自然な図形と不自然な図形： 幾何図形の二つの「意味」

自然な図形と不自然な図形：

幾何図形の二つの「意味」

稲岡大志(神戸大学) mail: hiroyuki.inaoka@gmail.com 日本科学哲学会第48回大会 ＠首都大学東京 南大沢キャンパス 2015.11.22

目次

研究の背景 目的 図形を用いた証明 ピタゴラスの定理 ユークリッド『原論』1巻命題1 言語を用いた証明との違い 言語を用いた証明との違い 『原論』の定義(一部) 『原論』の要請(公準) ポップアップ 幾何図形の「意味」 図形推論における背理法 ユークリッド『原論』3巻命題5 ユークリッド『原論』3巻命題13 ユークリッド『原論』3巻命題2 ユークリッド『原論』1巻命題27 背理法の図形的仮定 マクベス説の批判的検討 ダブルアイコン説 まとめ

研究の背景

▶ Shinによるベン図やオイラー図など、図形上での論理的

推論についての研究。

▶ Mandersによるユークリッド『原論』における図形の機

能分析。

▶ Avigad, Mumma, Muellerによる『原論』における図形推 論の形式化研究。 ▶ ユークリッド幾何学（『原論』）やフレーゲの概念記法と いった、数学における図形を用いた推論システムについ ての研究(Macbethなど)。 ▶ ギリシア数学史研究の進展。証明における図形の位置付 けの変化。補助的役割から証明の構成要素としての役割 へ（Fowler, Netzなど）。 ▶ 詳しくは稲岡[2014]を読めばだいたいわかります。

研究の目的

▶ 図形を用いたユークリッド幾何学の証明、とりわけ、背 理法を用いた証明において図形が果たす役割に注目し、 幾何図形をパース的な意味でのアイコンとみなす解釈を 批判的に検討し、この解釈はさらに精緻化できることを 指摘する。

ピタゴラスの定理

Theorem

任意の直角三角形について、斜辺の長さをcとし、それ以外

Proof.

一辺の長さをcとする正方形を描く。さらに、下図のように任意の直角三 角形をその周囲に4回描く。 b a c c c c b a b b a a このとき、三角形の三角の合 計は180度であるから、描かれた大 きな図形は正方形であり、その面積 は二通りに表現できる。すなわち、 (a+b)2=c2+4×1 2ab これを展開して整理することで、 a2+b2=c2 が成り立つ。 □

ユークリッド『原論』

1

巻命題

1

Theorem

与えられた直線を一辺とする正三角形を作図することができ

Proof.

与えられた有限直線をABとしよう。そこで直線ABの上に正三角形を作 図せねばならない。 まず中心をA とし、また距離ABをもって、円BGDが描かれたとしよう [I．要請3]、一方、まず中心をBとし、また距離BAをもって、円AGE が描かれたとしよう[I．要請3]。そして円が互いを切る点Gから点A、B へと直線GAとGBが結ばれたとしよう[I．要請3]。 すると点A は円GDBの中心であるから、AGはABに等しい[I.定義 15,16]。一方、点Bは円GAEの中心であるから、BGはBAに等しい[I. 定義15,16]。またGAもABに等しいことが証明された。ゆえに、GAと GBの各々はABに等しい。また同じものに等しいものは互いにも等しい [I.共通概念1]。ゆえに、GAもGBに等しい。ゆえに、3直線 GA,AB,BGは互いに等しい。 ゆえに、三角形ABGは等辺であり[I.定義20]、与えられた有限直線AB の上に作図されている。 これがなされるべきことであった。 □

A

B

G

図形の機能

▶ 図形が表示するのはco-exactな性質、つまり、対象同士 の位置関係（交差、接触、内包など）。 ▶ exactな性質、つまり、対象の量（長さや角度や面積の広 さなど）は図形ではなく証明における文によって指定さ れる。

言語を用いた証明との違い

▶ 図形的表現と言語的表現の違いはメンバーシップ関係と

集合同士の包含関係の表現にある(Shin[1994])。

▶ 図形には発見的機能がある(Shin[2012])。図形は

epiphanyをもたらす(Catton and Montelle[2012])。

▶ どちらも規約に基づく点では違いがない

(Azzouni[2013])。

▶ 図形を用いた証明は知識拡張に寄与するが、言語を用い

『原論』の定義

(

一部

)

1. 点とは部分を持たないものである。 2. 線とは幅のない長さである。 3. 線の両端は点である。 4. 直線とは、その上の諸点に対して等しく置かれている点 である。 5. 面とは長さと幅のみを持つものである。

『原論』の要請

(

公準

)

1. すべての点からすべての点へと直線を引くこと。 2. 有限な直線を連続して1直線をなして延長すること。 3. あらゆる中心と距離をもって円を描くこと。 4. すべての直角は互いに等しいこと。 5. もし2直線に落ちる直線が、2直角より小さい同じ側の 内角を作るならば、2直線が限りなく延長されるとき、2 直角よりも小さい側で、それらが出会うこと。

ポップアップ

▶ ポップアップ：ある図形の部分を別の図形の部分として 見ること。 ▶ 図形を組み合わせることで（あるいは単独の図形からで も）、新たな図形がポップアップ（pop up）する (Manders[1995])。 ▶ ポップアップする図形をうまく読み取ることによって証 明が進められる。 ▶ ポップアップは図形特有の機能であり、知識の拡張をも たらす（Macbeth[2014 87-9]）。

▶ 図形の見方の転換によりポップアップが生じる。seeing - asとしてのポップアップ。ウィトゲンシュタインのア スペクト知覚との親近性（Coliva[2012]）。 ▶ 幾何学が苦手な人は適切なポップアップを行うことがで きない、つまり、アスペクトの切り替えが上手ではな い人。

▶ いい加減に描かれた図形を「三角形」として見なすため には、図形のある部分を捨象する必要がある。 ▶ 同じく、実際に書かれた記号の色や大きさや歪みも捨象 されなくてはならない。 ▶ 何を捨象すべきかは、その記号や図形で何を表現するこ とを意図しているかに依存する。 ▶ すなわち、幾何図形はGriceの非自然的意味（non

natural meaning）として対象を意味する(Macbeth[2014 81-])。

自然的意味と非自然的意味

▶ 皮膚の上の染みが何らかの疾患を「意味する」ケースと、 バスの上に置かれた三つのベルがバスが満員であること を「意味する」ケースとでは、何かが何かを「意味する」 仕方が異なる。 ▶ 前者は「自然的意味(natural meaning)」、後者は「非自然

的意味(non natural meaning)」。後者は記号を用いた者 の意図を知らなければ意味も読み取れないが、前者はそ うではない。

▶ 幾何図形は幾何学的対象のinstanceではない。 ▶ そもそも、「部分を持たない点」や「幅を持たない線」を 描くことはできない。 ▶ 描かれた図形が点や直線を意味するのは、そう意図され て描かれたから。 ▶ 幾何図形は、対象を描写する絵（picture）ではない。幾 何図形は、対象を構成する部分相互の関係を表現すると いう点において対象を意味することができる。この意味 で、幾何図形はパースの「アイコン(icon)」とみなすこと ができる。 ▶ ただし、この場合の「関係」は見かけ上のそれではない。 ▶ 「図形が対象と類似しているのは、その見かけにおいて ではなく、たんに、類似性があるところの部分と部分の 関係という点においてでしかない」(Peirce[1932 159] (Macbeth[2014 83]に引用))

▶ たとえば、円を意図して図形を描くとして、描かれた円 は「周囲の点がある点から等距離にある」という点にお いて対象としての円と類似している。  ▶ このことは、背理法を用いた証明における、「矛盾した内 容」(contradictory content)においても見て取ることがで きるとマクベスは主張する（Macbeth[2012 72]）。  ▶ ただし、パースがこの引用箇所で念頭に置いているのは、 樹形図や系統樹のような、対象間の関係を図示したもの であり、幾何図形ではない。マクベスによるパースの参 照はかなり恣意的であることに注意。

背理法

I

▶ 『原論』には背理法を用いた証明が少なからずある。『原 論』全体で465の命題のうち110が背理法により証明さ れている(Vitrac[2012])。 ▶ 1巻(平面図形の性質):命題6, 7, 14, 19, 25, 27, 39, 40 ▶ 3巻(円の性質):命題1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 16, 18, 19, 23, 27 ▶ 4巻(円に内外接する多角形、多角形に内外接する円の作 図):命題4 ▶ 5巻(比例論):命題9, 10, 18 ▶ 6巻(比例論の平面幾何への応用):命題7, 26 ▶ "Eι(γαρ)δυατoν" ((なぜなら)もし可能ならば)

背理法

II

▶ 形式言語ならば矛盾は容易に表現できる。 ▶ 0=1や{Pa, ¬Pa}など。 ▶ 図形のみで背理法の仮定は表現できない。文による読み 方の補助が必要。 ▶ その際の読み方には、exactに関するものとco-exactに 関するものがある。 ▶ とりわけ、円の性質を扱う3巻ではco-exactなものが 多い。

ユークリッド『原論』

3

巻命題

5

Theorem

もし2円が互いを切るならば、それらの中心は同じにはなら ない。

背理法の仮定

2円が互いを切るとして、それらの中心は同じ点である。

A D E G B Z H

Proof.

2円ABG,GDHが点B,Gにおいて互いを切るとしよう。この とき、それらの中心は同じにはならない。というのは、もし 可能ならば、2円の中心がEであるとし、EGが結ばれ、EZH が任意に引かれたとしよう。すると点Eは円ABGの中心で あるから、EGはEZに等しい。一方、点Eは円GDHの中心 であるから、EGはEHに等しい。またEGはEZにも等しい ことが証明された。ゆえに、EZはEHに等しい。すなわち、 小さいものが大きいものに等しい。これは不可能である。ゆ えに点Eは2円ABG,GDHの中心ではない。 □

ユークリッド『原論』

3

巻命題

13

Theorem

円は他の円に1点におけるより多くの点で接することはない。 内部で接するときも外部で接するときもそうである。

背理法の仮定

2円が1点より多い点において接する。

A G L

K

外部において

1

点より多い点において接することは

ないことの証明

.

弦AGは円AGと円AKGLの内部にあることになる（命題

3-2より）。円AGの内部にあるので、これに外接する円

ユークリッド『原論』

3

巻命題

2

Theorem

もし円周上に2つの任意の点がとられるならば、2点を結ぶ 直線は円の内部に落ちることになる。

背理法の仮定

円周上の2つの任意の点を結ぶ直線が円の外部に落ちる。

B A G D Z E

Proof.

円ABGの中心をDとし、DA,DBが結ばれ、DZEが引かれる

とする。すると、DAはDBに等しいので、角DAEが角DBE

に等しい。そして、三角形DAEの1つの辺AEBが延長され

ているから、ゆえに、角DEBは角DAEより大きい。また、

角DAEは角DBEに等しい。ゆえに、角DEBは角DBEより

大きい。また、あらゆる三角形の大きな角には大きな辺が向

かい合う。ゆえに、DBはDEより大きい。また、DBはDZ

に等しい。ゆえに、DZはDEより大きい。すなわち、小さい

ユークリッド『原論』

1

巻命題

27

Theorem

もし2直線に落ちる直線が互いに等しい錯角を作るならば、2 直線は互いに平行となる。

背理法の仮定

もし2直線に落ちる直線が互いに等しい錯角を作るならば、2 直線は互いに平行とはならない。

A

G Z

E _B

D

Proof.

AB,GDが延長されてB,Dの側のHで出会うとする。三角形

HEZの外角AEZは内対角EZHに等しい。しかしこれは不可

能である。よって、AB,GDはB,Dの側で交わることにはなら

背理法の図形的仮定

I

▶ 3巻命題5：円の中心ではない点を円の中心として見る (＝ある点から円周への距離が等しいとみなす)。 ▶ 3巻命題13：三日月の図形を円として見る(＝半月形の 図形の線と線の繋がりを捨象する)。 ▶ 3巻命題2：曲線を直線として見る。 ▶ 1巻命題27：折れ線を直線として見る。 ▶ 文による指示がなければこうした見方を取ることは難 しい。

マクベス説の批判的検討

I

▶ マクベスは、描かれた図形が非自然的意味を持つアイコ ンであると考える。 ▶ その証拠として、(1)定義通りには図形を描けない点、(2) 背理法における「矛盾した内容」の図形による描写、を 挙げる。 ▶ Coliva[2012]では、(1)と(2)はtaking-asと分類され、 「推論を正しく遂行するために描かれた図形の知覚的性質 を却下すること」(p.131)とされる。 ▶ しかしこの二点は同じことだろうか？ ▶ (1)は描かれた図形を幾何学的対象として見る作用。 ▶ (2)は描かれた図形と図形の関係や図形の定量的性質を文 によって指定する作用。

マクベス説の批判的検討

II

▶ 確かに抽象的対象としての点や円を実際に描くことはで きない。したがって、描かれた図形を、抽象的対象を意 図して描かれたものとして見ることが求められる。 ▶ 背理法の仮定も現実には描けないが、その「描けなさ」 は(1)とは異なる。 ▶ （1）での描けなさは「抽象的対象を描くことの不可能 さ」であり、(2)での描けなさは「ユークリッド空間の性 質によって不可能な図形の配置」である。 ▶ 背理法は（2）の意味での図形の見方を要求する点で、通 常の証明とは異なっている。その意図は命題(定理)で述 べられている文を丁寧に読むことによってのみ把握さ れる。

マクベス説の批判的検討

III

▶ マクベスは、幾何図形の自然的意味と非自然的意味の対 比を際立たせるために、後者は意図が伝われば描き方は 自由でよい、と素朴に捉えている。意図を伝えるために は何が必要か、ということをあまり考えているようには 見えない。(Macbeth[2014 83-4])

▶ ちなみに、Catton and Montelle[2012]では、背理法が図

形のポップアップ性に基づくとして、マクベス説が参照

されているが(p.54)、これは誤解。

▶ マクベスは、通常の証明と背理法の証明のどちらにおい

てもポップアップが行われていることを例示しているが、 背理法に特化してポップアップが起こるとは言ってない。

ダブルアイコン説

I

▶ アイコンとしての図形には二種類あると考えたい。 ▶ ひとつは、点や直線を意味するアイコンとしての図形。 通常の幾何図形。自然的非自然的意味 を持つアイコン。 ▶ もうひとつは、主に背理法の仮定で要求されるような、 非自然的非自然的意味 を持つアイコン。 ▶ 両者のアイコンをきっちり線引きすることは難しい。 ▶ この分類が有効だとすると、どのようないいことがある のか。 ▶ 『原論』では同じ図形が、ある証明では背理法の仮定と して非自然的非自然的意味を持つものとされ、別の証明 では通常の見方として自然的非自然的意味を持つものと されることがある。

ダブルアイコン説

II

▶ また、ある証明でキャンセルされた仮定（が求める図形 の意味）が別の証明でも再度用いられることもある。（た とえば1巻命題14では折れ線を直線と見なすことが背 理法の仮定として求められるが、命題27でも再登場す る）。cf.Rabouin[2015] ▶ こうした恣意的なdiagram controlもアイコンを分類する ことで何らかの規則を与えることができるかもしれない。 ▶ また、幾何図形に限らず、数学記号全般についての分析 に使える。 ▶ 論理記号の分析にも使える。たとえば、ベン図やオイ ラー図は図形を自然的非自然的意味で、概念記法は図形 を非自然的非自然的意味で用いていると、それぞれ考え られる。 ▶ 自然的非自然的意味から非自然的非自然的意味へと推移 することが、記号としての図形の厳密さ、表現力の高さ をもたらすという仮説の検証が必要。

まとめ

I

▶ ユークリッド幾何学(『原論』)における証明は、図形と 文とを相互参照することによって遂行される。 ▶ 描かれた図形は「意図された性質」を持つ「意図された 対象」として見られなくてはならない。文が「図形の見 方」を与える。 ▶ とりわけ背理法の仮定においては、図形をかなり自由に 見ることが求められる。 ▶ ポップアップや背理法における図形の用法、二種類のア イコンの切り替え規則の有無など、さらなる分析が必要 な論点は多い。

まとめ

II

▶ たとえば、Johansenは、図形は集合間の包含関係は表現 できるが、集合のサイズ、メンバーシップ関係と包含関 係の区別までは表現できないことに着目し、図形をその 表示機能でdiagramとfigureに分け、幾何図形のような 図形は後者で、ベン図のような図形は前者に含める (Johansen[2014])。 ▶ 円の内部に別の円があることを表現する幾何図形と、あ る集合が別の集合に含まれることを表現する幾何図形と では、視覚的な現れは同じでも、前者とは異なり後者の 包含関係はあくまでも比喩的である。 ▶ ダブルアイコン説とこうした主張を比較検討することが 今後は求められる。

文献

I

▶ Jeremy Avigad, Edward Dean, John Mumma, "A formal system for Euclid’s Elements", Review of Symbolic Logic, 2, 2009, pp.700-68.

▶ Jody Azzouni, "That We See That Some Diagrammatic Proofs Are Perfectly Rigorous", Philosophia Mathematica, 21-3, 2013, pp.323-38.

▶ Philip Catton, Clemency Montelle, "To Diagram, to Demonstrate: To Do, To See, and To Judge in Greek Geometry", Philosophia

Mathematica, 20-1, 2012, pp.25-57.

▶ Annalisa Coliva, "Human diagrammatic reasoning and seeing -as",

Syhthese, 186, 2012, pp.121-48.

▶ Mikkel Willum Johansen, "What’s in a Diagram?: On the Classification of Symbols, Figures and Diagrams", Model-Based

Reasoning in Science and Technology: Theoretical and Cognitive Issues, Studies in Applied Philosophy, Epistemology and Rational

Ethics 8, Springer, 2014, pp.89-108.

▶ Danielle Macbeth, "Seeing How It Goes: Paper-and-Pencil Reasoning in Mathematical Practice",Philosophia Mathematica, 3-20, 2012, pp.58-85.

文献

II

▶ Danielle Macbeth, "Diagrammatic reasoning in Frege’s

Begriffsschrift ", Synthese, 186, 2012, pp.289-314.

▶ Danielle Macbeth, Realizing Reason: A Narrative of Truth and

Knowing, Oxford University Press, 2014.

▶ Kenneth Manders, "Diagram-Based Geometric Practice", Paolo Mancosu, ed, The Philosophy of Mathematical Practice, Oxford University Press, 2008, pp.65-79.

▶ Kenneth Manders, "The Euclidean diagram(1995)", Paolo Mancosu, ed, The Philosophy of Mathematical Practice, Oxford University Press, 2008, pp.80-133.

▶ Charles Sanders Peirce, Collected Papers of Charles Sanders

Peirce, vol.2., Harvard University Press, 1932.

▶ David Rabouin, "Proclus’ Conception of Geometric Space and Its Actuality", Vincenzo De Risi, ed., Mathematizing Space The

Objects of Geometry from Antiquity to the Early Modern Age,Springer, 2015, pp105-42.

▶ Sun-Joo Shin, The Logical Status of Diagrams, Cambridge University Press, 1994.

文献

III

▶ Sun-Joo Shin, "The forgotten individual: diagrammatic reasoning in mathematics", Synthese, 186, 2012, pp.149-68.

▶ Bernard Vitrac, " Les démonstrations par l’absurde dans les Éléments d’Euclide : inventaire, formulation, usages" 2012. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00496748v2にて入手可能 （2015年11月20日最終アクセス） ▶ 稲岡大志、「図形推論と数学の哲学−−最近の研究から」、『科学哲 学』、47巻1号、pp.67-82、2014年. ▶ エウクレイデス、斎藤憲訳、『エウクレイデス全集』1巻、東京大学 出版会、2008年. ▶ 本発表は科学研究費補助金（研究課題番号：15K02002）の助成を受 けています。