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第2回 最小作用の原理

1 安定な運動と、静止物体の釣り合いの問題 ニュートンの運動方程式 Fr mx&r&

= の解はいつでもユニーク(一つに決まる)であり、同じ 初期条件であればいつでも必ず同じ運動をします。これは、その運動が『安定』である と言ってよいでしょう。

1.1 「安定な運動」

「安定な運動」の意味をもう少しはっきりさせるために、アナロジーとして物体の釣り合い を考えてみましょう。

物体が安定な位置に停止する条件は、∂

∂ U

x =0、かつ

∂

∂

2

2 0

U x >

3次元なら、∇U =r

0、かつ

∂

∂ ∂

2U x x_{i j}











の固有値が全て正という条件になります。

⇒いつでも、次元が変わったらどういう式になるか考えると面白いです。

運動の安定性という問題でも、何かポテンシャルUのよう な量が存在して、それが現実に起こる運動に対して極小 値を取っているのではないでしょうか?

もちろん、これは何か法則があって述べているわけでは ありません。何となくそういう気がするのではないでしょう か、と言っているだけです。新しい理論はたいてい、そう いうところから始まります。

1.2 ラグランジアンと作用積分

運動の場合は、釣り合いとは異なり、ある有限時間の間持続するものですから、何かの

関数を S =

∫

_t^t2L(q,q&)dtのように時間で積分したものが極小になると考えて良いでしょう。

t q

( )

t

δ

q

( )

t q

( )

t q

( )

t q +

δ

現 実 の 運 動 と少 し ずれ た 運動とは？

ここで t1と t2は運動の始点と終点であり、qとq&は、座標とその時間微分です。平たく言 えば、xと

υ

^{ですね。いきなり、}qとか書かれておじけづかないように。

⇒どうしてqと書くのでしょうか。「デカルト座標」に限定しないからです。

あとで出てきます。（角度とか、曲線の長さ、etc.） 1.3 多自由度系（多次元、多粒子）

もちろん、これも、3 次元空間での運動であれば、qrとqr

&のようにベクトルとなるでしょうし、

もっと拡張して、多くの物体の運動であれば、もっと多くの座標{q₁,q₂,…,q&₁,q&₂,…}とな ります(N個の粒子が三次元空間内を運動する場合は6N個の座標変数です)。

1.4 Lagrangian U T

L= − と定義します。Tは運動エネルギー、Uはポテンシャルエネルギーです。

どうしてこんなものを定義するのかが今日のGoalです。

一次元空間を運動する一つの粒子なら、 ² 2 x

T =m & です。

三次元空間を運動する二つの粒子なら、

(

1²

)

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1

2 x y z x y z

T =m & + & + & + & + & + &

ポテンシャルエネルギーの例、U Fr xr

⋅

−

=

いつでも同じ力が働いている空間。Fr =

(

0,0,−mg

)

とすれば重力 万有引力

2 1

2 1

r r

m U Gmr r

− −

= G= 6.67259×10⁻¹¹ m³s⁻²kg⁻¹

バネ ² 2x U =−k

このような自乗のポテンシャルを調和ポテンシャル(Harmonic)と呼びます。

由来はギリシャ哲学─この世は全て整数比の「調和」で成り立っている。振動数も。

1.5 作用積分action integral

定義 ^{S =}

∫

₀^tm₂^{q&2 −U}

( )

^{q dt}

ベクトルで書けば ^{S =}

∫

₀^{tm q −U}

( )

^{q dt}

2

2

&r r

二次元なら、qr=

(

rcos

θ

,rsin

θ )

三次元なら、qr=

(

rsin

θ

cos

ϕ

,rsin

θ

sin

φ

,rcos

θ )

多粒子なら、^{S =}

∫

₀^{t m q +m q + −U}

(

^{q1 q2}

)

^dt

2 2 2 2 1

1 , ,

2 &r L r r L

&r

1.6 最小作用の原理

作用積分の表式に「現実の運動」を代入してそれが最小になることを見てみよう。

現実の運動とは、、、

〔例〕等速直線運動^q

( )

^t =

υ

₀^t+^q₀, q&

( )

t =

υ

₀

〔例〕単振動q

( )

t =Asin

ω

t, q&

( )

t =A

ω

cos

ω

t

〔例〕等速円運動qr

( ) (

t = rcos

ω

t,rsin

ω

t

)

, q&r

( ) (

t = −rωsinωt,rωcosωt

)

注）これからは単振動とは言わない。調和振動と言う。

バネとは言わずに調和ポテンシャルと言う。

「現実の運動」から少しずれた運動を考える。

q

( )

x +

δ

q

( )

x ^と q&

( )

x +

δ

q&

( )

x ^ただし、δq^{は非常に小さな関数} 1.7 作用積分

Sにq

( )

x +

δ

q

( )

x ^{を代入すると、}

(

^{q+ q}

)

⁼

∫

^tm

(

^{q+ q}

)

^−U

(

^{q+ q}

)

^dt

S 0

2

2δ δ

δ ^{& &}

( ) ( ) ( )

∫

^{+ − −}

≈ ^t qdt

dq q q dU U q q m q

0

2 2

2 ^{& &}δ^& δ

一項目と三項目をまとめると元のSなので、

( ) ( )

∫

⁻

+

= ^t qdt

dq q q dU m q

S

0 2 &δ& δ

ここで積分の中の第一項を部分積分してδq&^{を消去すると、}

∫

0^tmq&

δ

^{q&dt =mq&}

δ

^{q t}0 ⁻

∫

₀^tmq&&

δ

^qdt=−

∫

₀^tmq&&

δ

^qdt となるので結局、

( ) ( )

∫

^{− −}

+

=

+ ^t qdt

dq q q dU q m S

q q

S δ 0 ^&&δ δ

( )

∫





 



 +

−

= ^t qdt

dq q q dU m

S 0 ^&& δ

(

+

)

− =

≡

∴

δ

S S q

δ

q S

( )

∫





 



 +

− ^t qdt

dq q q dU

0 m^&& δ

を得ます。

1.8 ニュートンの運動方程式と最小作用の原理

( )

q dq F dU q

m&&= =− がニュートンの運動方程式ですから、これを代入すると、

( )

^t

q

S

δ

δ

= ∀

∴ 0 for

となって、現実の運動から、ちょっとだけ外れた運動では必ずSは一定 つまり、極小値を取ると言うことがわかります。

すなわち、

ニュートンの運動方程式 ⇔ 最小作用の原理 が導かれました。

※厳密には、極大では無いことを証明するために、

( ) ( ) ( )

²₂

( )

q q²

q q S q q q S S q q

S

δ δ δ

∂ +∂

∂ +∂

= +

と二階変分を計算して、正であることを確かめる必要があります。

1.9 多次元・多粒子の場合

( )

( ) ( ) ( )

∫

^{+ + + + − + +}

=

+ +

+

t

dt q

q q q q U

q m q q m

q q q q q q S

0 1 1 2 2

2 2 2 2 2 1 1 1

1 1 2 2 1 1

, 2 ,

, ,

,

L L

&

&

&

&

L

δ δ δ

δ

δ δ

δ

( ) (

q q

)

q dt

q q U q

q q q U

q m q q m

S ^t & & & & L L L −L

∂

−∂

∂

−∂ + +

+

≈

∫

^{1 2 2}

2 1 2

1 1 1

1

0 1 1

δ

1 1

δ

, ,

δ

, ,

δ

部分積分して、

( ) (

^{q q}

)

^{q dt}

q q U q

q q q U

q m q q m

S ^t && && L L L +L

∂ +∂

∂ +∂ + +

−

=

∫

^{1 2 2}

2 1 2 1 1 1

1

0 1 1

δ

1 1

δ

, ,

δ

, ,

δ

( ) (

q q

)

q dt

q q U q m q q

q q q U q m

S ^t && L && L +L

∂ +∂

∂ + +∂

−

=

∫

^{1 2 2}

2 1 1

0 1 2 1 1

1 1 1

1

δ

, ,

δ δ

, ,

δ

( ) (

q q

)

q dt

q q U m q q

q q q U m

S ^t && L && L  +L









∂ +∂

 +









∂ +∂

−

=

∫

^{1 2 2}

2 1

0 1 2 1 1

1 1

1 , ,

δ

, ,

δ

それぞれの〔〕の中はニュートンの運動方程式から全てゼロになるので、

全ての座標q₁,q₂,L^{について、}Sは極小値を取ることになります。

図示出来るのは二次元

（変数が二つという意味です）の場合 のみで、右図のようになっています。

但し、軸q₁,q₂は単なる座標ではなく、

現実の運動に対応した時間の関数です。

1.10 最小作用の原理の意味

この運動がどうしてそんなに安定なのでしょうか？

どうしてこの宇宙では、ニュートン力学に従う運動が選ばれたのでしょうか？

それは作用積分を良く見るとすぐにわかります。まず、運動エネルギーT は常に正であ ることに注意すると、

現実の運動

q1

q2

S

値でなく、関数 の種類を表す 座標軸

{

L t

dt U T S ⁼

∫

₀ ⁻

なのですから、積分を小さくするためには、 T 小かつU 大 というところでゆっくり動け ば良いことになります。このことは当たり前で、ポテンシャルの高いところでは運動エネ ルギーが小さくなってゆっくり進む、ということに他なりません。

1.11 オイラーラグランジュの方程式

∫

= ^tLdt

S 0

のままで変分を適用してみます。ここで、L=L

(

q,q&

)

^です。

「どういう運動」かとは、^q

( )

^{t とq&}

( )

^t が、どういう時間の関数かということです。

例）静止

( )



( )



=

= 0

0

t q

q t q

& 自由落下

( )



( )



−

=

− +

=

gt t

q

gt x

t q

0

2 2 1 0 0

υ υ

&

回転

( ) ( )

( ) ( )





=

−

=

=

=

t r

t q t r

t q

t r t q t r t q

y x

y x

ω ω ω

ω

ω ω

cos ,

sin

sin ,

cos

&

&

作用積分Sを変分してみます。Sの変分を取るということは積分の中身のラグランジアンLを ちょっとだけずらすことです。Lをずらすということはその中身の座標と速度をずらすということ です。座標と速度は変数ですが、時間に依存するので「時間の関数」とみなせます。

この関数をずらすので変分になるわけです。

( ) ( )

∫

∫

⁼ _∂^{∂ +∂}_∂

= ^{t t} q t dt

q t L q q t L

d L

S 0 0 &

&

δ δ

δ δ

T 小、U 大

T 大、U 小 ゆっくり進んで時間を稼ぎ、

作用積分を小さくさせる さっさと進んで、 速度

作用積分を大きく させない

Lの変数はqとq&であって、

それ以外の変数は含まな いという意味。

但し、

δ

q

( )

0 =

δ

q

( )

t =

δ

q&

( )

0 =

δ

q&

( )

t =0^{とします。}

ここまで来ればあとは先週のレシピを思い出して、部分積分すれば、

( ) ∫ ( )

^

( )



 





∂

− ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

=

t t

t d t q q L dt t d q q t L

q q S L

0 0

0

δ δ

δ

δ

&

43 42 1

第一項は、ずれ関数

δ

q

( )

t の定義からゼロで、積分の中身は任意の

δ

q

( )

t ^{関数でゼロになら} ねばならないので、結局、

最小作用の原理 =0



 





∂

− ∂

∂

∂

q L dt

d q L

&

ということになります。この方程式をEuler-Lagrange方程式と言います。

一体全体どういう方程式かと言うと、

例） ポテンシャルU

( )

q の中に置かれた質点の場合、^L=^mq −^U

( )

^q

2

&2

ですから、

=



 





∂

− ∂

∂

∂

q L dt d q L

& −

( )

= − =0

∂

−∂ mq f mq dt

d x

U & &&

となってニュートンの運動方程式が出てきました。これは今日の前半で確かめたことです。

以上より本日の結論は、

最小作用の原理 Newtonの運動方程式Euler-Lagrange方程式

ということになります。E-L は微分方程式なので、積分方程式の最小作用の原理に比べて取 り扱いが簡単です（みなさんには同じに見えるかも知れませんが、、、）。

※ 次回はラグランジアンのご利益。どうして便利なのか？

( )

^{t q}

( )

^t

q +

δ

＝少しだけずれた関数

( )

t

q ^{＝元の関数}

δ

q

( )

t ^＝ずれ

（両端ではゼロとする） t

t 0