つくばリポジトリ UTKR 56 27

創造的な教材・指導法及びカリキュラムの開発 :

中高6カ年から大学へ（5年計画の5年次）

著者

須田 学, 更科 元子, 鈴木 清夫, 須藤 雄生, 三井

田 裕樹, 町田 多加志, 吉崎 健太

雑誌名

筑波大学附属駒場論集

巻

56

ページ

27- 47

発行年

2017- 03

2016筑波大学附属駒場論集56集

創造的

教材・指

法及

カ

キュ

ム

開発

中高６カ年 大学へ

５年計 ５年次

筑波大学附属駒場中・高等学校 数学科

須 学・更科 元子・鈴木 清

須藤 雄生・ 井 裕樹・ 多加

Creative Teaching Materials, Method and the Development of the Curriculum

2016筑波大学附属駒場論集56集

創造的

教材

指導法及びカ

キュ

開発

中高６カ年 大学へ

５年計 ５年次

筑波大学附属駒場中・高等学校 数学科

須 学・更科 元子・鈴木 清

須藤 雄生・ 井 裕樹・ 多加

崎 健

要約

教材開発 ，基本姿勢 生徒 教員 相互作用 築 考え 。毎時 授業 ，

教員 提示 中心課 対 ，生徒 自 発想や，解決 い 遈筋， 発展課 を見 け，

発表 。教員 ，生徒 発想を拾い ，生徒 士 議論を整理 ， 課 を洗練 。こ う 創

造的 教材 そ 対 生徒 教員 相互作用 ，本校 数学教育 い 長年中心的 役割を果 い 。

「00「年度 ン (SSH週 指 い 本校 ，数学科 記 考え 立

，大学や実社会 学 繋 中高 教材・指 法及 カ キュ ムを開発 く研究を行 い

。開発 教材 78 及 ，教員研修会 開催を 各種SSH事業 実施を通 ， 研究 充実を

い 。

キ ワ ド：サイ ンスコ ュニ ション 中高大院連携

1

．

じめに

2013 成 25 年度入学生 全面実施 新

学習指 要領 ，数学・理科 い 2012 年度

先行実施 ，2015 年3 最初 卒業生

を出 。こ う 情勢 中，数学教育 関心

日増 高ま を見 い 。そ ，本校 け

数学科教員研修会 ，全国 参加状況を 実

感 こ あ 。

本校数学科 ， ，筑波大学を ，

他大学 数学関 者 協力 得 ，大学や社会

学 数学教材 開発 指 法 研究

を行 い 。特 ， ン

以 SSH 略 指 を け 以来，中長

期的 見通 を ，こ 研究を推逭 。

2002 年度 指 を け 1 期目 研究 先駆的

科学者・技術者を育成 中高一貫カ キュ

ム研究 教材開発 ，大学 学

数学 注目 ，特 統計 集団 特徴を掴 考え方

や手法 微 方程式 微 変化 関数

特徴を捉え 考え方 関 教材開発 授業実践を

行 。そ 後，2007 年度 指 を け 2 期目

研究 国際社会 活躍 科学者・技術者を育成

中高一貫カ キュ ム研究 教材開発 ，こ

以外 を含 ，生徒 教員 興味を持

組 う 魅力的 有効 教材を開発 ，中高一

貫カ キュ ム 一層 充実を目指 。

2012年度以降 幅広い教養 強い探究心を 国

際性豊 最先端研究者を育成 高大連携

ム 研究 実施 を ， 教材 開発

組 い 。

そ 結果，こ ま 78 教材を開発 ，カ キ

ュ ム 配置 ，教員研修会 発表

い 。ま ，教材・カ キュ ム開発以外 ，生徒

数学 興味関心を高 特別講 ，

ン ュ ョン能力 育成を目指 課

研究 学校設 科目 ，数学 ン ッ や数学科

学研究部 生徒 数学的活動 支援等を実施 い

2

．今年

2016

年

研究

2.1. 教材 カ キュ 開発

本校 け 教材開発 基本姿勢 ，生徒 教員

相互作用 築 あ 言え 。教員 ，

こ ま 蓄積 経験，数学教育 実践 け

先行研究 ，自 感性 交え ，毎時 授業

，生徒 考え 値 素材を中心課

提示 。生徒 そ 応 ，自 発想や，解決

い 遈筋， 発展課 を見 け いく。

そ 過程 ，自 考えを発表 ，そ 対

他 生徒 応を ，足 い部 を補

い 活動 行わ 。教員 ，そこ 得 生

徒 発想や，生徒 士 高ま 議論を整理 ，授業

生徒 思考水準を高 いく ，

課 を洗練 いく。ま ，逬 1 度行わ

本校数学科 教科会 い そ 事例 報告，共有

，教員 士 相互 教材を深 いく。こ 繰

返 本校数学科 け 教育実践 中心 あ ，ま

開発 教材 そ 成果 あ 位置 け う。

本校数学科 ，専任教員 そ 生徒を

け 担当 ，中高 6 年間 大学

学 を 見通 授業を行う う 努 い 。そこ

共通 目標 あ い い 現象や事柄 潜

組 や法則を数学的 解析 ，そ 本質を捕まえ，

そ そ を表現 う こ ，本校

け 数学科 教育実践を端的 表 い 。例え

，入学 中学 1 年生 ， く自

考えを発表 こ 主眼を い 指 を行い，

生徒間 議論を ，発展課 を

ま い 活動を授業 中 入 い

。こ 活動 ， く中学 験を経験 子

あ 問 を解 ，正解 到遉

勝 ，終わ いう価値観 脱却を ，考え

過程 そ を表現 こ こそ 数学 学習 中心

あ いう意識 涵養 いく。ま ，

一方 教員 ，そ 過程 生 出 生徒自身

表現 数学 を吸い 授業 還元

，生徒 教材を ，整理 形

こ 務 く いうこ あ 。

こ ま 開発 教材 ，後 記載 一

覧表 通 あ ， 今年度新 研究 ，

ま 教材 ，以 「 あ 。教材 け

記号 い ，後 説明 あ ，参照

い。

A1-6 集 場 数 入

S」-」 中心極限 理

2.2. 教員研修会 実施

開発 教材・カ キュ ムを SSH 数学科教員研修

会 公開 ，全国 広 ，本校 け 今

後 研究 指針を得 こ い 。今年度 本校

12 実施 。

■ 実施概要

研修会：SSH 数学科教員研修会

日程： 成28年12 4日 日

会場：本校

参加者：中高数学科教員，大学院生，本校教員

約190

こ ま 数学科教員研修会 配布 ，

開発教材集を 電子化 ，本校無線 １A３ を参

加者 開放 こ ，紹 教材を P）達

・道］続ごせ 公開 ，広く共有を こ

を目指 。

，ここ 紹 本校 こ ま 開発教材

， 筑駒数学科 SSH ＴＳ Wご継 公開 い 。

■ 日程

○ 付 重野00～重野」0

○開会行事 重野」0～重野『』

Ｊ 挨拶，会場校長挨拶

○SSH 教材等 い 報告 研究協議

重野『0～16野「0

1. 茨城県清真学園高等学校・中学校

2. 福井県立高 高等学校

発表者 青木 慎恵 氏

3. 東京工業大学附属科学技術高等学校

発表者 早坂 健 氏

4. 大阪府立大手前高等学校

発表者 金 義博 氏

5. 良県西大和中学校・高等学校

発表者 永 文彦 氏

6. 筑波大学附属駒場中高

筑波大学附属駒場中・高等学校 数学科 SSH

組 発表者 須 学

7. 筑波大学附属駒場中高

中高6 年を見通 幾何 指

発表者 須藤 雄生

8. 筑波大学附属駒場中高

中高6 年を見通 統計 指

発表者 井 裕樹

○全体講評 16野「0～16野」』

筑波大学 坂井 公 先生 数理物質科学研究科

○閉会行事 16野」』～16野『』

○情報交換会 17野00～1重野00

各校 数学教育活動 多様 組 を研修 ，

情報交換 SSH 校 協力 有意

義 会 あ 。SSH校以外 SSH う 数学教

育 普及 こ を望 。

ン ，次 う 意見 あ 。

［参加動機

・具体的 教材 報告を 聞 い 思いま 。

・い い 学校 活発 組 を聞 ，参考

。

・SSH 校 け 数学科 組 を知

。

・自 数学科 授業力向 。

・数少 い数学 勉強 機会 。

・数学 い 研修を い 一環 。

・SSH い 組を知 い 思 。

・他校 実践 興味 あ ，自 自身 成長

思 。

・い 参加 い ，得 多い 。

［意見 自 記述

・統計学，情報 話 印象 ま 。

今勤 い 学校 カ キュ ム ，数 B 統計

を扱いま ，大学や社会人 際 役 立

改 感 ま 。

・日 組 課 研究を意識 い 点

伝統を感 。

・教材開発を毎年考え い い 思いま

。

・い い 教材を蓄積 い ，余裕 あ 自

校 組 い い 思いま 。

・ 形を用い 加法 理 証明 参考 ま

。 析 方 話 非常 や く

勉強 ま 。

・常 新 いこ ン 精神 感服 ま 。

探究活動 こ を実感 ま 。

・ く 資料を ，ま こ う 機会を え

く ，あ う いま 。

・先 中学生 考え こ ，高校

習うこ を理解 う い 所 中高一貫

感 。 角関数 角比

実践 ，ま い 思 。

・須藤先生， 井 先生 発表 わ や

く， 興味深い あ 。教材を

共有 い， ま 苦労 賜物を Wご継 公

開ま ，数学教育 発展 統計学 教育 い

途 あ 本校 ， 厳 い こ

献 姿勢 敬服 ま 。あ う

いま 。

SSH 校 け く，大学 教員やこ 教員

人 ，情報交換や 組 い 発表

，大変有意義 あ 評価を多く得 い 。ま

，本校数学科 開発教材 い ，Wご継 をそ 場

活用 人 多く，意見を ， 発展

い い。

2.3. 数学特別講 実施

SSH 事業 数学特別講 を大学 先生や卒

業生 実施 い い い 。こ 講 目的 ，

中学高校 授業 学 数学 将来 う 発展

， う 活用 等を知 こ を通

，生徒 数学 興味・関心を高 ，数

学 対 理解を深 ，数学を学 意義を感

うこ あ 。 ，こ 容 授業 活用

教材 研究 必要 あ 考え い 。

「016 年度 実施 特別講 日程・講師

以 通 あ 。回数 1『 年前 通算，

容 生徒 募集案 記載 あ 。

募集案 を配布 希望者を募 ，期 考査後 特

別授業期間中 講義 い 。

○第45回数学特別講

数学 音楽：想像 世界 醍醐味

日 時： 成28年7 8日 金 13:00～14:30

場 所：音楽室

講 師：中島 子 氏 数学者， ，

国際数学 ン ッ 金

参加者：中1 高3ま 希望者 約70

容： 参加募集案

自身 魅 数学 世界を，個人的体験や

素数・ζ関数を通 垣間見 時 ，数学 音楽

通底 ・創造 醍醐味 い 話 ま 。

実際 ， 倍音 響 を和音 聴 ，

音階 歴史 倍音 時代 影響 い

を ま 。音 波 あ ，波 ン波

成 表 こ ま 変換 。 変

換を簡 概観 ，実際 そ う 音

表 を聴く 時 ，応用 ζ関数 特

値を計算 ま 。

ま ，近年 多様 組 を紹 ，芸術家・数

学研究／教育者 一人 ，21世紀，数学や音楽を

学 意義を改 皆 一緒 考え い 思いま 。

○第46回数学特別講

数学 現 対称性

日 時： 成28年12 19日 13:30～15:00

場 所：50周年記念会館

講 師：大島 芳樹 氏 東京大学カ 数物宇

研究機構・本校 』「 期卒業生

参加者：中1 高1ま 希望者39

容： 参加募集案

自然界 花や蝶 対称性を持 形 あ い

ま 。人工物 建築や ン 対称 形

使わ い ，美 や安 を感 こ あ ま

。数学 世界 対称性 現 ま 。線対

称，点対称，回転対称 様々 対称性 あ

ま ，そ 群 作用 いう抽象的 言葉

記述 ま 。 形 対称性 け く数や関数

対称性 考え こ ，ここ何十年 数学や

物理 ，対称性を利用 こ 非常 役 立 こ

わ いま 。 え 対称性 到

を利用 こ 解を求 いうこ あ ま

。ま 一方 ，対称性を仮 こ 大 く発展

い 理論 あ ま 。

今回 ，数学 い 対称性を う扱う ，ま

う 対称性 現 をいく 例 紹

い 思いま 。

各講 ン 結果 ，参加者 い 講

興味を持 臨 ，期待通 あ い 期待以

容 満足 ，数学 関 興味関心を深 う

あ 。

2.4. 学年を越えた少人数学習 研究と実践

ン ュ ョン能力 育成を目指

，高校 2 年生 課 研究 学校設 科目 を，

筑波大学 先生 大学院生 参加 形 実施 い

。こ 延長 高校 3 年生 課 研究 学校

設 科目 位置付け ，希望者 講 こ

。生徒 研究成果を ま ，

論文集を作成 ，全国 実施 様々 生徒研究発

表会 発表 い 。

2016 年度 高校 2年生 ，筑波大学 坂井公先

生 数理物質科学研究科 大学院生2 指 を

け ，数学好 生徒18 集ま ， 筑駒

数学 66 を ，様々 数学 問 や性質

い 深く掘 う 研究 組 い 。

ま ，坂井先生や大学院生 講義 あ ，高度 数学

触 機会 あ 。高2課 研究 総括 ，中

学3年生 参加 中 ，研究発表を行う。参加者

ン ，相互 刺激を け い こ 窺え，

効果的 組 あ 考え い 。ま ，高校3

年生 1 講 ，高2課 研究終了時 知

容を 研究 ，明 。

坂井先生 講義

課 研究 講者 ，大阪府立大手前高校主催

や明治大学先端数理科学 ン ュ

主催 高校生 MIMS現象数理学研究発表会

う 生徒研究発表会 積極的 参加 ，積極的

口頭発表や 発表を行 い 。詳細 以

通 あ 。

スフ スタ

全国数学生徒研究発表会 ，

SSH 校 あ 大阪府立大手前高等学校 主催 研

究発表会 ，全国 数学 興味関心 高い高校生 集

ま ，発表・議論・交流 場 企

あ 。今回 ，8 27日 京都大学を会場 ，全

国 SSH指 校等62校 集ま 。本校 口

頭発表 発表 3 参加 。

参加 生徒 感想 ， 今回

う 全国的 発表会 生ま 初 経験

，当日 い く緊張 い 。 ，

ム ン ョン 始ま や否や，

い 。思い ほ 聴衆 人 く い ，

励 数学研究 自信 い 。そ ，

何 数学 いう共通 言語を通 ，多く 仲間

知 う機会 恵ま こ ， 大

穫 。 京都大学 発表 こ ，京都

大学数理解析研究所 大学院生や け研究者

交流会 貴重 経験 ま 。 今ま ，

自 数学研究を外 向け 発信 いう機会 無

，今回 初 連

。他校 生徒や先生 自 話を真剣 聞い

経験 ，こ ョン 繋 。

あ ，参加 全員 刺激を け， 数学

意欲 高ま こ わ 。

ま ，研究会 参加 組 段階

生徒 貴重 経験を こ

こ 次 自己評価 わ 。

ン ョン 練習 成果を活 こ

，専門家を 聴 手側 自 言い

いこ うまく伝え 思う。 発表前日 京

都 向 う新幹線 中 ， い 証明 一部を完

成 こ 完全証明を遉成 ，こ

い喜 を味わうこ 。

高校生に る ２．２S 現象数理学研究発表会

2016年10 9日 ，明治大学先端数理科学 ン

ュ 以 MIMS 主催 開催 ， 第

6回 高校生 MIMS現象数理学研究発表会

い ，5件 口頭発表 19件 発表 高校

生 行わ 。本校 課 研究 数学を選択

い 高校2年生16 参加 ，そ う 3

以 3点 発表を行 。

・節約 立方体 展開

・2台 効率 評価

・石 ム 数理

こ う ， 発表 節約 立方体 展開

研究 審査員特別賞 ン 賞を 賞

。本発表会 現象数理 発表会 あ ，身近

現象 思議 こ を数理的 解析や実験，

考察を高校生 視点 行 い 研究 多く，

発表生徒 け く ン 参加 生

徒 良い刺激を け，有意義 時間を過 い 。

紙面 都 ，立方体 展開 研究を少 け紹

。通常，立方体 展開 言え 6枚 正方形

を想像 ，こ 研究 そう い。こ 研究

1 枚 展開 え ，辺以外 こ

展開 良い いう条件 考察を行 ，

変 問 考察 い 点 面白い。発表 具体

的 模型 演示 工 見 ，妙 形を 1枚

紙 立方体 時 思議 感動

い。

2.5. 生徒 数学的活動 支援

特別講 様，生徒 数学 興味関心を高

数学 ン ッ (JMO)・数学 ュ ン

応募 い 。国際数学 ン ッ ，日本 初

参加 第32回大会 2016年夏 第57回大会ま

， 40 生徒 日本代表 参加 。

国際数学 ン ッ IMO 近年 成績

2014 第55回国際数学 ン ッ IMO

カ大会 日本代表選手1 金 1 銀

獲得 2014年7

2015 第56回国際数学 ン ッ IMO 大会

日本代表選手1 銀 1 銅 獲得

2015年7

2016 第57回国際数学 ン ッ IMO 香港大会

日本代表選手2 銀 獲得 2016年7

・部活動 数学科学研究会 MATHIC 活動支援

本校数学科 ，数学 興味関心を持 生徒 集ま

研究活動を行い，数学を楽 部活動 数学科学研究

会 支援を行 い 。今年度 文化祭 発表 多

数 来 場 者 を 得 ， 研 究 集 Café

Bollweck を発行 。

・算数・数学 自 研究作品 ン 応募支援

算数・数学 自 研究 ，( )理数教育研究所 主

催 ン ，日常生活や学校 学 感

疑問や課 を，数学 力を活用 探究 ，気付い

こ やわ こ を ま 応募

企 あ 。2015年度高2数学 高2課

研究 前身 を選択 14 研究成果を冊子 ま

， ン 応募 。そ 結果，1

研究 優 認 ，最優 賞 Rimse理事長賞

を 賞 。

・算 を く う ン 応募支援

算 を く う ン ，特 非営利活動法人

和算を普及 会 主催 ン ，江戸時

代 算 納 習慣を 中高生 楽 うこ

を目的 毎年開催 い 。今年度 第19回

ン あ ，中1 中3ま 希望者12

参加 ，1 奨励賞を 賞 。

3

．開発教材一覧お

び開発教材

実際

★印 今年度開発中 本稿 記載。

A. 代数(Algebra) ， An. 解析(Analysis) ， G. 幾

何(Geometry) ， P. 確率(Probability) ， S. 統計(Statistics) ， D. 微 方程式(Differential

Equation) ， O. そ 他(Others)

各項目を整理 際，中学を 文字，高校を大文字

，校種を区別 。ま ，教材開発 際 想

い ， く ，実際 授業を こ 学年を

数字 示 。学年を特 い い教材や複数学年

扱いを想 い 教材 ，数字 代わ

f を用い 。

例 an2. 合成関数と フ

An. 解析 あ ，先頭 文字 中学生対

象， わ 中学2年 解析 教材を表 。

以 ，表 い ，★ 示 教材 い 具体的

開発教材一覧 筑波大学附属駒場中 高等学校数学科

６年

a1. 整数 「008 g3-4. ン 公式 幾何的証明 応用 「01」

a1-2. 有理数 「007 g3-5. 心四角形 性質 「01』

a1-3. 剰余類 演算 ン 理 「01『 G1. 四面体 幾何 「008

a1-4. 速算術 「01』 G1-2. カ 理 「00重

a3. 暗号理論 整数論 「006 G1-3. 正多角形 等積 正方形 作 法 「01」

A1. 数 方程式 「008 G2. 正 ７角形 作 「008

A1-2. 方根 連 数展開 い 「01「 G2-2. 積 方 理 「011

A1-3. 高校 け 整数問 「01『 s1. 統計 基本 「006

A1-4. 開 法 連 数 方根 近似値 「01『 s2. 標準偏差・近似直線 「006

A1-5. 関数 い 「01』 s3. 正規 布 標準化 「006

A1-6. 集 場 数 入 「016 ★ s3-2. ュ ョン 授業 「006

A2. 離散 数列 連 関数 「00重 S1. 回帰直線・近似曲線 「006

A2-2. ΣK 『 区 求積法 「011 S1-2. 数理統計学入門 「00重

A2-3. 斜交 標 薦 「01』 S2. 差 析 系列 関 「007

A2-4. 漸化式 「01』 S3. 主成 析入門 「007

A3. 置換 正多面体群 「007 S3-2. 正規 布 均 推 「008

A3-2. 次変換 線形性 「008 S3-3. 中心極限 理 「016 ★

A3-3. 複素数 複素数 面 「01』 d1. 自然数 和， 方数 和，立方数 和 「007

an1. 「 元 1 次方程式 そ 応用 「007 d1-2. 数え 「010

an2. 成関数 「00重 d2. や 形 移動・変形 「006

an3. 絶対値を含 関数 「00重 d3. 次関数 接線 「006

an3-2. 絶対値 記号を含 関数 「010 d3-2. 面積・体積 「006

An1. 「 次関数 「007 d3-3. 最大・最 「006

An1-2 「 次関数 「00重 d3-4. 放物線 ま 面積 「01」

An1-3 和や積 「010 d3-5. 場 数 ～樹形 漸化式 ～ 「01『

An1-4. 証明 角関数 性質 「01」 D1. 包絡線 「006

An2. 周率 近似 「007 D2. 方法 挑戦 「007

An2-2. 角関数表を作 「006 D2-2. 次関数 性質 「01』

An2-3. 加法 理 出 多項式 「006 D3. 包絡線(そ 「006

An2-4. 角関数 和 積 周期 「011 D3-2. 微 方程式 「006

g1. 四角形 条件 「008 D3-3. 微 方程式 応用 「006

g1-2. 作 教材 「00重 D3-4. 関数 法 「008

g1-3. 四角形 性質 包含関 「010 D3-5. 曲線 面積 「008

g1-4. 正多面体 面や辺 作 角 「01「 Of. 『 元数を高校数学 「007

g1-5. 方 理 「01」 O2. 有限世界 数学 「007

g2. ・ 理 「007 p2. 身近 確率・連 変 確率 「011

g3. 立方体 断 「007 Pｆ１. 組 わ 確率 「007

g3-2. 転法 「007 Pf2. 道BI 確率・統計 「007

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(1) 122ࡸ500ࡢࡼ࠺࡟㸪ྛ఩ࡢᩘࡢ࿴ࡀ5࡛࠶ࡿࡶ

ࡢࡣ඲㒊࡛ఱಶ࠶ࡿ࠿ࠋ

(2) 983ࡸ776ࡢࡼ࠺࡟㸪ྛ఩ࡢᩘࡢ࿴ࡀ20࡛࠶ࡿ

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4

．おわりに

本校数学科 SSH 事業 関わ 研究 ，学校全体

カ キュ ム 数学科 カ キュ ム 変更 こ

く実施 。そ ，開発 教材 中学・

高校 既存 カ キュ ム 中 位置 け，通常 授

業 繰 返 実践 ，ま ，教育研究会 け 公開

授業・研究協議や SSH 数学科教員研修会を通 ，他

校 多く 先生方 直接意見をい く機会を得 。

今期 SSH 事業 今年度 最終年 ，今後 教

材 開発を 行い，他校 先生方 共有 ，検

討を重 こ ，本校 け く他校 利用

や い形を提案 こ 本校数学科 使命 改