a , b＜2a1

a＞0 b＜a , b＞1

こ 条 件 満 す 点( ,a b) 範 右 網 点 部

。 し, 境界 含ま い。

［解 説］

今年 ま 出まし いう感 あ 1 文字固定 最大・最小問題 す。し し, 対

象 1次関数 , そ 複雑 あ ませ 。

O 1 1

y

x t

1

1

O

1 1

1

1

‹電送数学舎 2001

−−

11 [一橋大] T

S≠ として 3S S 4T Tとおくと線分 34と

直線\=D[+が直交することより

− = ⋅ −

− _D

T S T

S

D T

S+ =−………①

また 34 の中点

(

)

_T S T

S+ + _が直線 + =D[

\ 上に

あることより

+ + ⋅ =

+T _D S T

S

+ + =

+T D S T

S ………②

①を②に代入すると = +T

S ………③

①③を満たす異なるSTが存在する条件は直線①と円③がつの共有点を持つ条 件に等しいので

＜

+

D _{＜ D}

よってD＜ ＜D

−

［解 説］

線対称移動を題材にした問題です。後半の D の範囲を求めるところは図をイメー ジしています。

3

4

2 [

‹電送数学舎 2001

−−

12 [東北大・文]

ま ず 2 $ % と し 放 物 線

− − = [ S

\ に対して

− − −

= [ S \

\ [

I

とおく。

放物線と△2$%が交わる条件は右図から放物線が 線分2$または2%の少なくとも一方と交わることであ る。

L 放物線が線分2$と交わるとき

I ≦

I ⋅ よりS −

{

−S−

}

≦

S+ S− S+ S− ≦

≦S≦− ≦S≦

−

LL 放物線が線分2%と交わるとき

I ≦

I ⋅ より S −S−≦

S+ S− S+ S− ≦

≦S≦− ≦S≦

−

LLLより放物線と△2$%が交わる条件は −≦S≦− ≦S≦

［解 説］

放物線が線分 $% だけと交わる場合のないことが図からわかります。なお正領 域・負領域の考え方を利用してSの範囲を求めました。

[ \

2 $ %

‹電送数学舎 2001

−−

13 [北海道大・理] 2$=2% 3$=3%より $%の中点4は直線$%と23

の交点となりしかも23⊥ $%である。

すると△2$4∽△23$より 24 2$=2$23とな

るので

2$ 24

23_{⋅ = = ………①}

ここで4[ \とおくと 24=N23N＞より NE

\ ND

[= = ………②

①から _{D +E [ +\ = D +E[+\=………③}

②を③に代入して_{ND +E=N＞より}

_E D N

+

=

②より

E D E \ E D D [

+ = +

= ……④なので4

(

)

E D E E

D D+ + ③④より

\ [ [ [

E D D

+ = +

= ………⑤

\ [

\ \

E D E

+ = +

= ………⑥

条件より3D Eが_{[− +\ =上を動くので}

_{D− +E = ………⑦}

⑤⑥を⑦に代入して

(

)

(

)

= +

+ −

+ [ \

\ \

[ [

{

[−[ +\

}

+\ =[ +\

= + + +

+

− [ [ \ [ \ \

[

_{+\ ≠}

[ より_{−[+[ +\=}

よって = + −

+\ [

[ （この式は

≠ +\

[ を満たす）

以上より点4は円

_{+\ − [+ =}

[ を描く。

［解 説］

有名問題です。①の式を導くには経験が必要です。

2 [

\

$

% 4

‹電送数学舎 2001

−−

14 [岡山大・理]

正三角形 $%& に対して$FRVθ VLQθとおくと対称性から θ π

≦ ≦ の場合 だけを考えても一般性を失わない。

L

_≦θ≦π _のとき

△2$'において ∠ =π −

(

θ +π

)

= π −θ

$'2

(

π θ

)

π = ₋

VLQ VLQ 2'

(

_{π θ}

)

θ θ

π FRV VLQ VLQ VLQ 2' + = − =

△2$(において ∠ =π−

(

π +π −θ

)

= π +θ

2($ より

(

π θ

)

π = ₊

VLQ VLQ 2(

(

_{π θ}

)

θ θ

π FRV VLQ VLQ VLQ 2( + = + =

△$%&の第象限にある部分の面積を6とすると

θ θ θ θ θ θ θ θ FRV VLQ FRV FRV VLQ VLQ FRV 2( VLQ 2' + ⋅ + + ⋅ = + = 6 VLQ VLQ FRV FRV VLQ VLQ FRV FRV VLQ VLQ + + ⋅ = + + + + ⋅ = θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ VLQ − ₊ = θ

_≦θ≦π _{なので≦VLQθ≦となる。}

よって VLQθ =のとき最大値

− = + + =

6 VLQθ =のとき最小値

₌ =

6 をとる。 LL π θ π

≦ ≦ のとき

△2&'において ∠ =π −π −

(

π−θ

)

=π +θ

2'&

(

π θ

)

π = ₊

VLQ VLQ 2'

(

π _θ

)

θ θ

‹電送数学舎 2001

−−

△2$(において ∠ =π−π −

(

θ −π

)

= π−θ

2($ より

(

π θ

)

π = ₋

VLQ

VLQ

2(

(

_{π θ}

)

θ θ

π

FRV VLQ

VLQ

VLQ 2(

− =

−

=

△$%&の第象限にある部分の面積を6とすると

θ θ

θ

θ VLQ FRV

FRV

VLQ

2( 2'

− ⋅ + ⋅

= ⋅ =

6

θ θ

θ θ θ

θ VLQ FRV

FRV

VLQ FRV VLQ

+ ⋅

− = −

− ⋅

=

(

)

VLQ

π θ + −

=

π θ π

≦ ≦ よりπ≦θ +π≦πなので −≦VLQ

(

θ +π

)

≦− となる。

よって VLQ

(

θ +π

)

=− のとき最大値

₌ =

6 VLQ

(

θ +π

)

=−のと

き最小値6 =をとる。

LLLより6は最大値 −_最小値

_をとる。

［解 説］

よくありそうな問題です。内容的には正弦定理の応用ですが意外に奥が深いとい う感じがします。

‹電送数学舎 2002

−−

15 [広島大・文] 条件よりD=WDQαE=WDQβα =β+°なので

E E D

− + = ° −

° +

= ° + =

WDQ WDQ

WDQ WDQ

WDQ

β β

β ………①

24 \=D[と直線[+\=の交点は

+D [ =

D [

+ =

\=+DD

よって

(

_D D_D

)

+

+

4 E[

\=

25 と放物線_{\=[の交点は [−E[=で[ ≠から [ =E \=E}

となり5_{E Eである。}

すると点3[ \は45の中点より①から

(

)

(

)

_{+ =} − _{+ =} + +

= E E E E

D

[ ………②

(

)

(

)

_{+ +}

= + + = + +

= E E E E E

D D

\ ………③

以上より3

(

E+ E +E+

)

°＜β＜°より＜E＜なので②から

_＜[＜

②よりE=[−となりこれを③に代入して

− + − + _{= − +}

= [ [ [ [

\

したがって点3の軌跡は放物線_{\=[ −[+}

₍

₎

_{＜[＜ である。}

［解 説］

誘導がていねいなので方針に混乱は生じません。

2 [

\

5 4 3

‹電送数学舎 2002

−−

16 [神戸大・文] _{W[ W\ W}

+ = −

− ……①より−W[−W\−−W =…… ①′

円&の中心をD E半径をUとすると①′が接することより

U W W W WE D W = + − − − − − U W W D EW W D = + + − + − − −

_{−D− W − EW+D− =±U +W ………②}

②がどんなWに対しても成立する条件は

U D− =±

− −E= D−=±U

これより−D−=D−からD=またE=となりU＞からU=である。

よって円&の方程式は _{[ +\ =である。}

すると①を

= + − + + − _\ WW [ W

W _{と変形すると接点の座標は}

₍

₎

WW W W + − + −

となる。

接点を[ \とおくとより

W W [ + − = ……③ WW \ + − = ……④

③より

W [ + + −

= となりW≧で

＜ ≦

W

+ より −＜[≦となる。

④より

W W \ + − =

となりW≧ でW+W≧ W⋅W =

（等号はW=のとき）より −≦\＜である。

よって接点は円 &上の−＜[≦ −≦\＜の部

分にある。

以上より直線①の通過領域は右図の網点部となる。

なお実線の境界は含み破線の境界は含まない。

［解 説］

直線の通過領域を求める有名問題です。の誘導があるために はずいぶん解き

やすくなっています。

‹電送数学舎 2002

−−

17 [名古屋大・文] $_{D D} %_{E Eとおくと 2$=D D 2%=E Eより}

(

)

2%

2$_{⋅ = + = + −}

= DE D E DE

W

DEは任意の値をとるのでW≧−

W=のとき DE +DE−=DE+DE−=

よってDE=−またはDE=

ここで3[ \とおくと23=2$+2%から

E D

[= + \=D +E

L DE=−のとき

D D

[ = −

D D

\= +

(

)

_{+ = − +}

D D D

D より _{\=[ +}

なお[はすべての値をとりうる。

LL DE=のとき

D D

[ = +

D D

\= +

(

)

_{+ = + −}

D D D

D より _{\=[ −}

ただしD＞ のとき + ⋅ =

D D D

D ≧ またD＜

のとき− − − ⋅

(

−

)

=

D D D

D ≧ より +≦− D

D と

なるので [≦− ≦[である。

LLLより点3の軌跡は右図のようになる。

［解 説］

軌跡についての基本的な問題ですがその限界が現れる点に注意が必要です。

2 [

\

© 電送数学舎 2003

－19－

18 [北海道大・理]

(1) A : yx2…… , B y xa b

2

) (

: …… 交点 ,

b a x

x2 (  )2 , 2x22axa2 b0………

, D 4a22(a2 b)a2 2b＞0 ,

解 x1, x2(x1＞x2) ,

a x x1 2  ,

2

2 2

1x a b

x   ………

条件 , 2x1x2  , ( ) 4 1 2 2

2 2

1 x  x x 

x

, a2 2b 2, 4a2 2b , 2 2 1 2 _

 a

b ………

(2) )P(x1, x₁2 , )Q(x2, x₂2 , 直線PQ , 傾 1 2

2 1

2 2 2

1 _{x x}

x x x x     _, ) )( ( 1 2 1 2

1 x x x x

x

y    , y(x1 x2)xx1x2

, 直線PQ ,

4 4 2 2 2 _    

_ax a b _ax a

y …… 。

ここ , 直線PQ 通過す 領域 , a い 方

程式 し , 実数解 条件 し 表さ 。

4 4

4y axa2 , a24xa4y40 , D 44x2(4y4) 0 , y x2 1

こ 領域 示す , 右 網点部 。 し, 境

界 領域 含 。

(3) , PQ 2 (x1 x2)2(x₁2 x₂2)2

(x1 x2)2



1(x1 x2)2



(a2 2b)(1a2)

2

PQ  , 4(a2 2b)(1a2) ,

1 2 2 1 2 2    a a b ………

ここ , PQ 中点 y 座標 ,

2 2 ) ( 2 2 1 2 2 1 2 2 2

1 x x x x x

x

y     あ ,

用い ,

2 2 2

2

2 _{a b b}

a

y    , ,

4 3 4 1 4 1 2 4 1 1 1 ) 1 ( 4 1 1 1 4 1 2 2 2

2 _{  }

       a a a a y

等号

1 1 ) 1 ( 4 1 2 2    a

a , す わ ( 1) 4

2 2 _{ }

a , a 1 成立す 。

, 線分PQ 中点 y座標 最小値

4 3

あ 。

［解 説］

有名 直線 通過領域 問題 す。a 範 制限 い , 実数解条件 け

一件落着 す。(3) , 相加・相乗平均 関係 利用します。

x y

© 電送数学舎 2003

－20－

19 [東京大・文]

領 域D :x3y a, 3xy b, 0x , y 0 対 し , 境 界x3ya… … ,

b y x 

3 …… く。

す , 両 軸 交 点 (a, 0)





3 ,

0 a , 両 軸 交 点



, 0



3 b

) , 0

( b あ 。

(i) a 0, b 0, 3 b

a ,

3 a

b



a b 3a



3

交点 , x3(b3x)a,

8 3b a x   

8 3 8

3

3 a b a b b

y     

右 , こ 交 点





8 3 , 8

3b a b

a 

 い , xy

最小 , そ 最小値 ,

4 8

3 8

3b a b a b a

y

x       

(ii) a 0, 3 b

a , a b

3



0, 3



a b a

右 , 点





3 ,

0 a い , xy 最 小 , そ

最小値 ,

3 a y x 

(iii) b 0, b a

3 , 3 a

b (b 0, b 3a)

右 , 点



, 0



3 b

い , xy 最 小 , そ

最小値 ,

3 b y x 

(iv) a 0, b 0

右 , 原点(0, 0) い , xy 最小 , そ 最小値 ,

0

 y x

［解 説］

場合分け 基準 確定す 苦労します。2 境界線 交点 存在す 位置

け く, そ x 片, y 片 関係 考慮し く いけませ 。 , こ

う 複雑 , 場合分け い , ab 平面 チェックす , ミス

防 こ ます。

x y

O a

b

x y

O a b

x y

O

a b

x y

O

a

‹電送数学舎 2004

−−

20 [大阪大・文]

領域'内にあり中心が\軸上で原点を通る円の半径 をUとするとその方程式は

_{\ U U} [ + − =

[

\= との共有点は \+\−U =U

= −

+ U \

\ \= U−

共有点は原点だけなので U−≦を満たす最大の UがDとなり D =である。

条件より円&Qは半径DQ中心 EQ− +DQとな

るのでその方程式は

Q Q

Q D D

E \

[ + − − − =

[

\= との共有点は \+\−EQ− −DQ =DQ

_{+ − − + + + =}

− −

− Q _Q Q Q

Q D \ E E D

E

\

共有点の\座標はただつなのでこの次方程式は 重解をもち ' =となる。

− EQ−− DQ + − E_Q−+ EQ−DQ =

よってDQ −DQ −EQ− += Q≧………①

＞

Q

D より − + − =

+ −

− +

= Q Q

Q E E

D

①よりD_Q+ −DQ+ −EQ += Q≧………②

②−①より D_Q+−DQ−DQ+−DQ−DQ =

D_Q+ −DQ − DQ+ +DQ = DQ+ +DQDQ+−DQ−DQ+ +DQ=

Q＞

Q D

D + + より DQ+−DQ −=DQ+ =DQ + Q≧………③

さて①にQ=を代入し

=D =

E を用いると

D − D − + = D +D −=

= D

よって③より DQ =+Q−=Q−（Q=のときも満たす）

［解 説］

本問もまた有名な頻出問題の つです。いろいろな解法がありますが上の解はそ の例です。

2 [

\

D

2 [

\

&Q

EQ−

−

‹電送数学舎 2004

−−

21 [一橋大]

$_{D D %E Eより直線$%の傾きは} D

E D E D E _{= +}

− −

また&_{F Fより直線$&の傾きはF+Dとなる。}

ここで直線$& $%と[軸の正の向きとのなす角を それぞれα β −°＜α＜° −°＜β＜°とお くと

D F+ =

α

WDQ WDQβ =E+D

E＜Fより β＜ となりα ∠%$&=α−βである。 そこで∠%$&=°から加法定理を用いて

WDQ

D E D F

D E D F

+ + +

+ − + =

°

D E D F+F E + +

−

= ………＊

＊の左辺は無理数またDEFが整数なので右辺は有理数となり成立しない。

よって∠%$&=°とはならない。

D=− ∠%$&=°のときと同様にして

− − +

− =

E

FF E EF−E−F+=F−EEF−E−F+=

するとE−F−=−よりE− F−は−の約数である。

E− F− = − − − − よってE F=

− ＜E＜Fを満たすのはE F=

［解 説］

の°という角度の利用法は VLQ を使うのであれば三角形の面積 FRV であれば ベクトルの内積 WDQ であれば加法定理というのがオーソドックスな線です。 が 絡むのはVLQとWDQです。それで そのもののWDQで解を書きました。

$

% &

2 [

‹電送数学舎 2004

−−

22 [東京大]

S＜Tとして 3_{S S 4T Tとおく。}

直線34の傾きが より

= − −

S T S

T

= +S

T ………①

また 34=DよりT−S +T −S =D

T−S + T−S T+S =D

①より_{T−S =D}

D S

T− = ………②

さて線分34の中点を0とすると

(

)

0 S+T S+T

①②より

(

)

D

T= +

(

)

D

S= − なので

(

)

_{T S T ST} D D

S + = + − = − ⋅ − = +

よって 0

(

+D

)

である。

ここで△345は辺の長さDの正三角形より

34

50 ⊥ D

50=

さて直線34の方向ベクトルはその成分を とすることができるのでそ れに垂直な単位ベクトルは

₋

=

H である。以下複号同順として

H D 20 05 20

25= + = ±

(

)

− ⋅ ± +

= D D

=

(

B D +D ±D

)

5は放物線_{\=[上にあるので}

(

)

₊D _±D _{= B D}

₊D _±D _{= B D+D}

まとめると_{DBD=となりD＞から}

=

D である。

［解 説］

まず複素数平面上での回転を用いて考えました。しかし計算がかなり複雑にな ってしまい方向転換をした結果が上の解です。

2 3

4 5

0

‹電送数学舎 2005

−−

23 [広島大・文]

_{[ +\ +} VLQ_{θ[− \+}VLQ_{θ + =………＊より}

(

)

θ

θ VLQ

VLQ

[+ + \− =

°

°

＜θ＜ からVLQθ＞なので＊は半径VLQ θ 中心

(

)

VLQ θ

− の円

である。

まず円＊と円＊＊の中心間距離は VLQ_{θ + であり円＊の半径は}

θ

VLQ 円＊＊の半径はである。

ここで 円が共有点をもたないのは離れているときかまたは一方が他方に含

まれるときである。

L 円＊と円＊＊が離れているとき

VLQ VLQ

+

+ θ

θ ＞ より

(

)

VLQ VLQ

θ + ＞ θ +

VLQ VLQ

_{θ − θ + ＞ VLQθ −VLQθ −＞}

よって°＜θ＜°からVLQθ＞なので

VLQ

＜ θ＜ となり

°

°

＜θ＜ °＜θ＜°

LL 円＊と円＊＊の一方が他方に含まれるとき

VLQ VLQ

_{θ + ＜ θ − より}

₍

₎

VLQ VLQ

θ + ＜ θ −

VLQ VLQ

_＜

+

+ θ

θ

VLQθ＞ なので成立しない。

LLLより°＜θ＜°°＜θ＜°

［解 説］

円の位置関係の問題です。この問題では最後の答えには影響しませんが LLの

‹電送数学舎 2005

−−

24 [金沢大・文]

\ −[−

$ ≦

\ −[+

$ ≦ に対し集合

$

$

$= * の表す領域は右図の網点部となる。

さて % \≧[−D+Eに対し D= E=−の

ときは

− [ \

% ≧ である。

よって $%の表す領域は\ 軸に関して対称とな

りその面積6は

{

}

= +

− =

− − − −

=

³

[ [ G[

³

[ [ G[

6

$% ≠φであるとき放物線\=−[−と\=[−D +Eは共有点をもち

E D [

[− = − +

− [ −D+[+D +E+=

よって _≧

+ + −

+

= D D E

'

− +

−D D

E≦

₋

− D

E≦ ………①

$% =$*$% =$ %*$ %より $% ≠φ であることは φ

≠

%

$ または$ % ≠φであることと同値である。

ここで $ % ≠φという条件はと同様にして

E D [

[+ = − +

− [ −D−[+D +E+=

よって _{' =D− −D +E+≧}

_{E≦−D− D−}

₊

− D

E≦ ………②

以上より $% ≠φであるとき①または②が成立し

これを図示すると右図の網点部となる。なお境界は

領域に含む。

［解 説］

集合と領域の融合問題です。の題意は少し把握しづらいですがその点は

の誘導によって少し緩和されています。

[ \

2

−

−

2

−

D E

‹電送数学舎 2005

−−

25 [東京工大]

V=[+\W=[\より実数[\は次方程式X −VX+W=の解なので

_W≧ V

'= −

_V

W≦ ………①

条件より_{[+\≦から[+\−[\≦となり}

_W≦ V −

_{V −}

W≧ ………②

①②の境界線の交点は _{V =V −より}

± =

V W=

よって点V Wの動く範囲は右図の網点部と

なる。なお境界は領域に含む。

[\+P[+\=NとおくとW+PV=Nから N

PV

W=− + ………③

さてVW 平面上で③は傾き−Pの直線群を表し

の領域を共有点の存在するNの範囲を求める。

まず −P≦なのでNは

(

)

V W = に

おいて最大となり最大値は+ Pである。

また②の境界線_{W=V −と直線③が接するとき}

− = +

−PV N V V+PV−N−=………④

④より接点のV座標はV=−Pとなる。 L −P≦− P≧ のとき

図よりN はV W=

(

−

)

において最小となり最小値は P

_{− である。} LL −P≧− ≦P≦ のとき

図より N は接点_{V W=}

(

_{−P P −}

)

_{において最小となり最小値は}

_{P − −P すなわち}

₋

− P となる。

［解 説］

経験済みというのが当然なぐらいの頻出題です。の場合分けも煩雑なものではあ

りません。

2 V

W

−

− −

2 V

W

−

‹電送数学舎 2005

−−

26 [大阪大・理]

条件より[ W W FRV =

= π ……① \ W W W W

VLQ _{− + = − +}

= π ……②

=

\ とすると②から

= +

−W W より

= − −W

W W+W− =

[≧よりW≧なのでW= となり①から点4の[座標は[ =である。

[ =WFRVθ……③ \=−W +WVLQθ……④に対して

=

W のとき[ \=

≠

W のとき③④よりFRVθ = [_W

W W \ VLQθ = − + から

( )

+

(

−+

)

=

W W \ W

[ _{[ +\−+W =W………⑤}

⑤は[ \= を満たしているのでW=のときも成り立つ。

さてW が実数全体を動くとき曲線⑤が通過する範囲は⑤を W の方程式をして

みたとき実数Wが存在する条件として求めることができる。

⑤から _{[ \ \ W W W}

= + − + − + = − + + −

+ \ W [ \

W ………⑥

ここで _{X W≧}

= とおくと⑥はX +\−X+[ +\− =……⑦とな

り次方程式⑦が以上の解を少なくともつもつ条件となる。

そこで

− + + − +

=X \ X [ \

X

I とおき I=[ +\−≧

に注意すると

{

}

_≧ − + − − = \ [ \ ' ………⑧ − _≧ − = \ X ………⑨

⑧から _{−\−[ +≧}

₊

−[

\≦

⑨から\−≦

≦

\

以上まとめると曲線&が通過する範囲は右図の網点

部となる。ただし境界は領域に含まれる。

点4の[座標の最大値はより[ = であり③④より

θ

FRV

=W ……⑩ =−W +WVLQθ ……⑪

⑩より

θ

FRV

=

W となり⑪に代入すると

FRV VLQ FRV − + = θ θ

θ WDQ

WDQ = + +

− θ θ

‹電送数学舎 2005

−− まとめると

WDQ WDQ

= +

− θ

θ WDQθ − =

よって

WDQθ = である。

［解 説］

難易度が高いというわけではありませんがそれなりに時間のかかる問題です。

ではまずパラメータθ を動かしその後パラメータWを動かして通過領域を求めま

した。