せん断流中における三次元部分空洞翼列の特性

せん断流中における三次元部分空洞翼列の特性

（第一報，解析法）

樫賢一＊ ・伊藤哲也*＊ ・伊藤 惇

一宮田

CharacteristicsofaThreeDimensionalCaScade withPartialCavitationinShearFIow

(1stReport,AnalyticalMethod)

Ken'ichiToGAsHI,TetsuyalToandJunlTo

(2001年11月28日受理）

Ananalyticalmethodofathree‑dimensionalcascadewithpartialcavitationinaspanwise shearfiowbetweentwoparallelplanewallsispresented.Anequationofmotionwithrespect

ables. Oneofthemistheequationofspanwisedirectionandtheotheristheequationof

combinedlinearly,andexpressionsofthecascadeandcavitycharacteristicsareobtained.

せん断流中において空洞発生を考慮しない三次元翼 列の解析法が最近著者らにより提案された(2)｡空洞を 伴う単独翼の解析法と空洞を考慮しない翼列の解析 法の両者が構築されれば,これらの融合によって空洞 を伴う翼列の特性が解析できること力期待されよう。

このような考えから本研究では，文献(1)と(2)の方 法を融合させることにより，翼幅方向に速度分布の 変化する平行2平面間内せん断流中にある部分空洞 三次元翼列の理論を構築し， これに基づいて翼列特 性および空洞特性に及ぼすせん断流効果および翼列 効果を明らかにする。

緒

一一二三

1

ロケットポンプインデューサに代表される軸流機

械の羽根は，ケーシングとハブあるいは内筒の間に

これらの羽根には部分空洞や超空洞等の空洞現象が 伴う。 よって，平行な2平面間のせん断流中にある 部分空洞三次元翼列の問題を解明することは，部分 空洞発生下にある軸流機械の羽根車や案内羽根の特 性評価や合理的設計に対して基礎的な資料を提供す

る上で重要と思われる。

翼幅方向に速度分布の変化する平行2平面間内せ ん断流中において部分空洞を伴う三次元翼の解析法

は,単独翼について既に提案されている(1)。また同じ

2．支配方程式と境界条件

図1に示すように，翼幅入，弦長cの翼からなる 三次元翼列が,ピッチオ,食い違い角γで平行2平面 間に両翼端が接するように配置され，翼前縁からは 空洞長さ／の部分空洞が発生している。翼幅方向に 速度分布の変化する無限上流速度の妬成分として

＊秋田高専専攻科学生

**秋田県立秋田技術専門校・情報システム科

空==F("")Y(y;片耀)P(x,z;"") …(7)

p Z=i

ここで島は分離定数で固有値となり,F(h,)はスペ クトルである。

3．圧力関数とじょう乱速度

式(7)のP(x, z;h,)を圧力関数と呼ぶことにす る。圧力関数は無限個の単独翼(1)の和をとることに よって次式となる。

P(",z, ;偽蝿)="｣r,(餓蝿)"="&Kb(")ds +"r｡(馴耀)"皇呈脇(恥)だ

十去久 二 (ご;為緬)"菫̲曼脇(恥)必

十制 二 (馴慰)"菫雲呈Kb(7'j")必 …(8)

ここで〃は翼番号,r,(x;h,),I､2(x;gn)は渦分布 で，空洞後端を境に0＜妬＜／とノ<"<Cの領域 に分けサフイックス1， 2で区別する。また,Zc(%;

烏)は空洞厚さに関しての， 二0(妬；烏)は翼厚に関し ての吹き出し分布の無次元量である。Kb(7fn)は0次 の第2種変形ベッセル関数であり, 7fnは次式で表さ れる。

諺

図1 座 標

定義した主流U(y)は，翼と迎え角αをなしている

微小じょう乱を仮定すると，各成分のオイラーの 運動方程式と連続の式から， じょう乱圧力pに関す

る支配方程式として次式が成り立つ(3)。

鋤一研＋

砂一鋤１炉

ａ｜砂Ｕ

＋

卸一部

…(1)

7'i7z==ん〃

境界条件としてはじょう乱圧力について

p=万""g;"→−OO,OO …(2) 平行な2平面では， その面に垂直な方向の圧力勾 配はOであることから

藍=0;，=0, 入 …(3)

微小じょう乱を仮定すると空洞の無い部分の接線 流れの境界条件式は

命=最み(") ;0<x</,z→‑0&

/<x<c,z→±0 …(4) ここで はz成分のじょう乱速度, zf(x)は翼表面 のz座標である。

空洞内の圧力一定条件より

,=co"s/. ;0<"<J,z→+0 …(5) 基本解として次の変数分離解を仮定する(4)。

==Y(y)P(",z) …(6)

p

ここでβは流体密度である。

したがって，一般解は次式となる。

(兆一壱一班tSinj')2+(Z−畑ｵCOSy)2

…(9) 式(8)を空洞を含む領域0＜妬＜ノと含まない領 域/<x<cに分ける。さらに単独翼項と翼列項に 分け，薄翼の仮定から極限操作を行うと

0<x<ノでは，

R(x,±O;た")=千r,(";"")

‐制 三．(琴:"鼻

一制!Zc(g;"")Sgn("̲g)R,(""￨"̲gl)"

一弘．三｡(琴〃鼻

一鍬 三｡(ご;陶耀)sgn(難一壱)R,(h"￨難一壱,脆

十△〃〃 …⑩

ノ<"<cでは，

B(x,±0;"")==FI､2(";"")

‐制'三 (琴;陶")皇

‐制 三｡(琴;備蝿)sgn(難一壱)R,(""￨"‑gl)"

十△〃 ･･･01)

ここで， △岫は翼列項で次式となる。

‑鍬'三 (琴;陶蝿)sgn("‑g)R,(陶迩￨災‑gl)"

‑制 三｡(琴〃篝

〃＃cOS

〃〃 。。

1'r､雛卿)】

△〃〃＝ 2冗 ^加＝−

腕≠0

+"r｡(ご測量^＝−

側ｚ Ki(7'>,z)"

(兆一ケ−"#Siny)2+(Z一〃/COSD')2

"Z#coS 脇脇踊 くく 端恥恥 必婚必ｊｊｊ

函国 卿函 辺噺

脇息息壹壱壱ｒ三二

八ｒｌ如〆１人

碗万脇万忠一加

(妬−ご一""Siny)2+(Z−加ｵCOS),)2

"−ご一加tsiny

(兆一琴一加tSiny)2+(Z−加＃cos)')2

%一彦一加/siny

(兆一壱一W@/Sinj')2+(Z−""COS7,)2

z成分のオイラーの運動方程式は次式となる。

U¥=‑鵲 …m

式(14, （19より次式が成り立つ

蝿( ;俺腫)=‑fzP(",z;掬鯉)" …(10

式⑯に式(8)を代入し,P(x,z;",)と同様の操作を 式⑰でKi(7fn)は1次の第2種変形ベッセル関数

である。

またR,(z)は次式となる。

R,(z)=Ki(z)‑妾 …側

各固有値に対する無次元じょう乱速度のz成分

"nを次式で定義する。

@"(X,y,Z)‑Z"(‑oo,y,z)

−−%=F("")Y(y;"")""(",z;"")…(14)

‑U(y)fl

行うと

0<"<ノでは，

"" (蝿，±0;〃＝一夫か(琴;偽耀)妾

一会か(琴;陶緬)sgn("̲g){R,(偽耀￨ ̲誉￨)+好順 '｣Ki(M}"

一寺か(ご;陶緬)必‑"[r｡(g:"農

‑"[r｡(g;陶擢)sgn("̲g){R,(陶蝿￨漁‑g')+1"'='Kb(M}"

一等〃,(ご;陶慰)だ±昔{重 (獺;陶鯉)+三・(妬;陶耀)}+△"

/<x<cでは，

"" (鰍，±0;〃＝一夫か(ご;陶緬)篝

‑"'r!(雛耀)sgn("̲g){R｣(偽腫￨鶏‑gl)+八…￨脇(城}婚

‑"!r｣(g;伽應‑"r,(g､陶繍)鼻

‑"r,("")sgn("‑g){R,(偽耀￨驫一ご￨)+入…'駒('｣g

‑Wr,(g;肉腫脆士昔三0(x;陶臓)+A""

…(11

…(1＄

ここで，翼列項△恥は

A""=‑"'r｣(馴蝿)重

〃3＝＝一≠0

‑"'r｣("")"=^7＝＝一m

加≠0

‑"'r,(""){c｡t(

‑"r,("")"=^1二＝−m

加≠0

‑"r,(g;〃量^{7〃＝＝−}

瓶≠0

‐芽ﾉcr2(融繩){c｡t(

‐鍬'室(ご;陶膨)i^{》刀=＝一}

郡≠0

−瓢 二｡(ご;席履)量^加＝一画

碗≠0

"−琴一畑jsin7'

Ki(γ〉")必 (兆一琴一加＃Sinj')2+(7MCOSy)2

久蕊 'Kb(卿α(雛‑ご)だ 告伽cosγ−Ⅲ） ｝必

%−ご一加jsin

Ki(γｹ")"

(兀一ご−加＃Siny)2+("MCOS7,)2

rKb(",#)"(燕一亭)だ 舌〃c･sγ)‑'}"

"jCOSy

Ki(γ〉")"

Ki(γ次)だ

(%−ご−〃ｵSin7,)2+(W@tCOS7,)2

'"COSy

･･･(19 (兆一琴一加/Siny)2+(7MCOSy)2

4．積分方程式とその解法 解法(5)によった。

1,,(";"")=A̲,("")+A｡("") ^{1‑sin(｡/2)}

sin(d/2)

0<x<Jでは，

最倉J(x)=z"",(",‑0;"")+tanc',̲｡｡ ･･･@0

/<x<cでは，

釜z繍(鰯)=告{"臓｡(難,+0;陶蝿)+"蝿,(苑,‑0;俺耀)｝

+tana‑ …@l)

ここでz,(x)は翼下面のz座標でzs(x)は反り線の z座標， α‑m無限上流速度と妬軸のなす角として定 義した流入角である。

式(5)の境界条件より次式が成り立つ 0<%<Jで，

‐告的(備腿)=R(x,+O;備蝿) ･･･C"

ここでoh(E,)は各固有値に対するキャビテーショ ン係数である。

空洞後端モデルは開放型を採用する。したがって，

翼上面でも空洞後端で圧力が連続的に変化し，次式 が成り立つ。

+=Aj("")sinjめ,難=:('‑c｡sd)^ノーl r2(x,"M)=且｣("")'+=s.

＋血(陶耀)sinjE,"=c '(,̲｡｡sE)+/

ノー1

･･伽

…

ｲ

Zc(x;"")=CL,(た ）

+=Q(&"'sinj',x= (M､s8) …㈹

また, Z｡(%;",)は次式の関係より与えられる。

三｡(","")=fz,(") …"

ここでz｡(")は翼の厚さ分布である。

式側から伽での境界条件を与える標点位置はそれ ぞれ次の式で表される。

xo=f[1‑cos{"(21‑1)}],'=1,2, ,ﾉ…@3 x,=¥['‑@.s{*(2H)}]+','

＝1，2，…,〃 …側

",= [1‑cO､Z#(21‑1)}],'=1,2,…,Ⅳ

R(J,+O;"")=B(/,+O;た"） …側 式帥から卿の積分方程式は翼断面の問題における 流れ場の支配方程式となる。

これらの積分方程式は次の級数を導入する既存の

…帥 本研究では，標点数をJ=3,"=3, JV=6と した。ただし式棚の符号が式㈱の第2式と異なるこ とに注意。

[ﾉi−恥 1

7rS､1‑cos(2",7e)}

Ui "2"e ^…例

ここで

入刀２〃

一 一

＊〃た

？一入 ^ｅ

ｙ２

｜｜

ｅ〃

…側 5．翼幅方向の問題(4)

6．翼列特性 主流の速度分布は，翼半幅y=入/2に関して対称

な図2および式61)，例で表される境界層を近似した ものとする。

U(y)=[ﾉb+Ui=[ﾉhy(0<y<ye) …61)

U(y)=U+y<3) ‑"

y方向の解Y(y;Z])は次の式で与えられる。

Y(y;陶耀)=f{U(")cos(""y)

g=Ubsin(陶")}(0<y<j,.)々〃e ‑@'

圧力係数Cbを次式のように定義する。

Q=ptig), ^…㈹

空洞を含む領域では圧力係数は次式となる。すなわ ち，

0＜妬＜ノにおいて，

Cb,(x,y,±0)

=US),ZF("")Y(y;"")PI(",i0;〃…《,

空洞を含まない領域では圧力係数は次式となる。す なわち，

ノ<"<cにおいて，

Cb2(X,y, =tO)

=US),ZF("")Y(y;"恥,±0;ﾙ蝿)…側

揚力係数qを次式のように定義する。

2L

Q=pcl"=(y)""

ここでLは揚力で次式となる。

L=mf{'(",",‑0)‑'(",',+0)}@加か

… 式 の積分を実行し，式卿に代入すると次式が得ら れる。

G=2ye(Uf+"+[ﾉi[ﾉb)+3UP(入‑2y.)ZF("'3冗入

×[fA‑｣(臓耀)+;A｡(陶耀)+;A,("")}

＋旱{ BL!(偽躍)+;a("")}] …M9

誘導抗力係数Cb1は連続の式,ベルヌーイの式,運 動量保存則から導かれ，結果は次式となる。

Y(y;"")=､Ui ｡s{""(4‑,)}(".<y< )

…則 スペクトルF(",)は次式から決定される。

F("")̲_{Ui −aUi}2Ui‑[ﾉhr‑jr={,‑c｡s(〃"e)}"2"e

…閲 固有値片"は次式にニュートンの接線法を用いる ことによって求められる。

sin"="誤赤in(""e)sin{"(1‑"霞)}

…㈱

定数凸,D,は次の式から得られる。

g=@･sﾙ＃

[/i‑[ﾉb‑4=sin("".)c｡s{"(,一"e)}…棚_〔ﾉi ""e

剛="｡+(会)，(1−" ）

+*[sin(2"".)+(g)'sin{W(,̲"．)}]

（告〃cosγ）

CO

〈た"COt

EF(hn)2

CDi=2ye(Uf+[ﾉr+UiU6)+3酢(ル2此)重F(備蝿)2<陶耀c｡t(告〃cos,,)^3冗入 〃＝2

×[fA‑,("")+A｡("")+A,("")}+¥{÷a!("")+fBi(偽耀))]

[fA‑,("!)+A｡("｣)+A'(",)}+旱佳且,(",)+3Bi(",)}]>

,(ﾙ")+÷A｡("")+÷A[("")I+旦二lllBL,("")+÷a("")11

１１ 元｜ーイ

｝ ² }］

2

−7COSy

×[:{fA‑'("")+A｡(陶蝿)+A&("") ^…㈹

局所揚力係数G(y)を次式のように定義する。

cM=,,%, …"

ここで吟(y)は局所揚力で次式となる。

(y)=4･{"(",,,‑0)‑'(",,,+0)}"‑@'

揚力に行ったものと同様の操作を行うと次式となる。

Q(y)

=US),ZF(備耀)Y(y;"")[fA‑,(應耀）

+/A｡("")+3A,("")}

＋旱{/BL'(臘鰯)+3a(應蝿)}] …M9

翼の厚さを含む空洞厚さZdは三c(x;",)と三0 (苑；烏)の和を積分することによって得られる。

(躯,')=加{,),≦F(備緬)Y(y;"")

列の解析法とを融合させることにより，平行2平面 間内せん断流中にある部分空洞三次元翼列の理論を 展開し， これに基づいて翼列特性と空洞特性の解析 法を示した。本研究の内容は以下のように要約され

る。

(1)既存のせん断流中の三次元部分空洞単独翼の理 論と同様の方法で変数分離を行い，翼幅方向に空洞 長さ一定の仮定を行うと，翼列の場合でも翼幅方向 と翼断面の二つの問題に分けて扱うことができ， そ れぞれの解の線形結合として一般解が得られること

を示した。

(2)翼断面の問題においては，空洞部分における圧 力一定条件と，翼表面の接線流れの条件にじょう乱 速度を代入することにより積分方程式が導出され，

級数解法の導入により連立一次代数方程式に変換さ れ，ガウスの消去法により解が得られた。

(3)翼幅方向の問題は， スツルム・ リュウヴイル型 の固有値問題となり，与えられた主流の速度分布に 対して既存の方法を用いることにより固有関数は解 析解が得られ，固有値については超越方程式が成り 立ち， これはニュートンの接線法により解かれた。

(4)翼断面の問題で得られた圧力関数と，翼幅方向 の解である固有値， 固有関数及び線形結合のスペク トルを用い，平板翼，欠円翼について，翼列特性と 空洞特性に及ぼす主流の速度分布，空洞長さ，食い 違い角， ピッチの影響を明らかにする解析法を示し

た。

本研究は平成13年度文部科学省科学研究費補助金

（基盤研究(C), ロケットポンプインデューサのキ ャビテーションに関する基礎的研究）による研究の 一部として行われたものである。

x[cL｣("倍‑2(/c｡sg)VE55言F忘訂

イ ｝

‑tan‑'

+/c'(應躍){"‑'+ sin'}

＋告重Q(備慰){7+rsin(j+1)"

‐吉sin(ﾉｰ')'}

＋八※三｡(";侮蝿肱］

特に欠円翼の場合は

八※三．(雛〃伽=4竿{燕‑客｝

ここでZomaxは翼の最大厚さである。

キャビテーション係数ぴ(y)は次式となる。

･(y)=U=)"重剛羅)Y(y;侮蝿)鋤(臘耀）

…側

･･･61)

参考文献

(1)伊藤（惇)， 日本機械学会論文集， 57‑536(1991

＝4), 1289.

(2)伊藤（惇） ・伊藤（哲） ・富樫， 日本機械学会論 文集， 68‑665(2002‑1),94．

(3) vonKarman,Th. andTsien,H､S.,Q.Appl.

Math.,3‑1(1945), 1.

(4) Honda,M､,Proc.R.Soc.,Ser.A,254(1960),

…側

7．結

一 一 二 目

空洞を伴う既存の単独翼の解析法と空洞の無い翼

(1977‑6),2165.

372．

(5)西山･伊藤（惇)， 日本機械学会論文集, 43‑370