余米田の補題

余米田の補題

alg-d

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2021 年 4 月 2 日

P: C^op →Setを関手とする．米田の補題Hom^Cb(y(a), P)∼=P a^は右Kan^{拡張を使っ} て以下のように示すことができる．

右Kan拡張id^‡_CP を考える．明らかにid^‡_CP ∼=P である．

C^op

C^op Set

∼=⇒

idC

P id^‡_CP

一方，Setは完備だからid^‡_CP は各点右Kan拡張で書けるので，a ∈ C，x ∈ Setに対 して

Hom_Set(x,id^‡_CP(a))∼= Hom^Cb(Hom_C^op(a,−),Hom_Set(x, P−))

が成り立つ．故にx= 1とすれば

P a∼= id^‡_CP(a)∼= HomSet(1,id^‡_CP(a))

∼= Hom^Cb(Hom_C^op(a,−),Hom_Set(1, P−))

∼= Hom^Cb(Hom_C^op(a,−), P−)

∼= Hom^Cb(y(a), P)

である．故に米田の補題が示された．

ところで，エンドによる右 Kan拡張の計算F^‡E = Z

c∈C

Hom_D(−, F c) ⋔ Ecを使え

1

ば，Setにおいてはx⋔z ∼= HomSet(x, z)だから

P ∼= id^‡P

∼= Z

c∈C^op

Hom_Set(Hom_C^op(−,id(c)), P c)

∼= Z

c∈C^op

Hom_Set(Hom_C(c,−), P c)

∼= Hom^Cb(y(−), P)

となり，米田の補題が得られる．(但し，エンドによる計算は米田の補題を使って示したの で，これは米田の補題の別証明にはならない．) ^{ここで，右}Kan^{拡張の代わりに左}Kan 拡張を使えば，次の余米田の補題が得られる．

定理 1 (余米田の補題). 関手P: C^op →Setに対してP ∼=

Z c∈C^op

y(c)×P cである．

証明. F^†E = Z _c∈C

HomD(F c,−)⊙Eaであり，またSetにおいてはx⊙z ∼=x×z で ある．よって

P ∼= id^†P

∼=

Z c∈C^op

HomC^op(id(c),−)×P c

∼=

Z c∈C^op

y(c)×P c.

従ってP a∼=

Z _c∈C^op

HomC(a, c)×P cとなる．

また，y^†y∼= id^{だったから} P ∼=y^†y(P)∼=

Z c∈C

Hom^Cb(y(c), P)×y(c)∼=

Z c∈C^op

y(c)×P c と示すこともできる．

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