森田, 千尋

九州大学学術情報リポジトリ

Kyushu University Institutional Repository

薄板および偏平シェルの幾何学的・材料的非線形問 題の離散的近似解析に関する研究

森田, 千尋

https://doi.org/10.11501/3119167

出版情報：Kyushu University, 1996, 博士（工学）, 論文博士 バージョン：

権利関係：

c、

oaωRno一O『《いOコマo-uR 回一EO O苔コ Q『83 〈as毒

..a.

ω

①

薄板および偏平シェルの幾何学的・材料的 非線形問題の離散的近似解析に関する研究

平成8年4月

森田 千尋

f薄板および偏平シェルの幾何学的・材料的非線形問題の 離散的近似解析に関する研究J

目 次

第

¹

章 緒論

………-…………

¹

1. 1

序言

………・…・………-…………..

²

1. 2

矩形板および偏平シェルに関する研究の展望

………

⁴

( 1

)矩形板の幾何学的非線形問題， 複合非線形問題および面 内耐荷力問題に関する研究

-……ー………・……・・・……・…・・・

⁴

( 2

)偏平シェルの線形問題， 幾何学的非線形問題および複合 非線形問題に関する研究

……・……ー………

⁷

( 3

)積層偏平シェルの線形問題および幾何学的非線形問題に 関する研究 ・・・・・…・・・・・・・・・・……...一……・・…-…・…・・…・・・・ー・….... ¹⁰

1. 3

離散的近似解法 …・………・……ー…・………・……… ¹²

1. 4

本論文の概要 ・・・ー・・ー・・・一一...一-…・…・・・・・…一...…...一一・・…・…・・・・ ¹³ 第

²

章

^基礎理

論 …ー…・…・………・………一… ^{1 8}

2 . 1

序言 ………・………・ ¹⁹

2 . 2

偏平シェルの特長 一・・・・・ー・・一一…・…...…・・・・・・・…-一一一...…・・…・・・・・ ¹⁹

2 . 3

増分形平衡方程式 …・ ・ ・…・………・…・…………・・… ²¹

2 . 4

断面力と変形との関係式 -………・………・……・・…・…・……… ²³

2 . 5

増分形基礎微分方程式 -……… ²⁵

2 . 6

基礎微分方程式の無次元化 …………-……・……… ²⁷

2 .

7 基礎微分方程式の離散解

………

²⁸

( 1

) 序 ………・・………一. ²⁸

( 2

)基礎微分方程式の積分方程式への変換 ………-…一・…・…... ²⁹

( 3

)積分方程式の離散化 ………・……-………・・ ³¹

、 ‘，/ ・ 1〆，.1

(4 ) 離散解

…・・………… ….. ..・H・ -………-… 一. .………・…・・・… ・ 33

2. 8

積分定数と境界条件 …・………一……-………. 36

( 1

)序 ………-…・… ………一一………-………・…・ 36

( 2 )四辺固定支持

…………・…・…………-…・・………. .……… … ・ 37

( 3 )四辺単純支持(ピン支持 ) (4 )四辺単純支持(ローラー支持 )

… ・……. . . . ...………… … … ・ … 41

( 5

)対辺単純支持他対辺固定支持 ・…………・…・・・…-……・……-… 43

2. 9

結語 一-…・・・・ー…・・・・・…・・・・・・・・……・一…..…・・・・…・・・・・…・・・・・・一一一... 46

第3章 矩形板の幾何学的非線形問題， 複合非線形問題および面内耐荷 力問題への応用 ……… ・…………・………・…… 47

3. 1

矩形板の幾何学的非線形解析 ・………・…・…・・……… … 48

( 1

)序 ………・……….. 48

( 2 )基礎微分方程式とその離散解

…一-…・・……・………・… … ・ … ・ … 48

( 3 )数値計算法

………・…一一……・…...………・… 50

(4 )数値解析結果

…ー…-…・・………・・・ ……… -……… 51

[ 1 ]

四辺固定板 ……・…一-…・… ………・ ………・・.. 51

[ 2]

四辺単純支持板 …………-……- ……・ …・…・……・・…-……. 53

[ 3 ]

対辺単純支持他対辺固定板 …・・……・・・ー ……・……… … 53

[ 4 ]

集中荷重 …・……・ …………・…………・………・…・… 54

[ 5 ]

計算時間および記憶容量 ………・……・・・・・ …………・ … 55

(

5 ) 結語 ・・…・・…一...一一…-…・…ー・・・・・・・・…-…一一....…・…-一.... .... .. 57

3. 2

矩形板の複合非線形解析 ・………-…… ・…・ ・………・… …・…・… 58

( 1

) 序 ……・………・…... . . . ..…・…・……・・・一…・・…・………一….. 58

( 2 )基礎微分庁程式の導入とその離散 解

……・…・・・・………一 … ・ … … 59

[ 1 ]

有限変形での変形-ひずみ関係 ……-…....…・・………- … .. . 59

[ 2]

弾塑性状態での応力一ひずみ関係 ……一一…………・……・・・ 59

[ 3 )

弾塑性状態でのモーメント一変形関係 …ー………・・…-… ・ ・ ・ 60

ヘ汁ソ.，EA J，‘‘、

[ 4 ]

弾塑性状態での面内力一変形関係 -…・ ・…・…・…・…-…. ..….. 61

[ 5 ]

増分形基礎微分方程式 …・……… … . 62

[ 6 ]

基礎微分方程式の離散解 ………・…...一…・・……-…・・…・一. 63

( 3 )数値計算法

……… …・…・……・…一…-…一 -・・…・・………… ……… 64

(4 )数値解析結果

…・……… ………・………一一… 65

[ 1 ]

実験結果 との比較 ………...一………… . . . ...… 65

[ 2]

四辺固定板 ……… 一…………ー…………・…… 66

[ 3]

四辺単純支持板 ………・……・・・ー……一……… …・….. 69

[ 4]

対辺単純支持他対辺固定板 ……….. …・・ 74

(

5 ) 結語 ・…...…・…・…・・・・・・・…・ …・・・・…・ー・・……・・…一…・ー・・…・ ・・・・・ 76

3. 3

等厚および変厚板の面内耐荷力解析 ー…………・・………・…… 77

( 1

) 序 ………・………一………・…・………・ ・…・ 77

( 2 )基礎微分方程式とその離散解

………・・… …・……・……・ 77

( 3 )数値計算法

……… ………-一………ー………ー… 78

(4 )数値解析結果

・……… 79

[ 1 ]

等厚および変厚板の後座屈問題 … … ……… 79

[ 2]

実験結果との比較 …・…… ……… 82

[ 3]

変厚板の面内耐荷力問題 ……・・…ー… …一.. ……… ・ 83

( 5

) 結語 ・・…・・……・…・…・・…・・・…・・…. ...…ー…・・・・・・・・・…・・・ ・一一. 86 第4章 偏平シェルの線形問題， 幾何学的非線形問題および複合非線形 問題への応用 ー・……・・・・・ー・・・….. ...一... ..…・…・ ・……・…・……ー…・・・・・ 88

4. 1

偏平シェルの弾性曲げ解析 ………… …・……ー…・………・…… 89

( 1

)序 ………・………-…-……… ….." ・H・. ... .・H・ . . ・ 89

( 2 )基礎微分方程式とその離散解

………・ 90

( 3 )数値解析結果

. ... . . ... . .... ... . ... ... . .... ....... ... ... . ....…・・ 91

(4)結語 ……….. 94

4. 2

偏平シェルの幾何学的非線形解析 …………ー ・…-…・・…・………… … 95

、‘，，，

・1

HUU J，.‘、

( 1

) 序 ・・・……・・・・…・……・…・………・・・……・ ・……・……・・…. 95 ( 2 ) 数値解析結果 …・・………ー………一……. 96 [

1

] _{偏平シェルの諸元} …・………・・……… 96 [ 2 ] 偏平シェルの対称座屈問題 ……・………-…・……….. 97 [ 3 ] 偏平シェルの非対称座屈問題 ・………-…・………. 100 [ ₄ ] 周辺を弾性拘束支持された偏平シェルの幾何学的非線

形問題 ………・…・………..

102

(

3

_{) 結語} 一・…-一・…・・・・…・・・ー・・・・…ー・…...一一' " …・…・…・・….. .……. .

105 4. 3 偏平シェルの複合非線形解析

・・……ー…・・・ぃ・……・一一・・一-…・・・・・…....

106 ( 1 ) 序

ー…・…・……・・…・…・・・・…………一一・・………一-…………・ー・…ー

106 ( 2 ) 増分形基礎微分方程式とその離散解

…・・……・・………・

1

0

7 ( 3

_{) 数値解析結果} ..………・・…・・…………・…

1

0

8

(4 ) 結語 …一一一…・・・ー・……・・……-…ー……・・・・・・・・・・・・………ー・・一……

114

[ 4 ] 四辺固定アングルプライ

…………-一………... ..…・・……..

129 ( 5 ) 結語

一・・・・・・・ ・・・・…・・・・・・・・・・・・…・……・・・・・・・ ・ ・・一・…・・・…・・・・・…・…・…・・

130

5. 2

積層偏平シェルの幾何学的非線形解析 …一…ー…-………・… …・…

13

1

( 1 )

序 ・…・・・・・・…・・・・・・・・………・…・…・・・・…-…・・・・…一一…・…・・・・・…・・・・・ 131

( 2 ) 増分形基礎微分方程式とその離散解 ….... ..…一……… 1

3

1

( 3

) 数値解析結果 ………・………・-…-…ー………一…

134

[

1

] 積層板 ………・………-…

135

[ 2] 積層偏平シェル .………・……・・………一…一…・-…一…・・…..

136

( 4 ) 結

語

・・…・・・・・・……-一・・・・……・…・・・・・・・・・…... .. . .. .…・・…一一一. . .. ..一一

138

第6章 結論 ・・…・………・………-一

・…・・………・ 1

4

0

cJ /O rhu AUτ ぷU 勺J

X

一明献

白文

明考辞MM参謝

第5章 積層偏平シェルの線形問題およひ'幾何学的非線形問題への応用 ^一一…・

116

5. 1 積層偏平シェルの弾性曲げ解析 ……ー…...一…一...一…ー…………

117

( 1

) 序

-………・………-…一……….

117

( 2 ) 基礎微分方程式の導入 ・ ………・・………… ………一………… ……

118 [ 1 ]

積層偏平シェルの応力一ひずみ関係 …・・…・………… …・…ー

118

[2

]

積層偏平シェルの面内力一変形関係 ……….. .………・ 1

19

[3 ]

積層偏平シェルのモーメント一変形関係 ^{…一-…一…………}

12

0

[4

]

積層偏平シェルのせん断力一変形関係 …・・・・………..

121

[

5 ]

積層偏平シェルの基礎微分方程式 …・ …一.... ..…一……・・…..

122 ( 3

)基礎微分方程式の離散解 ……… …

124

( 4 ) 数値解析結果 …-……- …・………・………・・ ………

125

[

1 ]

数値解の収束性および精度 一………・………..

125

[2 ] シェル厚の影響

• . . . . • • • . • • . • • . • . • • • • • . • . . • • . • . • • • . • . • • . . • . • . • . . . • . . • • . . • 127

[

3 ]

ライズとシェル厚の影響 …・・・・…・・…-….... ...……・・ー・…・・

129

(iv) (v)

第 1 章

緒 論

1. 1 序 百

構造物の設計および強度計算においては， 通常， 構造全体の強度を維持するため の全体構造解析と 構造物の局部的な強度を維持するための局部構造解析が行われ ている。 その中でも， 板， 殻は局部構造要素の代表的なものの一つであり， 各種分 野において様々な用途で用いられており， 構造物の耐荷性は， これら板， 殻の性質 に大きく依存してくる。

近年， 構造物の大型化・薄肉軽量化が進む中， その構造の重要な要素の一つであ る板殻構造 の挙動の解明には， 超高速大型計算機の出現した今日， より厳密性を追 及した実際状態に近い条件の下での構造物の挙動の解明が必要であり， そのために は， 種々の非線形性を考慮した構造解析が各種の分野で行われている。 例えば， 土 木の分野においては， 直線および曲線プレートガーダーの腹板， 吊橋・斜張橋など の大型主塔， トラス橋の圧縮部材， アーチ系橋梁のアーチリブ， 箱桁橋の圧縮フラ ンジなどを構成している板ノfネルの耐荷力問題などが挙げられる。 建築の分野にお いては， 壁， 床スラブなどの解析， また大スパン建築構造のシェル， 吊り屋根， 膜 などの自重や雪荷重による大たわみや座屈などの幾何学的非線形問題などがある。

船舶の分野においては， 船の構造は主として薄鋼板で構成され， これが荷重に応 じて防換材(補強材)などで補強されている場合が多く， 甲板， 外板や隔壁などの 平板構造， あるいは， 船首尾構造のようにわん曲部を持つ曲面構造もあ り， 防挨材 などで区切られた1パネルの解析が行われ， 水圧荷重などの分布荷重が作用する場 合の幾何学的非線形解析や材料非線形性をも考慮、した複合非線形解析， あるいは面 内圧縮荷重 を受ける耐荷力解析が行われている。 これらの解析は， 機械や航空・宇 宙工学分野の同種の構造， すなわち自動車の外板や航空機の主翼外板， 胴体外板，

床板などにおいても幾何学的非線形解析が行われている。

さらに， 軽量性， 高比強度， 高比剛性を持つ繊維強化プラスチック(FR乃に関す る技術の発達にはめざましいものがあり， これまで， 航空・宇宙工学などの構造軽 量化が重要な分野において研究開発が進められており， 航空機の主翼や胴体め一部 に用いられている。 また， 船舶の分野においてもFRP船が建造されており， 年々大 型化している傾向にある。 さらに複合材料の高耐久性にも注目して， 土木・建築の

-2-

様々な分 野においても使用されつつあり， ガラス繊維強化プラスチック(GFRP)で さえ強度に関して は 鉄鋼程度， 弾性率に関して は コンクリート程度もあり， これら に代わる建設材料として活用さ れる可能性も大きく ， その用途についての研究開発 が進められ ている。 これら複合材料からなる積層板殻構造は， その異方性を利用 し て支配的な荷重作用に有利な材料設計をす^{ることがで}き^るため， 土木 ^・ 建築分野へ

有効利^用するためには， これらの構造に対するの非線形挙動解析も必要になる。

板殻構造の非線形問題に関する支配方程式は， 連立偏微分方程式で表わされ， こ れらの問題は， この連立偏微分方程式をし、かにして数学的に解くかに帰結される。

支配方程式の解を求めるためには， その領域の境界条件を満足するように積分を行 う必要があり， この解析手法としてまず厳密解法が挙げられる。 しかしながら厳密 解が求められるのは， 限られた形状， 支持条件， 荷重条件の場合のみで あり， 一般

的な問題では， ある種の離散化によ^って支配方程式を数値的に解くことになる。

本論文においては， 板殻構造の線形および非線形問題につして， 種々の境界条件，

任意の街重条件および変断面性 に対する解析の容易さおよび方法の一般性という点 に注目し， 等価置換系にモデル化することなしに， 基礎微分方程式 に基づいて直接 的， かつ， 効率的に解析しうる解法の確立を目的と して， 基礎微分方程式の積分方 程式への変換と積分方程式の近似解法の応用とにより， 板殻構造の支配方程式の離 散的近似解を求め， これに基づく解法を提示する。 提示した手法 は ， 最終的に解か れるべき連立方程式の元数を低下させ ることにより， 記憶容量および計算時間の減 少を企図したものであり， 解法を工夫することにより小・中型程度の計算機によっ ても十分解析可能である。

本章で は ， 矩形板， 偏平シェルおよび積層偏平シェルの線形弾性問題， 幾何学的 非線形問題および材料非線形性をも考慮した複合非線形問題に関する既往研究の展 望を行い， 現時点におけるこれらの諸問題の問題点を明確にする。 続い て， 矩形板 および偏平シェルの非線形問題の解析方法として， 本論文において用いられる離散 的近似解法の必要性を論じる。 最後に， 本論文の概要を述べる。

-3-

1. 2

矩形板およ

び

偏平シ ェルに関す^る研究の展望

( 1 )

矩形板の幾何学的非線形問題， 複合非線形問題および面内耐荷

力

問題に関 する研究

矩形板が^外力を受けて変形する場合， そ^の変形が微小である場合には， 通常， 荷

重と変形は比例的であり， その挙動は線形である。 しかしながら， 矩形板の変形量 が板厚に近い大きさになると面内力は変形 の影響を受けて変化し また， それらの 面内力は変形に影響を与えるため， 荷重と変形の関係は線形とはならず， 矩形板は 非線形挙動を呈することになる。

このような非線形挙動を支配する基礎微分方程式は， 非線形方程式であり， 直接 それを解いて矩形板の挙動を解析することは容易ではな� "\。 また， 変厚矩形板の基 礎微分方程式は， 任意の関数として与えられる板剛度および板厚を係数とする， い わゆる変数係数の連立偏微分方程式となるため， その解析解を一般的に求めること は， ほとん ど不可能である と考えられる。 そのため， 変厚矩形板の非線形挙動の解 法とし^ていく^つかの近似解法^， 数値解法が^{提案されてきてし、}る。

矩形板の有^限変形^問題は^， Th. von必irmán ^1)により非線形基^礎式が導^き出^され， 初 期たわみを持つ場合には ， Marguerre勾により拡張されている。 面外荷重を受ける矩 形板の有限変形問題は， kd7mat1)による非線形基礎式に基つeき， まず， Kaiser 3)お よび 時匂n

^g

⁴⁾が^， 差分法を用いて解析してい^{る。 Wa}

^y

抑)は， べき級数を用いて周辺 固定なる境界条件を持つ円板勾および矩形板めの幾何学的非線形挙動を明らかにして おり， 周辺単純支持なる境界条件を持つ矩形板に関しては， Levyηが， 二重フーリ

エ

級数を用い^て求めている。 Berger8)Lt， 周辺固定， 周辺単純支持なる境界条件を持 つ円板を解析しており， さらに周辺単純支持， 対辺単純支持他対辺固定なる境界条 件を持つ矩形板に関して， アスペク ト比の影響を

明

らかにしている。

有限要素法による研究は， Ka

waiら勾が，

長方形要素を用い高次項まで考慮、した変 位

^成

分から出

^発

して基

礎

式を

誘導し

，

周辺

固定なる

境界

条件を持つ矩形

板

の

大

たわ み挙動を反復法を適用して解析している。 Murra

y

-Wilson 10)は， 要素座標系の平行移 動^，

回転と

しづ

巧妙な手法

により

周

辺単

純支持の

場合を

解析し，

Leνyηの結果と

比 較している

が， たわみ に関してはよく一

致

しているも^のの，

曲

げ

^応

力^には

多

少の

差

-4-

がある。 Yαng )1)は， 長方形要素を用いて変位の2次項までを考慮、した接線剛性マト リックスを誘導し， 荷重増分の取り方に改良を加えた増分法により周辺固定の場 合 を解析している。 Schmidt明は， 同様に周辺固定の場合 に関して， 長方形要素を用い，

荷重増分には修正Newton-Rap九r;on法を用いて， Wayの， Kawaiら吟などの解析結果 と比較しているが， たわみ， 応力とも多少の差が生じている。

面内荷重を受ける矩形板の後座屈問題は， 前述のMarguerre勺こより拡張さ れた基 礎式に基づ いて， 周辺単純支持なる境界条件を有する矩形板に関して， Levy乃が，

一重フーリエ級数を用いて求めている。 Coan13)は， Levyηの解を拡張して， 非載荷 辺の拘束条件を考慮した場合の後座屈挙動を明らかにしている。 Yamaki叫1勾は， こ れらの解を さらに拡張し， 固定辺を含む4つの境界条件についての非線形挙動を明 らかにしている。 Rushton同は， DR(均namicRelaxation)的差分表示による解法を後 座屈問題に適用し， 初期たわみの形状の違いによる非線形挙動， および， 載荷方向 に直線的に変化する変厚矩形仮の後座屈挙動を明 らかにしている。 上回ら]7)は，

Galerkin法を用いて面内圧縮荷重， 面内せん断荷重を受ける場合の大たわみ挙動を 明らかにしている。 Rhodes-Harvey旭川吟は， 級数解を用いて， 載荷辺は単純支持と限 定し， 非載荷辺は種々の境界条件とした場合の， 偏心圧縮荷重による後座屈挙動を 明らかにしているo D ombourianら加)は， 摂動法を用いて解析し， アスぺクト比の影

響を明らかにしているo 前田ら2

位制御の解法を開発し ， Yamaki附の解とよく一致することを示し， さらに種々の境 界条件およひ・アスペクト比の後座屈挙動に及ぼす影響を明らかにしている。

有限要素法による研究は， 前述のMurray-Wilson 22)が， 後座屈問題へも拡張し，

Levy乃の解析結果と比較している。 Yang23)は， 最小ポテンシャルの原理を用い， 非 線形挙動の各ステップにおいて は線形の増分により非線形挙動を解析し， Levy乃な どの解析結果と比較している。 Vos-陥nn2A)は， 自由度を変えた三角形要素により解 の収束性を検討し 9自由度および1 8自由度の三角形要素による非線形解析結果 をYamaki川の解と比較している。

次 に， 面外荷重を受ける矩形板の非弾性領域までも扱った複合非線形問題に関す る研究は， Massonet 25)が， 応力とひずみの関係は， Prandtl-Reussの方程式に支配さ

-5-

れるものとみな し 前述のKármán 1)の式に， 塑性変 形に関連する項を加えた基礎式 について差分 法で扱うことを示唆しているが， 実際に数値計算は行っていない。

Murray-Wilson 26)は， 有限要素法を用いて， 既発表の弾性大たわみ理論を， 塑性変形 理論により弾塑性領域まで拡張して解析している。 大坪幻)は， 塑性 解析に対して初 期ひずみ法を適用し， 変分原理に基づいて， 面内挙動に関しては有限要素法を用い，

面外挙動に関しては

Rayleigh-Ritz法を用いて解析している

。 岡村ら濁)は， 選点法に より， 基礎式中の塑性変形に伴 う物理量および大たわみに伴う影響値 は平均化され てもよいも のとみなし， これらの式を線形化し， 板厚， 降伏応力， 周辺の拘束条件 などが非弾性挙動に及ぼす影響を明らかにしている。 馬場ら29)は， DR的差分表示を 用い， 静的 および動的非線形問題を取り扱い， 弾塑性問題において は適当な減衰定 数の導入により動的応答の収束値として解が得られるものとし， 板厚お よび周辺の 境界条件の影響を明らかにしている。 Ohgaら却)は， 有限帯板法と伝達マトリックス 法を組み合わせたFETM法 (Finite Element - Transfer Matrix Method)を提示し， その解 法の有効性を確認している。

さらに， 初期不整を有する矩形板の面内耐荷力に関する研究は， 大坪刀)および|河 村ら 31)が， 前述の方法で， 初期たわみを有する矩形板をそれぞれ解析し 耐荷力曲 線を求めている。 Watanabe32)は， Newton-Raphson法を用いた摂動法により， 純曲げ およびせん断を受ける矩形板 に関して弾塑性有限変 形解析を行っている。 上回ら 33)--35)は， 初期たわみを有する矩形板に関して有限帯板法33)を用いて非線 形挙動を明ら かにし， さらに初期たわみおよび残留応力を有する矩形仮に関して有限要素法判35) を用いて解 析し 実験結果と比較することにより初期不整の耐荷力に及ぼす影響を 明らかにしている。 Needleman3川ま， 有限要素法とRayleigh-Ritz法を組み合わせた解 法により弾塑性有限変形解析を行い， 面内変形の境界条件の違いによる非線形挙動 を明らかにしている。 小松らめは， 有限要素法にMurray-Wilsonあ)の移動座標法を適 用して， 初期たわみ， 残留応力， アスペクト比および幅厚比をパラメータとしてパ

ラメトリックな非線形解析を行い， 耐荷力曲線を提示している。

以上のように， 矩形板の幾何学的非線形問題， 複合非線形問題および面内耐荷力 問題につい て多くの研究が行われてきているが， 幾何学的非線 形問題および複合非

-6-

線形問題に関しては， 解析手法によって変形あるいは応力に違いが生じ， また， 統 的に種々の境界条件および荷重条件を解析した研究はあまり見当たらない。 面内 耐荷jJ問題 に関しては， 等厚な 矩形板のみを取り扱っている場合が多く， 変断面性 状を持つ矩形板の後座屈問題および面内耐街力問題に関する研究は非常に少ないよ うである。 近年， ドイツやフランスの橋梁においては， 省力化を図る目的で板厚変 化を付けた鋼板が使用されており， 鋼重が減少し， 工期も相当 に短縮されたと報告 されている刻。 日本の鉄鋼メーカー各社も変厚鋼板を生産する体制がで きているよ うであり， 変厚鋼板を使用することにより， 省力化はもちろん， 構造物の大型化・

薄肉軽量化が考えられる。 今後， 他の分野において も省力イヒ・ 大型化・軽量化など の円的で， 平板構造には変厚鋼板の利用も予想され， これら変厚板の耐荷力問題に 関する研究は必要であると考えられる。 本論文においては， 矩形板の解析法として 基礎微分方程式の離散解に基づく， 直接的， かつ， 半解析的なー離散化解析法を提 示し， 種々の境界条件， 任意の荷重条件および変断面性状を持つ矩形板の幾何学的 非線形問題， 複合非線形問題および面内耐荷力問題に関する離散的近似解法の実用 性を検討する。

( 2 ) 偏平^シェルの線形_問題， 幾_何学的非線形問題および_複合非線形問題^に関す る研究

シェル構造は， ライズ辺長比(球形の場合はライズ直径比)の大きいものについ て理論的に発展し， また， ライズ辺長比が大きい方が変形や曲げ応力も小さく力学 的にも有利 であるが， 構造形によってはライズ高さの制約があり， ライズ辺長比を 小さくしなければならない場合もある。 ライズ辺長比が小さいと周辺の推力も大き くなり， 支持構造を強くする必要 があるが， 例えば等分布満載荷重の荷重条件に限 定すれば， 平面板にわずかのライズを持たせて偏平シェル構造にすることは， 力学 的に非常に有利な構造となり， 板に作用する応力は大部分が圧縮応力状態になり，

周辺の比較的小さな曲げ応力を処理すればよく， したがって， 平面板に比べて経済 的で， 大スパン 構造に適するものと考えられる。 しかしながら， 偏平シェルの場合 には， その挙動が初期の安定なつり合い状態から不安定な経過を経て安定なつり合

-7-

い状態に移行する， いわゆる飛び移り現象などを起こす場合があり， 偏、子シェル構 造物の座屈安定性に関する検討が必要となる。

偏平シェル構造の線形問題は， 同αsov 39)によりMarg uerreみの基礎式を拡張して導 き出されている。 Vla sov 39)型の基礎微分方程式は， 偏平曲面を前提に， 面外せん断 力の面内成分を面内つり合い式内で省略した近似式ではあるが， 表現の簡潔さ， 解 析の簡便さのため， 広くシェル構造の解析には利用されている。

Vla sov助型基礎微分方程式のフーリエ級数解は， Bouma引によりねじれ率がOの E.P. (Elli)フtic

Paraboloidal)およびH.P.(め'perbolic Paraboloidal)シェルが解析されてい

るが， 単級数のため相対す る境 界条件は， 限定されている。 坪井ら 41)は， 同様の H.P.シェルを二重級数を用いて周辺固定支持の場合を解析し 差分法による解と比 較している。 角野 ・坪井ら42)，43)は， 曲率がOのH.P.シェルを三重級数を則いて4隅 点支持の場合を解析している。 中田ら刊は1 4隅点支持および周辺固定なる境界条 件を持ち， ねじれ率がOのH.P.およびE.P.シェルについてフーリエ級数解を求め，

ライズ辺長比およびシェル厚辺長比なと、のパラメータ解析 を行っている。

有限要素法による研究では， Bognerら45)は， 一次のHermite補聞による円筒シェ ル要素を用いて， 一般的な円筒シェルを解析し1 Timoshenkoら仙の解と比較してい る。 Cantinら引は， 剛体変位を含むシェル要素を用い て， Bognerら必)の解と比較し ているo Sabir ら引は， 2方向曲率を持つ偏平シェ ル要素を 用いた解析を行い，

Cantinら�)の解と比較している。 Brebbiaら49)は， 板要素やシェル要素などの剛性マ トリックスの違いによる円筒シェルの解析結果， および， 曲率がOのH.P.シェルの 解析結果を比較している。 Yan g 50)は， 偏平シェル要素を 用いて， 円筒シェル，

E.P.シェルおよびH.P.シェルの解析を行っている。 Bu cco51)は， 周辺単純支持およ び固定支持の境界条件を持つ任意形状の偏平シェルを対象に， 曲率を変化させたパ ラメトリックな解析を行っている。

次に， 外圧を受ける偏平シェル構造の座屈問題で は， 模型実験により得られる球 形シェルの座屈荷重は， 微小変形による古典理論値の1β--1/4と低L、値を示し， この 差を説明するために多くの実験や非線形解析が行われている。 Budiansky 52)は， 周辺 を固定支持 した偏平な部分球殻に関して， 対称座屈荷重を反復法を用い て求めてい

-8-

る。 Weinitschke均は， 同様の問題を級数解を用いて求めており， Budiansわ，52)と一致 した結果を得ている。 さらに， 対称座屈荷重値より も小さい座屈荷重値を示す非対 称座屈については， Huang 54)が， Rayleigh-Ritz法を用いて， KapLan-Fung 55)および Homewood らお)の実験結果に近い結果を得ている。 また， 角野ら幻)は， 比較的開角 の大きい部分球殻にも適用可能な座屈荷重を， 周辺固定および単純支持の 境界条件 に対して求めている。

一方， 投影形状が矩形の偏平シェルについては， Leicester均が， 級数解を用いて，

E.P. シェル， 円筒シェ ルおよびH.P. シェルなどの任意の曲率を持つ偏 平シェルの 非線形挙動を明らかにし， 対称および非対称座屈荷重を四辺単純支持の場合の み求 めている。 Archerら匁)は， 差分法を用いて四辺単純支持および四辺固定の境界条件 を持つE.P. シェルの非線形挙動を明らかにしている。 Yangω)は， 有限要素法を用 いて， 四辺単純支持お よび四辺固定の境界条件を持つ矩形板に負の初期たわみを与 えて， 偏平シェルの飛び移り現象を明らかにしている。 Batozら61)は， Leicester匁)と 同様な問題 を有限要素法を用いて解析し 任意の曲率を持つ偏平シェル の対称およ び非対称座屈挙動を明らかにしているo Ramm聞は， 同様の問題を同じく有限要素 法を用いて求めておりI Leicester 58)の結果とほぼ等しい結果を得ている。

さらに， 偏平シェルの非弾性領域までも扱った複合非線形問題に関す る研究は，

Hutchinson 63)が， 部分球殻の弾性座屈荷重に基づいて， 接線剛性理論による塑性座 屈荷重を 求めている。 Bushnell“)は， 種々のシェル構造物の 弾塑性座屈問題につい ての広範聞に及ぶ研究を行っている。 有限要素法による研究では， Landauら65)およ びRamm ら“)は， 縮退3次元要素を用いて， それぞれ， 部分球殻および偏平シェル の弾塑性解析を行っている。 Martinsら67)およびDinisら的は， セミルーフ要素を用い て円筒シェ ルを解析し， 三角形要素， アイソパラメトリック要素などによる解析結 果と比較している。 Owenらω)刈は， 同様のセミルーフ要素ω)および縮退3次元要素 市)を用いて， 円筒シェルおよび周辺固定E.P.シェルを解析し， 異方性材料から成る 偏平シェルの弾塑性有限変形問題まで拡張している。

以上のように， 偏平シェルの線形問題， 幾何学的非線形問題および複合非線形問 題について， 多くの研究が行われてきて いるが， 種々の境界条件および任意の荷重

-9^-

条件を持つ偏平シェルの線形問題， 幾何学的非線形問題および複合非線形 問題を目 的とする， 平易で汎用性のある実用的解析法に関しては， 今までのところ十分な検 討は行われ ていない。 偏平シェルの座屈問題に関しては， 球形シェルの場合には，

多くの実験的および解析的研究 が行われおり， 簡易算定式も提案されているが， 投 影形状が矩 形の偏平シェルの座屈安定性に関する研究は数少なく， 重要な課題であ る。 また， 偏平シェルに関しては， ライズ辺長比を小さくすると周辺の推力も非常 に大きくなり， その処理のため支持構造を強くする必要がある が， 周辺 の支持条件 の差異による非線形挙動の変化 など， 支持条件に着目した研究はあまり見当たらな い。 板殻構造においては補強 材などで補強されている場合が多く， これらの補強材 などの剛性により， 境界条件は， 単純支持， 固定支持あるいはそれらの中間的な弾 性拘束支持などが用いられるため， 周辺の支持条件に着目した研究は必要で‘ある。

( 3 )積層偏平シェルの線形 問題および幾何学的非線形問題に関する研究

軽量， 高比強度， 高比剛性を持つカーボン. ボロン， アラミドなどの新素材と，

プラスチック基材とを組み合わせたFRPに関する技術の発達に はめざましいものが あり， これまで， 航空・宇宙工学などの構造軽量化が重要な分野において研究開発 が進められているが， 複合材料の高耐久性にも注目して， 土木・建築の様々な分野 においても使用されつつある。 土木の分野では， 高強度や耐腐食性に優れたFRPは，

鉄筋， ケープノレに代わり， 連続繊維として利用されつつあるが， 一方向強化材の異 方性を利用して， 支配的な荷重作用に有利な材料設計ができる積層板 としての利用 も考えられる。

積層板は， 通常， 直交異方性を有する一方向強化板， クロス強化板な どのラミナ を接着積層させて製作 される。 直交異方性ラミナから成る複合積層構造 は， その積 層の順序は任意であるが， 対称， 逆対称に積層することにより， 各々， 対称積層板，

逆対称積層板と呼ばれ ， さらに， ラミナの配向角によりクロスプライおよびアング ルプライと呼ばれる積層板となる。 これらの積層板は， 弾性係数比， 積層数， 配向 角などによ り異なった力学的特性を有するため， 適当に組み合わせることにより構 造力学的に有利な構造を設計することもできる。

-10-

積層板お よび積層シェルに関 する研究は， 前述したように航空・宇宙工学の分野 で盛んに行われており， 積層板の線形問題に関しては， 一次せ ん断変形 理論， 高次 せん断変形理論などを含めて， その動向はNoorらη}により詳述されてしる。 積層シェ ルに関してはI Reddy司，η)が， 単純支持された二重曲率を持つクロスプライ積層シェ ルを対象とし て厳密解を与えている。 有限要素法による研究では， Jeyacha ndrabose ら74)は， 高次の三角形シェル要素を用いて偏平シェルの解析を行っている。 Deyら万) は， 8節点曲線アイソパラメトリック要素を用いて， 二重曲率を持つ積 層シェルを

般的に定式化し， 逆対称クロスプライ， および， アングルプライ積層シェルにつ いてパラメトリック解析を行っている。 Fanら珂は， 直交異方性を持つ二重曲率シェ ルの支配方程式を定式化し， Cayley-Hamilton の定理を用いて単純支持の積層シェル に対する解析解を与え， Reddyη)の解析結果と比較しているが， 精度の面から検討 の余地が残されていると思われる。

}j， 幾何学的非線形問題に関する研究は次のようなものがある。 Chia77)川)は，

固定支持された積層板に関して， 積層数および材料特性の違いによる非線形挙動を 明らかにしている 。 Zaghloulら乃)は， 単純支持および固定支持の逆対称クロスプラ イおよびア ングルプライ積層板の有限変形挙動を実験的に 明らかにし， さらに差分 法を用いた解析結果と比較している。 Chan gら聞は， ガラス ・エポキシの特性を持 つ薄肉円街殻に関して， 有限要素法を用いて有限変形解析を行っている。 Liaoら町 は， 単純支 持された逆対称クロスプライおよびアングルプライ積層偏平 シェルの座 屈安定性について， 有限要素法を用いて解析し 補強材の効果を明らかにしている。

以上のように， 積層板および積層偏平シェルの線形， 非線形問題に関しては多く の研究が 行われているが， いずれの場合においても限られた境界条件に限定 されて おり， 種々の境界条件および任意の荷重条件に対する解析の容易さおよび方法の一 般性という観点に立てば， 積層板および積層偏平シェルの解法に関してまだ検討の 余地が残されている。 また， 積層偏平シェルの幾何学的非線形挙動まで取り扱った 研究は数少なし 形状， 材料特性の違いなどのパラメトリックな解析はあまり見当 たらない。 近年では， 強度に関しては鉄鋼程度， 弾性率に関してはコンクリート程 度のGFRPもあり， これらに代わる建設材料として活用される可能性も大きいと思

-1 1-

われ， 積層板殻構造の非線形挙動の解 明も重要である。

1. 3

離散的近似解法

本論文に おいては， 種々の境界条件， 任意の荷重条件および 任意の変 断面性を有 する矩形板および偏平シェルに関して， 線形的および非線形的 な挙動の理論解析を 行うが， こ のような変厚板および変厚偏平シェルを 含む一般的な偏平シ ェルの曲げ に関する基礎微分方程式は， 一般に， 偏平シェルのシェル厚およびシェル剛度など の諸量を変数係数に侍つ連立偏微分方程式となる。 さらに， 非線形問題に関しては，

有限変形理論による非線形解析 が必要となり， その基礎微分方程式は， 高次の非線 形項まで 含んだ連立非線形方程式となる。 偏平シェルの変厚性状や荷重形態、に任意 性を保持したまま， これらの変数係数連立偏微分方程式の解析 解を一般的な形で，

また， 非線形項を含んだ連立非線形方程式の解析解 を直接的に求めることは， ほと んど不可能であると判断され， 何らかの近似解法が必要となる。

偏平シェ ルの線形および非線形問題に対する近似解法としては， 等価置換手法あ るいは離散 化手法に基づく汎用 解法として， 有限要素法， 有限帯板法， 境界要素法 あるいは差分法などが考えられ る。 しかしながら， 本論文においては， 偏平シェル の線形および非線形問題につい て， 種々の境界条件， 任意の荷重条件および変断面 性に対する 解析の容易さおよび方法の一般性という点に注目し， 偏平シェルを等価 置換系にモデル化することなしに， 基礎微分方程式に基づいて直接的， かつ， 効率 的に解析しうる解法の確立を目的として， (1)基礎微分方程式の積分方程式への

変換，

_{( 2}

)積分方程式の近似解法の応用， により求められる変数係数連立非線形

偏微分方程式の， 偏平シェルの矩形Bぉcの縦横の交点lこ関する離散解に基づく解法 を提示し， これを “離散的近似解法" と称することとする。

離散解は， 偏平シェルの矩形Baseの縦横の等分割線のすべての交点で， せん断力，

ねじりモーメント， 曲げモーメント， たわみ角， たわみ， 面内変位および面内力を 与える。 ま た， 離散的近似解法においては， 他の離散化数値解析法とは異なり， あ らかじめ偏平シェルの変形形状を仮定する必要はない。

さらに， 離散解は， 解析解の離散的表示であるとみなすことができ， 偏平シェル

-12-

の矩形Baseの縦横の等分割線の交点の数を無限大にした極限において， 理論上， 解 析解に一致する。 したがって， 本解法により， 種々の境界条件を有し 任意荷重を 受ける偏平 シェルは， 解析解が得られた場合とまったく同様な手法で一般的に解析 されること になる。 また， シェル剛度やシェル厚の変化が不規則で関数表示できな い場合に ついても， 偏平シェルの矩形B出cの縦横の等分割線の交点におけるシェル 剛度， シェ ル厚の値が与えられ れば， これらが規則 的な場合と同様に原形の状態で の解析が可能である。

1. 4 本論文の概要

科学技術の著しい進歩の中に あって， スーパーコンビュータなどの超高速大型計 算機の出現した今日， 土木分野においても新しい技術開発に対する要望は益々強く なっている。 構造設計の分野における新技術開発のためには， 計算技術の未熟さあ るいは計算機の記憶容量・計算時間などによる制約などの理由によ って， 従来， 無 視されたり ， あるいは， 近似的にのみ考慮、されていた条件などを十分に考慮した，

より実際状態に近い条件の下での構造物の挙動の解明が必要であり， そのためには，

種々の非線形性を考慮した構造解析法の開発が不可欠である。

変厚板および変厚偏平シェルを含む一般的な偏平シェルの曲げに関す る基礎微分 方程式は， 任意の関数 として与えられるシェル厚およびシェル剛度を係数とする，

いわゆる変数係数の連立 偏微分方程式となるために， その解析解を一般的に求める ことはほとんど不可能であると考えられる。 そのため， _� \く つかの近似解法， 数値 解法が提案されている。 しかしながら， 種々の境界条件， 任意の荷重条件， 曲率お よび変断面性状を持つ偏平、ンェルの線形挙動に対する解析の容易さおよび方法の一 般性という点に注目すると， 解法に関しては， また検討の余地が残されている。

矩形板お よび偏平シェルの非線形問題に関して言及すれば， 矩形板に関しては，

種々の境界条件および任意の荷重条件を持つ非線形解析は多くなされているが， 変 厚板の後座屈問題および面内耐荷力問題に関する研究は， あまり見受けられない。

また， 偏平 シェルに関しては， 任意の形状を持つ偏平シェルの飛び移り座屈や分岐 座屈などの座屈安定性に関する研究は行われているものの， 偏平シェルに作用する

-13-

周辺の推力に影響を及ぼす支持条件に着目した研究 は， 特に注目する研究は見当た らない。 さ らに， 積層偏平シェルに関しては， 積層数， 積層順序および持性係数比 によ り， その力学的挙動は大き く変化してくるものと考えられるが， これらをノfラ

メータとする座屈安定問題に関する研究は， あまり見受けられない。

本論文は ， 変厚板を含む一般的な矩形板の非線形曲げ解析法 として， 基礎微分方 程式の離散解に基っ・く， 直接的， かっ. 半解析的な一解析 法を提示し跡的， その解 析法による数値解の収束性および精度を検討するとともに， 偏平シェル構造に拡張 適用して ， 偏平シェルの線形問題飴)，u) ， 幾何学的非線形問題飽)判)， 複合非線形問題 91同， および， 積層偏平シェルの線形見)および幾何学的非線形問題94)均への応用性を 論じたもの である。 本論文で提示された離散的近似解法叫悶は， 偏平シェルの解析 に際して， 最終的に解かれるべき連立方程式の元数を低下させることにより， 記憶 容量および計算時間の減少を企図したものであり， 比較的小容量の電チ計算機の使 用を前提とした， 実用解析法の確立を目指すものである。

本論文では， 土木， 建築， 船舶， 機械， 航空・宇宙工学などの各種分 野の板殻構 造を想定し ， 荷重条件としては， 建築分野などにおける固定荷重， 積載荷重， 雪荷 重および風荷重， 船舶 分野などにおける水圧荷重および油圧荷重などの等分布荷重 を主に取り扱っている。 また 境界条件としては， 各種分野の設計例として， 土木 分野におい ては， 閉断 面部材の構成板要素など隣接ノfネノレを有しない場合には， 面 内横変位を拘束しない 周辺単純支持， あるいは水平， 垂直補剛材で補強された板ノ。

ネルなと-隣接ノfネノレを有する場合で-は， 面内横変位を拘束する周辺単純支持として 解析している場合が多く， コンクリートなどを充填した鋼製角形柱の板要素では周 辺固定支持として解析している。 建築分野において は， 一般的には周辺単純支持と して解析し ているが， 大ばり等で固まれた床スラブ， 屋根などは周辺固定支持とみ なしている。 さらに， 船舶分野などにおいては， 補強材などで区切られた隔壁など は， それらの補強材などの剛性により， 面内横変位を拘束する単純支持あるいは固 定支持とし て解析され ている場合が多いロ したがって， 本論文の境界条件では単純 支持あるいは固定支持とした境界条件を主に使用し， また， そ れらの中間的な拘束 である弾性拘束支持などを用いている。 さらに， 材料としては， 主に薄鋼板を対象

-14-

としている が， ひび割れ前のコンクリート床板などにも適用でき， コンクリートの 構成則を考慮することにより， ひび割れ後も適用できる。 また複合材料においては，

鉄筋コンクリート構造， サンドウィッチ構造などにも拡張可能である。

本論文で 用いた板殻構造の解析例の土木分野への 応用を考えれば， コンクリート 打設時の型枠としての薄鋼板や補強材としての使用 などが挙げられる。 コンクリー ト打設後で は， その自重により等分布満載荷重となり， また， 支持条件は， 周辺の 剛性や拘束などにより単純支持あるいは固定支持が考えられる。 さらに， 軽量化を 目指すため には非常に薄い鋼板が使用され， 各種の非線形性を考慮した 解析が必要 となる。 本論文では， そのよう な構造物を対象として， 矩形板の幾何学 的非線形解 析あるいは複合非線形解析を行う。

また， コンクリートの引張りに弱いという欠点を補うためには， 外力として鋼板 にプレストレスを導入し， 打設する コンクリートに圧縮を与え る 工法も開発され，

実用化の研究が進められている。 一方， 形態的 に薄鋼板に曲率をつけて 偏平シェル 傍造とする と_， 荷_{重作 用}により， コンク_リートに圧縮が与えられ， _打設コンクリ_ー トの弱点を補うことも できる。 偏平シェル構造は， 大スパン構造に適した構造で-あ り， 構造物の大型化に もつながり， さらには景観および美観的 な面からも曲面構造 の優美さを発揮する目的のためにも使用される可能性も増大するであろう。 しかし ながら， 薄鋼偏平シェルでは， 飛び移り座屈などの座屈安定性の問題があり， 本論 文では， 偏 平シェル構造の線形解析， 幾何学的非線形解析あるいは複合 非線形解析 を行う。

さらに軽量化という面からは， 耐久性， 耐腐食性にも優れているFRPからなる積 層偏平シェル構造の使用が考えられる。 最近では， 鉄筋， ケープルに代わか 連続 繊維としてFRPが利用されつつあるが， 一方向強化材の異方性を利用して， 支配的 な荷重作用に有利な材料設計がで‘きる 積層偏平シェル構造をコンクリー ト打設時の 型枠あるいは補強材として利用 する方法も考えられる。 軽量な複合材料を使用する ことにより， 現場での運搬作業も容易になり， 工期の短縮にも つながる。 そのよう な構造物を対象として， 積層偏平シェル構造の線形解析あるい は幾何学的非線形解 析を行う。

-15-

本論文は， 6章より成る。

第1章緒論においては， 矩形板の非線形問題， 偏平シェルの線形および非線形問 題， および， 積層偏平シェルの線形および非線形問題に関する既往の研究の展望と 現時点にお ける問題点， 偏平シェルのー解析法としての離散的近似解法の意義およ び各章の概要について述べる。

第2章基礎理論においては， はじめに， Mindlin理論に基づく偏平シェルの， 有限 変形を考慮、した増分形基礎微分 方程式の離散解の誘導を行う。 離散解は， 基礎微分 方程式の積 分方程式へ の変換と積分方程式の数値積分の応用とにより求められる。

次に， 本論文における離散的近 似解法を用いて解析を行う際に必要となる境界条件 と積分定数の取り扱い方について具体的に述べる。

第3章においては， 第2章で提示した偏平シェルの非線形曲げ解析法の特別な場 合として， 曲率およびねじれ率を0とした矩形板の非線形曲げ解析を行う。 はじめ に， 種々の境界条件における矩形板の幾何学的非線形問題に関して， 本解法による 矩形板の数 値解の収束性および精度を検討するために， 既往の近似解法による解析 結果との比較を行い， 本解法の実用性を検証する。 次に， 材料非線形性も考慮、した

複合非線形 問題に拡張し， 板厚方向の塑性域の拡がりを考慮するための断面細分割 法を用いた数値解析により， 既往の実験結果との比較を行い， 有限変形を考慮、した 矩形板の弾塑性挙動について言及する。 さらに， その応用として， 板厚を変化させ た場合の矩形板の面内耐荷力解 析を行い， 近年， 省力化， 軽量化の目的で使用され つつある変厚板の座屈前後における非線形挙動特性について考察する。

第4章においては， 第2章で提示した任意の曲率を有する偏平シェル構造の線形 問題および非線形問題に対するー解析法を提案する。 はじめに， 線形問題に関して は， E.P. (Ell伊'tic Paraboloidal) ^， C. (Cylindrical) ^， H.P. (1かperbolic Paraboloidal)シェルな どの形状を有する偏平シェルの線形曲げ解析を行い， 既往の解析法によ る数値解と 比較するこ とにより本解法の実用性を検証し， 平面板と比べて力学的性状の有利さ を明らかに する。 次に， 偏平シェル構造の座屈安定性に関する検討を行 うために，

偏平シェルの幾何学的非線形解析を行い， 既往の解 析法による数値解との比較を行 うとともに ， 飛び移り座屈， 分岐座屈などの非線形挙動を明確にする。 また， 偏平

-16-

シェル構造に関しては， 周辺の支持条件の差異によってもその力学的挙動が異なる ものと考えられるため， 周辺を弾性拘束支持された場合の非線形挙動について考察 する。 さらに， 材料非線形性も考慮、した複合非線形問題に拡張し， 有限変形を考慮 した偏平シェルの弾塑性挙動を明らかにする。

第5章においては， 積層偏平シェル構造の線形問題および非線形問題について論 じる。 はじめに， 直交異方性材料から成る積層偏平シェルの応力一ひずみ関係式，

および， 一次せん断変形理論によるせん断応力一ひずみ関係式を用いて， 積層偏平 シェルの線形曲げに関する基礎微分方程式を導く。 次に， 基礎微分方程式の離散解 に基づく， 積層偏平シェルの線形曲げ問題に対する直接的， かつ， 半解析的なー解 析法を提示し， 本解法による積層偏平シェルの数値解の収束性および精度を検討す るために， 既往の近似解法による解析結果との比較を行い， 本解法の実用性を検証 する。 さらに， 本解法を積層偏平シェルの非線形問題に拡張適用し， 積層数， 積層

順序および弾性係数比の座屈安定性に及ぼす影響を明らかにする。

最後に， 第6章では， 以上の研究成果を総括して， 結論とする。

-17-

第 ²

^二三己早

基 礎 理 論

-18-

2.

1 序

偏平シェル構造物の座屈安定性に関する問題では， その挙動が初期の安定なつり 合い状態から不安定な経過を経て安定なつり合い状態に移行する， いわゆる飛び移 り現象などを起こす場合があり， 有限変形に基づく非線形理論による非線形解析が 必要となる。 一般に， このような非線形挙動を支配する基礎微分 方程式は非線形で あり， 直接それを解いて偏平シェルの挙動を解析することは容易ではない。

本章においては， まず， 偏平シェルの定義および曲面形状などの特長を述べ， 偏 平シェルを解析する際に用いる基礎式を導く。 はじめに， 有限変形状態におけるつ り合いを考えた有限変形平衡方程式を誘導し さら に， せん断変形の影響を考慮し たMindlin理論に基つ。いて， 偏平シェルの非線形解析のための増分形の基礎微分方程 式を示す。 次に， 増分形基礎微分方程式の積分方程式への変換と積分方程式の近似 解法との応用とにより求められる離散解の誘導を行う。 最後に， 本論文における離 散的近似解法を用いて， 偏平シェルの曲げ問題を解析する際に必要となる積分定数

と境界条件について述べる。

2. 2

偏平シェルの特長

シェルの曲面の形状がz=

Z(X

， y)で表わされるとすると， 偏平シェルの “偏平"

とは，

①x，y軸に垂直な断面で作られる面要素は長方形であり，

②面要素を作る素線の長さをdSl =

仇 _V /

₁

_{- .}

+

(判2目白，

dS2

=

dyとすることができ，

\dx J

③(乏y (( 1， (釘2 (( 1， 法制 (( ^{1を満足するシェル}

とある96)。

具体的な数値としては， 球形シェルに関してではあるが， ライズHと直径dの比

が町'd^< 1/8としている。矩形の偏平シェルに関しては， 具体的な数値は示されてい

ないが， 他の研究では， 曲率半径Rと辺長aの比RJaが1以上を偏平シェルとして 取り扱って いる場合が多い。 このように， 偏平シェル理論は， ある程度のライズま で適用可能であり， これ以上のライズになると一般のシェル理論による解に比べて 曲げ応力が小さし 面内応力が大きくでる傾向があると報告されている町。

nY 4，A

β とノ

製の容易な 点もあり，鉄筋コンクリートシェルでは，最も多く使用されている構造 である。E.P. シェルは，二方向の曲率が同符号の2重曲面であり，等分布荷重を受 ける場合は，全断面で圧縮とな り，鉄筋コンクリートシェルとしては非常に 有利な 構造 となる。H.P.シェルは，二方向の曲率が異符号の2重曲面であり，圧縮と 引張 りが共存するシェルである。コンクリートシェルの 場合，引張りが生じることは構 造的に不利ではあるが，プレストレスなどにより，全面圧縮状態にもでき，景観の 面からみても優雅な構造である。

本研究においては，平面板にわずかのライズを持た せた偏平シェル構造の力学的 有利さを明らかにするために，一般的なシェルの応力状態である膜応力と曲げ応力 とが共存するシェルを解析する第一段階として，前述の“偏平"の範囲である偏平

シヱルを取 り扱う。 また，上述の任意のシェル形状を取り扱うため，投影形状が矩 形のシェルとし，直交直線 座標としている。

?>x

a

(a)

^C.Shell

メ ょノ

ぅχ

y (d)

^H.P.Shell

Fig.2-1 Typical ShaUow Shells.

シェル構造を幾何学的に大別すると，一方向にの み曲率を持った曲面と，二方向 に 曲率を持った 曲面に分けられる。前者の例は，C.シェル(円筒シェル，Cylindrical

Shell， Fig.2・1

(a)

)であり，後者の例は，E.P.シェル(楕円放物面形シェル，EU伊tic ParaboLoidal Shell ， Fig.2・1 (b) )， H.P.シェル(双曲放物面形シェル，Hyperbolic

Paraboloidal ShelL， Fig.2・1 (c)，(d) )が代表的である。曲面の方程式は，座標をz=

z(x ， y)で表わすとき，

z=炉x2+ bOy2 + 2coxy + dox + eOy +ル) なる2次曲面において，Fig.2・1 (a)のC.シェルは，

2 _2

irz

irz irz

z=予2・似)， kx =一=仰向=一=^0， kx y = _-_ = 0

aχ2 iJy 2 ' iJxiJy

Fig.2・1 (b)の E.P.シェルは，

z=苧'x2引)+

与(Y

2・by)， kx =仰， ky =九kxy=⁰ Fig.2・1 (c)のH.P.シェルは，

z=苧'x2引)闘

い

2- by)， kx =向， ky =・九kxy= 0

または，Fig.2・1 (d)のH.P.シェルは，

z = co (xy -

₂

�

x _--

-

₂^� _./

y十位)， kx = 0， ky = 0， kx y = co

4

2. 3 増分形平衡方程式

偏平曲面 の形状が z= z (x ， y) で表わされるとすると，その曲率kx ，kyおよびねじ れ率 kxyは1に対して微小項を省略することにより近似的に 次式で表わされる。

kx =2 _iJx 1 ^{，ky =} 竺 ，kxy = ky x = 子 三

^(山)

L.

iJy

^{1.. '}

dxd

板厚中央面 に対して垂直方向の変位成分をwとし，面内力をNxy=Nyx，Ny およ びNx ，せん断力をQy，

Qx

，ねじりモーメントをMxy=Myx ，曲げモーメントを

九，Mx とし，任意の方向の外力 qの曲面に 対して接線方向および垂直方向に作用 するの荷重成分 をqx，qyおよびqzとすれば，有限変形を考慮したx，y，z方向の力 のつり合い式は，Fig.2・2より高次の項を省略すると次のように整理される。

パプx

となる。

これらの偏平シェルの構造的利点として ，C.シェルは，母線方向のはりと円弧方 向のアーチを兼ねた構造であり，一方向にアーチ構造の利点を持ち，また，型枠作

Fig.2-2 Geometry of Str白s Resultants.

-20- ^{今，山 唱i}