2013年度
線型代数学演習
ANo.9 問題
2013年6月10日実施
1 以下の複素行列について, (有限回の)基本変形を施すことにより,
Er O O O
の形に変 形せよ. その際, 基本変形の具体的な操作も記述せよ. なお, 最終形において, 下の2 つのO, あるいは右の2つのOは現れないことがある.
(1)
⎛
⎝ 5 −7 2 7
3 −5 2 4
−1 2 −1 −1
⎞
⎠. (2)
⎛
⎜⎜
⎝
0 2 −4
2 1 4
−1 −3 3
3 2 5
⎞
⎟⎟
⎠.
2 a1,a2,a3, a4, a5 ∈C4を以下で与えられるものとする.
a1 =
⎛
⎜⎜
⎝ 2 1
−23
⎞
⎟⎟
⎠,a2 =
⎛
⎜⎜
⎝
−11
−32
⎞
⎟⎟
⎠,a3 =
⎛
⎜⎜
⎝
−1
−34 7
⎞
⎟⎟
⎠,a4 =
⎛
⎜⎜
⎝ 3 3
−14
⎞
⎟⎟
⎠,a5 =
⎛
⎜⎜
⎝
−2
−12 4
⎞
⎟⎟
⎠.
そして, これらの数ベクトルを並べて得られる行列をA= (a1,a2,a3,a4,a5)とする. (1) Aに 行基本変形 のみを施すことにより,階段行列Bに変形せよ. その際, その変 形の具体的な操作も記述せよ.
(2) W =a1,a2,a3,a4,a5 ⊂C4とし,r = dimW とする. このとき,{ak1, . . . ,akr} がW の基底となるak1, . . . ,akr (k1 <· · ·< kr)をa1,a2, a3, a4, a5から一組選べ.
3 (1) m, nを正整数,rを0< r≤min{m, n}なる整数とし, A= (a1, . . . ,an)を階数が rである(m, n)複素行列とする. さらに, a1, . . . ,arは一次独立であるとする. このと き, (m, r)行列Bおよび(r, n)行列Cで, A=BCとなるものが存在することを示せ. (2) 4次複素正方行列A=
⎛
⎜⎜
⎝
2 1 1 1 1 2 1 3 1 1 2 4 1 1 1 2
⎞
⎟⎟
⎠について, Aの階数r = rankAを求めよ. さらに, (4, r)行列Bおよび(r,4)行列Cで, A=BCとなるものを一組与えよ.
