1
行列正規分布とその応用
宇喜多 義 昌＊
§1．Summary
多変量解析の大抵の問題の出発点は，p変量ベクトルXが，「平均ベクトルE（X）＝μ，
分散共分散行列V（X）＝．Σ（ただし．Σはヵ×pの正値行列，これを￡＞0とかく）で，x の確率密度関数（p，d，f）， f（Xi， x2，…， Xp）≡∫（X）は
S（x）一（・・）−91・・1−±・xp｛一丁（・一・）・E−i（・一・）｝
≡・・p（．v｜μ， i1） ……（1・1）
である」ときXを平均μ，分散共分散行列2をもつ，p変数正規分布といい，つぎのよ
うにかく，
・Y〜Np（μ，2）
このXの観測測定から始まる。そして，このXのsize aの無作為漂本Xi， X，，…， X。．を とり，Xt ＝（砥、， Xt2，…， Xtp）とすると，つぎのようなα行， p列の行列が得られる。こ の行列をX。，pとかき，標本行列という。すなわちX。，p
−Xl 1， Xl 2，……Xip− −Xlノー x。，，−x21・ x2・・… x・P−x・
．x。1， Xa、，……Xa，．−x。 ．
＝［パ パ パx，， x2，……Xp］ ……（1．2）
ここに）己，pのα列はα成分ベクトルで，これをXaとかくことにした。すなわち，
Xa ＝（X1α， X2α，…，）Xaa） α＝1，2，…，P である。
ついでXa， pの関数g（Xa， p）とか， Xa， pの関数ベクトルV（Xa， p）とか，関数行列 ル㍑，n（X。，p）を作り，これらの関数としての性質とともに，確率分布（実際はg （X。， p）と かv（Xa， p）とか，さらに仏，π（Xa， p）の確率密度関数）を求める。ついで
母数，例えばμや2を推定したり，検定を行うのが通例である。このためには行列X。，p の同時分布を知る必要がある。この確率密度関数∫（X。，p）は
f（X。，，）一（・・）一 IPLIEI一号・x・［一一litrx−・（X・，，−L〆）・（X・，P−・… ）］
・・・… （1．3．1）
である。
Xa， pが（1．3．1）のp， a， fをもつとき正規行列という。このことと， Xa，ρで行ベクト
＊一般教養教授 数学
ルについて，
瓦〜IVp（μ，2）， Xlt⊥， i＝1，2，…， a・ ……（1・3・2）
（すなわち，行列Xa，，の各行ベクトルは，それぞれ統計的に独立で，同一の平均ベクトル μ，同一の分散共分散￡もつp変数正規分布をするという意味）とは全く同値である。
また，Xa，pの列ベクトルについて
A 欝紬
ここにμ ＝（Pi・μ2， ，μP），
ぞll三l！
とする，この（1．3．3）と（1．3．1）とも同値である。すなわち X。， pが正規行列の定義は，
（1．3．1）≦＝＝＝；（1．3．2）
＼＼ 〃
（1．3．3）
・・・… （1．3．3）
（1．2）の各行ベクトル現ノの平均ベクトルμτが同じでなく
Xt〜Np（Ftt，2）， X⊥ ……（1・4・1）
ここ1こ，μ± （itetl， iLtt2，…，1！Ltp）， i＝1，2，…J a．
の正規行列Xa，ρを出発点として考える場合もある。このとき，μ1，μ2，…，μaからつくる つぎの行列
の ノの Ptll，μ12， i IUIp 2U1，
ノ μ21，μ22・……・92P ＝ μ2・
ノ
＿μα1， ＃α2， ・．．・．・， μαP ＿ ＿ μα ，＿
＝［βi，liZ2，……，βρ］
≡Pα，P を母平均行列という。ここにβaは，
βノ＝（μla， IU2tt， ，μαα），α＝1，2，…，P・
で，α成分ベクトルの母平均ベクトルである。
Xa， pが（1．4．1）で分布するのと， Xa，pのp， d，f，∫（Xa， p）は
S（X。，・P）一（・・）−9ipLlxl−÷・x・［一一litrE−1（晃品・） （瓦「昆・）］
・・・… （1．4．2）
とは同値であり，また，
3
ハ
・・・… （1．4．3）
とも同値である。
Xa，pの分散共分散行列を考える。
一 γ（Xl）， COV（X、， X2），……COV（Xl， Xa）−
COV（X2， Xl）， V（X2），……COV（X2，瓦）
．COV（Xa， Xl）， COV（Xa， X2），・…・・ V（Xa） 一
≡v， （x。，P）
このaP×aPの行列をXla，pの第一種形分散共分散行列ということにする。また
A A A A A一 γ（X，）， c・v（X1， X，），……c・v（X、， Xp）一
の
cov（X2， X，）， V（X2），
パ ハ
．C・V（Xp， X、），……・…・・…
パ パ
……C・V（X2，X，）
ぷ
……… γ（Xp） 一
≡Yc（Xa， P）
このaP×aPの行列を，第二種形分散共分散行列ということにする。
X。，pがそのp， d，∫が（1．3．1）でも， p， d，∫が（1．4．2）でも，Vr（X。， p）は全く同じで
P（
P（
カ（
xlOl……｝o Ol2io 10
一H6 1…6 i：：： δ｛ 元一
＝L⑧Σ（laと￡のkronecker積という）
ここに0はp×pの零行列である。
そこでXa，ρの分布が
（1．3．1）のときは，Na，p（1。〆，1。⑧．Σ）の正規分布 （1．4．2）のときは，Na，ρ（μa， p， L⑧Σ）の正規分布
という。
多変量解析の分散分析は一般的には，
x。，P〜Na，ρ（μ《L， P、 Iaミ≡）Σ）
このXa， pを無作為にk回測定し，それをXa， p（1），Xa， p（2），…，．Xa， p（k）
とし，これを元にして分散分析を行う。しかし，Vr（Xa，ρ）キL⑧Σでない場合を取扱ねぽ ならないこともある。
例えば，ある日本酒の飲酒量（1合の場合，1．5合の場合，2合の場合）による酩酊度 を知りたい。いま酩酊度とし，飲酒30分後の脈搏増加量（x、），最高血圧増加量（エ2），
一定排気量内の酒気（X3）として，このとき被検査者は性別，年齢，体格，体質等が均一 であることが必要である。
普通3k人の被検定者を無作為に抽出し，3人1組で， k組作り，各組につき その1人には1合の飲酒（これをT，処理とす）
他の1人には1．5合の飲酒（これをT2処理とす）
最後の1人は2合の飲酒（これをT3処理とす）
（の 処理 脈搏増加量 血圧増加量 酒気 第i組 T， （Xl 1（i）
母平均 （Ptl、
T2 （x21（の 母平均 （μ2、
T， （X31（の 母平均 （μ31
② ω
X sX
ω
2 32 2
μX
伜
が ω
）−
1 −︳︐2
μX
＝ ＝ ＝
鋤 の パoパ
＄X X
μ23） ＝μ、
X33（の）＝X3 （i）
P33） ＝μ3
［｛潤恥②⊥と一
しかし，被検者を無作為にk人抽出して，各人にTl， T2， T3をくり返して施す。くり返 し処理を行うとき，つぎの2通の方法がある。
（b，） 毎日一処理Ttを実施し，三日で終る検査で，処理順序は無作為の場合。
（b2） 処理順序をT，， T2， T3として処理間隔を中2日位とる。
α氏 T，：X，ノ（α）＝（X，エ（α），X、，（α）， X、3（α））
T，：X、 （α）＝（X，、（α），X，、（α）， X23（α））
T，：X3 （α）＝（X、、（α）， X32（α），X，3（α））
同一人にT，，T2， T3を施したので，「瓦⊥， i＝1，2，3」と見るのは無理で，
ヒ蕊㌻ぽ）i f 」
㈲」α噸一））搭1）
！
cov（X（α）， Xlt．，（α））＝0、．3 γ（Xl，（α））＝￡
これを共分散関係で図示すると（……，一一一一一一一一は共分散あり）
（a）の場合 x、1： ：7：一．一：： ：： 一：：Xl；：：：： ：； ：：： ：IJ：x・・；v（x，）＝Σ
x，，：： ：： ：：丁：：：：）ζ；三： ：：；一：二：：：二x23 ；v（x2）＝Σ
X3、…………X3，…………X33；V（x「3）＝2
（のの場合 X、、 ： J：1 ：：； ：： ：：：X；：一：：； ：： ：： ：：−JX13；V（X，）＝Σ
よ賜鞍 、v（x，）、−x
！黙螺忌1竃、γ（x，）一、
5
（ろ2）の場合 X，1…………X，2…………Xl 3 ； V（X1）＝＝7
↑ ↑ ↑
（al） （a2） （a3）
↓ ↓ ↓
X21…………X22…………X23；γ（X2）＝Σ
↑ ↑ ↑
（al） （a2）
（a3）
↓ ↓ ↓
X31…………XS 2…………X33 ；V）X，）＝＝2
（b，）の一般化で行列Xa， pのac i行ベクトルを瓦ノは
Xt〜Np（Fti， i）， cov（Xt， Xj）ニdiag（a1， a2，…，ap）≡A（α） どキ元 のとき
一昆 緬ピ1三ト議
である。よって，Xa，pは，
x・，P〜現，，（μ。，P，Σ＊ apxap）
となる行列正規分布をするという。
（b2）の一般化でまた， Xa，pで
Xt〜Np（ILtJ，Σ）， cov（．Yt， Xt＋1）＝diag（al… ap）≡∠f（α）
c・v（X，，X」）＝O Iiv 1≧2 のとき
E（Xa，P）＝μα，ρ
一2∠ 0…………〇−
A2A O……O
IIr（Xa，P）＝ ・・………・……… ≡Σ＊＊
0…………A Σ A ＿0…………O AΣ＿
である。よってX。，Pは
Xa， P〜Na，P（Pa， P，Σ＊＊）
となる行列正規分布をするという。
§2，§3では無作為に選ばれたkケの行列Xa，p（1）， X。，p（2），
て，仮説μエ，μ2，…，μ。の独立なqケの線形1次式 lllPtl十112Pt2十…十liaμa＝O
lq 1Pt
i十Zq2μ2十… 十lqaiUa＝0
・・・… （1．5）
・・・… （1．6）
…，Xa，p（lt）をもとにし
の真偽について検定する。
§2ではXa，p〜Na，ρ（IUa，P，Σ＊）のもとで，各処理による母平均ベクトルμ1，μ2，…，μaの 一様性仮説検定問題を。
§3では）己，p〜Na，p（μ。，p，2＊＊）のもとで， a＝ 3， a＝5の場合にある種のμ1，μ2，μ3の
1次式
L（μ！， Ft2， IU3）＝o の仮説検定問題を取り扱う。
§2の検定要領は昭和60年（秋），日本数学会（富山大学）で研究発表済であり，§3の検 定要領は昭和61年（春），日本数学会（京都大学）で研究発表済のものである。
§2．X、，p〜N。p（Ft。， p，Σ＊）と巳ω瓦，ρの研究
いま無作為に抽出された〃個の対象に対して，各対象に，無作為に処理T，，T2，…， Ta を繰り返し施し，p変量ベクトルXを調べてつぎの行列X。，pを得たとする。ここに瓦 は処理T，による観測ベクトル，
x・，・E［li遼lllllll三鷲i
cov（Xt， Xj）＝diag（σ11ρ1，σ22ρ2，… ，σρPρρ）≡4
これがど対象のものであるときX。，p（のとする。
蹄｛iiilil匡1嶽1三Lぽ｝］
一慢トσ）
E。，ρ（i）〜Na，p（0。， p，Σ＊）……誤差行列 とかける。
ka×pの行列X。k， pをつぎのように定義する。
Xl・k・…1［ll｛iト麺
ゑ づミ
ぷ パ
ここにXaはX。樽のα列ベクトルで， Xat・・（Xα （1），Xai（2），…，Xノ（k））とする。
X。k，ρの確率構造模形はつぎのようになる。
x・・…一［i臆耀十一輪
で，Ea， P（の〜Na， P（Oa，P，￡＊）で， Ea， P（の⊥より，
塩工・ト（2＊ 0、＼、O Z＊））
7
また，
噺ピ）ぷ三㌧）］
⇒㌘三三トー
ま づミ
COV（X。， Xβ）＝ a。βlk、（α≒β）
α，β＝1，2，…，P である。
（i）a，，a2，…∂、を基底とするベクトル空間s（61，∂2，…，∂。）≡s（A）を推定空間とい う。明らかにdim S（A）＝＝aである。
（ii）Rka空間でS（A）の直交補空間をS⊥（A）とするこれを誤差空間という。その次 元は明らかにdim S⊥（A）＝ ka−a＝（k−1）aである
（iii） 砥。， pの適当な変換で， Cm， k。Xka，p≡Ym， pとすると， Ym， p〜Nm， p（Cm， k。μ。k， p，
塩⑧△）する（これを標準化という）。▲は適当な正値行列。このため
IV（X。）−7．1，。1＝1σ。。A（ρ。）−2Ll⊆0 ……（2．1）
｜σααA（ρα）−21a1 ＝0の根は2種類2，1，22を得て
2、＝・。。＋（a−1）σ。。ρ。…単根， λ・＝・。。（1一ρ・），…（・−1）重根 したがって，
〈 ゑ1＞ γ（Xα）の固有根はσα、（1一ρα）でk（a−1）重根で，対応する固有空間S（σ。。（1一ρα））
の次元はk（a−1）次元である。
〈2＞ γ（X α）の他の固有根はσαα［1＋（a−1）ρa］でk重根より対応する固有空間 8［σ。。（1＋a−1ρa）］の次元はk次元である。
〈1＞，〈2＞の空間S［σaa（1一ρα）］， S［σa。（1＋a−1ρα）］を直和分解する。
・［・・α（・一・・）］一・｛
ユ
，，− o：・o 1− O−：O l ユ o T−：．O lo −：・O 1 ユ ユ vx つ 0⁝01一o−・0 H 1 ユ ユ
1 0
9 1
0 0 −1 −1 11 H
ゑ パ ゑ ゑ
α1一αα α2一αα 9 6 1 −1
11
ゑ ゑ αα一1一αα
｝es［・］・
dim S（∠4−）＝a−1 8（A←）⊂8（A）
S［2］⊂S⊥（A）
dim S［2コ＝＝ （k−1）（a−1）
dim S［στt（1一ρt）コ＝k（a−1）
また，22に対応する固有ベクトルの張る固有空間S［σαa＋（a−1）aaαρα］は，
s［σ。。＋（a−1）σ。。ρ。］＝s
−⑨：−r⊥・：寸⊥
1
i
ll
①S〔1コ，
dim S（1）＝1 8（1k、）⊂8（A）
dim S［1］＝k−1 S［1コ⊂S⊥（A）
dim S［σαα十（a−1）σααραコ＝k
Σ∂τ＝1た、
s（22）
s（A−）
次元a−1
S［2コ
次元（A−−1）（a−1）
s（21）
S（1）
5［1］
次元k−1
S（Aつ，S（1）， S〔2］，8〔1コ はいずれも直交している
また，
S［σll（1一ρ1）コ＝…＝Slσp，（1一ρ，）］≡S（2、）
S〔σ・1＋a−1…ρ、］ ＝＝…＝S［σ，，＋（a−1）σ，、ρ，］≡S（21）
上記（V［￡・］一λ臨）v＝0なるvはαに従属しないことから，上のことがわかる。
（iv）仮説μ1＝μ2＝…＝μα之μ、一μα＝μ2一μa＝…＝・μα一一μa＝0．（仮説Hとする）
［㌃司一・（・恥司
Vtp一μαP
βtl一βa1（μ／1一μ。1のB． L． U． E）＝（∂，一∂α） 禽
βΩ一戸。2（με2一μα2のB．L． U． E）＝（6t−∂α）僑2 i＝1，2，…， a−1
商，一ρ。P ＝（a、−a。） s，
よって，仮説Hが真のとき，
8（A−）は，0一仮説空間となる。すなわち，仮説が真のときは，S（A−）⊥E（Sα），α＝1，
2，…，カである。
っぎに，PS［，］Xka，p＝P．〔2〕［￡エ，島，…，￡ρコ≡［PS［2〕島，…， PS〔2］島］の分布を調べる。
8［2］の次元は（k−1）（a−1）より，この空間にel［2］， e2［2］，…，e（k−1）（a，1）［2］なる単 位直交ベクトルがあり，これを使ってS［2コへの射影を作る。
9
一騰∵二llllll：ll：：弘｝三ll：1：
（ic−1）（α一1）
ここに，
イ撚二三1海f㌫）］
（注）V［e、 ［2］S。コ＝e1 ［2］γ［S。］e［2］＝σ。。一ρ。σ・。
cov［e1ノ［2］∫｝α， el ［2］是β］＝elt［2］cov（是α，是β）el［2］＝σaβel ［2］e1［2］＝σαβ c。v［e、 ［2］S。，e、 ［2珪β］＝e、 ［2］c・v（￡。，￡β）e、［2］
一｛ll蒜㍗） °＝雅；㌶；；；
etc．
ゆえに，
Ps・・IX・…〜N…−1）（a＿1），p（0， ∫⑧A） ・・・… （3．1 （κ一1）（a−1）x（k−1）（α一1） ）
1）s［2〕（2）X，．a，p＝：（1）s〔2コXka， p） Ps［2コXJ：a， p）〜Ulp（f＝＝k−1）（a−1），▲） ・・・… （3．2）
一方，S（A ）の次元は（a−1）より， e、（．A−），e2（Aつ，…，e。．、（Aつなる単位直交ベク トルがあり，
ぷ編一巳鴛言1≡1二ll㍑訂
仮説が真のときは，8（Aつ⊥E（i。），α＝1，2，…，pより
このことから，
et（A−）⊥E（乱）
Ps（ズ）Xk・，， P〜Na−1，P（0，1⑧▲）
（a−1）x（α一！）
Ps（A）（2）Xk。， P〜Ulp（∫＝a−1，▲）
8〔2］⊥8（A−）⇒Ps（ズ）（2）Xka，，⊥Ps［，］（2）X，。，，
・・・… （3，3）
・・・… （3．4）
・・・… （3．5）
・・・・・・（3．6）
（3．2）， （3．5）， （3．6） より
Hが真のときは，つぎのようなWilksの2統計量をうる。
lPs［2把裏：；￡鑑三ts Xka＿PL −A （P， a−1）， k（a−1））
（V） PS［・］（2）X，・。，ρ， PS（A−）（2）X己，pの計算法。
S［2］の中の直交単位ベクトルの形を直接求めてPs〔，〕（2）Xk。， pを求めるのは厄介である から，次のようにして求める。
← （Ct）（Ca）…（cκ）−
1a Oa …Oa
ロラひひパパロひぽロけパ ロリ マル
S（λ，）＝S（・aa＋（a−1）σααρ・）＝・S Oa 1α…0α→Ps・a、）（2 XC・，＝fΣip・、（2 X。k， p
t＝1
（2） 書． ・・ ・・・・・・・… ・
＿（k）Oa Oα …1 a＿
として計算する。
ここに，Cat＝（0 。，0 。，…；0 。，1 。，…，0 ）である。
1 2 t k
∴ PS（λ、）（2 Xre。，，＝PS（1、。）（2）X，，・。，，＋PS［1］（2 ）Xka，，→PS［1］（2）X、z，，
を求める。
ロ
8（A）＝S（61，ε，，…，δ。）よりB，ωω）転戸Z］ Pa、ω）転，
t＝工
として求まって，
PS，。、（2）X、，a， P＝PS（1、c， 2 X、a，，＋PS，ズ）（2 Xk。，。→PS（。一）（2）X、a，，
が求まる。
∴ P。［，］（2）Xk。，，＝X、、a，P（2L鳥，。）（2）Xlka，，−P。［1］（2）Xka，，
として求まる。また
PS・・1（2・・品珠・・一）（2・Xka，，−Xka，，・2・一基ω（2・X・ 、，，
である。
§3．Xa，P〜Na，ρ（Pta，P， Σ＊＊）とjPs（2）Xa， Pの研究 apxap
− Xa，ρ（1） 一〜Na，P（μ。，ρ），E＊＊）
（￡i（1），…，Xp（1）） Xa，P（i）⊥
x・・…＝ x。，，（2） 〜N。，，（μ。，，，2＊＊）
− Xa，，（〃） ．〜Na，，（μ。，，，Σ＊＊）
≡［縞・一・・5k・P）一［1］P・・P＋E・…
このとき
一遮；1∴一巨㌘1］
＝T7 （Eak， P）
また列ベクトルで見ると
タミ ま
斗∴鷺∴）］：：∴∵
ここに
11
盈伝）宝：：：ヨ…触⌒一
である。
α＝3とα＝5にっいての分散分析 （A）a＝3の場合。
（1）X3， pは，1subjectについて，処理T，， T，， T3をこの順序で行うが， T，の施行 時とT，の間，T，と． T3の間が長期（3ケ月とか，半年）とか。また，同一のsubjectに同 じ処理を一定間隔をもって3回くり返す場合で，例えば§1で述べたように，日本酒T，
（1合），T2（2合）， T3（3合）をこの順に与えて，飲酒後の酩酊度として体温x、，脈搏 x2，アセトァルデヒドx3，血圧x4等を，調べて，各処理の真の酩酊度とか，酩酊度の 関係を知りたいときに起きる問題である。
緬隆；トー［当［緊；ト
x3κ，ρ＝
oo−・oo rlO10川O t− OlOO・r⊥oo ヨ001︽α 010δ1006
［11 ］ E3k・p・
ぷ（A）
次元3
s⊥（A）
次元3（k−1）
＝［犬s 犬xb x2t ，Xp］
（α）8（δ1，δ2，δ3）≡S（A）：推定空間，dim 8（A）＝3， dim S⊥（A）＝・3k−3＝3（k−1）
（β）X3k，pを標準化する。
1γ［￡ 。コー21、kl ・・ 1σααD（ρa）−21・1k・＝O IσααD（ρα）一λ131＝0の根は，
σ。。，σ。。−4百σ。αρ。，σ。α＋s／万σ。。ρ。
2＝σ。、のとき，γ（xα）の固有根σαα（k重根）
a・・aD・（Pa）一一ピ：闘一応一べ・・ル田
λ＝σc。−4／：2一σ。。ρ、のとき，V（動の固有根σuα一 V−2σα。ρa（k重根）
a・・aD・（Pa）一一「㌢ど鷲・念］
・一応す・固有べ・・ル
﹇ヨ
λニσ。α＋N／万σααραのときV（Axα）の固有根σα。＋ン万σααρ、（k重根）
・aaD（Pa）一一一）・・一「㌻一霧・一嘉」
・一応す・固有べ・・ル
このことから
根σααに対応する固有ベクトルの張る固有空間S（σαα）は 1 1 0 03 03 0 −1 −1 （1）・………・……・ ……
1 1 03 0 03 0
8（…）−8 ＿1 −5＿1es［1コ
（2）……・………・・ ……
03 03 ≡ 1 1 03 03 0 0 ＿（k） −1＿ ＿−1＿
（bl）
根σ。・、，一 」 IIσctctρctに対応する固有ベクトルの張る固有空間S（σaα一 V 2 σaαρα）
−1 −1 V万 03 03 万 一1 −1 −1 −1 03 ン百 03 万 S（σαα一ン万σααρ・）−S ＿1 −8＿1es［2］
−1 −1 03 03 V百 F2 −1 −1 （b，）
根σα。＋〆百σα。σαに対応する固有ベクトルの張る固有空間S（σα。＋ン百σα。ρ。）
1 1 〆百 03 03 〆言 1 1 1 1
S（σαα十イ／万σααρα）＝S O3 4〆言 03 ＝S V百 （DS［3］
1 1
．・■ ■●●．・●・ ・． ．… ■● ■ ■・●●● ●●●■●■
1 1 03 03 ン百 V百 ＿ ． 1＿ ＿1＿
（b3）
8（σ11）＝8（σ22）＝…＝8（σPρ）≡S（λ1）， dim S（λ1）＝k
ぷ（σ1r V 2 σnρi）＝…＝8（σPP−〆 2 σPPρP）≡S（22）， dim S（22）＝ん 5（σu十V百σnρi）＝…＝S（σpp十ぴ 2 σPPρP）≡S（λ，）， dim S（λ3）＝・k
8（z3） 8（λ2） s（，7，1）
bi・・α一α3∈s（A）
b2＝一α1十VE一α2一α3∈8（A）
b3 ＝αi＋〆百α2＋α3∈s（A）・
b，，b2， b3は互に直交し，8（A）＝5（b，）㊥8（b2）①S（b3）
（・）H，・μ一一…
提1三§］
μエα一μ3αはestimableでそのB． L U． E
Pi。−P・c，−t（・、一・・）・x。（・−1，2，…，P）
＝t（b、） ．e。
Hlに対応する0仮説空間S（b，）。
同様に，H，（μ1−4百μ2十μ3・＝0）に対応する0仮説空間8（b，）で，
H，（μ1＋4万μ2＋μ3＝0）に対応する0仮説空間5（b3）である。
（・）〜一←一（三ξ；：））一一一一
叫ぐ《：：驚∴））
→Ps［，コ（2）XO帥〜鵬（k−1，．2E，）
8（63） 8（b，） 5（bl）
8［3コ 次元ん一1
8［2コ 次元夫一1
8［2］
次元仁1
13
←斗《1鶯1∴））
→Ps［3コ（2）X3k，ρ〜Wp（k−1，2，）
（i）の証明
S［1］∈θ1，￠2，…，eκ一、（単位直交行列）
パ メミ
P・［1］x・k，p−［欝三∴：淘
なぜなら，
ゑ ま
｛V（ef Xti）＝eltv（Xa＞ ei＝・σaα ま ス ぬ ゑC・V（e・Xa， e、Xβ）＝e、C・V（X。， Xβ）e1＝σ。βelle、 ・＝・・。β メミ ぬC・V（elt X。， e2t XB）＝e、（σ。β1，p）e、・…ff。βe、e、・・0｝
etc．
Hエが真のとき8（b，）⊥E（是，）となることから，
Ps（b、）X3tC， P〜Ni，P（0〜1，Σ）
P、，、、）ωX，it，，〜呪（f＝1，Σ）
ゆえに，
IPs，、〕・；鴛幾1：；［・・−x，k，，1〜A（P・…k）
under H， true 同様にして，H，（PiキPt3 ＝ 4一豆Pt2）が真のとぎ，
Ps、、、）X，k，，〜N1，，（0 ， ii，Σ、）⇒P。，、、）ωX、k・，，〜慨（ブ＝1， E，）
IPS・…2・X・・，・，1／｜P・・（・・）（2）X・k，，＋P・1・］X・k，・1−A（P・…k）1
H3（μ1＋μ3＝一ン万μ2）が真のとき
｜PS・・コ・2・X・k，，1／悟ω・2・X・k，，＋PS・測一A・（・，・・，・k）1
Ps〔1］（2）X3k， p， Ps［2コ（2）X3碗， Ps［3コ（2）X3 k， pの計算法
P。〔1〕（2）X3k，，＋PS（、、）（2）X，k，，＝P。，・、）（2）X、k，，
ロラ くわ くの
blt＝［1，0，−1≡1，0，−1≡1，0，−1≡……三1，0，−1コ
e （bエ）＝1／ V2kb、 （b、方向の単位ベクトノじ）＝⇒P5ω（2）X3純カミ求まる。
Ps（λ、）（2）X，k， Pは， Ps（λ、）（2）X，k，ρ＝P8（c、）（2）X，k， P＋…＋Ps（c、）（2）X，k， P
として求める。
ここに，
ct ニ（03 ≡03 ≡・三〇3 ≡1，0，−1≡03 … 03 ）， i＝1，2，… ， k ∴ Ps［1］（2）X3k，ρ＝Ps（λ1）（2）X3k，ρ一Pぷ（ 、）（2）X3k，ρ
他のP，［2〕X3碗， Ps［3〕（2）X3k， pも同様な要領で求める。
（B）a＝5の場合
緬
匡ト
一P5
（α）
（β）
X5k，P＝
1 0 0 0 0 0・1 0・0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
（∂，）……二・・…（∂5）
［ μ1，．fIu5］＋E・…一
‥・・・・… （1）
15
・．・．・．．．・（2）
15
・・… ■・・．（髭）
μ 十E5te
（5Xp）
8（61…δ5）＝S（A）：推定空間，dim S（A）＝5， dimぷ⊥（A）＝5k−5＝5（k−1）
ただし，8⊥（A）：誤差空間
IV〔是α］一？．1，，1＝1σααD（ρα）−211， lk＝0
（5）
1σααD（ρα）−2J，1ニ0の根は （5）
σαα，σαα＋ρασ。。，σα。一ρaσαα，
σua
σ。。（1＋ρD 〃 σαα（1一ρ。） 〃 σ。。（1＋涯「ρα） 〃 σαα（1一禰一ρa） 〃
に対応する固有ベクトル
σ。α＋再σ。。ρ。，σαα一再σ。。ρ。
Cl＝（1，0，−1，0，1）
c2 ＝＝（1，−1，0，1，−1）
c3 ＝＝（1，1，0，−1，−1）
c4＝（1， VT3−，2， F3，1）
c5＝（1，一一 ゾ≡≡一，−2，一 ゾ≡≡一，1）
1115
8（σα。）＝8
両
綱
ひ エ リ
パ 一︒︒ド︒−
1O一O H： 6 ：
1 0
05 05…−1
0 1 d， d2…dκ
＝8
よーOIO −川1 O1O1
■●●●●■
1 0
−1
0
＿ 1 ＿
hl
㊥8［1］≡8（λ，）
H，：μ・一μ3＋μ，＝0
（ft・−f）t・＋Pt・） −th， X・k，，・hl 一（C1 ，・1 ，…，・・ ）一（・一・・＋・・）
昆：μ一μ・＋μ4一μ5＝0
（P・一岬一戸・） −fh・ 悉…h・ 一（・・ … ・…・・1 ）一（α1−・・＋・・一・・）
H・：μ1＋μ・一μ一μ，＝0
（IEil＋f ・一β・−fi・） 一†み・ X・・，，・h・ 一（・・ ，・・ ，・・ ，…，・・ ）一（・・＋・・一・・一・・）
H，：μ1±㎡写μ・＋2μ・±石「μ＋μ、＝0
（｝EZ1±F3 P・＋・P・±C3 Pt・＋P・） 一†h・X・・，（＋のとき）
一†ぽ・，，（一のとき）
h、 ＝（c4 ，c、 ，…，c、 ）＝（α、＋F3α、＋2α3＋r3α、＋α、）
h、 ＝（c、 ，c， ，c， ，…，c、 ）＝（α5− F3 a、＋2α3−F3α4＋α5）
S（σ。。1−〆百ρDS（σ。。1＋〆百ρ。）S（σ。。1一ρ。）S（σ。。1＋ρ。） S（σ。。）
推定空間→ dim S［ht］＝1
誤差空間→
8［ゐ5］ 8（h4） 8（h3） ぷ（h，） 8（h，）
8［5］ 8［4］ 5［3］ 8［2コ 8［1］ dim S〔i］＝k−1
（i）H，の検定
Ps〔1］XSk，ρ〜N，一→，ρ（0， Jk．1，2）
Ps〔エ］（2）XSk， P〜P［ヨ（h−11Σ） absolutely
17
Ps（h、）XSk， P〜N，，P（0，1，Σ）
鳥ω（2）XSk，，〜聴（11X） ｝輌璃一
ここに
お
PS［1〕（2）XSk， P＋鳥㈲（1）XSk， P＝PS（λ、）（2）XSk， P＝ΣPd、（2）XS k， P，
t＝1 な
Ps［、］（2）XSk， P＝ΣPd，（2）XSk， P−Ps（h、）（2）XSk， P
t＝1
として，求める，他のH，，H，，疏， Hsの検定法も同様にして行う。
§4．結 び
本論文に対して別に行列Xla，pが行列正規分布Na，ρ（μα， P， E⑧Σ）であり，特に， E＝
ロメロ
（；∵！）一分散分一鵡；：：こ；）一跡一一
の問題解決が残されている。本文が実際問題に適用出来るかどうかの検討で，本学名誉教 授佐藤良一郎氏に有益なアドバイスを受けたし，本計算検討は本学小野英男教授に御願し て，著老の勘違いに対して指てきを受けた。両氏に厚く御礼を申し上げます。また本研究 のための費用は，86年明星大学々長特別研究助成によるものである。
引用図書
（1）S．F． Arnold（1981） The Theory of Linear Models and Multivariate Analysis ， John XK「iley ＆Sons．
（2）A．M． Kshirsagar（1972） Multivariate Analysis Marcel Dekker， Inc．
（3）T．W． Anderson（1984） An Introduction to Multivariate Statistical Analysis John
、Viley ＆ Son．
（4） 宇喜多義昌（1975），実験計画法，森北出版，
（5）宇喜多義昌（1983），多変量統計解析，その3：標本分布論，翔人社．
引用論文
（1） Y．Ukita（1976）， Hypothesis Spaces and Decomposition of Sum of Squares in Linear Models（Ogawa Volume）．
（2）宇喜多義昌（1980），〈P。X＞，1［Psx211の分布と応用について（東京理科大学・理理学専攻科 雑誌，No．1， Vol．1）．
（3）宇喜多義昌，外2名（1981），II Ps、xl］2／1［ Ps、xl］2の分布に関する定理（東京理科大学，理学専 攻科雑誌，No．1， VoL 2）．
（4） Y．Ukita（1982）， On a Geometrical Meaning of A22，1 and its Distribution（Tensor，
N．S． Vo1．39）．
（5）宇喜多義昌（1982，Basic数学， No．10〜No．12，1983），1統計的実験の計画と，実験データ の解析（1，ll，皿，IV）．
（6）日本数学会研究発表アブストラクト（統計数学），1985年，秋季大会（富山大学），1986年 春季大会（京都大学）．
