凄 hinShallowShell Multiple-degree-of-freedomApproachtoNonlinearVibrationPropertiesofa

長崎大学工学部研究報告 第

31

5 6

1 3

1

⁷⁷

多 自由度解析法 による偏平殻の非線形 自由振動

高橋 和雄* ･中村 聖三*

三堂 聡**･田中 利志***

Mu l t i p l e ‑ d e g r e e ‑ o f ‑ f re e d o mAp p r oa c ht oNo n l i n e a rVi b r a t i o nPr o p e r t i e so f a T hi nS h a l l o wS h e l l

b y

Ka z uoTAKAHASHI *,Shoz oNAKAMURA* , Sa t os hiMI DOU**a ndSa t os hiTANAKA***

l nt hi ss t u dy,t h enonl i n e a rvi b r a t i onp r o pe r t i e sofat hi ns ha l l ows h e l la r ee xa mi ne d. Thee qua t i onofmot i onsde s c r i bi ngt h el a r g e de ne c t i onoft het hi ns ha l l o w s he l lu s i ngVl a s o vt y pee qua t i onsa r ea na l yz e db yaGa l e r ki nme t h o d.Ther e s ul t i nge qua t i on sf or t i meva ri a bl ew it hqua dr a t i ca ndc u bi cn o nl i ne a rt e r msa r es ol v e dbyt heha r moni cba l a nc eme t ho d.Non li ne

f re ev i br a t i onsa nd f o r c e dvi br a t i onsoft h ef i r s tmo dea n dh i ghe rmod e sa r eobt a in e df o rva r i ousg e o me t r i cp

a me t e r s

1.

薄板 にライズ を持 たせ た偏平殻 は曲率構造 のため, 剛性が高 ま り構造上有利であ る. しか し,飛 び移 り座 屈 を含めた不安定現象が生 じやす く, ライズの大 きさ が座屈強度 に敏感 に影響 を及はす ことが知 られてい る.

変形 に対 して幾何学的非線形性 を示す ため, ライズに よって生 じる

2

そ こで,本研究では, ドームや体育館の屋根 な どに 使用 され る薄肉殻構造物の解析 をする.偏平殻の非線 形振動 については,金沢 ･半谷1)によって,偏平殻 を

1

自由度 系 とした解析が行 われている. この研究 に よっ て,二重 曲率 をもつ偏平殻 の 自由振動特性が 曲率比 な どをパ ラメー タに評価 されている.偏平殻 は連続体で あ るため多 自由度 系 としての解析 が必 要であるため, 本研究では,薄肉偏平殻を多 自由度系 として取 り扱 い, 高次モ ー ドの非線形 自由振動 お よび 1次 モー ドの応答 振幅 に及ぼす高次 モー ドの影響 を解析 す る.本研究で は, ガラ‑キ ン法 を用いてたわみの運動方程式 を多 自

由度系の運動方程式 に直 して,調和 バ ランス法 を用い て解析する巧,

2.

Fi g.

r ,Ry

Fl g . 1 G

oT T

ya n d 0 0勺

n a bs y s t e m

I‑ 1 1

等

( o <xS a･ o <y

, Rx,R y:

振動 に よって起 こるたわみ をWとす るとき,薄肉偏平 殻の運動方程式 と適合条件式は次式の ようになるD.

L'W,

F' ‑ p

^{･ D v ㌦･ p.c os n t}

一停 藷 凄

一名 劫

平成

1 2 年 1 0月 2 7

*社会開発工学科

( De pa r t me nto fCi vi lEn gi n e e r i n g)

**安倍工業所

( Å♭eI ndu s t r y)

***博士前期課程生産科学研究科

( Gr a dua t eSt u de nt ,Envi om e n t a lSy s t e msEn gi n e e r i n g)

7 8

‑

‑ o

高橋 和雄 ･中村 聖三 ･三堂 聡 ･田中

(2)

･4 F ‑ E d i ( a 藷

²

f

(3) ここに ,〟: 板の密度 ,♂: 板厚 ,β: ヤ ング率,

u: ポアソン比 ,F: Ai r y の応力関数

時間, po: 荷重曲線, n ^{:荷重の円振動数}

D‑. A :板剛度 ･

‑

2

薄肉偏平殻の境界条件は,曲げに対 して仝周辺単純 支持 と全周辺固定支持 とし,それぞれ面内変位 〟 Vは 固定 もしくは自由 とする.

全周辺単純支持の場合の境界条件は 面内自由の場合 ( S ‑ 1 )

W

‑N

0･ a,

W

a B

面内固定の場合 ( S‑ 2)

W‑ a B

^{g ･ a,}

W

B ‑ ^u

‑ O

全周辺固定支持

界

件 は

面内自由の場合

W

‑N

^{0･ a)}

W= 穿

N,

d

面内固定の場合 ( C‑ 2)

W = a

( x‑

W

a

‑

(4)

(5)

(6)

(7)

面内の

を

す

^で

ため,次

用 い る .

面内自由

/

0, a) /

^{0･ b)}

面

定

J吾u^dy=

⁰

^{0, a)}

/

⁼⁰

^{0, b)}

(8)

(9)

運動方程式の解 を,境界条件 を考慮 して次式の よう に多自由度系に仮定する 3 .

W=d ∑ ∑Tmn(i)W,nn(x,y)

( 1 0)

m=1 n=

ここに

:未知の時間関数

板厚

x, y) : 曲げに対する境界条件 を満足する座標関数.

解析の手順 として,薄肉偏平殻の式の適合条件式 よ り,応力関数 F を式 ( 1 0) を用いて解 き,面内方向の境 界条件の下に決定する.

運動方程式 ( 2 )に,たわみの仮定お よび応力関数 を代人 してGa l e r ki n 法 を適用す る.本研究では

l 吹モ ー ドと1 個の高次モー ドを選ぶ. この場合,次の ような 時間に関する非線形連立運動方程式が得 られる.

T.･2h

′ J a ′ i I l･

' T… ･C ' T

d′ T I . 3 セTl T]

=f p lc os ̀ U T

7

" J a h lT . j佃

^{T l ]･d} " 2 ; f ^{Tu ･}

=8ij

rPc o s wT

ここに , a ′ , b ′ , C ′ , d ′ , e

, a " , b " , C " , a" , e " , r : 係数, 8 . j : Kr o n e c k e r のデルタ関数, h′ , h":減衰定数,

W ‑且 . ･無次元固有振動数 ,wo= Jim

也′o

p ‑

% . ･相 強度,

(ll)

( 1 2)

T=abt

:無次元時間 , ( L ' , J ) =(

上武

l)お よび式

の解 を次式 の ように仮定 する. ここで,高次モー ドは 2 次 の非線形項が入って ないため , 1/ 2 分数調波共振が現れないので､

c os言T･S i n言, を省いている･

T1¹‑CJ^l･C.;三co^s等

･S

I

s i n写

+ Cl l l c oswT+S l ) l s i nwT T. j FC o b ' +cr ' cos

+S . b ' s i nwT

ここに

i

: 1 ,

1 次モー ドの付随型の振幅成分, C . ; 三 , s l ; 三: 1次モー ドの分岐型の振幅成分･

普, C F ' , s y . : 高次モー ドの付随型の振幅成分･

式 ( ll)お よび式

に式

お よび式

を代入 して,調和 バ ランス法 を適用すれば,連立非線 形代数方程式が得 られる.これ に,Ne wt on‑ Ra p hs on 法

を適用 して解けば,解が得 られる.

多 自由度解析 法 に よる偏平 殻 の非線 形 自由振動

3.

本研 究では無次元パ ラメー タとして次 の諸量 を用 い る.

k ‑ ‑ d Pe x:

,T ‑a Px

k Rx/R y :

(l>0:

, 人<0:

鞍形状

, 人= 0

U=0

F L‑

h=

代表 的 なパ ラメー タに対 す る偏平 殻 の形状 をFi

g. 2 に

Å=1

(

A‑ LT‑ n 4 ) ( A‑ ｣, T‑ 8 4 )

ー■ 重曹声.‑

( A ̲

nl l l A I qr̲n4 1 Fi g . 2 Gc o mc t r yo fs hI I o ws h e l l

( 1

Fi g. 3

0. 1

0. 2

r

9

8 7 6 l■一 4 3 2 I rD J n A O

J●n E‑● d j

●:fl r lt ■ ○ d ●

A :

+ c on dL r l d

t hl r dl L O一 ● 暮

○: 一 〇 urt h

〇 山

A :

fl f t h

O d +

0

0 . 1 0 ‑ 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3

3

0 . A Sh一ll o yn●ss r

F i g3

血 b

血dl o 雌

( 2)

Fi g

k =0. 0 0

r =0

,Fi g. 5

k =0. 0 0

1 ' =0

1

7 9

次 モ ー ド

Tl ,2

,3

2

,4

T

5

1

人=1

11

, C

1 2 , C

2 1 , C

2 2 , cl "

W/

Fi g

g. 5

2

, 3

2

g. 2

Å=1

e‑Kut t a‑Gi

薄肉偏 平殻 の曲率 半径比 人が正 の場 合, ドーム形 に な り, ライズを持 つ長方形板 と同 じ形状 で ある. この 曲率半径比

人=1

2

,1

r

sec

o n dH xx k c l 1 2

f

o ur t h m∝ kc 1 2 2 t h

z n o

e

血 t m∝kc l

の T u

O d∈ 0 9 a Pn I d LLJV 2 1 0

0 0 .4 0 . 8 1 . 2

Fr

w

晦 4Nod血qr触 vibzh qlM S

(

‑

^.

T ‑0

8 0

s T u o u o

u o o

dEv

ユ r

高橋 和雄 ･中村 聖三 ･三堂 聡 ･田中 利志

s

c u d m

d d r d皿Xkc .

l nX X kc . 2 2

‑1 1

0

1 2 3 4 5 6 7 F

o

F:gSN血

血沈 丑r触 Y

( A ‑

.

I0. 1 ) 3 )非線形強制振動

Fi g. 6 は曲率半径比 l=1 の1 次モー ドの応答曲線 を示 し ている.縦軸 は振幅成分,横軸は無次元加振振動数n/

W｡ を取 っている･ また荷重強度は,無次元加振振動数

∩/ W ｡ =0の とき,主共振 の振幅

. 1 1 = 0･ 4となるように取 っている･固有振動数 n/ W｡ = 1 付近 に生 じる主共振

に加え,固有振動数の 2

n/ W｡ =2 付近 に1 /2 分数調波 共振が現れている･主共振および1 /2 分数調波共振

S . ' it 二は･軟化 ･硬化バネの特性が現れている･

Fi g. 7 は曲率半径比の 2自由度系の応答曲線 を示 して いる･主共撮c

) 1 , 1/ 2 分数調波共振c

I i,s J i お よび 4 次モー ドの応答振幅

: ･ t が現れている ･ 1 次モー ドの振 幅成分 と 4 次モー ドの振幅成分は別々に現れ,達成の 影響が少ない.

4. まとめ

(1)薄肉偏平殻の非線形 自由振動 は,辺長半径比 によ って特性が変化 し,振幅の大 きさによって軟化 ･硬 化バネの両特性 を持つ.

(2 )薄肉偏平殻の高次モー ドの非線形 自由振動は,近 長半径比 によって固有円振動数が大 きく変わ り, ま た硬化バネの特性のみを持つ.

(3

)薄肉偏平殻の

自由度系の非線形強制振動 におい て ,1 次モー ドの振幅成分 と高次 モー ドの振幅成分 は別々に現れ,速成の影響が少ない.

の 1 u a

O

JO O a P n t duJv ▲

3 2

0 I̲ ▲｢3 2 1 0 S luOuO皇EO Oの PnI CLLrV 0

1

F r e q u e n c y

/

Fi g. 6 A m p止t l l der e 8 pO nB eC t m 8 ( A‑ 1 , p T‑0. W57 ,

暮0 .

I0. 4)

0 ^{1 2 3}

F r e q u e n c y

/ wo

F

i g. 7 A n pht ud e

e

PO n

e

( A‑ 1 , 声 ‑ 0 ^{. 0 057} , A ‑0.

T ‑0. 4 )

( 4 )薄肉偏平殻の曲率半径比が正の ドーム形状の場合, ライズを持つ長方形板 と形状が一致する.この場合, 運動方程式内の 2 次の非線形項があるため, ライズ お よび形状パ ラメー タが非線形 自由振動 に大 きな影 響 を及ぼ し,軟化 ･硬化バネの両特性 を持つ.

偏平殻の曲率半径比の影響お よび境界条件の影響 に ついては別途報告する.

蕃考 文献

1)Ka na z awa, K.andHa nga i , Y. :Nonl i ne a rFl exur a l Vi b r a t i o n sofThi nSha ll o wSh e l l s , Th e o r e t i c a la n dAppl i e d Me c h a ni c s , Vol . 25, pp. 7 5 ‑ 87,1 9 77.

2)Ta kaha s hi , K.andMi dou, S∴ Mul t i pl e‑ de gr ee‑ of ‑

f r e e dom Ap pr oa c ht oNo nl i n ea r Vi b r a t i onPr op e r t i e sofa

Re c t a ng u l a rPl a t ewi t hSma l lRi z e,Th e o r e t i c a la n dAppl i e d

Me c h a ni c s , Vol . 4 8, pp. 1 21 ‑ 1 26, 1 9 99.