分数の数列の和

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分数の数列の和

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分数の数列の和

解

例題

次の初項から   項までの和を求めなさい。

n

1

1⋅4 + 14⋅7 + 17⋅10 + 1

10⋅13 +⋅ ⋅ ⋅

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

n

∑

1

(k + a)(k + b) = ∑

k=1

1

b − a ( 1

k + a − 1 k + b )

例

数列の和を部分分数に分けてを求めることができる

（Step２）（      ）に分ける

 のとき，

k = 2n, a = − 1, b = 1

（Step３）具体的な数列をかく 部分分数

（Step４）消せる項どうしで消していく

= 13(1 1 − 1

4)+ 1 3(1

4 − 1

7)+ 1 3(1

7 − 1 10) + 13( 1

10 − 1

13)+⋅ ⋅ ⋅+ 1

3( 1

3n−2 − 1 3n+ 1)

= 13(1

1 − 1

3n + 1) = n 3n + 1

（Step１） 分母の（      ）を求める一般項

ただし，

a < b, a ≠ b

n

∑

1

(2n − 1)(2n + 1) = ∑

k=1

1

2 ( 1

2n − 1 − 1 2n + 1 )

一般項を a_n とすると，

a_n= 1

{1 + 3(n−1)}{4 + 3(n−1)} = 1

(3n−2)(3n+ 1)

n

∑k=1

1

(3k−2)(3k + 1)

=∑ⁿ

k=1

1

3( 1

3k−2 − 1 3k + 1) よって，

(Step１)

(Step２)

(Step３)

(Step４)

初項：1^，交差：3 ^{の等差数列}  初項：4^，交差：3 ^{の等差数列}

k = 3n,a =−2, b = 1