理 工 学 部 研 究 報 告 第42号7

理 工 学 部 研 究 報 告 第42号7

School Sci. Eng.

J.

あ る正則 概 均質 ベ ク トル 空 間 のb一関数 につ い て

松 浦 裕 之*,大 野 泰 生**

a Certain Regular Prehomogeneous f the b-Function for

Explicit Form o

Vector Space

Yasuo OHNO **

Hiroyuki MATSUURA * and

Explicit form of the b-function for the space of pairs of ternary quadratic forms is given.

Key words : b-function,prehomogeneous,quadratic form

なb一 関 数 に つ い て の 定 義 を 述 べ て お く.

定 義2P(￠)を(G,ρ,γ)の 指 標Xに 対 応 す るd次 の 相 対 不 変 多 項 式 とす る と,

.P*(y)を(0,ρ*,y*)の ズ1に 対 応 す るd次 の 相 対 不 変 多 項 式 が 存 在 す る.

序 文

1960年 代 にゼ ー タ関 数 の 関数 等式 の 立 場 か らの系 統 的 な扱 い を もた らす 一 般 的 の概 均 質ベ ク トル 空間 の概 念 が佐 藤 幹 夫 に よっ て導 入 され た.概 均 質 ベ ク トル 空 間 に は各 々 の空 間 に付 随 す るb欄 数 が存 在 して, ,このb一関数 に つ い て の分 類 理 論 が 木 村 達 雄1)ら に よっ て確 立 され た.今 回 は,概 均 質 ベ ク トル 空間 で2元3次 形 式 を基 本 と した 系列 の 一つ で あ る3元2次 形 式 のペ ア の 空間 にっ い て のb一関数 を 考 え る.今 ま で求 め られ て き たb一関数 は monicな 形 で あっ たの で この 結果 を利 用 しexplicitなb一 関 数 を求 め た.こ のexphcitなb一 関 数 の最 高次係 数 に関 す る予 想 が行 者 明彦2)に よ り与 え られ て お り,今 回 の結 果 は この 予想 が 肯 定的 に確認 で き る.

2元3次 形 式 の空 間 にっ い て は新谷 卓郎3)な どに よっ て研 究 がな され て お り,こ こで定義 され て いる4つ のゼー タ 関数 は二組 ず っ が 定数 倍 で等 しくな る こ とが述 べ られ て い る.expHcitなb一 関数 の 最高 次係 数 は,概 均質 ベ ク ト ル 空 間 のゼ ー タ 関数 を構 成 す る上 で必 要 な 値 で あ り,今 回 の結 果 は3元2次 形 式 のペ ア の 空間 にお け るゼ ー タ 関 数 の具 体 的表 示 を与 え る こ とに繋 が る.

と お き,こ の6p(8)をPのexphcitなb一 関 数 と 呼 ぶ.

これ か ら,3元2次 形 式 の ペ ア の 空 間 のexp避citなb一 関 数 を 求 め る うえ で 必 要 と な る 定 義 を して い く.こ の 空 間 は2元3次 形 式 の 空 間 を も と に 構 成 され て い る の で ま ず2元3次 形 式 に つ い て 述 べ て お く.

まず,一 般 的 な 概 均質 ベ ク トル 空 間 が どの よ うに定 義 され るの か を述 べ て お く.

定 義32元3次 形 式F(%,の=町u3+勉 ♂u+鞠u"2+

￠4U3の 判 別 式 を ∫3(F)と 書 き,次 で 定 義 す る.

ノ13(F)=18切1￠2ω3ω4十 記舞ω§‑4謬1￠ §‑43慶 塁偲4‑27￠ 塗澱珪

定 義4(8L3×(穿L2,2A1⑭A1,y(6)⑭V(2))に お け る 相 対 不 変 式P(の,P*ω)を 次 の よ う に 定 義 す る 。 P(田)=∫3(det(賜X1十u.X2))

P*(〃)=∫3(det(uyi十u}う)).

定 義1κ を 標 数0の 体,Ω を κ を 含 む 代 数 閉 体,Vを K構 造 を も つ Ω 上 の 有 限 次 元 ベ ク トル 空 間,σ をK上 定 義 さ れ た 連 結 線 形 代 数 群 とす る.

こ の と き,0のyに お け るK一 有 理 表 現 ρfσ → σL(y)がZariski位 相 で 稠 密 な(7一 軌 道 を も っ と き,す な わ ちyの あ る 点"に つ い て ρ(σ)u二γ(

た だ し一はZariski閉 包 を 表 す)と な る と き,三 っ 組 (σ,ρ,y)をK上 定 義 さ れ た 概 均 質 ベ ク トル 空 間 (pγeんomogeηe(》賜8ue(オ(π8pα ㏄{旋 ゾ乞ηedoueゲK)と い う.

概 均 質 ベ ク トル 空 間 の 各 々 の 空 間 に 付 随 す るexplicit

平成17年6月22日 受 理

*総 合 理 工 学 研 究 科 理 学 専 攻

**理 学 科

あ る正 則 概 均 質 ベ ク トル空 間 のb一関 数 につ い て

に 対 し て,指 数 的6一 関 数(eコrpoηeη オ￠αZわ 一∫uηc玩 ㎝)は

イ

be"P(t) = fJ(t — exp(2i'~1 . aj)) t t .

j=1

`a) , becP(t) = 11(t' — 1)e(i) (e(j) E Z) ,41. 6.

j>1 今 回,3元2次 形 式 の ペ ア の 空 間 に お い て のexplicit

なb一 関 数 を 与 え た.

主 定 理

3元2次 形 式 の ペ ア の 空 間(3五3×GL2,2A1⑭A1,γ(6)⑭ y(2))の 相 対 不 変 式

予 想1(2)概 均 質 ベ ク トル 空 間(σ,ρ,y)の 相 対 不 変 式 を 整 数 係 数 で,さ ら に そ の 係 数 の 最 大 公 約 数 が1に な る よ うに 定 め,同 様 に(G,ρ*,γ っ の 相 対 不 変 式 も 整 数 係 数 か つ そ の 係 数 の 最 大 公 約 数 が1に し て お く と,

P(x) = f3(det(uX1 + vX2)) P* (y) = f3 (det (uY1 + vY2 ) ) ,1"-11-4- explicit ? b-rAltbt

bp(s)

212•36{(s+1)2(s+ 6)(s+ 6)(s+ 4)(s+

45)12

」ζ 乙

予 想1が 成 立 し て い る か ど うか を3元2次 形 式 の ペ ア の 空 間 で 確 か め て み る.

まず,P(の を 整 数 係 数 か っ そ の 係 数 の 最 大 公 約 数 は1 に な る よ う に 次 の よ うにQ(の を 決 め る.

P(田)=∫3(det(uX1十uX2))=2‑8Q(ω) ま た,

P*(￠)=∫3(det(賜}三 十 η}う))

で あ っ たの で,Q(∬),.P*(￠)共 に,整 数 係 数 か つ そ の 係 数 の 最 大 公 約 数 は1で あ る.

次 に,指 数 的 ひ 関 数 を 求 め て い く.

bp (s) = b', (s)

が 成 立 す る.

証 明 の 前 に3元2次 形 式 の ペ ア の 空 間(8L3× σL2,2A1⑭ A1,y(6)⑭V(2))に つ い て 述 べ て お く.

y(6)⑭y(2)はy={X=(X1,X2)ix1,X2∈8雪m3}

と 同 一 視 され,作 用 の 仕 方 は,

ρ(A.B)X=(A(αX1+わX2)t・4,A(cX1+dX2)ε ノリ)で 与 受 ら れ7〜

beXp(t)=(t — e2ori•1)4(t — e21ri4)2(t—)2(t — e2ai4)2(t — e2ai•4)2

=(t-1)44(t—(1 — 40)2 (t — 22))2(t+2)2(t—i)2

=(t — 1)4(t2 — t — 1)2(t2 + 1)2

=(t — 1)4(t2 — t — 1)2(t2 + 1)2 (t + 1)2(t2 — 1)2(t3 — 1)2(t — 1)2 (t + 1)2(t2 —1)2(t3 — 1)2(t — 1)2

=(t — 1)6(t2 — 1)-4(t3 — 1)-2(t4 — 1)2(t6 — 1)2

ATCLI- (1 ,

f (j3)e(7) = (11)6.(22)4.(33)_2.(44)2.(66)2 = 220.36

j>1 1

all a12 an

(A = a21 a22 a23 e SL3, a31 a32 a33

B=adEGL2iX=(X1,X2)EV))

bp(s) — b0l(s + 1)2(s + s)ls+ s)(s + 4)(s + DP 0A-k (1) 6,7_119ti6t- --Co60)T,

bp(0) = b0(12 x s X s x 4 x 4)2

し た が っ てQ(④=28P(z)で あ る こ と か ら,P(卯),P*(ω) に 対 す る わoの 予 想 値 は

220・36×2‑8==212。36

と な り,今 回 求 め た60の 値 に 合 致 す る.

謝辞

この 研 究 にあ た り興味 深 い問題 を提 示 して くだ さい ま した上 越 教 育 大学 中川 仁 先生,予 想1の 事 や 貴 重 な 資料 を くだ さい ま した 筑 波大 学 杉 山 和 成 先 生,b一関 数 の 算 出 の プ ロ グラ ムの 作 り方 を教 え て くだ さいま した近 畿 大 学

中村 弥 生 先 生 に深 く感 謝 申 し上 げま す.

とな る.

一 方 ,直 接 定義 に基 づ い て 計 算機 に よ って 計 算 して み る と,

わP(・)=論 鍔 出 一 μ(恥)(P(皿))

と な る.

こ の 二 通 り の 方 法 で わp(0)を 求 め る こ と に よ り, わ。×(52.7薦)2‑2480625

が 成 立 す る の で, bo=212×36=2985984 と な る 。よ っ て,

6P(・)=212・36{(・+1)2(・+暮)(・+暑)(・+髪)(・+妥)}2

これ が3元2次 形 式 の ペ ア の 空 間 に お け るexphcitなb一 関 数 で あ る.

参考文献

次 に,explicitなb一 関 数 を 求 め る こ と で 得 ら れ る 因 子 60に つ い て の 予 想 が(2)に よ り知 られ て い る.そ れ を 述 べ る た め 次 の こ と を 定 義 す る.

1)木 村 達 雄,概 均 質 ベ ク トル 空 間,岩 波 書 店(1998)、

2)行 者 明 彦,概 均 質 ベ ク トル 空 間 の 理 論 の 最 近 の 発 展,数 学47(3)(1995).

3)新 谷 卓 郎,概 均 質 ベ ク トル 空 間 の ゼ ー タ 函 数 にっ い て,数 理 研 講 究 録497(1983).

■凸一 曲 一レ

E Q>o, d = deg 1)

bp(s) = bons + aj) (a3

J=1